Моделирование движения автотранспорта на основе КГД системы уравнений с использованием суперкомпьютеров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРАНСПОРТ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ АВТОТРАНСПОРТА НА ОСНОВЕ КГД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СУПЕРКОМПЬЮТЕРОВ

Соколов Павел Алексеевич,

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), Москва, Россия, user7824@gmail.com

Школина Ирина Викторовна,

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), Москва, Россия, ira.schkolina@yandex.ru

Трапезникова Марина Александровна,

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, mtrapez@yandex.ru

Чечина Антонина Александровна,

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, chechina.antonina@yandex.ru

Чурбанова Наталья Геннадьевна,

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, nataimamod@mail.ru

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10279

Ключевые слова: автотранспортный поток, макроскопическая модель, квазигазодинамическая система уравнений, явные конечно-разностные схемы, параллельные вычисления.

Работа посвящена актуальной проблеме математического моделирования потоков автомобильного транспорта на УДС больших городов и магистралях. Для описания потоков использована модель макроскопического типа, основанная на приближении сплошной среды, а именно, квазигазодинамическая (КГД) система уравнений, адаптированная к специфике транспортных задач. Основными объектами исследования являются поля средней скорости транспортных средств и плотности потока автотранспорта. Рассматривается одномерный вариант КГД-модели, допускающий эффективную реализацию на высокопроизводительных вычислительных системах с помощью логически простых численных методов. Во многих случаях для получения качественно верных результатов моделирования поведения автотранспорта на сложных элементах УДС одномерное описание может оказаться достаточным. В данной работе КГД-модель впервые дополнена источниковыми членами, отвечающими за изменение числа полос магистрали, благодаря чему в рамках одномерного описания решены задачи о движение на дорогах с переменной полосностью. С целью верификации проведено сравнение полученных численных результатов с результатами использования модели Лайтхилла-Уизема-Ричардса, а также с другими результатами, представленными в литературе. Исследована динамика плотности в случае разреженного и достаточно плотного потока автомобилей. Также представлены результаты моделирования прохождения регулируемых и нерегулируемых Т-образных перекрестков. Расчеты проводились в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН на суперкомпьютере МВС-Экс-пресс, имеющем архитектуру с распределенной памятью, получено высокое ускорение вычислений. В дальнейшем уравнения КГД-модели будут дополнены функциями, описывающими влияние въездов/съездов на динамику транспортного потока, что позволит моделировать движение на транспортных развязках, предполагающих минимизацию пересечений с целью повышения пропускной способности дорог.

Информация об авторах:

Соколов Павел Алексеевич, студент магистратуры, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), Москва, Россия

Школина Ирина Викторовна, студентка магистратуры, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), Москва, Россия

Трапезникова Марина Александровна, старший научный сотрудник, к.ф.-м.н., Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия

Чечина Антонина Александровна, младший научный сотрудник, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия Чурбанова Наталья Геннадьевна, старший научный сотрудник, к.ф.-м.н., Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия

Для цитирования:

Соколов П.А., Школина И.В., Трапезникова М.А., Чечина А.А., Чурбанова Н.Г. Моделирование движения автотранспорта на основе КГД системы уравнений с использованием суперкомпьютеров // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №6. С. 46-52.

For citation:

Sokolov P.A., Shkolina I.V., Trapeznikova M.A., Chechina A.A., Churbanova N.G. (2019). Traffic simulation on the basis of the QGD system of equations using supercomputers. T-Comm, vol. 13, no.6, pр. 46-52. (in Russian)

Введение

В настоящее время, несмотря на большое количество работ, посвященных транспортному моделированию, остается актуальной необходимос ть создания моделей, адекватно, как в качественном, гак и в количественном смысле, отражающих реальные дорожные ситуации, в том числе возникающие на сложных развязках при плотных потоках транспорта. С другой стороны, желательно, чтобы эти модели были достаточно просты при численной реализации и могли быть эффективно использованы для расчетов на высокопроизводительных вычислительных комплексах.

Для описания основных закономерностей плотного транспортного потока удобно использовать макроскопические модели [1], основанные на приближении сплошной среды. В отличие от микроскопических моделей [2, 3], основными объектами исследования в таких моделях являются поля средней скорости транспортных средств и плотности потока автотранспорта, то есть количества автомобилей на единицу длины одной полосы дороги. В работах [2, 4] была предложена модель макроскопического типа, основанная на к ваз к газодинамической (КГД) системе уравнений, предназначенной для описания широкого класса течений сжимаемого газа, в том числе при малых числах Маха [5]. Модель включала в себя понятие переменной боковой скорости как скорости перестроения автомобиля из полосы в полосу, то есть состояла из двумерных уравнений в частных производных, что позволяло исследовать движение но трассе сложной геометрии, не вводя дополнительные члены с источниками в правых частях уравнений для описания сужений или расширений дороги. Однако, при моделировании потоков транспорта на сложных развязках, а особенно при численной реализации, такое описание может вносить дополнительные сложности. При этом во многих ситуациях для исследования особенностей поведения автотранспорта на сложных регулируемых и нерегулируемых перекрестках, развязках различных видов и т.д. может оказаться достаточным одномерное описание. Это позволит избежать излишних вычислительных затрат, но тем не менее получать, по крайней мере качественно, верные результаты.

В данной работе рассматривается одномерный аналог КГД-модели транспортных потоков, позволяющий описывать движение по магистрали с учетом изменения ее полос-ности, а также прохождение регулируемых перекрестков с учетом различных светофорных режимов. Модель реализована численно с помощью явных конечно-разностных схем и адаптирована к многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью.

1. Квазн газодинамическая модель транспортных потоков и ее численная реализация

В одномерном случае КГД-система уравнений для описания автотранспортных потоков выглядит следующим образом:

др 1 дру _д_г8(рУ2+Р) дх2

дг дх

dpV + дрУ3

dt дх

дх

= /-gradF +

-+Fp.

(1)

д тд(рУ3+РУ)

8x2

дх

Здесь р =

авто

км * полоса

— плотность потока, у =

км

час

- скорость автотранспорта.

Это модель второго порядка [1], включающая два уравнения — для определения плотности (1) и скорости (2), представленные в форме законов сохранения.

В уравнениях использованы перечисленные ниже дополнительные функции, относящиеся именно к специфике транспортных задач.

а о1'

Аналог давления: Р(р \ = —-— Феноменологические

Р

2

константы а =60 —5—* Р — 2 взяты из работ других авто-Ч'

ров.

У (р)-У

Сила: / =ар, где ускорение а-—-■

Т

Здесь Уа/(р) - равновесная скорость, имеющая смысл

оптимальной при данных условиях скорости. Она является функцией, зависящей только от плотности, и определяется' из фундаментальной диаграммы. В данной работе используется параболический вид фундаментальной диаграммы (см. рис. 1):

QJP) = PK

]--

tarn у

(3)

"О 20 40 60 80 1 00 120 Density (wlVKm/lane)

Рис. 1. Параболическая фундаментальная диаграмма

Учитывая, что Q^ - рУ' , получаем зависимость равновесной скорости от плотности:

veq{p) = v«{\—£--)>

P/am

Здесь VQ - скорость свободного движения, в расчетах использовано значение = ] 44 км / час„

/^М=120а&го/(км-полоса) - плотность затора, при которой автомобили стоят в пробке и не двигаются.

Параметр Т имеет смысл времени релаксации, а именно, адаптации скорости к равновесной скорости, и тоже зависит

+ Fv - (2) от плотности: Т{р) - /„(1 + -

то

Рш ~>-р

-), где /0 = 50с и.

г = 0,95 — параметры данной модели.

ТРАНСПОРТ

Функции источников г и Ру, стоящие в правых частях

уравнений (1) и (2), равны нулю, если дорога однородна, то есть количество полое на ней не меняется. Если есть изменение полосноети, то по аналогии с [11 вводится понятие действительной (не целочисленной) функции количества полос I, которая не меняется скачком, а является, например, кусочно-линейной или может иметь более сложный вид. Если происходит, например, изменение числа полос с трех до двух, то вклад каждой из двух продолжающихся полое а функцию 1 равен единице, а вклад закрывающейся полосы на некотором расстоянии (соответствующем расстоянию, на котором автомобили начинают перестраиваться с закрывающейся полосы в соседнюю) изменяется с единицы до нуля. Таким образом, в соответствии с []], функции источников имеют вид:

рУЫ 1 аг

ру2 а/

(4)

(5)

о =

час•полоса следующий вид:

дх2вх

Тогда уравнения (1)-(2) примут

др + дд

дг дх

Р

до д —+—

8( дх

^Р )

Ап д г д (о3 м

Вх 2 дх. р

(6)

(7)

рГ Р" ^рПи-^рПи _

&! 2И

_ т(ру1+р)1]-2{ру:+ру;+(ру2+ру;_

2 /г

,(8)

1 + Г "

г 2Н

т^+ти +щ -н/=и

<9)

I йх

В некоторых задачах бывает целесообразным наряду с плотностью считать искомой переменной не скорость, а по-авто

а источники в правых частях вместо (4) и (5) будут выглядеть следующим образом:

В правые части уравнений неразрывности (1) и (6), как и в правые части уравнений сохранения импульса (2) и (7), вводятся дополнительные потоки, обеспечивающие сглаживание решения на некотором характерном расстоянии {2, 4], Малый параметр т интерпретируется как характерное время, в качест ве которого в задачах о транспортных потоках можно взять временной интервал, за который данную точку дороги пересекут несколько автомобилей. Минимальные характерные масштабы вводятся для того, чтобы удовлетворить приближению сплошной среды.

Для численного решения системы уравнений 0)-(2) используется явный конечно-разностный метод. Для аппроксимации конвективных членов применяются центральные разности [б]:

2/7 2 Я

где At и И - шаги расчетной сетки по времени и пространству соответственно. Устойчивость схем (8), (9) обеспечивается наличием диффузионных членов.

2. Верификация с помощью тестовой задачи об аварии

Для верификации приведенной выше модели использовались тестовые задачи. Первая задача - это задача о временном закрытии полосы. Рассматривается транспортный поток на участке двухполоенон магистрали между заданными точками, длина рассматриваемого участка - 20 км. Через 5 минут после начала движения на первой полосе в точке 10 км происходит авария, вследствие чего участок в 2 км этой полосы перекрывают на 15 минут. Число полос в данном случае задается функцией, изображенной на рис. 2. В рассматриваемый промежуток времени объем трафика (входной поток в точке х =0) постоянный. После ликвидации аварии возобновляется движение по обеим полосам.

Зг

2.5

! 2

!

I 1.5

»

I

I 1

0.5

10 15

ОИапсе (кт)

20

Рне. 2, Функция 1(х) в задаче об аварии

Для сравнения, помимо КГД-модели, использовались результаты расчетов по известной макроскопической модели первого порядка - модели Лайтхилла-Уизсма-Ричардса (модель Ьи'!?.) все простейшей форме [7]:

= £?(*,0 = &(Р(х,0) - параболиче-

81 дх

екая фундаментальная диаграмма (3). Источник в правой части, описывающий изменение числа полос:

а(р)м

I ах

Для численной реализации модели Ь^Л^К применялся двухшагйвьгй метод Мак-Кормака, дополненный диффузионным членом [1].

Результаты расчетов по обеим моделям для разреженного в начальный момент времени потока с плотностью р{х,0) = 30авто /(км ■ полоса) лредставлевы на рис, 3 и 4

в виде пространственно-временных диаграмм плотности. На диаграммах здесь и далее красный цвет обозначает максимум величины, а синий - минимум. В результате перекры-

-е

ТРАНСПОРТ

При плотном движении наблюдается другая динамика: уплотнение распространяется вверх по потоку (против направления движения) и выходит за область расширения дороги, влияя в основном па поток до расширения (см. рис. 7). Наличие расширения прп достаточно плотном потоке приводит к формирований затора и ухудшений ситуации по сравнению с дорогой без расширения. Результаты расчетов согласуются с результатами) полученными по другим моделям и представленными в литературе [2].

4. Параллельная реализация КТД-модели

транспортных потоков

Поскольку численная реализация КГД-модсли основана на явных вычислительных алгоритмах, ее параллельная реализация может быть выполнена с высокой эффективностью. Алгоритм распараллеливания ориентирован на использование распределенной памяти.

Для взаимодействия параллельных процессов s программе используется технология MPI - Message Passing Interface (интерфейс передачи сообщений). Эта технология предназначена для передачи информации между несколькими процессами, выполняющими одну задачу. Основным механизмом MPI является передача и приём сообщений. В сообщении содержится информация и признак, обозначающий тип сообщения для осуществления выборочного приёма.

Распараллеливание основано на принципе геометрического параллелизма. Для расчетов транспортных потоков естественно использовать разбиение расчетной Области, а именно дорожной сети, на подобласти, каждая из которых представляет собой один отрезок сети, соединяющий два соседних сетевых узла, то есть перекрестка. В узлах сети происходит обработка и обмен данными между соседними отрезками. Разбиение проводят таким образом, что у двух соседних участков две расчетные точки являются общими для правильной реализации граничных условий в приграничных точках подобластей. Таким образом, каждый участок дорог? просчитывается на отдельном процессоре, передавая и синхронизируя данные с помощью функций MPI SenU (для отправки данных), MPIJRecv (для получения данных) и MPI Barrier (для синхронизации вычислений). Для эффективной работы необходимо, чтобы количество расчетных участков было меньше либо равно количеству доступных процессоров вычислительной системы.

Дальнейшие расчеты производились в ИПМ им. М,В. Келдыша РАН на суперкомпьютере МВС-Экспресс, имеющем архитектуру е распределенной памятью [S].

5. Задача о движении на нерегулируемом

и регулируемом перекрестках

Задача о движении на перекрестке формулировалась для условного перекрестка, состоящего из двух входящих и одного выходящего участков дороги (см. рис. 8).

Все расчетные участки идентичны, имеют одинаковую длину, одинаковое количество расчетных точек. Целью расчетов является проверка адекватности моделирования прохождения потока через сетевой узел.

В случае нерегулируемого перекрестка на границе между въезжающими и выезжающим потоками граничные условия задавались следующим образом. Плотность на границе выезжающею потока равнялась сумме плотностей въезжающих потоков:

*f)=X рщ (%»*)• 1=1

Для скоростей использовалась формула "с весами":

\/ t*. Л Iг ! л РшЛХС'Ч Уш\ха>*) = ¿jЩУы\*а>*Ь = / л "

Рпш \XG'r)

Результаты расчетов представлены на рис. 9 (а, б), где показаны первоначальные профили плотностей на всех грех участках, а также профили, полученные на два последовательных момента времени. Автомобильный поток в расчетах направлен слева направо.

-е

0 20 #0 60 во 100 120 МО 160 180 2 ПО а) Начальные профили плотности на двух въездных ti одной выездной дороге

Рис. 8. Расчетная область задачи о движении на перекрестке

О 20 40 60 30 100 120 140 160 150 200

6) Профили плотности на два последовательных помета времени Рис. 9. Результаты расчетов задачи о нерегулируемом перекрестке

50

IP

На рисунках видно, что выходящий поток меняется в соответствии с величиной входящих потоков (его плотность равна сумме плотностей входящих потоков).

Задача о регулируемом перекрестке отличается тем, что в узле ставится светофор, который попеременно пропускает через перекресток то один, то другой въездной поток. При этом для того потока, для которого горит зеленый свет, на границе с выездным потоком ставятся условия согласования - происходит простой обмен граничными значениями плотностей и скоростей. Для потока, для которого горит красный свет, граничные условия меняются следующим образом.

Для въездного потока на правой границе:

с-а.

Для выездного потока на левой границе:

РГ=Р;Щ(РП;> (рпт кг

Результаты расчетов задачи о регулируемом перекрестке представлены на рис, 10 (а-в). Движение автомобилей, как и в предыдущих расчетах, происходит слева направо.

120 100 SC 60 40

го

Road 3 -

Road 1 * —^

Road 2

щ

- т

1

0 20' 40 60 во 100 120 140 160 190 200

а) Начальные профили плотности на въездах (слева) и выезде (справа)

120 100 во 60 40

го

120 100 во 60 до 20

(toatl 3 Road 1 Road 2

i i i Road 3 -

Road 1 -

/—X Road 2 -

/V :

/ X it

! г

О 20 40 60 во 100 120 140 160 180 200

В)

Рис. 10. Результаты расчетов задачи о регулируемом перекрестке

На рис. 10 (а) показаны начальные профили плотности на всех трех дорогах. Рисунок 10(6) демонстрирует профили плотности на момент времени, когда красный свет светофора горит для дороги 1 и на ней справа, перед светофором, образуется волна уплотнения, которая движется в направлении, обратном движению автомобилей. На дороге 2 поток автомобилей свободно перетекает на дорогу 3 при зеленом сигнале светофора.

На рис. 10 (в) показана противоположная ситуация: красный сигнал горит для дороги 2 и теперь на ней образуется скачок плотности перед светофором, а на дороге 1 (для нее горит зеленый свет) уплотнение постепенно исчезает, не переставая при этом двигаться назад. Видно хорошее согласование значений плотности на границе между первой и третьей дорогами. Наконец, следует отметить, что расчеты показали высокую эффективность распараллеливания. Выло получено ускорение практически в три раза на трех процессорах при разбиении расчетной области на три подобласти.

Заключение

Проведенные расчеты на простых тестовых задачах продемонстрировали адекватность макроскопической КГД-модели второго порядка. Несмотря на простоту, тесты имеют прямое отношение к расчетам на дорожных сетях. Следовательно, при переходе к более сложной структуре улич-но-дорожной сети можно ожидать высокой эффективности при параллельной реализации. В Дальнейших исследованиях уравнения КГД-модели будут дополнены функциями, описывающими влияние въездов/съездов на динамику транспортного потока, что позволит моделировать движение на транспортных развязках, предполагающих минимизацию пересечений потоков с целью повышения пропускной способности дорог.

Литература

1. Treiber М. Resting A. Traffic Flow Dynamics. Data, Models and Simulation. Springer, Berlin-Heidelberg, 2013, 503 p.

2. Трапезникова M.A., Чечина A.A.. Чурбанова Н.Г., Поляков Д.Б. Математическое моделирование потоков автотранспорта на основе макро- и микроскопических подходов // Вестник АГТУ Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014, № 1. С. 130-139.

3. Buslaev А.P., Tatashev A.G.. Yashina М V. On cellular automata, traffic and dynamical systems in graphs // International Journal о Г Engineering & Technology. 2018. V. 7. No. 2.28, pp. 351-356.

4. Суханова А.Б.. Трапезникова M.A., Четверушкин Б.11.. Чурбанова Н.Г. Двумерная макроскопическая модель фане портных потоков // Математическое Моделирование. 2009. Т. 21. № 2. С. 118-126.

5. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004. 332 с.

6. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616с.

7. Lighihill М.Н.. Whtlham G.B. On kinematic waves: A theoty оГ traffic How on long crowded roads // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, physical and engineering sciences. 1955. V. 229, No. 1178, pp. 317-345.

8. Официальный сайт ИПМ им, М,В. Келдыша РАН, Гибридный вычислительный комплекс М ВС-Экспресс [Электронный ресурс] // URL: http://www.kiam.ru/MVS/resourses/mvse.html (дата обращения: 26.02.2019).

ТРАНСПОРТ

TRAFFIC SIMULATION ON THE BASIS OF THE QGD SYSTEM OF EQUATIONS USING SUPERCOMPUTERS

Pavel A. Sokolov, Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), Moscow, Russia, user7824@gmail.com Irina V. Shkolina, Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), Moscow, Russia, ira.schkolina@yandex.ru Marina A. Trapeznikova, Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS, Moscow, Russia, mtrapez@yandex.ru Antonina A. Chechina, Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS, Moscow, Russia, chechina.antonina@yandex.ru Natalia G. Churbanova, Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS, Moscow, Russia, nataimamod@mail.ru

Abstract

The work is devoted to the relevant problem of mathematical modeling of vehicular traffic flows on road networks of large cities and on highways. To describe the flows, a macroscopic model based on the continuous medium approximation is used. The quasi-gas-dynamic (QGD) system of equations is adapted to the specifics of traffic problems. Main objects of the study are fields of the average vehicle speed and the density of vehicle flow. A one-dimensional version of the QGD model, that allows efficient implementation on high-performance computing systems using logically simple numerical methods, is considered. In many cases, a one-dimensional description may be sufficient to obtain qualitatively correct results of simulation of vehicles' behavior on complex elements of road networks. In this paper, the QGD model was first supplemented by source terms that represented changes in the number of lanes, due to which traffic on roads with the variable lane number was predicted within the framework of a one-dimensional description. For the purpose of verification, the obtained numerical results are compared with results given by the Lighthill-Whitham-Richards model and with other results presented in the literature. The density dynamics was studied in the case of rarefied as well as fairly dense flow of vehicles. The results of modeling of the passage of regulated and unregulated T-shaped intersections are also presented. The calculations are carried out in KIAM at the MVS-Express supercomputer, which has a distributed memory architecture; a high speed-up of computations has been achieved. In the future, the QGD model equations will be supplemented with functions describing the influence of entrances/exits on the dynamics of traffic flow. Consequently it will be possible to simulate traffic at road junctions that imply minimization of intersections in order to increase the traffic capacity of roads.

Keywords: Traffic flow, macroscopic model, quasigasdynamic system of equations, explicit difference schemes, parallel computing..

References

1. Treiber, M. and Kesting, A. (2013), Traffic Flow Dynamics. Data, Models and Simulation, Springer, Berlin-Heidelberg.

2. Trapeznikova, M.A., Chechina, A.A., Churbanova, N.G. and Polyakov, D.B. (2014), "Mathematical simulation of traffic flows based on the macro- and microscopic approaches", Vestnik of Astrakhan state technical university, Series "Management, computer science and informatics", no. 1, pp. 130-139.

3. Buslaev, A.P., Tatashev, A.G. and Yashina, M.V. (2018), "On cellular automata, traffic and dynamical systems in graphs", International Journal of Engineering & Technology, vol. 7, no. 2.28, pp. 351-356.

4. Sukhinova, A.B., Trapeznikova, M.A., Chetverushkin, B.N. and Churbanova, N.G. (2009), "Two-Dimensional Macroscopic Model of Traffic Flows", Mathematical Models and Computer Simulation, vol. 1, no. 6, pp. 669-676.

5. Chetverushkin, B.N. (2004), Kineticheskie skhemy i kvazigazodinamicheskaya sistema uravnenij [Kinetic schemes and quasigasdynamic system of equations]. Moscow: MAKS Press.

6. Samarskij, A.A. (1983), Teoriya raznostnyh skhem [The theory of difference schemes]. Moscow: Nauka.

7. Lighthill, M.H. and Whitham, G.B. (1955), "On kinematic waves: A theory of traffic flow on long crowded roads", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, physical and engineering sciences, vol. 229, no. 1178, pp. 317-345.

8. The official site of Keldysh Institute of applied mathematics, "Hybrid computational cluster MVS-Express" available at: http://www.kiam.ru/MVS/resourses/mvse.html (Accessed 26 February 2019).

Information about authors:

Pavel A. Sokolov, master student, Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), Moscow, Russia Irina V. Shkolina, master studentMoscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), Moscow, Russia Marina A. Trapeznikova, Senior Researcher, Ph.D., Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS, Moscow, Russia Antonina A. Chechina, Junior Researcher, Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS, Moscow, Russia Natalia G. Churbanova, Senior Researcher, Ph.D., Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS, Moscow, Russia