Движущиеся цилиндрические структуры в пинчевых разрядах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.95

ДВИЖУЩИЕСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПИНЧЕВЫХ РАЗРЯДАХ

В. Я. Никулин1, С. А. Старцев2, С. П. Цыбенко1

Дается описание движущихся цилиндрических токовых структур в плазме в простой модели в формализме Давыдова-Захарова. Численные расчеты подтверждают, наличие решений с тангенциальными разрывами и разрывами, в которых магнитное поле меняет свое направление на противоположное. Получены как дозвуковые решения, так и сверхзвуковые.

Ключевые слова: пинчевые разряды, лондоновский ток, тангенциальный разрыв, токовые филаменты.

Введение. Ввиду важности приложений плазменного фокуса в технологиях [1, 2], как мощного источника жестких излучений и потоков горячей плазмы, существует необходимость в развитии теории токовых филаментов, возникающих в камере плазменного фокуса. Филаменты оказывают значительное влияние на параметры плазмы на финальной стадии сжатия плазмы, а также на интенсивность электромагнитных излучений и плазменных потоков [3]. В пинчевых разрядах наблюдаемые токовые фи-ламенты движутся к оси разряда, а затем останавливаются, располагаясь вокруг оси

[4]. Недавно нами было найдено решение для стационарных филаментов [5] (там же смотри другие модели для стационарных филаментов или, например, в работе [6]), включающее в себя тангенциальный разрыв, по поверхности которого течет ток, вызывающий индукционные обратные токи вокруг тангенциального разрыва, в том числе текущие по поверхности разрыва, на котором магнитное поле меняет свое направление на противоположное. В данной работе найденная структура стационарных филаментов переносится на случай движущихся филаментов - дозвуковых и сверхзвуковых.

Основные уравнения. Простая модель плазмы в формализме Давыдова-Захарова

[5] - это одножидкостная бездиссипативная модель квазинейтральной полностью ионизованной плазмы, состоящая из уравнений непрерывности и движения для плазмы с

1 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: kink@sci.lebedev.ru.

2 Финансовый университет, Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 125993 Россия, Москва, Ленинградский пр-т, 49; e-mail: sastartsev@bk.ru.

плотностью р и скоростью v и уравнений для векторного потенциала А, следующих из уравнений Максвелла:

др

— + div(pv) = 0,

dv + )V = _VP _ Ze2 dt р 2memi02 '

Г 4nZe2 -

rot rot A =--- рА, (1)

memi02

где Ze и mi - заряд и масса иона, c - скорость света в вакууме, me - масса электрона. В системе (1) давление плазмы P(р) - некая заданная функция плотности р. Здесь будем считать плазму адиабатической, т.е. P = P0(p/p0)5/3, где Po и р0 - невозмущенные давление и плотность. В дальнейшем рассматриваем только потенциальные движения плазмы, а для векторного потенциала используем кулоновскую калибровку.

В цилиндрической системе координат рассмотрим структуры, однородные по координате z, в которых А = (0, 0, Az) и v = (vr ,vv, 0). Пусть цилиндрическая структура движется с постоянной скоростью D в однородной плазме перпендикулярно оси

структуры. Найдем частное решение первого уравнения из (1) в системе координат,

д

движущейся вместе со структурой. Ищем решение в виде — (rрvr) = Ci cos ю, где Ci -

дг

д

const. Тогда из первого уравнения в (1) следует —— (pv„) = _Ci cos ю. Учитывая гра-

дю

ничное условие, когда при р ^ р0 v2 ^ D2, выражения для скоростей примут вид

vr = _D— cos ю, vv = D— sin ю. Найденные значения скоростей по границе цилиндри-рр

ческой структуры согласованы с невозмущенной плазмой независимо от направления движения этой структуры. При выполнении этих условий ищем решение, когда плотность р зависит только от одной координаты r. Тогда и функция Az зависит только от одной координаты г. В результате систему (1) можно свести к следующим

соотношениям

1 ¿Ш _ ра = °- a2 = Т(1 _ Р^Ф _ р2/3). <2>

2

Здесь использованы безразмерные переменные ——^ р,--^ D, --—у А2 ^ а,

Po ' vso ' 2memiC2v2s[

z

s0

шрег/с ^ Т, а шре и - электронная плазменная частота и скорость звука в невозмущенной плазме.

Будем искать решение системы (2), содержащее тангенциальный разрыв, как и в работе [5]. Напомним, что суммарное давление плазмы и магнитного поля сохраняется

В 2

через тангенциальный разрыв, т.е. Р +--=соп8^ где В = го^ - магнитная индукция.

8п

Введем безразмерную координату т** для обозначения расположения тангенциального разрыва. При т < т** в решении есть только давление плазмы, поскольку магнитное поле обращается в нуль. Предполагаем, что плазма сжимается магнитным полем адиабатически. Тогда, введя безразмерное магнитное поле Ь = —¿а^т, условие на тангенциальном разрыве можно свести к соотношению при т < т** для безразмерной плотности

3/5

. Заметим, что для движущейся цилиндрической структуры через

р** —

1 + 3 с

тангенциальный разрыв существует поток плазмы. Поэтому в этом случае можно поль-

B 2

зоваться приближенным соотношением P +--~ const, при условии, что поток плазмы

8п

мал через разрыв. Для безразмерных параметров условие малости потока плазмы через разрыв примет вид Dp—1 << 1.

Введем также безразмерную координату т* (т** < т*) для обозначения второго разрыва, где магнитное поле меняет свое направление на противоположное.

Рис. 1: Распределение плотности плазмы (а) и магнитного поля (б) при D = 10, т* = 1.2, р* = 5.5.

Результаты и обсуждение. Уравнения (2) решались численно вместе с условием на тангенциальном разрыве для р** и соблюдением малости потока плазмы через тангенциальный разрыв. Результаты расчетов представлены на рис. 1,2. Решения определяются тремя свободными параметрами: скоростью движения цилиндрической структуры D, безразмерным радиусом т*, который задает расположение разрыва, где магнитное поле меняет направление на противоположное, и значением плотности р* на этом разрыве. При меньшем значении безразмерного радиуса т** < т* располагается тангенциальный разрыв, на внешней стороне которого магнитное поле достигает максимального

значения в движущихся цилиндрических структурах, а на внутренней стороне тангенциального разрыва плотность плазмы оказывается максимальной и равной р** в этих структурах, причем магнитное поле обращается в нуль на внутренней стороне разрыва. После вычисления циркуляции магнитного поля по контуру, охватывающему поверхность тангенциального разрыва, можно прийти к заключению, как и в работе [5], что по поверхности тангенциального разрыва течет ток, который индуцирует обратные токи в окружающей плазме, включая обратные токи по поверхности разрыва, где магнитное поле меняет свое направление. Кроме того, во внешней области движущихся цилиндрических структур при значении безразмерного радиуса т > т* наблюдается режим нелинейного скинирования магнитного поля, при котором магнитное поле стремится к нулю при стремлении плотности плазмы к невозмущенному значению.

На рис. 1 представлены распределения для сверхзвуковой цилиндрической структуры для параметров Б = 10, т* = 1.2, р* = 5.5. Увеличение скорости цилиндрической структуры ведет к росту максимальных значений плотности плазмы и магнитного поля в ней, а увеличение параметра т* уменьшает эти значения. Увеличение параметра р*, когда параметры Б и т* фиксированы, приводит к увеличению максимальных значений плотности плазмы и магнитного поля. Характерной особенностью сверхзвуковых структур является сжатие плазмы в области разрыва с поворотом магнитного поля.

2.6

2.2 1.8 Q- 1.4 1.0 0.8 0.2

D = 0.l (а) 12 % = 1-5

Р. = 0.4 0.8

0.4 Ю 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 -1.6

0 = 0.1 (б)

% = 1.5

Р. = 0.4

i

012345678 012345678 х х

Рис. 2: Распределение плотности плазмы (а) и магнитного поля (б) при D = 0.1, т* = 1.5, р* = 0.4.

На рис. 2 показаны дозвуковые распределения при D = 0.1, т* = 1.5, р* = 0.4. Для дозвуковых решений уменьшение скорости структуры приводит к увеличению максимальных значений плотности плазмы и магнитного поля, а увеличение т* уменьшает максимальные значения плотности плазмы и магнитного поля в найденных структурах. При уменьшении р*, когда параметры D и т* фиксированы, максимальные значе-

ния плотности плазмы и магнитного поля растут. Для дозвуковых решений характерно разрежение плазмы в области разрыва с поворотом магнитного поля.

зЗаключение. Получены дозвуковые и сверхзвуковые цилиндрические решения для распределений плазмы и магнитного поля. В структуру этих решений входит тангенциальный разрыв и ток, текущий по его поверхности, который, в свою очередь, индуцирует обратные токи вокруг тангенциального разрыва, включая обратные токи по поверхности разрыва с поворотом магнитного поля. Найденные решения демонстрируют структуру филаментов в пинчевых разрядах.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 1612-10351).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л. И. Иванов, А. И. Дедюрин, И. В. Боровицкая и др., Перспективные материалы, № 5, 79 (2006).

[2] G. Mikhailova, L. Antonova, I. Borovitskaya, et al., Phys. Status Solidi C 10, 689 (2013).

[3] В. Я. Никулин, С. Н. Полухин, А. А. Тихомиров, Физика плазмы 31, 642 (2005).

[4] W. Sadowski, H. Herold, H. Schmidt, M. Shakhatre, Phys. Lett. 105A, 117 (1984).

[5] В. Я. Никулин, С. А. Старцев, С. П. Цыбенко, Краткие сообщения по физике ФИАН 42(5), 21 (2015).

[6] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН 35(4), 44 (2008).

Поступила в редакцию 31 августа 2016 г.