CC BY
14
Раздел. III. Управление в распределенных и сетевых системах
УДК 531.1 DOI 10.23683/2311-3103-2019-7-102-110
М.В. Андреева, В.Е. Павловский, В.В. Павловский
СТАЙНАЯ ПАРАДИГМА В МОДЕЛИРОВАНИИ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ НА ДОРОЖНОЙ СЕТИ
Стайная парадигма - это один из подходов к задаче группового управления роботами. Его идея состоит в том, что вместо выделения одного управляющего центра группа рассматривается как множество равноправных агентов, каждый из которых выбирает свое поведение самостоятельно, подчиняясь ряду относительно несложных правил; но в результате для группы в целом синтезируется желаемое поведение. Данная работа посвящена применению этого подхода к моделированию транспортного потока автомобилей на дорожной сети; таким образом, построенная система относится к классу микромоделей. В первой части работы описана используемая математическая модель, правила поведения для каждого автомобиля в потоке - правила выбора скоростей движения и правила перестроений с учетом окружающих автомобилей, исходя из правил дорожного движения и желаемой цели, разной у разных участников движения - автомобили въезжают на моделируемую развязку по разным дорогам и хотят проехать ее в различных направлениях. При этом логика правил одинакова для всех автомобилей, но конкретные численные значения параметров генерируются случайно для каждого автомобиля, реализуя различное поведение («характер») различных агентов и различный стиль их вождения, от «чрезвычайно тихого вождения» до «агрессивного вождения». Во второй части работы представлен разработанный авторами с использованием этой модели программный симулятор. В заключительной части приведены результаты численных экспериментов с применением этого симулятора для условного городского перекрестка и реальной московской транспортной развязки на пересечении Третьего транспортного кольца и Звенигородского шоссе. Исследована зависимость фактической пропускной способности транспортного узла от интенсивности транспортного потока и соотношения долей поворачивающих автомобилей и проезжающих перекресток прямо. В результате моделирования получены реалистичные зависимости между показателями - в частности, с ростом транспортной нагрузки поток сначала растет, но затем сокращается в связи с возникновением заторов и пробок, которые симулятор позволяет оценить наглядно.
Стая; моделирование; транспортные потоки.
M.A. Vladimirovna, V.E. Pavlovsky, V.V. Pavlovsky
SWARM PARADIGM IN MODELING TRAFFIC FLOWS ON THE ROAD
NETWORK
Swarm paradigm is one of the approaches to the task of group control of robots. Its idea is that instead of establishing one control center, the group is considered as a set of equal agents, each of them choosing its behavior on its own, subject to a number of relatively simple rules; but as a result, the desired behavior is synthesized for the group as a whole. This paper deals with application of this approach to modeling the traffic flow of cars on a road network; thus, this system belongs to the class of micromodels. In the first part of the paper, the mathematical model used is described, the rules of behavior for each car in the traffic - the rules for choosing speeds
and the rules for lane changing considering the surrounding cars, based on the traffic rules and the desired goal which is differentfor different cars, as they enter the simulated crossroad through different roads and want to drive through it in different directions. While the logic of the rules is the same for all cars, particular numerical values of the parameters are randomly generated for each car, providing different behavior ("character") of different agents and different driving styles, from "extremely quiet driving" to "aggressive driving". The second part of the paper presents the software simulator developed by the authors on the base of this model. In the final part, the results of numerical experiments are presented using this simulator for a model crossroad and a real Moscow traffic node at the intersection of the Third Ring Road and Zvenigorodskoye Shosse. The dependence is analyzed of the actual throughput of the traffic node on the intensity of the traffic flow and the ratio of the turning cars to passing straight. As a result of the simulation, realistic dependencies between these values were obtained - in particular, with the increase of the traffic load, the flow initially increases, but then decreases due to the occurrence of traffic jams, which could be visually estimated in the simulator.
Swarm; simulation; traffic flows.
1. Введение. По общему мнению экспертов, моделирование транспортных потоков стало одной из основных задач в организации движения в городах и на шоссе, для этой цели применяются различные модели и транспортные симуляторы [1-5]. Наиболее распространена классификация моделей на макроскопические, использующие аналогии с моделями гидро- и аэродинамики [6-10], мезоскопиче-ские [11, 12], рассматривающие определенные взаимодействия между автомобилями - например, гравитационное, и микроскопические, моделирующие движение отдельных автомобилей [13-16] к классу которых относится и наша работа. Также отметим дискретные модели, основанные на использовании клеточных автоматов [17, 18] и сетей Петри [19, 20].
В данной работе представлена модель, основанную на стайной парадигме. Это концепция предполагает наличие очень большого количества отдельных агентов, причем поведение каждого из них определяется относительно простыми правилами, но в совокупности оно приводит к сложным эмержентным свойствам системы как целого. Предлагаемая модель объединяет общие методы для задания правил, логики и «характеров» автомобилей-агентов на дороге с отдельными параметрами для каждого агента и простотой изменения этих параметров для целей моделирования. В качестве примера рассмотрена модель пятиполосной развязки трех дорог, с последующими экспериментами с более сложными перекрестками и транспортными узлами.
Полученные результаты могут использоваться для группового планирования движения роботизированных автомобилей, оптимизации распределения роботов и обычных автомобилей между различными маршрутами для максимизации пропускной способности дорог.
Данная работа является развитием работы авторов «Математические модели стайных аспектов в описании транспортных ситуаций», опубликованной в журнале «Известия Волгоградского государственного технического университета», N3 за 2019 год.
2. Структура модели. Рассматривается следующая модель. Пусть автомобили движутся по полосам дороги; новые автомобили генерируются случайно на каждой из пяти входных полос (три прямых полосы, правая и левая), с собственной желаемой скоростью движения и собственным желаемым выходным путем. Остальные параметры и признаки также выбраны индивидуально для каждого автомобиля-агента. Одна из таких модельных схем дорог показана на рис. 1.
-1 -0-6 -0.2 0 *C 3 +0.6 +1
edge entry threshold center threshold exit edge
Рис. 1. Модельная схема дороги
Используется следующая стайная схема моделирования. «Поведение» каждого автомобиля-агента задается и описывается одним и тем же набором локальных правил, их логика одинакова для всех автомобилей-агентов. В то же время, все эти правила зависят от наборов параметров, каждое правило - от своего собственного набора, и конкретные значения этих параметров - свои для каждого автомобиля-агента. Таким образом реализуется различное поведение («характер») различных агентов и различный стиль их вождения, от «чрезвычайно тихого вождения» до «агрессивного вождения». В системе есть также общие правила, основанные на правилах дорожного движения. Автомобили-агенты не нарушают их.
В целом при наличии большого количества агентов, проходящих через систему, возникают эмержентные эффекты, состоящие в общем стайном поведении всего множества автомобилей от свободного движения до образования «пробок».
Общие локальные правила для агентов следующие.
Общая схема движения.
Общая схема движения определяется правилами перестроения между рядами движения и логикой выбора текущей скорости движения. В остальном каждый агент выбирает свое движение независимо.
Правила перестроения
На основании желаемого выходного пути, заданного для каждого автомобиля, в каждый момент времени определяется желаемая полоса движения. Пусть X - координата автомобиля вдоль полосы; тогда перестроение разрешено, если на целевой полосе интервал (X-A, X+B) свободен, где A и B - заданные константы. В случае невозможности перестроения движения автомобиль продолжает движение, замедляясь по мере необходимости, чтобы успеть перестроиться до критической точки.
Во время маневра перестроения автомобиль технически считается занимающим две полосы движения одновременно, ограничивая скорость движения автомобилей позади.
Логика выбора текущей скорости движения.
Движение автомобиля вдоль полосы определяется скоростью V, на каждом шаге ее значение вычисляется как минимум трех величин, V = min (V1, V2, V3):
V1 - собственная скорость, случайно выбирается при генерации автомобиля;
V2 - ограничение идущим впереди автомобилем, V2 = Vpred + K1 * (D - D0), где Vpred - скорость автомобиля впереди, D - расстояние до него, D0 - минимальное расстояние, K1 - коэффициент торможения при приближении;
V3 - определяет замедление автомобиля в случае, если нужная ему полоса движения занята, чтобы все еще успеть перестроиться вовремя до поворота, V3 = K2 * D, D - расстояние до критической точки (порога), перед которым автомобиль должен перестроиться в нужную полосу, K2 - коэффициент торможения для перестроения.
3. Симулятор. Был разработан симулятор - программа моделирования (городского) трафика согласно описанной схеме. Рабочая версия программы в процессе моделирования дороги (см. рис. 1) показана на рис. 2.
Рис. 2. Симулятор. Модельная дорога
Как показано на рис. 2, у симулятора есть набор средств управления - панель меню, окно для ввода и контроля основных параметров (на рисунке оно показано справа от рабочего окна программы). В основном рабочем окне визуализируется карта изучаемой части дороги и процесс моделирования. Стандартное меню «File» позволяет загружать различные карты дорог.
В целом система позволяет адекватно анализировать динамику процессов на изучаемой части дороги и разрабатывать рекомендации по ее эффективному улучшению.
4. Реальная дорога. В дальнейших исследованиях моделировалась реальная развязка - а именно, пересечение московского Третьего транспортного кольца и Звенигородского шоссе. На рис. 3 и 4 показана реальная фотография развязки (взятая с Google Maps) и ее представление в нашем моделировании.
Рис. 3. Фотография развязки с Google Рис. 4. Модель развязки в программе Maps моделирования
Мы сохранили принципы моделирования подобными описанным выше: развязка задается как ряд полос движения, причем положение каждого автомобиля определяется полосой, по которой он движется, и его координатой вдоль полосы. Некоторые полосы движения параллельны и описывают многодополосную дорогу, и автомобиль может перестраиваться с одной полосы на другой в любом месте (если целевая полоса свободна); другие полосы связаны в определенных точках, позволяя переходить с одной дороги на другую.
Все автомобили следуют одним и тем же локальным правилам поведения с случайно определенными параметрами. В частности, для каждого автомобиля случайно выбираются входная дорога и желаемая выходная дорога (визуально показывается цветом автомобиля); вместе они определяют "план движения" - последовательность дорог и поворотов, которые должен пройти автомобиль, исходя из топологии развязки. Далее у каждого автомобиля есть своя собственная желаемая скорость движения (представляющая стиль вождения - некоторые спешат, а другие осторожны и едут медленно). Автомобиль следует на своей желаемой скорости, если она не ограничивается автомобилем впереди. Автомобили, планируюшие свернуть на боковую дорогу, должны заранее перестриться в самый правый ряд. Есть заданные пороги для этих перестроений перед поворотом, и если ряд справа будет занят, автомобиль замедлится (или даже остановится), пока не сможет перестроиться.
Поскольку в модели появилось несколько многополосных дорог, мы добавили еще несколько правил для перестроения между полосами, чтобы автомобили не скапливались в самом правом ряду. В частности, если автомобиль, желающий ехать быстрее (согласно заданной желаемой скорости) будет ограничен более медленным движущимся впереди него автомобилем, он попытается перестроиться влево. Если медленный автомобиль "будет чувствовать давление" автомобиля позади, он попытается перестроиться правее.
5. Эксперименты. В экспериментах исследовалась зависимость между пропускной способностью дороги и интенсивностью потокаи долей поворачивающих машин. Результаты для модельной дороги представлены на рис. 5 и 6.
Рис. 5. Пропускная сопособность модели Рис. 6. Зависимость от доли
дороги поворачивающих машин
Данные из экспериментов на модели были собраны в рядах таблицы Excel, и на рисунках графически представлены несколько рядов этой таблицы.
Рис. 5 показывает зависимость пропускной способности дороги (количества машин, проехавших развязку за период моделирования) от интенсивности потока. В качестве параметра выбирается входной интервал между машинами- насколько далеко должна отъехать от условного начала дороги предыдущая машина, прежде чем на этой полосе будет сгенерирована следующая. Чем больше этот интервал,
тем меньше плотность потока и меньше нагрузка на развязку. При этом на рисунке показаны следующие значения: ряд 3 - теоретический максимум пропускной способности (при отсутствии какого-либо взаимодействия объектов), эта величина убывает с уменьшением плотности потока. Ряд 6 - фактическая пропускная способность (результат моделирования), примечательно, что при низкой плотности потока (высокий интервал, правый край графика) эта величина близка к теоретическому максимуму (ряд 3) - машины мало мешают друг другу; а вот при высокой плотности (левый край) имеется максимум, за которым пропускная способность начинает уменьшаться - это и есть момент перегрузки дороги и появления большого количества пробок. Наконец, ряд 14 - средняя скорость движения, приведенная к масштабу, эта величина растет с уменьшением плотности потока.
Во второй серии экспериментов исследовалась зависимость между пропускной способностью и количеством перестроений автомобилей на дороге. Динамика этих процессов показана на рис. 6. Чтобы описать влияние перестроений, введен коэффициент V = «доля машин, проезжающих перекресток прямо». Соответственно, 1- V = «доля поворачивающих машин». При этом на рис. 4 ряду 3 - теоретический максимум (нет никакого взаимодействия) количества машин, проехавших перекресток прямо, ряд 4 - теоретический максимум (нет никакого взаимодействия) повернувших машин и ряды 6, 7, 8 - полученная из модели фактическая пропускная способность. Примечтально, что график для ряда 6 на самом правом краю резко загибается вверх: если доля поворачивающих машин становится близка к нулю, количество перестроений и связанных с этим помех движению сокращается, и пропускная способность дороги резко возрастает, приближаясь к теоретическому максимуму. Но даже небольшой доли поворачивающих машин достаточно, чтобы помехи движению, связанные с перестроением, привели к значительному падению пропускной способности.
Следующие два графика показывают аналогичные характеристики для реальной дороги.
Рис. 7. Реальная дорога: влияние Рис. 8. Реальная дорога: влияние
интенсивности потока поворотов
Рис 7 показывает зависимость от интенсивности движения - интервала между машинами; как и раньше, наблюдается характерный максимум, и при меньшем интервале начинаются пробки. На рис. 8 показано суммарное количество проехавших машин в зависимости от доли поворачивающих машин. Примечательно, что здесь "насыщение" наступает раньше, примерно при W = 0.7: из-за того, что дорога многополосная, поворачивающие машины занимают правый ряд, и не мешают проезжающим прямо в левых рядах - если только поворачивающих машин
не слишком много. Если же из больше, чем 30%, то есть, W < 0.7, поворачивающие машины начинают создавать большую пробку, резко сокращая пропускную способность.
Рис. 9 наглядно показывает возникающий при этом тип пробки: автомобили, желающие повернуть, блокируют левые ряды, поскольку они не могут перестрить-ся в забитый правый ряд для поворота. А именно, голубые автомобили (желающие свернуть вправо) блокируют 2-й и 3-й ряды для синих и черных автомобилей. Авторы сталкивались с такими ситуациями на реальных московских дорогах.
Рис. 9. Пробка, возникшая из-за высокой интенсивности движения
Заключение. Выполненная работа и эксперименты подтвердили правильность и адекватность принятых решений. В модельных экспериментах показан выбор оптимальных параметров для организации движения на рассмотренных участках дорог. Изучено и показано положительное и отрицательное влияние таких параметров, как интенсивность потока и доля поворачивающих автомобилей, на динамику дорожной ситуации. Представленные результаты могут использоваться в организации движения автомобилей-роботов и автомобилей с водителями.
Благодарности. Эта работа была поддержана Российским Фондом Фундаментальных исследований, проекты № 19-01-00123 A, 19-08-01159 А, 16-08-00880 А, 18-08-01441 А, 18-31-20068, 16-29-08406, и Программой Президиума РАН I29 «Актуальные проблемы робототехнических систем»
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / под ред. Гасни-кова А.В. - М.: МФТИ, 2010. - 362 с.
2. Швецов В.И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и Телемеханика. - 2003. - № 11. - С. 3-46.
3. Семенов В.В. Математическое моделирование транспортных потоков мегаполиса. - M.: препринт № 34 Инст. Прикл. математики им. М.В. Келдыша РАН, 2004. - 44 с.
4. TreiberM., Kesting A. Traffic Flow Dynamics. Data, Models and Simulation. - Springer: Berlin-Heidelberg, 2013. - 503 p.
5. Hoogendoorn S.P., Bovy P.H.L. State-of-the-art of vehicular traffic flow modelling // J. Syst. Cont. Eng. - 2001. - Vol. 215, Issue 4. - С. 283-303.
6. Куржанский А.А., Куржанский А.Б., Варайя П. Роль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью // Труды МФТИ. - 2010. - № 4. - С. 100-118.
7. Михеева Т.И., Михеев С.В., Богданова И.Г. Модели транспортных потоков в интеллектуальных транспортных системах // Научное обозрение. Технические науки. - 2014. - № 2. - С. 63-64.
8. LigthillM.J., Whitham F.R.S. On kinetic waves II. A theory of traffic flow on crowded roads // Proc. of the Royal Society Ser. A. - 1995. - Vol. 229, No. 1178. - P. 317-345.
9. Philips W.F. A kinetic model for traffic flow with continuum implications // Transp. Plan. Technol. - 1979. - Vol. 5. - P. 131-138.
10. Gazis D.C., Herman R., Potts R.B. Car-Following Theory of Steady-State Traffic Flow // Operations Research. - 1959. - Vol. 7, No. 4. - P. 499-505.
11. Лившиц В.В. Математическая модель случайно-детерминированного выбора и ее применение для расчета трудовых корреспонденций // Автоматизация процессов градостроительного проектирования. - М.: ЦНИИП градостроительства, 1973. - С. 39-57.
12. Wilson A.G. A statistical theory of spatial distribution models // Transpn. Res. - 1967. - Vol. 1.
- P. 253-270.
13. Буслаев А.П., Новиков А.В., Приходько В.М., Таташев А.Г., Яшина М.В. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения. - М.: Мир, 2003.
- 368 с.
14. Зырянов В.В. Применение микромоделирования для прогнозирования развития транспортной инфраструктуры и управления дорожным движением // Дороги России XXI века. - 2009. - № 3. - С. 37-40.
15. Кузин М.В. Имитационное моделирование транспортных потоков при координированном режиме управления: дис. ... канд. техн. наук. - Омск, 2011. - 143 с.
16. Newell G.F. Nonlinear effects in the dynamics of car - following // Oper. Res. - 1961. - Vol. 9.
- P. 209-229.
17. Буслаев А.П., Яшина М.В., Таташев А.Г. О функциях состояния в модели неоднородного трафика // Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). - 2017. - № 3 (50). - С. 45-51.
18. Buslaev A.P., Prikhodko V.M., Tatashev A.G., Yashina M.V. The deterministic-stochastic flow model // arXiv:physics/0504139 [physics.soc-ph]. - 2005. - P. 1-21.
19. Мартынова И.В., Ершов Н.М. Имитационное моделирование дорожного трафика с помощью сетей Петри // Вестник Международного университета природы, общества и человека. Дубна. - 2016. - № 2. - С. 22-27.
20. Dotoli M., Fanti M. An urban traffic network model via coloured timed Petri nets // Control Engineering Practice. - 2006. - Vol. 14, Issue 10. - P. 1213-1229.
REFERENCES
1. Gasnikov A.V., Klenov S.L., Nurminskiy E.A., Kholodov Ya.A., Shamray N.B. Vvedenie v matematicheskoe modelirovanie transportnykh potokov: ucheb. posobie [Introduction to mathematical modeling of transport flows: textbook], ed. by Gasnikova A.V. Moscow: MFTI, 2010, 362 p.
2. Shvetsov V.I. Matematicheskoe modelirovanie transportnykh potokov [Mathematical modeling of transport flows], Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 2003, No. 11, pp. 3-46.
3. Semenov V.V. Matematicheskoe modelirovanie transportnykh potokov megapolisa [Mathematical modeling of traffic flows of the metropolis]. Moscow: Inst. grikl. matematiki im. M.V. Keldysha RAN, 2004, 44 p.
4. Treiber M., Kesting A. Traffic Flow Dynamics. Data, Models and Simulation. Springer: Berlin-Heidelberg, 2013, 503 p.
5. Hoogendoorn S.P., Bovy P.H.L. State-of-the-art of vehicular traffic flow modeling, J. Syst. Cont. Eng., 2001, Vol. 215, Issue 4, pp. 283-303.
6. Kurzhanskiy A.A., Kurzhanskiy A.B., Varayya P. Rol' makromodelirovaniya v aktivnom upravlenii transportnoy set'yu [The role of macromodeling in active transport network management], Trudy MFTI [Proceedings of MIPT], 2010, No. 4, pp. 100-118.
7. Mikheeva T.I., Mikheev S.V., Bogdanova I.G. Modeli transportnykh potokov v intellektual'nykh transportnykh sistemakh [Models of transport flows in intelligent transport systems], Nauchnoe obozrenie. Tekhnicheskie nauki [Scientific review. Technical science], 2014, No. 2, pp. 63-64.
8. Ligthill M.J., Whitham F.R.S. On kinetic waves II. A theory of traffic flow on crowded roads, Proc. ofthe Royal Society Ser. A, 1995, Vol. 229, No. 1178, pp. 317-345.
9. Philips W.F. A kinetic model for traffic flow with continuum implications, Transp. Plan. Technol., 1979, Vol. 5, pp. 131-138.
10. Gazis D.C., Herman R., Potts R.B. Car-Following Theory of Steady-State Traffic Flow, Operations Research, 1959, Vol. 7, No. 4, pp. 499-505.
11. Livshits V.V. Matematicheskaya model' sluchayno-determinirovannogo vybora i ee primenenie dlya rascheta trudovykh korrespondentsiy [Mathematical model of random-deterministic choice and its application for calculating labor correspondence], Avtomatizatsiya protsessov gradostroitel'nogo proektirovaniya [Automation of urban planning design processes]. Moscow: TSNIIP gradostroitel'stva, 1973, pp. 39-57.
12. Wilson A.G. A statistical theory of spatial distribution models, Transpn. Res., 1967, Vol. 1, pp. 253-270.
13. Buslaev A.P., Novikov A.V., Prikhod'ko V.M., Tatashev A.G., Yashina M.V. Veroyatnostnye i imitatsionnye podkhody k optimizatsii avtodorozhnogo dvizheniya [Probabilistic and simulation approaches to optimizing road traffic]. Moscow: Mir, 2003, 368 p.
14. Zyryanov V.V. Primenenie mikromodelirovaniya dlya prognozirovaniya razvitiya transportnoy infrastruktury i upravleniya dorozhnym dvizheniem [Application of micromodeling for forecasting the development of transport infrastructure and traffic management], Dorogi Rossii XXIveka [Roads of Russia of the XXI century], 2009, No. 3, pp. 37-40.
15. Kuzin M.V.Imitatsionnoe modelirovanie transportnykh potokov pri koordinirovannom rezhime upravleniya: dis. ... kand. tekhn. nauk [Simulation of traffic flows in a coordinated control mode: cand. of eng. sc. diss.]. Omsk, 2011, 143 p.
16. Newell G.F. Nonlinear effects in the dynamics of car - following, Oper. Res., 1961, Vol. 9, pp. 209-229.
17. Buslaev A.P., YAshina M.V., Tatashev A.G. O funktsiyakh sostoyaniya v modeli neodnorodnogo trafika [On state functions in the model of inhomogeneous traffic], Vestnik Moskovskogo avtomobil'no-dorozhnogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta (MADI) [Bulletin of the Moscow automobile and road state technical University (MADI)], 2017, No. 3 (50), pp. 45-51.
18. Buslaev A.P., Prikhodko V.M., Tatashev A.G., Yashina M.V. The deterministic-stochastic flow model // arXiv:physics/0504139 [physics.soc-ph], 2005, pp. 1-21.
19. Martynova I.V., Ershov N.M. Imitatsionnoe modelirovanie dorozhnogo trafika s pomoshch'yu setey Petri [Simulation of road traffic using Petri nets], VestnikMezhdunarodnogo universiteta prirody, obshchestva i cheloveka. Dubna [Bulletin of the International University of nature, society and man], 2016, No. 2, pp. 22-27.
20. Dotoli M., Fanti M. An urban traffic network model via coloured timed Petri nets, Control Engineering Practice, 2006, Vol. 14, Issue 10, pp. 1213-1229.
Статью рекомендовала к опубликованию д.т.н. Ю.А. Орлова.
Андреева Мария Владимировна - Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ); e-mail: point15@ro.ru; 125319, Москва, Кочновский проезд, 7; тел.: +79852626254; студент-магистрант.
Павловский Владимир Евгеньевич - ФИЦ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН; e-mail: vlpavl@mail.ru; 105215, Москва, 5-я Парковая ул., д. 64, корп. 4, кв. 259; тел.: +79161463987; д.ф.-м.н.; профессор; г.н.с.
Павловский Владимир Владимирович - Российский Экономический Университет им. Г.В. Плеханова; e-mail: vlpavl2000@mail.ru; 105215, Москва, 5-я Парковая ул., д. 64, корп. 4, кв. 249; тел.: +79165370664; старший преподаватель.
Andreeva Maria Vladimirovna - Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI); e-mail: point15@ro.ru; 7, Kochnovskiy Proyezd, Moscow, 125319, Russia; phone: +79852626254; graduate student.
Pavlovsky Vladimir Eugenevich - Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences (KIAM); e-mail: vlpavl@mail.ru; 105215, Moscow, 5 Parkovaya, 64-4-259; phone: +79161463987; dr. of phys. and math. sc.; professor; chief researcher.
Pavlovsky Vladimir Vladimirovich - Plekhanov Russian University of Economics; e-mail: vlpavl2000@mail.ru; 105215, Moscow, 5 Parkovaya, 64-4-249; phone: +79165370664; senior lecturer.
