Стохастическая транспортная задача Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.6

И.А. Бородинова, Л.А. Сараев*

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Произведено обобщение классической транспортной задачи при наличии риска потерь перевозимых грузов с учетом расходов на содержание излишков и расходов в связи с недопоставкой груза.

Ключевые слова: стохастическая транспортная задача, поставщик, потребитель.

1. Классическая транспортная задача

Рассмотрим классическую транспортную задачу. Пусть некоторый продукт, сосредоточенный у т поставщиков А. в количестве а. единиц / = 1,т, необходимо доставить п потребителям В. в количестве Ъ. , у = 1, п. Известна стоимость с. перевозки единицы груза от поставщика А. к потребителю В.. Требуется составить план перевозки, позволяющий с минимальными затратами вывезти все грузы и полностью удовлетворить потребителей [1].

Стоимость всего плана перевозок составит

т п •

0 = ЕЕ с,ху (1)

1=1 j=l

Здесь х. . — размер груза, перевозимого от /-го поставщика у-му потребителю. Система ограничений обусловлена тем, что все грузы должны быть перевезены

п __

Е хи = а< > 1 1 т (2)

j=l

и все потребности должны быть удовлетворены

т ___

Еху = bj , j=1 п • (3)

/=1

Кроме того, условия неотрицательности х] > 0 , /' = 1,т, ] = 1,п исключают обратные перевозки.

В закрытой модели предполагается равенство суммарных запасов суммарным потребностям т п

Е а = Еь j • (4)

1=1 j=l

Если суммарные запасы превышают потребности, то вводится фиктивный потребитель В , , с потребностями т п

П + 1 Ьп+1 =Еа-Еbj •

1=1 j=l

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Ат + с запасами в размере п т

ат+1 =Е Ь1 -Е аI •

j=1 =

* © Бородинова И.А., Сараев Л.А., 2010

Бородинова Ирина Александровна ([email protected]), Сараев Леонид Александрович ([email protected]), кафедра математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя полагается равной нулю ст+ 1 . = 0 , у = 1, п и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика также полагается равной нулю с, , =0 ,, = 1, т , так как груз в обоих случаях не перевозится.

Транспортная задача имеет (п + т) уравнений с пт неизвестными.

Матрицу перевозок X = (х..) называют планом перевозок.

План X, при котором целевая функция обращается в минимум, называется оптимальным планом перевозок.

Пример.

Даны поставщики фактические а1, а2, а3, а1 100 ьі 150

а4, а5 с запасами 100; 200; 150; 50; 390 а2 200 Ь2 340

и потребители с потребностями в размере а3 150 Ь3 400

150; 340; 40. а4 50 890

а5 390

Решение имеет вид

Матрица с у имеет вид, где для фиктивного поставщика стоимость с5. = 0 Решение задачи линейного программирования имеет вид:

Ьі Ь2 Ь3 Ь1 Ь2 Ь3

а1 1 2 3 а1 0 100 0 100

а2 4 5 6 а2 150 50 0 200

а3 3 2 1 а3 0 0 150 150

а4 5 2 3 а4 0 50 0 50

а5 2 1 1 а5 0 140 250 390

150 340 400

Все расходы — это только расходы на транспортировку в размере 1690 д. е.

2. Транспортная задача при случайном спросе

Рассмотрим теперь стохастическую транспортную задачу, в которой стоимость транспортировки, спрос, объем производства, время доставки предполагаются случайными величинами [2—4].

Пусть спрос Ъ. в у'-м пункте потребления есть случайная величина с функцией распределения /. (Ъ. ). Общий объем продукта, предназначенного в соответствии с планом, составленным до реализации Ъ, дляу-го потребления выражается соотношением т

Уу =1и Х .

Если после установления спроса Ъ. выяснится, что У. <Ь,, то спрос не будет удовлетворен. При этом ущерб, наносимый системе, предполагается пропорциональным объему неудовлетворенного спроса

8- [Ьу - У у ] •

Здесь 8 у — ущерб (штраф за дефицит), связанный с нехваткой единицы продукта.

В противоположном случае при У, > Ь, возникает необходимость в хранении избыточного продукта. Дополнительные затраты системы пропорциональны объему избыточного продукта

8. [Уу - Ь у ] •

Здесь 8. — затраты на хранение единицы продукта.

Математическое ожидание суммарных потерь, связанных с перевозкой продукта, ущербом от неудовлетворенного спроса и затратами на хранение избыточного продукта, имеет вид

т п п Уу п

Q(x, У) = ЕЕ с уху + Е 8 у+ | (Уу - Ьу) Л(Ьу Щ + Е 8/ | (Ьу - У у) /у(Ь у )йЬ у • (5)

'=1 у=1 у=1 0 у=1 Уу

Детерминированный эквивалент стохастической транспортной задачи представляет собой задачу выпуклого программирования

п п п т

0(Х, у) ^ т1п; Е Ху = а; Е Ху = Уу ; Е Уу =Е а ’ Ху > 0, Уу > °. 1 = Ъ2,", т;у = 1,2,•, п •

у=1 ,=1 у=1 ,=1

В случае, когда спрос Ъ. распределен дискретно, детерминированный эквивалент является задачей линейного программирования.

Пусть спрос Ъ. в .-м пункте потребления принимает значения Ъ. к с вероятностями Р у,,к = 1, 2 , • ,• , л,. ; у = 1, 2, ,• • , п, При этом очевидно, что Е = 1

Е Рук = •

к=1

Введем вспомогательные переменные

т

и к = (Ьук - Уу)+ = (Ьук - Е ху ) + ’ (6)

1]к

v]к = (Уу - Ь]к ) + = (Е ху - Ьук )+ • (7)

1=1

[0, х < 0,

Здесь (х)+ = <

4 '+ [х,х> 0^

т

Очевидно, что всегда имеет место равенство и ук - Vук = Ьук - Е Х у = Ьк - У у •

1=1

В этом случае детерминированный эквивалент стохастической транспортной задачи будет представлен задачей линейного программирования

т п п

ЕЕ суху+ЕЕ (у р}ки]к + у рл) ^ т1п,

1=1 у=1 у=1 к=1

Ху >0; иук >0; Уук >0; ' = 1т; у = 1п; к = 1 Лу > (8)

т п

и - V ■, = Ь , - Е х ■ = Ь , - у ■; Е х .■ = а.

]к ]к ]к г' ]к У у ’ г •

1=1 у=1

В качестве примера рассмотрим ту же постановку транспортной задачи со следующим распределением случайного спроса потребителей:

Ь1(к) Л(к) Ь2(к) Р2(к ) Ь3(к) Р3(к )

к = 1 100 0,25 190 0,5 400 0,25

к = 2 200 0,25 290 0,3 200 0,5

к = 3 150 0,5 340 0,2 400 0,25

Щ) 150 250 300

Здесь Е (Ьу) — математическое среднее спроса в у-м пункте потребления

Е (ъ1)= Е ъл .

к=1

Введем значения штрафов за дефицит и расходов на хранение

І=1 І=2 І=3 г1 І=2 І=3

2 ] 1 2 3 2 / 2 3 1

Неизвестными являются х ..; и -к ; V-к . Решая задачу линейного программирования с той же матрицей транспортных расходов с.. и теми же запасами продуктов а,, получим

хи Ь1 Ь2 Ьъ

а1 100,0 0,0 0,0 100,0

а2 53,1 146,9 0,0 200,0

а3 0,0 0,0 150,0 150,0

а4 0,0 50,0 0,0 50,0

а5 0,0 144,7 245,3 390,0

153,1 341,6 395,3 890,0

При этом матрицы и ]к и V]к имеют вид

и]к ]=1 ]=2 ]=3 v]k ]=1 ]=2 ]=3

к=1 0,00 0,00 6,25 к=1 1,56 0,00 0,00

к=2 0,00 1,56 7,81 к=2 0,00 0,00 0,00

к=3 1,56 3,13 9,37 к=3 0,00 0,00 0,00

Общие расходы составят величину 1547,5 д. е., в том числе 1 190 д.е. — это расходы на транспортировку, расходы в связи с избытком и хранением — 325 д. е. и штрафы за неполную поставку — 32,5 д. е.

Можно отметить, что в фиксированном спросе мы получаем детерминированное решение.

3. Транспортная задача в условиях риска перевозимых грузов

На практике при перевозке в силу возможных дорожно-транспортных происшествий, противоправных действий третьих лиц, нарушений температурного режима и прочих факторов риска приходится планировать потери груза.

Пусть г.. — случайная величина потерь при перевозке груза в размере х.. , зависящая от риска на маршруте (// )и от размера перевозки х.

Г = Г (г. ;ву ) .

Здесь вв - — параметр риска данного маршрута.

С учетом риска потерь на маршруте у-й потребитель получит от /-го поставщика товар в размере

у.. = х.. - г .

■У V У V

Общее количество грузов, доставленных от всех поставщиков в адрес у-го потребителя, будет равно = £

У1 = £ у в = 1

Вероятностные свойства случайной величины определяются стохастическим процессом потерь груза на всех маршрутах.

Если груза завезли меньше, чем это нужно

т т

у1=£ у. =£(х.- г) < Ъ.,

в=1 в=1

то спрос будет неудовлетворен. Ущерб, наносимый потребителю, пропорционален объему неудовлетворенного спроса

т

Е; [Ъ. - У. ]+ = 8/ [Ъ. -£ (Х - гц)] + . (9)

в=1

Здесь Е. — ущерб (штраф за дефицит), связанный с нехваткой единицы продук-

та, [а] + = 0, если а < 0 , [а] + = а, если а > 0.

Для избыточного продукта необходима организация хранения. При этом дополнительные затраты потребителя прямо пропорциональны объему избыточного товара

т

8/ [У. - Ъ.] + = е; [£ (х. - г.) - Ъу ] + . (I0)

в=1

Здесь 8(+ — затраты на хранение единицы товара.

Предположим, что потребитель самостоятельно осуществляет перевозки и оплачивает все транспортные расходы. Кроме того, после оплаты товара поставщику потребитель становится собственником груза и несет все риски и убытки от случайной гибели или повреждения груза. Таким образом, общая стоимость расходов, связанных с транспортировкой, составляет величину

т

£ (°уХу + ^0 г. ) .

Здесь 50 - стоимость едиш1цы товара (груза).

Очевидно, что Р(г. = 0) > 0, и распределение величины г.. имеет дискретнонепрерывный характер. Случайная величина г.. потерь груза пропорциональна размеру перевозимого груза х.. и может быть представлена в виде

г. = 1уЕу .

Здесь Ь.. — индикатор события потери груза, Я.. — размер потери груза в случае его наступления. Распределение величины Я.. есть условное распределение величины Г.. при условии, что Гц > 0.

Р (Я1}) = Р( гЦгЦ > 0) .

При этом величины I.. и Я., считаются независимыми, например, наступление ДТП и размер ущерба от этого ДТП) [5, 6].

Индикатор I . может принимать значение 0 и 1. Вероятность утраты груза при его транспортировке из /-го в у'-й пункт можно считать прямо пропорциональной длине этого маршрута I... Длину маршрута 1..~ с.. можно считать пропорциональной стоимости перевозок на этом маршруте.

Таким образом

Р(1ц = 1) = Чц = Ч1ц = * • сц, Р(1ц = 0) =1 - * • сц •

Здесь X — коэффициент пропорциональности. Величина Я., имеет непрерывное распределение и может принимать значения от 0 до х,. Его можно представить в виде Я, = X х х ,. Случайная величина Xназывается степенью ущерба и принимает значения от 0 до 1. Будем считать что величина Xимеет бета-распределение [4]

Ї<*) = г/0) Г(1 - а> °Р > °-

Г (а) Г (р)

Так как Е(I ) = Хсіу, то среднее значение Е(гу) = X • с у ■ Е(х) хіу.

В целевую функцию следует включить стоимость утраченных грузов в размере 50 г,, где 50 стоимость единицы груза. Если имущество застраховано, то такое включение необязательно, и ^ = 0.

Общая величина расходов потребителей включает в себя расходы на транспортировку, покрытие убытков в размере стоимости утраченных грузов, штрафы за недопоставку и расходы на хранение избыточной продукции

т п пт пт

0(хг) = ХХ(СХ + Щ) + Х2/ [Х(ху-Г)-ьу]+ + Х2/ [ьу -Х(Х -гу)]+ . (11)

і=1 У=1 У=1 і=1 #=1 і=1

Пусть величина X принимает дискретный ряд значений Хк , к = 1, К с вероятностями рк.

Обозначим

т т

= £(1 - ^уХк)ху - ьу ]+ ; и3к = ь -Е(1 - ХсуХк)Ху]+ . (12)

і=1 і=1

Эти величины связаны соотношением

V - ицк + ьц =Е(1 - Ц)хц •

;=1

Задача линейного программирования с целевой функцией Е (@ (х, г )) будет иметь вид

К

(1 + 5°Х •Е(Х))Х Xс уху + X 2/ XРкиук + X 2/ XРкуук ^ т іп ; (13)

° \л ///^ у у

і = 1 у = 1 у = 1 к =1 у =1 к=1

*И ^О;ик ^О;^0; г = 1,да; у = 1,и; к = 1,^ ;

т п

- ик + ьз = Е(1 - Лед) Ху; Е Ху = ^ •

г=1 У=1

Отметим, что в данном случае множитель ( 1 + 5 0 ЛЕ ( %) ) не влияет на решение х.., после нахождения решения может быть вычислена стоимость утраченных грузов

т п

50ЛЕ<Х>ЕЕХ у .

г=1 У =1

Например, пусть распределение X имеет вид

к 1 2 3

Х(к) 0,1 0,2 0,3

р(к) 0,25 0,5 0,25

Среднее значение Б{Х> = 0,2. Величины g }¥’ зададим в виде

g ї} 1 2 3 g 7+) 2 3 1

Положим А = 0 , 0 5 и я0 = 1 0 0 . Тогда для той же матрицы стоимости перевозок с.. находим решение

ь Ъг Ъг

100,0 0,0 0,0 100,0

а2 53,1 146,9 0,0 200,0

а3 0,0 0,0 150,0 150,0

а4 0,0 50,0 0,0 50,0

а5 0,0 144,7 245,3 390,0

153,1 341,6 395,3 890,0

Вспомогательные величины: матрицы иук и У]к имеют вид

ик 7=1 7=2 7=3 уік 7=1 7=2 7=3

к=1 0 0,00 6,25 к=1 1,56 0 0

к=2 0 1,56 7,81 к=2 0 0 0

к=3 1,56 3,13 9,37 к=3 0 0 0

Всего расходы составят 3 394,453, в том числе расходы на транспортировку 1 686,875, расходы на хранение 0,781251, штрафы за недостаток 19,92 и стоимость утраченных грузов 1 686,9.

Библиографический список

1. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. М.: Наука, 1969. 384 с.

2. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1973. Т. 3. 503 с.

3. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Сов. радио, 1974. 400 с.

4. Юдин Д.Б., Юдин А.Д. Экстремальные модели в экономике. М.: Либроком, 2010. 312 с.

5. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

6. Современная актуарная теория риска / Р. Каас [и др.]; пер. с англ. А.А. Новоселова; под ред. В.К. Малиновского. М.: Янус-К, 2007. 372 с.

I.A. Borodinova, L.A. Saraev* STOCHASTIC TRANSPORTATION PROBLE

The generalization of a classical transportation problem where there is risk of loss of transportable goods, taking into account the cost of the surplus and expenses in the connection with the short delivery of goods is given.

Key words: stochastic transportation problem, the supplier, the consumer.

* Borodinova Irina Alexandrovna ([email protected]), Saraev Leon id Alexandrovich ([email protected]), the Dept. of Mathematics, and Business Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.