CC BY
56
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070
3. Г.Н. Александров, С.А. Смагулова, А.Н. Капитонов, Ф.Д. Васильева, И.И. Куркина, П.В. Винокуров, В.Б. Тимофеев, И.В. Антонова, Тонкие частично восстановленные оксид-графеновые пленки: структурные, оптические и электрические свойства, Российские нанотехнологии, Т.9. № 7-8. с. 19-23, 2014.
4. El-Kady M.F. et al. // Science, V.335, № 6074, P. 1326-1330
© П.В. Винокуров, С.А. Смагулова, 2015
УДК 517.9
Н. И. Г ордеев
к. т. н., доцент кафедры дискретной математики и информатики Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова
Г. Чебоксары, Российская Федерация
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ, В КОТОРОЙ ФУНКЦИОНАЛ ЗАВИСИТ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ОДНОЙ
ФУНКЦИИ
Аннотация
Разработан приближенный аналитический метод решения вариационных задач, в которых функционал зависит от производных высшего порядка одной функции. Предлагаемый приближенный метод является итерационным. На каждом шаге итерационного процесса приближенное решение строится в виде алгебраического полинома (многочлена) определенной степени относительно независимой переменной. Метод позволяет получить приближенное аналитическое решение с наперед заданной точностью.
Ключевые слова
Вариационная задача, функционал, экстремум функционала, экстремаль, производная высшего порядка, приближенное аналитическое решение, алгебраический полином (многочлен) четвертой (или более высокой) степени относительно независимой переменной, стационарная точка функции, экстремум
функции, относительная погрешность.
Пусть перед нами поставлена следующая вариационная задача [1]:
/[у(х)] = /;{[у"(х)]2 + 4[y(x)]2}dx ^ extr, (1)
У(0) = 0 (2),у'(0) = 0 (3)/у(п) = 0 (4),уГ(п) = sh ж (5), где у = у(х) — искомая функция одной независимой переменной х.
Исследуя и решая задачу (1)-(5) вариационным методом [2], находим экстремаль у* (х) = — sin х • shx, (6)
на которой достигается абсолютный минимум функционала /[у(х)]:
Zmjn = Z[/*(x)] = 4 /"(cos2 х • ch2x + sin2 x • sh2x) dx = sh(2^). (7)
Ниже приведем методику приближенного аналитического решения поставленной вариационной задачи (1)-(5).
Особо подчеркнем, что процесс построения приближенного аналитического решения поставленной задачи (1)-(5) с наперед заданной точностью, является итерационным.
Вначале отметим, что данная вариационная задача (1)-(5) зависит от пяти условий: от четырех граничных условий (2)-(5) и еще от одного условия, связанного с экстремумом функционала /[у(х)]. Исходя из этих соображений, в качестве первого приближения к решению задачи предложим алгебраический полином (многочлен) четвертой степени относительно независимой переменной х:
У1(х) = а4 • х4 + а3 • х3 + а2х2 + а1 • х + а0. (8)
11
международный научный журнал «инновационная наука»
№7/2015
ISSN 2410-6070
Коэффициенты полинома а4, а3, Й2, а4, а0 будем вычислять, опираясь на пять упомянутых выше условий.
От yi(x) (8) находим производные по х до второго порядка включительно: у1(х) = 4а4 • х3 + 3а3 • х2 + 2а2 • х + a1t у"(х) = 12а4 • х2 + 6а3 • х + 2а2.
Учитывая граничное условие (2) и выражение у1(х) (8), получим:
р((°) = 0' =>ао = 0.
(У1(0) = ао Значение (11) подставим в (8):
у1(х) = а4 • х4 + а3 • х3 + а2х2 + а1 • х.
Учитывая граничное условие (3) и выражение у1,(х) (9), получим:
(У'(0) = 0- => „1 = 0
{У1 (0) = %
Значение (13) подставим в (12) и (9):
у1(х) = а4 • х4 + а3 • х3 + а2х2, у1(х) = 4а4 • х3 + 3а3 • х2 + 2а2 • х.
Учитывая граничное условие (4) и выражение yi(x) (14), получаем первое равенство:
' У(л0 = 0, 2
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
'•У1(^) = а4 • д4 + а3 • д3 + а2д2,
2 => я2 • а4 + да3 + а2 = 0.
(16)
Учитывая граничное условие (5) и выражение у1,(х) (15), получаем второе равенство:
( уЧЮ = sh я/
1у1(д) = 4а4 • я3 + 3а3 • я2 + 2а2д,
Систему из двух равенств (16) и (17) представим так:
=> 4д3 • а4 + 3д2а3 + 2да2 = sh д. (17)
да3 + а2 = —я2 • а4,
(18)
(3д2а3 + 2да2 = sh п — 4д3 • а4.
Используя систему (18), выразим коэффициенты Й3 и а 2 через коэффициент а4. Для этого применяем правило Крамера, полагая, что система (18) представляет собой систему из двух линейных неоднородных уравнений относительно двух неизвестных (коэффициентов) Й3 и Й2:
Д=
Д2 =
П 1
3д2 2д
= —я2, (Д^ 0)
Д3 =
—я2 • а4 1
(sh п — 4д3 • а4) 2д п —тс2 • а4
3д2, (sh п — 4д3 • а4)
= 2д3 • а4 — sh д, = rc(sh п — я3 • а4),
(19)
(20)
(21)
Д3
а3 = — — а 3Д
Д2
2д • а4 (22), а2 = — = п • (да4
sh я
а) (23), а = ^т(24).
д2
Выражения (22) и (23) для коэффициентов Й3 и Й2 соответственно подставляем в (14), (15) и (10): у1(х) = а4 • х4 + (а — 2д • а4) • х3 + п • (да4 — а)х2, (24)
у1(х) = 4а4 • х3 + 3(а — 2д • а4) • х2 + 2д • (да4 — а) • х, (25)
у"(х) = 12а4 • х2 + 6(а — 2д • а4) • х + 2д • (да4 — а). (26)
Получим квадрат выражения (26):
[ у1Чх)]2 = (а4)2 • х4 + 144а4(а — 2д • а4) • х3 + 12[4да4(да4 — а) + +3(а — 2д • а4)2]х2 + 24д
(да4 — а)(а — 2д • а4)х + 4д2(да4 — а)2. Получим квадрат выражения (24):
(27)
[ У1(х)]2 = (а4)2 • х8 + 2а4(а — 2д • а4) • х7 + [2да4(да4 — а) + +(а — 2д • а4)2]х6 + 2д •
(да4 — а)(а — 2д • а4)х5 + д2(да4 — а)2 • х4. Умножим выражение (28) на четыре:
4[ У1(х)]2 = 4(а4)2 • х8 + 8а4(а — 2д • а4) • х7 + 4[2да4(да4 (да4 — а)(а — 2д • а4)х5 + 4д2(да4 — а)2 • х4.
Находим сумму выражений (27) и (29):
(28)
а) + +(а — 2д • а4)2]х6 + 8д ■ (29)
12
международный научный журнал «инновационная наука»
№7/2015
ISSN 2410-6070
[ У"(х)]2 + 4[ у1(х)]2 = 4(а4)2 • х8 + 8а4(а — 2п • а4) • х7 + 4[2па4(па4-а) +
(а — 2п • а4)2]х6 + 8п • (па4 — а)(а — 2п • а4)х5 + 4[п2(па4 — а)2 + +36(а4)2] • х4 + 144а4(а — 2п • а4) • х3 + 12[4па4(па4 — а) + 3(а — 2п •• а4)2]х2 + 24п • (па4 — а)(а — 2п • а4)х +
(30)
4 п2(па4 — а)2.
Вычислим следующие определенные интегралы:
(X8dx = n^ (31), £x7dx = ^ (32), f”x6dx = nT
S”x5 dx = ^- (34), S”x4 dx = Y (35), f^ x3 dx = ^-
f”x2dx = y (37), f”xdx = у (38), f”dx = n Вычислим определенный интеграл от функции (30) на отрезке [0;д], учитывая значения определенных интегралов (31)-(39) и значение а (24):
(33),
(36),
(39).
Ка4) = J{[ yi"(x)]2 + 4[ yi(x)]2}dx = о
[2п6(п4 + 126) • (а4)2 — 9n7shn • а4 + 12(п4 + 105)sh2n]
31Бп .
(40)
Символ 1(а4) в (40) означает, что полученное выражение определенного интеграла является функцией относительно неизвестного коэффициента а4.
Найдем от 1(а4) (40) производные по а4 до второго порядка включительно:
= п5[4(п4 + 126)а4 — 9п • sh п]/315,
UQ4 .j2 j
Ц = 4п5(п4 + 126)/315.
Для нахождения стационарной точки функции 1(а4) (40) решим уравнение:
= 0.
dl _ n5[4(n4 + 126)a4-9n-shn]
315
В результате получаем единственную стационарную точку
.__ „ shn
a4 = 9n'
в которой функция (40) достигает своего локального минимума
I min = (5n8 + 7392n4 + 423360) • sh2n/[840n(n4 + 126)], так как согласно второму достаточному условию экстремума
j2t
—,la4 = 4n5(n4 + 126)/315>0.
По формулам (22) и (23) вычислим значения коэффициентов аз и а2, учитывая (44) и (24): _ 7(36-n4)sh п [2п2 (п4 + 12в)^1
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
аз
(47)
а2 =
(5n4-504)sh п
(48)
[4n(n4+126)\
Подставляя значения а (44), а (47) и а (48) в у1(х) (14) и совершая алгебраические преобразования, получаем приближенное аналитическое решение поставленной вариационной задачи (1)-(5):6
У1(х)
_ sh п[9п3■х4+14(36-п4')х3+п(5п4-504)х2]
(49)
[4п2(п4 + 126)]
Очевидно, что приближенному решению У1(х) (49) согласно (45) соответствует значение
функционала
Л У1(х)] = f(Jr{[ У1”(х)]2 + 4[ y1(x)]2}dx = Imin. (50)
Имея значения (7) и (50), вычислим относительную погрешность приближенного значения функционала:
а =
\lmin — In
\7min \
=1
1680п(п4+ 126)сthх 5п8+7392п4+423360
= 0.00614 ... < £,
(51)
где £ = 0,00625 - заданная точность.
13
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070
Оценка относительной погрешности а (51) дает основание утверждать, что первое приближение у1(х) (49) к решению данной задачи (1)-(5) обладает достаточно высокой точностью, и поэтому на первом шаге завершаем итерационный процесс.
Предположим, что полученное первое приближение у1(х) (49) не удовлетворяет заданной точности решения. Тогда следует перейти к следующему (второму) шагу итерационного процесса, полагая, что второе приближение к решению задачи описывается уже алгебраическим полиномом пятой (более высокой) степени относительно переменной х:
у2(х) = а5х5 + а4х4 + а3х3 + а2х2 + а1х + а0. (52)
Неизвестные коэффициенты а0, а1, а2, а4, а5 полинома (52) следует вычислять по методике,
аналогичной методике для первого приближения. Такой итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока не получим приближенное аналитическое решение с наперед заданной точностью.
Основные идеи разработанной методики могут быть успешно реализованы при приближенном аналитическом решении других вариационных задач, в которых функционал зависит от производных высшего порядка одной функции.
Список использованной литературы:
1. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учеб. пособие /В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.
2. Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление: Учебник /Л.Э Эльсгольц. - М.: КомКнига, 2006. - 208 с.
©Н. И. Гордеев, 2015
УДК 533.95
В.Я. Никулин, Зав.лаб., д.ф-м.н, Физический институт им. П.Н. Лебедева, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г.Москва
С.А. Старцев, Доцент, к.ф-м.н, Финансовый университет при правительстве РФ, г. Москва
С.П. Цыбенко, Н.с, к.ф-м.н,, Физический институт им. П.Н. Лебедева, г. Москва
О ФИЛАМЕНТАХ В ПИНЧЕВЫХ РАЗРЯДАХ
Аннотация
В данной работе обсуждается современное состояние исследований токовых филаментов в пинчевых разрядах.
Ключевые слова
Филаменты, пинчевые разряды, лондоновский ток.
Введение
Более пятидесяти лет назад нитеобразные структуры плазмы и тока были обнаружены в камерах разрядов типа Z-пинч [1]. Филаменты, зародившись у изолятора, двигались к оси разряда и затем останавливались, расположившись вокруг оси. Позднее аналогичные структуры были обнаружены и в других разрядах (плазменный фокус, сильноточная вакуумная искра и др.). До настоящего времени не существует теоретической модели, которая бы последовательно описывала филаменты, хотя были предприняты многочисленные попытки для этого. Нами была предложена [2] и разрабатывается модель плазмы с лондоновским током (плотность тока пропорциональна векторному потенциалу), в рамках которой удалось получить решения для структур, соответствующих стационарным филаментам.
Филаменты. Экспериментальные данные
14
