Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2010, 3(2), 228-243

УДК 533; 517.92517.944

Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра

Даниил В. Паршин* Александр П. Чупахин^

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирский государственный университет, Лаврентьева 15, Новосибирск, 630090,

Россия

Получена 18.11.2009, окончательный вариант 25.02.2010, принята к печати 10.04.2010 Рассматривается трехмерное течение газа в рамках модели стационарного особого вихря с гравитацией. Используя методы группового анализа дифференциальных уравнений, можем свести изучение свойств решения к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения, заданного неявно. Изучены свойства решений этого уравнения, получено описание режимов течения в фазовом пространстве, доказано существование дозвукового и сверхзвукового режимов движения газа в физическом пространстве. Показано, что классификация типов решений и их качественное поведение аналогичны случаю вихря Овсянникова без гравитации (А.А. Черевко, А.П. Чупахин, 2005 г.).

Ключевые слова: вихрь Овсянникова; групповой анализ дифференциальных уравнений; дифференциальное уравнение, заданное неявно; пространство струй.

Многим физическим явлениям присуще свойство симметрии, заложенное в них законами природы. Описывающие такие явления математические модели обладают инвариантностью соответствующих дифференциальных уравнений. Важную роль в математической физике и механике континуума играют сферически-симметричные решения [1], что обусловлено исключительностью порождающей их группы вращений SO(3) [2, 3]. Однако такие решения далеко не исчерпывают всего списка симметрийных решений, соответствующего этой группе.

Частично инвариантные решения являются обобщением инвариантных, поскольку для них инвариантов меньше, чем всех искомых функций. Класс таких решений гораздо шире, нежели инвариантных. Применение теоретико-групповых методов для исследования гидродинамических моделей крайне важно, поскольку эти методы позволяют находить существенно новые решения, не описываемые другими подходами.

Новый класс точных решений, частично инвариантных относительно группы вращений, был открыт Л.В. Овсянниковым и описан в работе [4]. В 2004 г. на Всероссийской конференции Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение такой класс решений было предложено назвать по имени автора вихрем Овсянникова (ВО). Примеры ВО для различных моделей механики континуума, изученные за последние годы, показали нетривиальность его физического содержания. В данной работе представлен

* [email protected] [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

анализ одной из интересных и физически значимых инвариантных подмоделей — стационарного вихря Овсянникова с гравитацией.

Модели газа в гравитационном поле отличаются от классических наличием правой части в уравнении импульсов газодинамической модели[2, 3]: Пи, + р-1 Ур = д, где "и = ~и (Ь,х), ~р = ~р (Ь,х), ~р = ~р (Ь,х) — скорость, плотность и давление газа. Рассматривается подмодель газовой динамики, порожденная подалгеброй = {БО(3),д£), получившая название стационарного особого вихря (ОВ)[5] в том случае, когда внешнее поле тяжести

, _ ом_

выражается формулой д =--г.

Эта модель описывает, например, движение газа в поле массивного притягивающего центра массы М, создающего гравитационное поле О. Исследование показало возможность распространить результаты стационарного вихря Овсянникова без гравитации [5] на случай движения газа в гравитационном поле.

1. Постановка задачи о движении газа для

стационарного особого вихря. Ключевое уравнение

Стационарный ОВ является регулярным частично-инвариантным решением системы уравнений газовой динамики с рангом и дефектом, равными единице [4]. Он порождается алгеброй L4 = {SO(3), dt). Представление решения имеет вид

U = U(r), H = H(r), р = p(r),p = p(r), ш = ш(г, 9, ф). (1)

Здесь U — радиальная компонента вектора скорости, H — модуль касательной компоненты вектора скорости в сферических координатах, а функция ш определяет в касательной к сфере r = const плоскости отклонение вектора скорости 1 от меридиана. В [4] показано, что уравнение для отыскания угла ш интегрируется в конечном виде, если найдены инвариантные величины. Поэтому сосредоточимся на интегрировании инвариантной подсистемы. Рассматривается случай, когда газ политропный: p = р7, S — энтропия, y > 1 — показатель адиабаты. Инвариантная подсистема для данного решения принимает вид

' UU' + р-1р' = r-1H2 - r-2GM,

U (rH)' = 0, US' = 0,

kUhr = h2 + 1, k = r/H.

h = k (U(lnр)' + r-2(r2U)') ,

где штрих означает производную по r.

Из третьего уравнения (2) следует, что для решений, в которых U = 0, имеет место изэнтропическое течение газа: S = Sо = const. Интегрируя второе уравнение (2) в виде

H = ао/r, (3)

где ао = roHo > 0 — постоянная, получим: k = r2/ао.

Подставляя полученное выражение для k в четвертое уравнение (2), приходим к представлению для функции U через функции h, hr:

U = ао (4)

r2 hr

2 . , , (2)

r

Подставив (4) в последнее уравнение (2) и проинтегрировав его один раз, получим представление для р:

р = роК У1 + Н2, (5)

где ро > 0 — постоянная. Давление находится из уравнения состояния политропного газа р = ^ор7.

Задача изучения движений газа в случае стационарного особого вихря сводится к отысканию функций (1), определяемых системой (2) при заданных начальных условиях

го, «о, ро, $о.

Используя полученные представления (4), (5) инвариантных функций и и р, первое уравнение (2) можно проинтегрировать один раз и получить инвариантный интеграл Бер-нулли:

1 (т т2 «о Л с2 Ьо СМ

2 и2 + ^ + —- = ^ + (6)

2 \ г2 / 7 — 1 2 г

Скорость звука с для политропного газа определяется формулой

2 С 7-1 с°К|7 1 /_ч

с = р = (1 + ^)(7-1)/2 , (7)

где с2 = 7^орд 1. Интеграл Бернулли (6), переписанный в терминах функции Н согласно (3), (4) и (7), определяет ключевое уравнение для функции Н:

|Н,Р+1 + Й2—1М (1 — 2СМг — г2) (1 + Н2)('-1)/2Н° + (2—=0. (8)

2сг2 V «о а2 / 2сог4

Удобно сделать масштабное преобразование радиуса г = г* Д, где г° = а2 /|Ьо| (предполагаем 6о = 0). В переменных Д (8) примет вид

М7+1 — во°3(1 + Н2)(7-1)/2Н2д + Д (1 + Н°)(7+3)/° = 0, (9)

где во = (7 — 1)ао(т 2)/(27ро 1^о|6о|7-3), а Q определяется формулой

д = "од +Д2Д2 — 1, (10)

Д2

здесь а = ±1, а ^ = (2СМ)2/(«о|Ьо|). Нулевой гравитации отвечает случай, когда ^о = 0.

Таким образом, задача изучения движения газа для стационарного особого вихря сведена к отысканию решения ОДУ (9), заданного неявно, и исследованию свойств этого решения при заданных начальных данных. Необходимые сведения из теории неявных обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в [6].

Всюду далее будем полагать, что показатель адиабаты 7 = 3.

2. Свойства решения ключевого уравнения

2.1. Область существования решений и особые многообразия ключевого уравнения

В случае 7 = 3 уравнение (9) становится биквадратным относительно производной Нд и принимает вид

^ (Нд, Н, Д) = НД — во°д(1 + Н2)Н2д + Ц (1 + Н2)3 = 0. (11)

Уравнение (11) может быть явно разрешено относительно Нд:

Нд = €!А

Я + ^¡Я2 - вД(!+ Н2) в2(1 + Н2)-^-21-' £1 = ±1' £2 = ±1- (12)

Свойство 1. Все решения (11) являются строго монотонными функциями по К.

Доказательство. Доказательство следует из вида (11). Подстановка в (11) Нд = 0 приводит к противоречию. □

Из (12) следует, что в области существования решения неявное ДУ (11) не является однозначно разрешимым на плоскости М°(Д, Н). Поэтому естественно и удобно рассматривать уравнение (11) в пространстве 1-струй (по переменным К,Н,Нд). Представление решения (11) в виде (12) означает, что в пространстве 1-струй поверхность уравнения состоит из двух сегментов, расположенных симметрично относительно плоскости р = Нд = 0 (рис. 1, 2, для случая а = —1 показана часть поверхности, расположенная в области р > 0).

Рис. 1. Поверхность ключевого уравнения (11) (а = 1)

Свойство 2. Справедливы утверждения:

1. На плоскости М°(Д, Н) все интегральные кривые уравнения (11) расположены в области О, ограниченной кривой:

дО:(1 + Н2) = вОЯ4ОК4. (13)

Кривая дО является дискриминантной кривой(ДК) уравнения (11). Она замкнута для случая а = —1 и не замкнута для случая а = 1. Все интегральные кривые уравнения (11) расположены правее прямой К = К, где К определяется как решение

и

30

р

20

Рис. 2. Поверхность ключевого уравнения (а = — 1 ,р > 0) относительно К алгебраического уравнения

в02д4д2 = 4.

2. Каждая точка дискриминантной кривой, не являющаяся нерегулярной особой точкой, является точкой ветвления или точкой остановки для интегральных кривых уравнения (11). В этих точках интегральные кривые имеют общую касательную, не параллельную оси Ок. В точках ветвления и остановки вторая производная кдд функции к обращается в бесконечность.

3. Для области существования решения (11) справедливы следующие ограничения:

Знак а Интервал для мо Интервал для К

а = 1 Мо > 0 —м2 + ^м4 + 4(1 + Х2) К> 2

а = —1 Мо 2^(1+ Х2) К е м2 — л/м4 — 4(1 + х2) м2 + л/м4 — 4(1 + х2) 2 ' 2

где х =лДЩ.

Доказательство. По определению дискриминантная кривая для уравнения (11) задается решением системы уравнений: Г(р, Н, К) = 0, Гр(р, Н, К) = 0. Исключая из этих двух уравнений кд, получим, что (13) является решением этой системы и поэтому служит дискриминантной кривой для (11).

Заметим, что в данном случае выражение, задающее дискриминантную кривую, совпадает с дискриминантом биквадратного уравнения (11). Тем самым первая часть свойства доказана. Пункты, касающиеся точек ветвления и остановки на ДК, — следствия свойств ИК и теоремы Чибрарио.

Для доказательства третьего пункта заметим, что (11) разрешимо относительно Ни тогда и только тогда, когда функция Q > 0. Отсюда вытекают ограничения на область допустимых значений для Д, а в случае а = — 1 границы допустимых значений для Д вещественны, только когда параметр ро находится в определенном интервале. □

Свойство 3. Интегральные кривые ключевого уравнения (11) в каждой внутренней точке (До, Но) области О образуют пучок из четырех кривых, расположенных попарно относительно кривой Н = Но. Верхней паре кривых соответствуют монотонно растущие решения (11), нижней — монотонно убывающие.

Доказательство. Верхняя и нижняя пары кривых задаются формулами

в02(1 + Н2)

Q + ео^О2-+ ^

,£2

1,

Ни = -

в0(1 + Н2)

О + е^ О2 — ф (1 + Н2)

2

,£2 = ±1

соответственно. Из каждой регулярной точки границы дО исходят две интегральные кривые, для которых справедлива теорема Чибрарио. Нижняя пара кривых симметрична верхней. Внутри области О, ограниченной кривой (13), уравнение (11) не имеет особых точек и интегральные кривые монотонны (О > 0 всюду внутри О) (рис. 3, 4). □

Рис. 3. Дискриминантная кривая и интегральные кривые уравнения (11) на плоскости

1,Н) (а = 1)

Н

и

2

и

В силу доказанного утверждения уравнение (11) не имеет особых точек внутри области определения решения, поэтому необходимо исследовать область существования решения на наличие "кривой перегибов" , а границу области определения (дискриминантную кривую) — на наличие нерегулярных особых точек. Знание этих многообразий помогает определить качественный характер поведения ИК на поверхности ключевого уравнения.

Рис. 4. Дискриминантная кривая (11) на плоскости М2(Д, Л) (а = -1)

2.2. Кривая перегибов интегральных кривых

Изучим точки перегибов на дискриминантной кривой дП.

Свойство 4. Кривая перегибов для решения уравнения (11) в области М2(Д, Л)|дП < 0 задается системой уравнений

Д = 0, С = Дд + рД^ = 0. (14)

Доказательство. Действительно, дифференцируя по Д уравнение (11), получим С + РдДр = 0. Поскольку точки, в которых Лдд = рд = 0, являются точками перегиба интегральных кривых (11), то система (14) будет определять кривую перегибов. □ Система (14) — алгебраическая система относительно переменной р. Условием ее разрешимости будет обращение в нуль результанта по р многочленов Д и С:

Девр(Д, С) = (1 +Д7Р(Д, Л) = 0.

Здесь

Р(Д, Л) = 256(1 + Л2)3 + 16(1 + Л2)2 (81 Л4 + 2(-2 + м2Д)(2 - З^^Д + 4Д2а)+ +12Л2(1 - 4^2 - 7Д2а)) в2 - (1 + Л2) (576Л4(Д2а + ^Д - 1)--(-2 + ^Д)2(-2 + З^Д + 4Д2а)2 - 4Л2 (83^0Д3 + ^Д2(-191 + 307Д2а)+ (15)

+4^Д(34 - 123Д2а + 92Д4) + 4(-7 + 47Д2а - 76Д4 + 36Д6а))) в4+ +4Л2(-1 + М2Д + Д2а)3 (16Л2(-1 + М2Д + Д2а) - (-2 + З^Д + 4Д2а)2) в6.

2.3. Кривая нерегулярных особых точек

Найдем нерегулярные особые точки на дискриминантной кривой. Для этого найдем кривую, на которой в плоскости М2(Д, Л) лежат все такие точки при любом значении пара-

метра во- Нерегулярные особые точки (НОТ) для (11) возникают там, где криминанта касается контактной плоскости, следовательно, такие точки определяются соотношениями Д = 0, Др = 0, О = 0.

Таким образом, при любом значении параметра во нерегулярными особыми точками уравнения (11) являются точки пересечения дискриминантной кривой дО и кривой перегибов Р = 0. Исключая во из системы Р = 0, $ = 0 с помощью результанта этих многочленов по во, получим:

(а = -1)

Евзво (Р,Б) = ¿(1 + ^2)6(-1+ М0 Д + аД2)4(Д2(М2 + 2аД)2 - 2^2(-1 + М2Д + аД2)). (16) 16

Свойство 5. При любом значении параметра во на дискриминантной кривой ВО существует одна неправильная особая точка для случая а = 1 и две для случая а = -1. Координаты этих точек определяются из уравнения Д2(^2 + 2аД)2 — 2Н2( —1 + ^оД + Д2) = 0.

Доказательство. Искомое уравнение получается приравниванием к нулю последнего множителя в (16). В случае а = —1 интегральная кривая на поверхности уравнения как бы наматывается вокруг нерегулярных особых точек (рис. 5) [7]. □

2.4. Поведение решения ключевого уравнения на дискриминантной кривой

Изучая поведение решения уравнения (11) на границе области О, мы можем установить асимптотику решения при больших И.

Свойство 6. Все интегральные кривые уравнения (11) начинаются на дискриминантной кривой.

Доказательство. Для а = —1 это следует из того, что в этом случае область О является замкнутой, а решения в ней монотонны. Рассмотрим случай, когда а =1. Пусть интегральная кривая проходит через некоторую точку (До, Но). В силу того, что внутренность О не содержит особых точек, а решение (11) всюду в этой области монотонно, следует, что для всякой точки (До, Но) области существования решения его можно продолжить на область, ограниченную дО и вертикальной прямой, проходящей через точку (До, Но). В этой области решение так же монотонно и необходимо выйдет на ДК.

Чтобы определить, выходят ли ИК на границу дО области О, необходимо сравнить производную решения и производную функции Н = Н(Д), задающей ИК на ДК. В силу формул (12) и (13), получаем для производной решения на ДК:

hR = во4 ^ - (17)

Выражение для "производной ДК" получается путем дифференцирования (13) по Д:

hn = в0—, ., = • (18)

□

Свойство 7. Существуют интегральные кривые, заканчивающиеся на ДК.

Доказательство. Для а = —1 это, как и в предыдущем свойстве, является немедленным следствием замкнутости области и монотонностью решения внутри П. Для случая а = 1 необходимо вычислить главный член отношения правой части уравнения (17) к квадрату правой части уравнения (18) при Д ^ Ввиду того, что искомое отношение имеет

асимптотику Д3/Д*, где Д* = const, следует требуемое утверждение для верхней пары кривых. Для нижней пары кривых доказательство проводится аналогично. □

3. Поведение интегральных кривых на бесконечности 3.1. Динамическая система

Без ограничения общности будем рассматривать случай, когда hn > 0 (в силу симметрии) и а = 1 (для случая а = —1 область существования решения ограничена). Представим уравнение (12) в виде динамической системы:

Ы' =

в0(1 + ы2) (^R + Д2 - 1) - У (m0R + Д2 -1)2 - в2(! + Ы2)], (19)

Д' = ^2Д.

Здесь штрих обозначает производную по некоторому параметру т. Введем проективные координаты z = 1/Ä, u = h/Ä, и модификацию параметра т ^ %/2т. В результате проведенных преобразований получим систему

г А/2

и' = l(z2 + u2) ^Q - eyV - a(z4 + z2u2)^ - u, z' = -z, (20)

поведение решения которой в нуле эквивалентно поведению решения ключевого уравнения на бесконечности. Здесь а2 = 4/в2, <3 = Мо^ + 1 —

3.2. Случай е =1

Обозначим V(ж, у) = (м2ж + 1 — ж2) — у/(м2ж + 1 — ж2)2 — а(ж4 + у2ж2). Исследуем поведение этой функции в окрестности точки (0,0), раскладывая ее в ряд Тейлора по переменным

V(х,у)= (V2 + ^ — 2) + ^^ — 1) — ж3 + ОУ^2+

+ ( 1 + а 4 , ( —1 + м0/2)(—2 + мО) м0(—2 + М4) +

Ч— 2+2 — Мо + 4 4 +

+ М2 (— — ^М2) + ) ж4 + О(Х,у3).

Так как первое уравнение системы (20) можно записать в виде

во

\J(z2 + u2)V(z, u) — u,

za/2

то в окрестности точки (0,0) сама система (20) эквивалентна следующей:

u' = U(z, u) = —°=\/(z2 + u2)(u2 + «iz + «2z2) — u

во

/— у I ^ JI ^i^ i ^2"-' /

V2 (21)

' = Z (z, u) = —z

где «1,«2— некоторые константы. Эта система имеет две неподвижные точки: (z = 0,u =

0), (z = 0,u = 1).

Свойство 8. Динамическая система (21) имеет в точке (0, 0) притягивающий дикрити-ческий узел и в точке (0, 1) седло.

Доказательство. Для точки (0,0) характеристическое уравнение имеет вид (Zz (0,0) — A)(Uu(0, 0) — Л) = ( — 1 — А)( — 1 — Л) = 0. Таким образом, оба корня линеаризации равны —1. Для точки (0,1) имеем (Zz(0,1) — A)(Uu(0,1) — А) = ( — 1 — А)(1 — А) = 0.

Следовательно, корни линеаризации имеют противоположные знаки. □

Картина поведения интегральных кривых в окрестности точек (0,0), (0,1) показана на рис 6. Интегральные кривые, лежащие слева от сепаратрисы седла, "уходят на бесконечность" , т. е. не оканчиваются на ДК. Для них асимптотика поведения h такова: h = u/z ^ cl = const, где cl — число, свое для каждой интегральной кривой, входящей в узел. Поскольку h_R = \J(z2 + u2)(u2 + «iz + «2z2 + W(u, z), то в окрестности узла

hR ~ 1/й3/2.

Для седла (z, u) = (0,1) единственной траекторией, приходящей на ось Ou, является сепаратриса. Для этой траектории h ~ Д, h_R ~ 1.

3.3. Интегральные кривые, лежащие справа от сепаратрисы седла

Рассмотрим интегральные кривые, лежащие правее сепаратрисы седла. Такие кривые не пересекают ось Ои, поскольку кроме описанных особых точек других на этой оси для системы (21) нет. Поэтому на исходной плоскости М2(Д, Л) интегральные кривые, лежащие справа от сепаратрисы, имеют более чем линейный порядок роста. Для них возможны два взаимоисключающих варианта:

i 1 i 1 ! i i

V \

l

1 t !

i

l i l l

ii/ / /. / / /

j

, / / .

i \ \ i t. / / / /

/ /

i i

/ /

{

u

Рис. 6. Поле направлений системы (19)

1. ИК выходит на ДК и пересекается с ней при некотором конечном значении Д.

2. Вдоль этой интегральной кривой h ^ при Д ^

Предположим, что верно второе утверждение. Введем проективные координаты: q = Д/h, w =l/h.

В новых переменных (q, w) уравнение дискриминантной кривой (13) примет вид (а — 1)w4 — ^,°(wq(q2 — w2) + ^,°q2w2) + 2w2q2 + aw2 — q4 = 0, где а = 4/в°. В силу предположения ИК должны входить в точку (0, 0) на плоскости R2(q, w). Дискриминантная кривая также проходит через точку (0, 0), что затрудняет исследование ИК, проходящих через начало координат. Для разрешения этой особенности воспользуемся заменой: v = w/q2.

В переменных (v, q) последнее уравнение примет вид (а — 1)v4q4 + 2v2q2 + av2 — 1 — M2vq(1 — v2q2 + M0vq) = 0.

Дискриминантная кривая пересекает ось Ov в точке во/2. Интегральные кривые, стремившиеся на плоскости R2(q, w) к точке (0, 0), должны приходить на отрезок [0, во/2] оси Ov. Исходные переменные (Д, h) связаны с текущими (q, v) формулами:

q = Д/h, Д = 1/(qv), v = h/Д2, h = 1/(q2v). (22)

Запишем систему (21) в переменных (q, v) и произведем замену параметра дифференциро-

d q d

вания с сохранением обозначений: —— = —.

dri А/2 dr

Эта замена является монотонной и сохраняет направление роста "времени" , а следовательно, и характер поведения ИК. После упрощения система примет вид

q' = q(q — (во/v2)Syv), v ' = v(—2q + (^/v^S/v), (23)

где S = ((1 + q4v2) ((M2qv + 1 + q2v2) — v^qv + 1 + q2v2)2 — av2(q4v2 + 1))) 1/2. Утверждение 1. Точка (q,v)=(0,0) является седлом системы (23).

Доказательство. Обозначим х2 = 92, у2 = V2. Введем функцию

К(х, у) = (1 - х2у2 + ^жу) - У(1 - х2у2 + Можу)2 - ау2(х4у2 + 1). Разложение функции К в окрестности оси Ох имеет вид

К(х, у) = а (у2 + у2^(х, у)) , Ь(х, у) ^ 0|у ^ 0, для любого х.

Используя полученное представление на оси Ох для функции К, перепишем систему (23) в окрестности точки (0, 0):

9' = 9(9 - М(92У)), V ' = «(-29 + М(9°У)), (24)

где М(92,«2) = -у/(1 + 94«2)(1 + Ь(92,«2)). Поскольку в точке (0, 0) плоскости М2(9, V), Ь(0, 0) =0 и М(0,0) = 1, то линеаризация (24) будет иметь вид

9' = -9, V' = V. (25)

Собственные значения для этой системы равны Лх = 1, Л2 = -1, т.е. точка (0, 0) является седлом. □

Рассмотрим систему (24) на интервале (0, во/2] оси ©V:

9' = 0, V' = (во/^2^1 - ^ 1 - (4/в027 . (26)

Таким образом, интервал (0, во/2] оси ©V является интегральной кривой системы (23) вплоть до дискриминантной кривой. Отсюда следует, что в области 9 > 0, т > 0 не существует интегральных кривых системы (23), стремящихся к точкам данного интервала. А это, в свою очередь, означает, что наше предположение о том, что для ИК, расположенных справа от сепаратрисы, Н ^ при Д ^ неверно. Это означает, что все ИК, расположенные справа от сепаратрисы, возвращаются на дО при конечном значении Д.

3.4. Случай е = -1

Рассмотрим систему (20) в случае, когда е = -1:

«' = + «2)(<3 + ^/О2- а^4 + -г2«2)) - «г, г' = -г2. (27)

Выделяем под корнем первого уравнения системы функцию

V(х, у) = +1 - х2) + ^+ 1 - х2)2 - а(х4 + х2у2),

разложение которой в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) дает: V(0,«2) = 2. Следовательно, локально на оси О« система (27) записывается в следующем виде: «' = во|«|.

Таким образом, для системы (27) ось О« состоит из интегральных кривых, а точка (0,0) является сложной особой точкой, притягивающей при « < 0 и отталкивающей при « > 0. Выясним, существуют ли интегральные кривые (27), которые входят в точку (г,«) = (0, 0), но не лежат на оси О«. При этом возможны два варианта: интегральные кривые могут стремиться к этой точке, либо касаясь, либо не касаясь оси О«.

Утверждение 2. Интегральные кривые системы (27) могут стремиться к точке (z,u) = (0, 0), только касаясь оси Ou.

Доказательство. Перейдем в системе (27) от переменных (u, z) к (w, z), где w = u/z. Тогда интегральным кривым (27), стремящимся к точке (0,0) на плоскости R(u, z), соответствуют кривые, стремящиеся к точкам оси Ow. Система (27) в новых переменных записывается в следующем виде:

z' = - z2,

„ , , 1/2 (28)

oz

;' = (во/—2)(1 + ад2) ((^ + 1 - z2) - + ^

На оси Ото имеем

z' = 0, ад' = 1 + . (29)

Следовательно, вся ось Ои> является интегральной кривой системы (28), и поэтому не существует ИК этой системы, стремящихся к точкам оси Ои>. Таким образом, не существует

ИК системы (27), стремящихся к точке и) = (0, 0) по некасательной к оси Ои траектории. □

Утверждение 3. Не существует ИК системы (27), стремящихся к точке и) = (0, 0), касаясь оси Ои.

Доказательство. Рассмотрим систему сравнения:

z' = —z, и' = -и. (30)

Вектор нормали к интегральным кривым этой системы имеет вид п = (—и, z). Вычислим скалярное произведение этого вектора и векторного поля системы (27) в точках, не лежащих

на оси Ои: п• ^',и') = (во/—+ и2)Уи2) > 0, поскольку z > 0. Это означает, что векторное поле (27) имеет с нормалью п угол, меньший п/2. Поэтому интегральные кривые (27), начинающиеся в точках любого луча, исходящего из начала координат, покидают луч с той же стороны, в которую указывает нормаль п. Ввиду (28) следует, что z' < 0, поэтому ИК, выходящие из точки ^,и) = (0,0), не могут выходить в правую верхнюю полуплоскость. Таким образом, не существует интегральных кривых системы (27), входящих в точку и) = (0, 0) либо исходящих из нее и касающихся при этом оси Ои. □

Из утверждений 2 и 3 следует, что интегральные кривые системы (28) не выходят на ось Ои. Следовательно, на плоскости М2(Д, Л) все кривые системы (19) имеют более чем линейный порядок роста.

Свойство 9. Все интегральные кривые системы (27) заканчиваются на дискриминант-ной кривой.

Доказательство. Перейдем в системе (19), аналогично случаю е = 1, к переменным

(д, V) по формулам (22) и модифицированному времени Т1 по формуле —— = —.

«Т1 А/2 «т

После упрощения получим

д' = д(д« — (во/—2)^+(д,«)), V = *(-2^ + (во/—2)^+(д,«)), (31)

где (9, V) = ((1 + 9^2) ((^ + 1 + 9^2) + 9V + 1 + 92v2)2 - ^2(94V2 + 1))) ^^ . Поскольку 5 +(0, 0) = а/2, то линеаризация (31) в точке (9, V) = (0,0) имеет вид

9' = -во 9, V' = во V. (32)

Таким образом, точка (9, V) = (0, 0) является седлом. На интервале (0, во/2] система (31) записывается в виде

9' = 0, V' = (во/^2>У 1 + ^1 - (4/в°2)^ (33)

и поэтому не имеет других особых точек. □

Таким образом, в случае, когда е = -1, на плоскости М°(Д, Н) все интегральные кривые начинаются и заканчиваются на дискриминантной кривой. Таким решениям соответствуют течения газа, существующие только внутри сферы конечного радиуса с центром в начале координат.

4. Описание течения газа

Стационарный вихрь Овсянникова с гравитацией описывает установившиеся течения газа с поверхности массивного шара конечного радиуса Д > Д2(см. (14)). При Нд > 0 это источник, при Нд < 0 — сток. Модель допускает существование двух режимов течения как для

источника, так и для стока. Обозначим символами С(+—+),С(+—),С(--),С(—+) кривые,

которые задаются уравнениями (2.2).

Существенное влияние на картину течения оказывает наличие касательной компоненты вектора скорости. Ее общий вклад в картину движения заключается в следующем утверждении.

Свойство 10. На больших расстояниях от источника (стока) модуль касательной компоненты скорости в СВО с гравитацией асимптотически стремится к нулю.

Доказательство. Доказательство вытекает из формулы (3): Н = ао/(г*Д) ^ 0 при Д ^ то. □

Таким образом, максимальное влияние касательной компоненты скорости проявляется в непосредственной близости от источника (стока).

5. Характеристики и звуковая линия

Изучим физические свойства решения.

Свойство 11. Точки дискриминантной кривой дО являются на плоскости М°(Д, Н) точками звуковых характеристик СВО с гравитацией — сфер в физическом пространстве, задаваемых уравнением Д = Д0.

Доказательство. Такие звуковые характеристики задаются уравнением

и2 = с2. (34)

Подставим в это равенство выражения для и и с из формул (4) и (7) соответственно, полагая 7 = 3. Имеем

«2(1 + л2)2_ с2^

Д4лД

(1 + Л2)

в2 = «О

, Р0 = 9 .

(35)

Подставляя в (35) ЛД и ЛД из ключевого уравнения (11)

4 = р02(1 + Л2) ( -

и разрешая относительно ЛД, получим

(1+Л2)2 д4

4 = в2д

(1 + л2)

1 + ^ 1 -

4(1 + Л2)

в4 д4з2

1 + е^ 1 - У = У,

(36)

где У = 4(1 + Л2)/в°Д4^2. Поскольку 0 < У ^ 1, то единствнным решением (36) является У =1. Согласно (13) это соотношение и задает дискриминантную кривую дП. □

Свойство 12. Интегральные кривые С(+—) и С(-) соответствуют сверхзвуковым течениям газа, более того, для них выполнено и2 > с2. Для интегральных кривых С(++) и С(—Ь) имеет место неравенство и2 < с2. Они соответствуют течениям газа, на которых возможен переход через скорость звука.

Доказательство. Аналогично предыдущему свойству, где в (36) знак равенства следует заменить на знак неравенства. □

Таким образом, максимальное влияние касательной компоненты скорости сказывается вблизи источника (стока) — звезды. Затем пространственное течение газа уплощаеся в диск, аналогично движению газа в отсутствие гравитации. Тем не менее разлет газа в диске происходит с закруткой. Качественно такое решение совпадает с данными астрофизических наблюдений.

о

2

Заключение

Исследование движения газа в рамках модели стационарного вихря Овсянникова с гравитацией сведено к анализу поведения решения в целом для неявного дифференциального уравнения. Доказано, что, как и в классическом случае сферического источника, течение газа определено вне сферы конечного радиуса.

Доказано существование нескольких режимов течения газа. Эти режимы описывают как сверхзвуковые, так и дозвуковые режимы течения газа с возможностью перехода через скорость звука.

Показано, что наличие гравитации оказывает существенное влияние как на область допустимости физических величин, так и на область существования решения в фазовом пространстве. Тем не менее доказано, что асимптотика течений на бесконечности в случае наличия гравитации и в случае ее отсутствия схожи. Вклад закрутки, наличие касательной компоненты скорости газа в течении существен вблизи массивного центра.

Большинство результатов путем предельного перехода д ^ 0 переходят в результаты для случая СВО без гравитации. Тем самым данное исследование расширяет информацию о точных решениях уравнений газовой динамики.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект №08-01-00047а, гранта Министерства образования и науки РФ (№2.1.1/3543).

Список литературы

[1] Л.В.Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.

[2] Л.И. Седов, Методы подобия и размерности в механике, М., Наука, 1981.

[3] К.П.Станюкович, Неустановившиеся движения сплошной среды, М., Наука, 1971.

[4] Л.В.Овсянников, Особый вихрь, ПМТФ, 36(1995), №3, 45-52.

[5] А.А. Черевко, А.П.Чупахин, Стационарный вихрь Овсянникова, Препринт ИГиЛ №1, 2005.

[6] В.И.Арнольд, Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Ижевск, Ижевская республиканская типография, 2002.

[7] А.С.Павленко, Проективная подмодель вихря Овсянникова, ПМТФ, 46(2005), №4, 316.

Stationary Ovsyannikov Vortex in the Field of Large Gravitating Center

Daniil V. Parshin Alexander P. Chupakhin

The three-dimensional motion of gas within the limits of model of a stationary special vortex with gravitation is considered. Using methods of the group analysis of the differential equations, it is possible to reduce studying of properties of the decision to research of properties of an implicitly defined, ordinary differential equation. The properties of solutions of this equation are studied, a description of modes of a current in the phase space is obtained,, the existence of subsonic and supersonic modes of a gas motion in physical space is proved. It is shown that classification of types of decisions and their qualitative behavior to a similar case of a vortex of Ovsyannikov without gravitation (A.A.Cherevko, A.P.Chupakhin, 2005).

Keywords: Ovsyannikov vortex, group analysis of differential equations, implicit differential equation, jet space.