CC BY
33
УДК 533.95
СТАЦИОНАРНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
В ПИНЧЕВЫХ РАЗРЯДАХ
В. Я. Никулин1,3, С. А. Старцев2, С. П. Цыбенко1
Численно исследованы стационарные цилиндрические структуры плазмы в простой модели в формализме Давыдова-Захарова. Установлено, что такие решения существуют при наличии тангенциальных разрывов и разрывов, в которых магнитное поле, оставаясь неизменным по величине, меняет свое направление на противоположное. Найденные структуры зависят от двух параметров: от минимальной плотности плазмы в канале плазмы и от радиуса, на котором это значение плотности достигается. Полученные решения описывают фи-ламенты в пинчевых разрядах.
Ключевые слова: пинчевые разряды, лондоновский ток, тангенциальный разрыв, токовые филаменты.
Введение. В пинчевых разрядах наблюдаются токовые филаменты [1-6]. Это нитеобразные структуры плотности плазмы и тока, которые сходятся к оси разряда и затем располагаются у оси. Филаменты оказываются долгоживущими объектами, которые детектируются от начала разряда и до стадии его деградации [7].
До сих пор не существует последовательного теоретического описания этого явления. Предполагалось, что филаменты могут возникать вследствие развития радиационной МГД неустойчивости [8]. Или образование филаментов может быть обусловлено наличием в стадии пробоя газа неоднородностей ионизации, а затем многоступенчатая ионизация приводит к усилению неоднородностей плотности плазмы [9]. В настоящее время развита лишь квазилинейная теория диссипативной МГД неустойчивости, в которой двумерные численные расчеты показали возможность формирования филаментов
1 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].
2 Финансовый университет; e-mail: [email protected].
3 Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 115409 Россия, Москва, Каширское ш., 31.
на ранних стадиях разряда [10]. Сами же филаменты трактовались по-разному. Бостик и др. [11] предложили рассматривать парные плазменные вихри для описания филамен-тов, а Нарди [12] связывал филаменты со спиральными линиями поля. Вита [13] считает, что филамент в плазме подобен токовому вихрю в сверхпроводниках II рода, когда во внешней части филамента с радиусом порядка скиновой длины с/шр (отношение скорости света в вакууме к электронной плазменной частоте) протекает лондоновский ток, а в центре филамента учитываются диссипативные эффекты. И наконец, Фадеев и др. [14] рассматривают токовые филаменты как релаксированные состояния сильноточной плазмы, находящейся в локальном механико-термодинамическом равновесии.
В данной работе токовые филаменты исследуются в модели плазмы с лондоновским током, в которой прежде были получены нелинейные скиновые решения, ударные волны и тангенциальные разрывы, а также плоские нелинейные волны [15-17].
Напомним, что плотность лондоновского тока пропорциональна векторному потенциалу электромагнитного поля, в отличие, скажем, от плотности тока в МГД, которая определяется параметрами плазмы, явным образом не зависящими от электромагнитного поля. Применяемая модель позволяет нам искать нелинейные цилиндрические структуры в случае произвольной амплитуды. Здесь мы ограничимся изучением стационарных структур.
Основные уравнения. Модель плазмы с лондоновским током [15, 16] - это одно-жидкостная модель квазинейтральной полностью ионизованной плазмы, в которой не учитываются диссипативные эффекты:
| + V- М = о,
ОУ + = _ (!)
дЬ р 2тгтес2 '
г„ г„ Гп 4пZe2 7
[V х [V х А]] =--2рА.
тгтес2
Система (1) состоит из уравнения непрерывности, уравнения движения и уравнения Максвелла для плотности плазмы р, гидродинамической скорости плазмы V и векторного потенциала А. В этой модели плазмы с лондоновским током, плотность которого = — Ze2 рА/тетгс, давление плазмы Р(р) - известная термодинамическая функция. Для определенности будем считать плазму адиабатической, т.е. Р ~ р з .В системе (1) Ze и тг - ионный заряд и масса, те и с - электронная масса и скорость света в вакууме. В дальнейшем будем рассматривать только потенциальные движения плазмы.
Из последнего уравнения системы (1) следует, что
V ■ (рА) = рЧ ■ А + (А ■ Ч)р = 0.
Отсюда в кулоновской калибровке векторного потенциала А (V ■ А = 0) получим, что векторный потенциал перпендикулярен градиенту плотности плазмы: (А ■ Ч)р = 0.
Для стационарной задачи, в которой ищем цилиндрически-симметричные решения, система (1) примет вид
„2 5 Р0 2 5 Р0 А2 + н—р2 = н —,
2mimeC2 2 р3 2 р0 но
1 д / 8AZ \ 4nZe2 _ Q r дг \ дг ) mimec2 z Здесь Az - единственная составляющая векторного потенциала, P0 и р0 - значения невозмущенных параметров плазмы.
Перейдем в (2) к безразмерным переменным: Ze2 A2z/2mimec2v2So ^ a2, р/р0 ^ р, гш0/с ^ т. Здесь vs0 и - скорость звука и электронная плазменная частота в невозмущенной плазме.
В итоге (2) можно записать в виде
0 + ^ - pa =0; a2 = 3 <1 - Р2'Г (3)
Настоящее исследование существенным образом основано на результатах работы [17], где были найдены нелинейные плоские волны в системе (1). Отличительной особенностью решения [17] является наличие разрыва в распределении магнитного поля, в котором величина магнитного поля сохраняется, а направление меняется на противоположное. При этом все остальные параметры плазмы (плотность, скорость и другие) остаются непрерывными. Заметим, что такого рода разрывы есть в обычной МГД [18]. Решение уравнений (3) будем искать также с разрывом, при котором магнитное поле поворачивается на 180°.
Оказалось, что уравнения (3) не имеют ограниченного решения даже среди решений с поворотом магнитного поля. Для того чтобы избежать сингулярности магнитного поля на оси, допустим существование тангенциального разрыва в этой области. Как известно [16, 18], суммарное давление плазмы и магнитного поля сохраняется при переходе с одной стороны тангенциального разрыва на другую:
H 2
P +--= const.
8п
Результаты и обсуждение. Уравнения (3) численно интегрировались вместе с условием для тангенциального разрыва. Результаты численных расчетов представлены на рис. 1-3. Решение зависит от двух свободных параметров: от безразмерного радиуса т0, на котором располагается разрыв с поворотом магнитного поля, и от значения плотности плазмы р* на этом разрыве. Кроме того, у оси расположен тангенциальный разрыв, на одной стороне которого магнитное поле достигает своего максимального значения, а на другой стороне этого разрыва плотность плазмы максимальна, причем предполагается, что плазма адиабатически сжимается магнитным полем.
Рис. 1: (а) Распределение плотности плазмы при р* = 0.1, т0 = 1. (б) Распределение нормированного магнитного поля Н = ¿А/^т при р* = 0.1, т0 = 1.
На рис. 1(а) и рис. 1(б) показаны распределения плотности плазмы и магнитного поля, соответственно. Разрыв с поворотом магнитного поля имеет координату т0 = 1, а плотность в этом месте достигает значения р* = 0.1. На рисунках стороны разрывов соединены пунктирными линиями. Когда параметр т уменьшается, плотность р стремится к единице, а магнитное поле - к максимальному значению. Вблизи значения т = 0.4 возникает тангенциальный разрыв, с другой стороны которого плотность достигает максимального значения р ^ 4.7, а магнитное поле обращается в нуль. Если рассмотреть решение при значениях т > 1, то можно отметить нелинейное скиниро-вание магнитного поля, при котором магнитное поле стремится к нулю, а плотность плазмы - к невозмущенному значению. Следует также обратить внимание, что по поверхности тангенциального разрыва течет ток в направлении против оси цилиндрической системы (на это указывает циркуляция магнитного поля, взятая по контуру, который охватывает поверхность разрыва). Соответственно, по поверхности разрыва с поворотом магнитного поля также течет ток, но вдоль оси системы. Поверхностные то-
ки можно рассматривать как пучки электронов, ориентированные против оси системы и вдоль неё.
Оценим значения некоторых параметров решения. При концентрации электронов вокруг цилиндрической структуры, равной 5 • 1017 см-2, характерный радиус структуры г0 = оказывается по порядку величины 10 мкм. Заметим, что в пинчевых разрядах наблюдали и существенно меньшие объекты [19, 20]. Соответственно максимальное значение магнитного поля в решении получается порядка 0.1 МГс, если считать электронную температуру вокруг структуры порядка 100 эВ. Наконец, сила тока, текущего по поверхности тангенциального разрыва, оказывается равной 102 Л по порядку величины.
Рис. 2: (а) Распределение плотности плазмы при р* = 0.1, т0 = 0.3. (б) Распределение магнитного поля при р* = 0.1, т0 = 0.3.
На рис. 2(а) и рис. 2(б) показаны распределения плотности плазмы и магнитного поля при т0 = 0.3 и р* = 0.1. Более близкое к оси расположение разрыва с поворотом магнитного поля приводит к тому, что тангенциальный разрыв также располагается ближе к оси, максимальное значение магнитного поля при этом возрастает, достигая
1 МГс по порядку величины. Сила тока по поверхности тангенциального разрыва оказывается такой же по порядку величины, как и в случае с т0 = 1 и р* = 0.1. Однако плотность плазмы на оси возрастает более чем на порядок.
Заметим, что в пинчевых разрядах детектируются пучки электронов с высокой энергией, которые переносят незначительную долю полного тока разряда (порядка 1%) [21]. Можно предположить, что если такой пучок электронов поступает в область плазмы с лондоновским током, то в этой плазме индуцируются замкнутые компенсирующие токи, структура которых вблизи оси состоит из обратных лондоновских токов и обратного
тока по поверхности разрыва с поворотом магнитного поля.
Рис. 3: (а) Распределение плотности плазмы при р* = 0.3, т0 = 1. (б) Распределение магнитного поля при р* = 0.3, т0 = 1.
И наконец, на рис. 3(а) и рис. 3(б) представлены распределения плотности плазмы и магнитного поля при т0 = 1 и р* = 0.3. Увеличение значения параметра р* при неизменном параметре т0 означает уменьшение значения плотности у оси и уменьшение максимального значения магнитного поля с другой стороны тангенциального разрыва.
Заключение. Получены стационарные цилиндрические структуры в плазме с лон-доновским током. Данные решения включают в себя тангенциальный разрыв у оси системы, по поверхности которого течет ток, индуцирующий, в свою очередь, обратные лондоновские токи и обратный поверхностный ток, текущий по поверхности разрыва с поворотом магнитного поля. Найденные распределения плазмы и магнитного поля выявляют структуру филаментов в пинчевых разрядах.
Работа выполнена при поддержке Гранта Президента РФ "Научные школы" НШ-1424.2014.2.
ЛИТЕРАТУРА
[1] И. Ф. Кварцхава, К. Н. Кервалидзе, Ю. С. Гваладзе, Г. Г. Зукакишвили, Ядерный
синтез 5, 181 (1965).
[2] R. Haas, H. Krompholz, L. Michel, et al., Phys. Lett. A 88, 403 (1982).
[3] M. Milanese, R. Moroso, J. Puozo, IEEE Transactions on plasma science 21, 1 (1993).
[4] L. Bilbao, H. Bruzzone, V. Ya. Nikulin, J. P. Roger, Preprint № 80, Centro di Frascati
(Centro di Frascati, Frascati, Rome, 1980).
[5] V. A. Gribkov, V. Ya. Nikulin, V. M. Fadeev, Ya. K. Khodataev, J. Moscow Phys. Soc. 3, 75 (1993).
[6] В. Я. Никулин, С. Н. Полухин, А. А. Тихомиров, Физика плазмы 31, 642 (2005).
[7] W. Sadowski, H. Herold, H. Schmidt, M. Shakhatre, Phys. Lett. A 105, 117 (1984).
[8] В. С. Имшенник, В. В. Неудачин, Физика плазмы 13, 1226 (1987).
[9] С. И. Брагинский, В. В. Вихрев, Теплофизика высоких температур 14, 254 (1976).
[10] J. Guillory, D. V. Rose, E. J. Lerner, in Dense Z-pinches: 7th International Conference,
Ed. by D. A. Hammer and B. R. Kusse (American institute of physics, New York, 2009), p. 203.
[11] W. H. Bostick, W. Prior, L. Grunberger, G. Emmert, Phys. Fluids 9, 2078 (1966).
[12] V. Nardi, Phys. Rev. Lett. 25, 718 (1970).
[13] A. Di Vita, Eur. Phys. J. D 54, 451 (2009).
[14] V. M. Fadeev, U. Yusupaliev, S. A. Shuteev, in Abstracts of 15th International Conference on High-Power Particle BEAMS "BEAMS' 2004", Saint-Petersburg, Russia,
2004 (Nauka, Saint-Petersburg, 2004), p. 291.
[15] V. Ya. Nikulin, S. P. Tsybenko, Physica Scripta 55, 90 (1997).
[16] S. P. Tsybenko, J. Plasma Physics 62, 117 (1999).
[17] С. П. Цыбенко, Препринт № 24, ФИАН (Физический институт им. П.Н. Лебедева, РАН, Москва, 2004).
[18] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (М., Наука, 1992).
[19] K. N. Koshelev, N. R. Pereira, J. Appl. Phys. 69, R21 (1991).
[20] В. А. Веретенников, А. Н. Долгов, О. Н. Крохин, О. Г. Семенов, Физика плазмы 11, 1007 (1985).
[21] A. Bernard, H. Bruzzone, P. Choi, et al., J. Moscow Phys. Soc. 8, 93 (1998).
Поступила в редакцию 10 сентября 2014 г.
