CC BY
20
Стохастическая модель системы регулирования производственных выбросов на региональном и федеральном уровне
Орехова Диана Владимировна,
аспирант
Кисловодский институт экономики и права;
in63@mail.ru
Аннотация: В работе построена стохастическая модель регулирования вредных производственных выбросов веществ на федеральном и региональном уровне.
Ключевые слова: экономико-математическая модель, экологическое регулирование, продаваемые разрешения на выбросы, оптимизация
Abstract. In this paper we develop stochastic model of regulation of industrial pollution on the federal and regional level.
Keywords: mathematical model, ecological regulation, traded permits, optimization
Система продаваемых разрешений на выбросы загрязняющих веществ в федеративном государстве предназначена для обеспечения большей эффективности по сравнению с командно-контрольным подходом к регулированию загрязнения окружающей среды вредными выбросами производственных предприятий [1-3]. Достижение эффективности затрат предполагает существование хорошо функционирующих рынка продаваемых разрешений на выбросы и товарного рынка (продукции, производство которой сопровождается вредными выбросами), свободного от влияния участников рынка, обладающих рыночной властью. Однако субъекты федерации участвуют в регулировании товарных рынков, а также осуществляют контроль и регулирование выбросов загрязняющих веществ. Несмотря на важность анализа регулирования вредных выбросов фирм на
двух уровнях - федеральном и региональном, в литературе отсутствуют модели этого процесса.
Предлагаемая экономико-математическая модель регулирования производственных выбросов в федеративном государстве основана на следующих допущениях. Федерация включает п субъектов, причем п > 2. Предприятия в каждом регионе в процессе производственной деятельности производят выбросы загрязняющих веществ. Обозначим через е{ объем выбросов загрязняющих веществ, производимых субъектом федерации i. Функцию, характеризующую затраты на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ в i - ом субъекте федерации, запишем в виде С (ег. , £), где £ - специфический для региона параметр, характеризующий
издержки снижения выбросов загрязняющих веществ. Сделаем следующие предположения относительно свойств функций, характеризующих затраты на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ в i - ом субъекте федерации. Во-первых, будем предполагать, что эти функции локально строго выпуклы относительно объемов выбросов загрязняющих веществ е{, производимых субъектом федерации i. Во-вторых, предположим, что первые производные этих функций по объемам выбросов загрязняющих веществ отрицательны, так что по мере снижения объемов выбросов затраты на их сокращение в i - ом субъекте федерации возрастают. Наконец, предполагаем, что регулятор эколого-экономической политики не имеет информации относительно величины параметров £, характеризующих издержки снижения выбросов загрязняющих веществ. Эти параметры представляют различия затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ, которые могут быть вызваны, например, различиями в технологии контроля загрязнения или различиями спроса на продукцию предприятий. Удобно ввести п - мерный вектор £ = (£1,£2,...,£п), характеризующий затраты на сокращение вредных выбросов в регионах.
Вредные производственные выбросы приводят к ущербам окружающей среде в соответствии с выпуклой функцией D(e1,е2,...,еп). Отметим, что построенная экономико-математическая модель регулирования производственных выбросов допускает очень весьма общую структуру ущерба окружающей среде. Например, модель может описывать ситуацию, когда вредные выбросы, производимые в определенном субъекте федерации, приводят к ущербам окружающей среде в нескольких других регионах. Предполагаем, что первые частные производные функции ущерба окружающей среде положительны, так что рост объемов выбросов приводит к росту экологического ущерба, а вторые частные производные функции ущерба окружающей среде (включая перекрестные производные) неотрицательны.
Целью регулятора эколого-экономической политики является минимизация совокупных общественных издержек. Регулятор экологоэкономической политики не располагает информацией относительно параметров, характеризующих затраты на сокращение вредных выбросов в регионах, и рассматривает £ как п - мерный случайный вектор с нулевым средним и недиагональной ковариационной матрицей. Сначала будем предполагать, что регулятор эколого-экономической политики с определенностью знает функции ущерба окружающей среде. Далее проанализируем ситуацию, когда в функции ущерба окружающей среде присутствует неопределенность.
Использование единственного случайного параметра, характеризующего затраты на сокращение вредных выбросов в регионе, для описания информационной асимметрии между регионом и регулятором эколого-экономической политики может показаться недостаточно строгим, тем более, что в регионе присутствует множество фирм-загрязнителей. Поскольку предприятиям разрешается торговля квотами на выбросы загрязняющих веществ, минимизироваться будут совокупные затраты на сокращение вредных выбросов в регионе при условии, что совокупный
объем выбросов предприятий составляет е{. Будем предполагать, что каждое предприятие в регионе характеризуется квадратичной функцией затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ с коэффициентом при линейной составляющей, который неизвестен регулятору экологоэкономической политики. Тогда решение задачи минимизации совокупных затрат на сокращение вредных выбросов в регионе дает функцию затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ для региона, квадратичную относительно е {. Кроме того, линейная составляющая функции затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ содержит неопределенный параметр, который является линейной комбинацией параметров, характеризующих отдельные предприятия. Итак, если в регионе присутствует множество фирм-загрязнителей, а их функция затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ квадратична и предприятиям разрешается торговля квотами на выбросы загрязняющих веществ в пределах региона, без потери общности можно использовать единственный параметр для характеристики неопределенности затрат на сокращение вредных выбросов в регионе.
Будем рассматривать две альтернативные структуры рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ. В случае централизованного рынка регулятор эколого-экономической политики распределяет регионам разрешения на выбросы загрязняющих веществ, причем торговля разрешениями между субъектами федерации запрещена. Задача минимизации ожидаемых затрат в случае централизованного рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ формулируется следующим образом
тт Е[^ сг (е ,єі) + £(е, е2,..., еп)].
ег
Решение этой задачи дает количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ, распределяемое регулятором эколого-экономической политики каждому региону е*. Условия первого порядка задачи минимизации
ожидаемых затрат в случае централизованного рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ имеют вид
дС дВ
Е(-С) + Е(дВ) = 0, і = 1,2,...,п. (1)
де{ де{
Таким образом, регулятор эколого-экономической политики выбирает количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ, распределяемое
^ * регулятором эколого-экономической политики каждому региону еі , таким образом, что ожидаемые предельные затраты на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ для региона равны взятому с обратным знаком ожидаемому предельному экологическому ущербу.
В случае децентрализованного рынка регулятор экологоэкономической политики выпускает м квот на выбросы загрязняющих веществ и разрешает фирмам свободно продавать разрешения как в пределах одного региона, так и между регионами. С точки зрения регулятора экологоэкономической политики фирмы решают следующую задачу минимизации
совокупных затрат на сокращение вредных выбросов тіп^ С(еі, єг-) при
еі
условии ^ е{ = м. Пусть ~(м, є) - решение этой задачи минимизации как функция параметров, характеризующих затраты на сокращение вредных выбросов и выбранного регулятором эколого-экономической политики количества м квот на выбросы загрязняющих веществ. Регулятор выбирает количество м квот с целью минимизации ожидаемых совокупных затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ. В случае децентрализованного рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ количество м квот на выбросы М определяется решением задачи
тіп Е[£ С (~ (м?, є), є.) + В(~ (м>, є), ~2 (м?, є),..., ~п (м>, є))].
м
Условия первого порядка этой задачи минимизации не допускают в общем случае простую наглядную интерпретацию, поэтому отложим их исследование до того, как будут введены конкретные формы для функций,
характеризующих экологический ущерб и затраты на сокращение вредных выбросов.
Для того, чтобы выяснить, какая структура рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ приводит к более низким ожидаемым совокупным затратам на сокращение вредных производственных выбросов, сначала определим конкурентное преимущество централизации этого рынка как разность ожидаемых совокупных затрат на сокращение выбросов вредных загрязняющих веществ следующим образом
А = Е[£ Сі (~(м є), єі) + В(~1(м є), ~2( ^ЄХ.^ ~п (м є))] -
- ЕЕСг(е*,єг) + В(е*,е2,...,еП)].
Теперь рассмотрим функции, характеризующие ущерб окружающей среде и затраты на сокращение вредных выбросов, квадратичные относительно
количества квот на выбросы загрязняющих веществ е* в случае централизованного рынка разрешений на выбросы. Записываем функции затрат для каждого субъекта федерации і в виде
п
с,.
*\ 2
сі (еі ,єі)=сі+(с+єі )(е- е*)+2 (е- е*)
и функции, характеризующие ущерб окружающей среде, таким образом
1 п п
Де-,е2,...,еп) = d + 2d'l(el - е]) + -^(е - е])(е - е;).
21=1}=1 ; ;
Наконец, как видно из приведенных выше формул, предполагаем, что случайные параметры, характеризующие затраты, влияют на линейные составляющие функций, определяющих затраты на сокращение вредных выбросов.
Переменные в функциях, характеризующих ущерб окружающей среде и затраты на сокращение вредных выбросов, имеют следующую интерпретацию. Параметры с и d являются постоянными. Параметры
с\ и с" соответствуют ожидаемым первым и вторым производным функций, определяющих затраты на сокращение вредных выбросов, вычисленным при е; . Параметр с" характеризует наклон функции, определяющей
предельные затраты на сокращение вредных выбросов для I - го субъекта федерации. Аналогично, параметры ^ и d,’]■ соответствуют ожидаемым
первым и вторым производным функций, характеризующих ущерб окружающей среде, вычисленным при е1 .
Функции, характеризующие ущерб окружающей среде и затраты на сокращение вредных выбросов, могут быть записаны в более компактном виде с использованием матричных обозначений. Представим множество значений производных с" в виде диагональной матрицы, обозначаемой А, и
множество значений производных d,’]■ в виде симметричной матрицы,
обозначаемой В. Также введем п - мерные векторы с' = (с-,с2,...,сп),
d' = d2,..., ^п ) и е = (е - е], е — е],..., е — е*). Компонентами вектора
с' = (с-,с2,...,сп) являются ожидаемые значения функций, определяющих предельные затраты на сокращение вредных выбросов, вычисленные при количествах квот на выбросы загрязняющих веществ, соответствующих централизованному рынку разрешений на выбросы. Вектор d' = d2,..., ^п ) содержит первые производные функций,
характеризующих ущерб окружающей среде, вычисленных при количествах квот на выбросы загрязняющих веществ, соответствующих централизованному рынку разрешений на выбросы. Вектор е измеряет отклонения объемов выбросов от объемов, соответствующих количеству квот для централизованному рынку разрешений на выбросы. Из уравнения (1) следует, что с' = - d'.
Для иллюстрации последующих результатов будут полезны два специальных случая. Первый случай соответствует ситуации, когда функции, характеризующие ущерб окружающей среде, сепарабельны относительно
своих аргументов. Можно интерпретировать производные $'и как наклон функций, характеризующих предельный ущерб окружающей среде в регионе
I. Второй специальный случай соответствует ситуации равенства предельных величин затрат на сокращение вредных выбросов для всех регионов. Он имеет место, когда ожидаемые величины предельных затрат на сокращение вредных выбросов, вычисленных при количествах квот на выбросы загрязняющих веществ, соответствующих централизованному рынку разрешений на выбросы, равны для всех субъектов федерации. Это соответствует условию с' = с(1,1,...,1) при постоянном с.
Используя введенное матричное обозначение, получаем
2С1 (е1 £) = 2с +(с + £ )е + 2еАе
и
D(e1, е2,..., еп ) = d + d'1 е +1 е1 Ве.
Будем использовать эти квадратичные формы для вычисления А. Заметим, что второе ожидание от А составляет 2 с + d. Чтобы определить первое ожидание, необходимо сначала проанализировать задачу минимизации совокупных затрат предприятий на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ.
Используя построенные квадратичные формы, можно записать задачу минимизации совокупных затрат предприятий на сокращение вредных выбросов в следующем виде
тт 2 с + (с' + £ ) е +1 е1 Ае е 2
при наличии ограничения
Ге = w-2е,
I
где I - вектор из единиц. Заметим, что мы вычли 2 е* из обеих частей
I
ограничения, что позволило сформулировать задачу минимизации
совокупных затрат предприятий через отклонения объемов выбросов от оптимального количества квот для централизованного рынка разрешений на выбросы. Условия первого порядка для этой задачи минимизации имеют вид
“С / ~ е - с' - е
/ 0_ А 1 - М е * 1
Решение этой системы уравнений дает отклонения объемов выбросов от оптимального количества квот для централизованного рынка разрешений на выбросы и множитель Лагранжа для ограничения в виде функций от ^ и других параметров. Поскольку основной интерес представляют отклонения объемов выбросов от оптимального количества квот, для решения этих уравнений используем метод обратной матрицы, что дает
~(^,е) = М(-с ' - е) + т(м -М е*), (2)
где
М = А-1( I + Щ А-1) представляет собой матрицу размерности п х п,
т = -А-1Щ есть п - мерный вектор-столбец, а
Щ = -[/* А-1/]-1
представляет собой скаляр. Уравнения (2) описывает отклонения объемов выбросов, которые возникают, если регулятор эколого-экономической политики выбирает количества квот ^, соответствующее децентрализованному рынку разрешений на выбросы, и допускается торговля разрешениями на выбросы между предприятиями и регионами. Вектор т отображает изменения в распределении разрешений на выбросы в изменения в отклонении объемов выбросов. Хотя выражения для М, т и
Щ достаточно сложны, все они могут рассматриваться как преобразования матрицы вторых производных от функций, определяющих предельные затраты на сокращение вредных выбросов. Заметим, что матрица М симметрична, причем
М/ = 0 и М = МАМ.
Используя построенные квадратичные формы, можно записать задачу минимизации совокупных затрат на сокращение вредных выбросов для регулятора эколого-экономической политики в следующем виде
тт Е[М С + d + е ~(м?,е) + — ~(^,е)*(А + В)~(^,е)], ™ 2
в котором учтено, что С = -d'. Условие первого порядка для имеет вид
Е[~( »,£)'( А + В)де = 0.
Используя уравнение (2), преобразуем условие первого порядка к следующей форме
[М(-с) + т('ю - М е* )]* (А + В)т = 0.
Отсюда следует, что оптимальное значение ^ определяется следующим образом
~ _ * с'гМ(А + В)т
™ = М е +——^---------—. (3)
г т (А + В)т
Непосредственный вывод, который следует из этого выражения, состоит в том, что оптимальное количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ, соответствующее децентрализованному рынку, может быть больше, меньше или равным оптимальному совокупному количеству квот на вредные выбросы, соответствующему централизованному рынку разрешений. Чтобы убедиться в этом, определим разность меду объемами выбросов для двух альтернативных структур рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ
~ _ * с М(А + В)т
Л = -М е =--------------------.
* т (А + В)т
Знаменатель выражения л всегда положителен. Числитель может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Числитель равен нулю в случае равенства предельных величин затрат на сокращение вредных выбросов для всех регионов, поскольку
с = с(1,1,...,1) и М/ = 0.
Для получения дополнительной информации относительно величины Л рассмотрим модель для случая двух регионов и ситуации, когда функции,
характеризующие ущерб окружающей среде, сепарабельны относительно своих аргументов. Рассмотрим сначала случай равенства предельных величин затрат на сокращение вредных выбросов для всех регионов. Рассмотрим распределение разрешений на выбросы загрязняющих веществ, соответствующее децентрализованному рынку, ^, которое равно оптимальному совокупному количеству квот на вредные выбросы, соответствующему централизованному рынку разрешений. Поскольку предприятия торгуют разрешениями на выбросы между регионами до тех пор, пока предельные величины затрат на сокращение вредных выбросов для всех регионов равны, а эти предельные величины действительно равны для оптимального количества разрешений на выбросы загрязняющих веществ, соответствующего централизованному рынку, ожидаемое распределение объемов выбросов такое же, как при централизованной системе. Незначительное увеличение количества разрешений на выбросы загрязняющих веществ, соответствующего децентрализованному рынку, приводит к росту ожидаемых объемов выбросов загрязняющих веществ в обоих регионах. Это приводит к росту значений функций, характеризующих предельный ущерб окружающей среде, однако снижает значения функций, определяющих предельные затраты на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ в * - ом субъекте федерации. Поскольку все четыре
величины первоначально одинаковы, тем не менее, совокупные ожидаемые затраты при децентрализованной системе возрастают. Аналогичный вывод получается, если рассмотреть незначительное снижение количества разрешений на выбросы загрязняющих веществ. Следовательно, оптимальное количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ, соответствующее децентрализованному рынку, равно оптимальному совокупному количеству квот на вредные выбросы, соответствующему централизованному рынку разрешений.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда равенство предельных величин затрат на сокращение вредных выбросов для всех регионов не имеет места. При оптимальном совокупном количестве квот на вредные выбросы, соответствующем централизованному рынку разрешений, предельные затраты на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ и предельные экологические ущербы одинаковы в каждом регионе, однако они различны для разных регионов. В отличие от предыдущего случая, равное количество разрешений на выбросы в децентрализованной системе не приводит к такому же распределению ожидаемых объемов выбросов как в централизованной системе. Предприятия изменяют свои объемы выбросов до тех пор, пока предельные затраты на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ не станут равными. Соответственно, значения функции предельных экологических ущербов будут различаться в ожидаемом равновесии в децентрализованной системе. Незначительное увеличение количества разрешений на выбросы может привести к росту или снижению ожидаемых затрат на сокращение вредных выбросов в децентрализованной системе в зависимости от относительных значений функций предельных экологических ущербов и предельных затрат на сокращение вредных выбросов загрязняющих веществ.
В следующей работе сравним две альтернативные структуры рынка разрешений на выбросы загрязняющих веществ и выведем формулу для конкурентного преимущества централизации рынка разрешений на выбросы
загрязняющих веществ как разности ожидаемых совокупных затрат на сокращение выбросов при рассматриваемых альтернативных.
Литература
1. Kolstad C. D. 2006. Environmental Economics. Oxford University Press: New York, Oxford.
2. Гофман К.Г., Рюмина Е.В. Кредитные отношения общества и природы // Экономика и математические методы. - 1994. - Т. 30. - Вып. 2. - С. 155161.
3. Орехова Д.В. Анализ равновесия на федеральном и региональном рынке разрешений на производственные выбросы при централизованной и децентрализованной схемах распределения квот // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2013. - № 6 (54).
