Стійкість багатовимірної авторегресії Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

4. Меньшиков Н.Я., Королев А.И., Ягудин Р.Ш. Надежность железнодорожных систем автоматики и телемеханики. М., «Транспорт», 1976. 215 с.

5. ДСТУ 4178-2003. Комплекси техшчних засобiв систем керування та регулювання руху поiздiв. Функцiй на безпечшсть i надiйнiсть. Вимоги та методи випробування.

6. 1нструкщя про порядок проведення експлуатацшних i приймальних випробувань дослщних зразкiв пристро'1'в сигналiзацii, централiзацii та блокування. ЦШ-0026. Затверджено наказом №453-Ц вiд 17.08.2001 р. - Кшв. 2003, 13 с.

7. Казарин О.В. Безопасность программного обеспечения компьютерных систем. Монография. - М.: МГУЛ, 2003. - 212 с.

8. Зегжда Д.П., Шмаков Э.М. Проблема анализа безопасности программного обеспечения// Безопасность информационных технологий. - 1995.- №2.- С.28-33.

9. Проблемы безопасности программного обеспечения. Под ред. П. Д. Зегжда. - СПб.: Издательство СПбГТУ, 1995.

10. Лисенков В.М. Статистическая теория безопасности движения поездов: Учеб. для вузов. - М.: ВИНИТИ РАН, 1999. - 332 с., ил.

11. Липаев В.В. Надежность программного обеспечения АСУ. - М.: Энергоиздат, 1984. - 240 с.

12. Смагин В.А. Техническая синергетика. Вып.1. Вероятностные модели элементов сложных систем. - СПб.: ВИКУ им. А.Ф. Можайского, 2000. - 63 с.

13. Данько М.1., Мойсеенко В.1., Рахматов В.З., Троценко В.1., Чепцов М.М. Мшропроцесорна диспетчерська централiзацiя "КАСКАД": Навчальний поабник. -Донецьк: "ДонГЗТ", 2004. - 163 с.

14. Чепцов М.Н., Сунцов Н.М. Анализ потока событий микропроцессорной диспетчерской централизации. 1нформацшно-керуючи системи на залiзничному транспорт^ №6, 2003, с. 50-52.

15. Вл.В. Сапожников, Б.Н. Елкин, И.М. Кокурин и др. Станционные системы автоматики и телемеханики - М.: Траспорт, 1997. - 432 с.

УДК 519.9

Волченко Ю.М., к.т.н, доцент(Дон1ЗТ)

СТ1ЙК1СТЬ БАГАТОВИМ1РНО1 АВТОРЕГРЕС11

Питания стшкост випадкових процеЫв у розумшш утримання випадкового процесу 1з заданою ймов1ршстю в заданих межах, було

розглянуте в [1,2]. В [3] було детально дослщжено процес авторегресп, знайдеш його чисельш характеристики. В поданiй роботi результати цих дослщжень поширюються на процес багатовимiрноl авторегресп з нормальним бшим шумом, причому, вивчення цього процесу обмежене рамками кореляцшно! теори. Розглянут питання поведiнки процесу на нескшченност та умови його перетворення на стацюнарний процес.

Стiйкiсть процесу багатовимiрноl регресп розумiеться як його утримання iз заданою ймовiрнiстю в межах деякого багатовимiрного "коридора" у просторi станiв процесу. Запропоновано алгоритм перевiрки процесу на стiйкiсть на базi його детермiнованих характеристик: математичного сподiвання й ковар1ацшно1 функци.

Отриманi результати мають прикладне значення для виявлення умов стшкосп та И забезпечення для багатьох технолопчних процесiв, зокрема в умовах експлуатаци залiзничного транспорту, виробнищш й ремонтi рухомого складу залiзниць, хiмiчному й металургiйному виробництвах, де утримання випадкових процеЫв в заданих межах е умовою нормального функцiонування пiдприемств.

Розглянемо багатовимiрний процес:

х(г) = Ах(г -1) + z(г) + X, (1)

х(0) = х + г(0) + х, г = 1,2,...,

де А = {ау }пп — стала матриця, хт = (X 1,к,Хп) — сталий вектор,

Zт = (2Х, к, 2 п) — нормальний бiлий шум з характеристиками

мг(г) = о,

т Гу(г), г = s, мz(г )ZT (*) =

[ О, г ф 5,

де О = {0}П, У (г) = {<тгр(г )}П — матриця коварiацiй компонент бiлого шуму, причому, сги (г) = а] (г). Процес (1) може бути поданий у виглядг

х(г) = ]Г Аг х +]Г Аг Z(г -1), г = 0,1, к.

1=0 1=0

Математичне сподiвання процесу обчислюеться за формулою:

t

MX(t) = mx (t ) = Ê Aг X,

i=0

T

а матриця коварiацiй процесy задовольияе рiвияиия ( — символ траиспоиуваиия):

R(t + т, t) = AT R (t, t ),

R(t, t + т) = R (t, t )(A t ), (2)

R(t +1, t +1 ; = AR(t, t )AT + V(t +1).

Розв'язання цих рiвияиь дае Формули:

R(t + т,т) = AT¿ AгV(t - i)(ATJ, t = 0,1,к, т > 0; (3)

i=0

R(t, t) = £ Ai V (t - i)(A T J.

i=0

Твердження 1. Якщо всi власиi числа матриц A за модулем меншi одииицi, то зi зростаииям t математичие сподiвання процесу прямуе до стало'' величиии:

limMX(t) = mX = (E - A)-1X.

t

Д о в е д е н н я. Тверджеиия випливае з [4]. □

Твердження 2. Нехай для будь-якого t > t1 > 0 виконуеться V(t) = V ,

lim An = O i ряд

Ê A' V (A t J

4

i=0

збiгаеться. Tодi

x /Y

lim R(t, t) = R (0) = R = Ê a'' V (AT J. (5)

^ i=0

Д о в е д е н н я. Нехай 5 > г. Використовуючи формулу (2) 1 умову теореми, дютаемо:

Щ 5,5) = ]Г А1 У (5 -1 )(ат ) =

1=0

= 2 А1 У (5 -1 )(Ат ) + £ А' У (5 - ,)(Ат ) =

1=0 1=5-г1+1

= ( У = 1 - 5 + г„ I = у + 5 - г^ =

5-г1 / \ г1 / \ + » = 2: А1 У (Ат ) + £ А у+'- У (г, - У )(Ат )+*-".

1=0

У=1

Переходячи до гранищ, коли 5 ^ да, використовуючи те, що А5 ——— > О

1 збiжнiсть ряду (4), отримуемо потрiбний результат. □

Таким чином, при вищезгаданих умовах процес (1) на нескшченност стае стацiонарним з чисельними характеристиками, що виражаються формулами:

тх = (Е - А)-1 х, Ят (т) = Щ-т) = АтЩ0).

Умова збiжностi ряду (4) спрощуеться, якщо матриця У е дiагональною вигляду:

А _2 а1

У:

0

0

а

0 0

00

а

(6)

п

1 збiгаеться з умовою твердження 1.

Дiйсно, кожний елемент ряду (4) (як матрищ) можна записати так:

2

да п да п

хма^=хх а а « (7)

1=0 к=1 1=0 к=1

де Ак) = {а(р1а(к }, А1 = {арк}. Нехай виконуються умови твердження 1. Тодi ряд Хг_0 А1 (ат) мае сумою деяку матрицю В:

да , . да п да п п да п

2 А1 (Ат ) = = XX А* > = X ^А Ц> = X В, = В,

де 20 А к) = В к. В цих позначеннях з формули (7) дютаемо

да , . да п п да п

2 А1 У (Ат ) = аКАк' = X а;Х Ак > = X а^.

Якщо матриця У мае вигляд (6), = ... = а = а2 ! виконуеться умова твердження 1, то

К(0) = а2 В.

Якщо до попереднiх припущень додати симетричнiсть матриц А, або И переставнiсть з транспонованою до не! матрицею, то

К(0) = а2]Х(А2) =а2 (Е - А2)-1. (8)

1=0

Процес (1) будемо вважати стшким, якщо, починаючи з деякого значення г, з iмовiрнiстю р > 1 - а виконуеться нерiвнiсть:

X (г) < х(г) < X (г),

де Xт(г) = (х1(г),...,хп(г)), Xт(г) = (х1(г),...,хп(г)) — детермшоват векторнi функци г.

Можливi два випадки. В першому випадку виконання умови стшкосп може бути потрiбним, починаючи з г = max(t1,г2), де г1 визначено в

твердженш 2, а для ^ матрицю А4 можна вважати нульовою. Це

вщповщае встановленню стацюнарного режиму процесу. Якщо перехщт

процеси не завершен^ виникае другий випадок. Очевидно, що стшюсть в

другому випадку забезпечуе й стшюсть у першому, осюльки, як було

показано, в решт решт процес (1) стае стацюнарним.

* . ... Таким чином, з моменту часу ? процес буде стшким з шовфнютю,

бшьшою, шж 1 - а, якщо для вЫх ? > ?* для багатовим1рного штеграла буде виконана нер1вшсть:

1 Х1 х" Г 1 ]

—-2-Г к Г ехрГ - - №) - шх (I)]т [хЦ) - шх (I)] ) > 1 - а, (9)

(2п) ^ ••• I { 2 )

Осюльки матриця Я-1 додатно означена, то юнуе невироджена матриця С [5] така, що

Ст Я-1С = Е, (10)

де Е — одинична матриця.

Перетворенням Су ^) = Х^) - шх (I) багатовим1рний нормальний штеграл зводиться до вигляду:

у1 Уп п А 1 Л

.2

1 Л Уп п / 1 N

Г к Щ ехр|- 2 У? ГУ1 '"дУп,

(2п) У Уп'=1 V 2 У

де у = С-1[х(?) - шх ($)], у = С-1[х($) - шх($)].

Тепер для виконання умови (9) достатньо виконання тако'' нер1вност1 для кожного штеграла з добутку штеграл1в:

л/2

1 Г I 1 \

П ехР - 2 Уг2 Ф, (0 > (1 -а)1/п.

У1

Для цього в свою чергу достатньо виконання нер1вностей:

У,(I) <-/, У,() >у,

де

1 х

у = ф*1 ((1 - а)"п), Ф*(х) = ^= [ехр(-2212)ск .

<2п -да

З позначенням у = (у,...,у) останню нерiвнiсть можна записати у виглядi векторно! нерiвностi:

у (г) < - у, у (г) > у,

або

тх(г) - X(г) > С(г)у, X(г) - тх(г) > С(г)у. Об'еднуючи цi нерiвностi, знаходимо умову стшкостг

С(г)у < т1п[тх (г) - X(г), X(г) - тх (г)]. (11)

Алгоритм перевiрки процесу на стштстъ

1. Задати матриц А, У(г), вектор х, обмеження X(г), X(г), ймовiрнiсть

стiйкостi 1 - а, початок стшкост г .

*

2. Покласти г = г .

3. Якщо г < г1, г2, перейти до п. 6; в супротивному випадку перейти до п. 4.

4. З формули (5) вщшукати матрицю Я, а з формули (10) знайти матрицю С.

5. Якщо умова (11) виконуеться, для вшх т > г, то процес стшкий, в шшому випадку — ш. Дiя алгоритму закiнчена.

6. З формули (3) для т = 0 визначити Я(г) = Я(г,г). З рiвностi (10) знайти матрицю С(г).

7. Перевiрити умову (11). Якщо не виконуеться, то процес нестшкий. Дiя алгоритму закiнчена. В протилежному випадку збшьшити г на 1 i перейти до п. 3.

Для наочностi розглянемо випадок г * > тах(г1, г 2), сталi межi X(г) = X, X(г) = X 1 матрицю Я вигляду (8). В цьому випадку Я-1 = (Е - А2)/а2. Позначимо через С матрицю, для яко! Ст (Е - А2)С = Е i покладемо

С = Са.

Тодi С е шуканою перетворюючою матрицею з (11), оскшьки

СтЯ-1С = ст2-1-Ст (Е - А2)С = Е. а2

Умова (11) тепер стае такою:

С(г)ау < тт[тх (г) - X(г), X(г) - тх (г)].

Бачимо, що для досить мало! величини а така умова може бути виконаною.

Висновок. Отримаш результати показують, що запропонований метод визначення стшкост випадкового процесу може бути застосованим на практищ, оскшьки йому може бути надана алгорштчна форма. Його подальший розвиток уявляеться пов'язаним з розповсюдженням на процеси авторегреси з негауссовими характеристиками i випадковi процеси, бшьш загальш, нiж авторегресiя.

Список лтератури

1. Крамер Г.К., Лидбеттер М.Л. Стационарные случайные процессы. - М.: Мир, 1969.

2. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. - М.: Наука, 1968.

3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. - М.:, Мир, 1974, вып. 1, 2.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Физматгиз, 1967.

5. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. - М.: Физматгиз, 1963.