Построение периодических решений квазилинейных уравнений при резонансе в критическом случае первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.596

А.Ш.Бердиеров

К.ф.-м.н. У.Я. Тураев ст.преп. Т.Т. Хайдаров

ассис.

Строительный факультет Джизакский политехнический институт г. Джизак, Республика Узбекистан.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕЗОНАНСЕ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Аннотация

В статье разрабатываются методы построения периодических решений квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений в критических случаях. Периодические решения представляют собой частный случай двусторонних решений в теории интегро-дифференциальных уравнений, их важная роль в приложениях заставляет разрабатывать конструктивные и практические эффективные методы их построения. Для этого в статье приведены на интегро-дифференциальные уравнения итерационный метод, представляющий вариационный вариант метода параметра Ляпунова-Пуанкаре, рассмотренный Ю.А.Рябовым [1], [2].

Этот метод направлен на вывод конструктивных алгоритмов для построения периодических решений, анализа их устойчивости, а так же для оценок области значений параметра, где рассматриваемые периодические решения существуют.

Ключевые слова

Интегро-дифференциальные уравнения, ядро наследственности, 2п — периодическое решение.

Рассмотрим квазилинейную систему интегро-дифференциальных уравнений

|Х = Ах + г[/-(ю R(t — + F(x, (1)

где х — п - мерный вектор; А —постоянная (п X п) —матрица, обладает собственными значениями, равными нулю или целой кратности V—1.

В силу свойств матрицы А мы имеем резонансный или критический случай. F(x, t) — 2п —периодическая и всюду дифференцируемая по ^ аналитическая по х функции, г-малый параметр (его считаем положительным), R(t — з) ядро системы.

Интеграл в правой части (1) будем считать интегралом в смысле Римана.

Системы такого вида называют системой наследственности или последействием [3], причем с

¿X

бесконечно далеким последействием. Значения производной — в момент t = t* > 0 зависит от значений х(£) для бесконечно удаленных значений t в интервале (—от, £*).

Ядро R(t — з) - называют ядром наследственности или ядром релаксации. Примем для простоты дальнейшего анализа, что

№)||<е-^, (2)

где ^ — положительно постоянная.

Как следует из теории линейных дифференциальных уравнений однородная система (получающаяся из (1)) уравнения при г = 0 и называется порождающей

¿Х = Ах (3)

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №5/2015 ISSN 2410-6070

обладает тогда некоторым числом линейных независимых 2п — периодических решений. Это число зависит от особенностей резонансных собственных значений и пусть оно равно m.

Представим 2п — периодических решений этой системы (так называемое семейство порождающих решений) формулой

Xo(t,c) = Q (t)c, (4)

где c — произвольный постоянный m — вектор и Q(t) — матрица, каждый столбец который есть 2п — периодическое решение системы (3) и т.е.

Qlm)\

(5)

Q

(m) n /

Количество столбцов матрицы Q(t) и размерность вектора С равны максимальному количеству линейно независимых 2п — периодических решений системы (3). Определив семейство порождающих решений, положим в (1)

X = Хо 0-, с) + у (6)

Составим систему уравнений относительно у :

^ = -у + 8 [/-» R(t — s)y(s)ds + R(t — 8)(хо(5, c))ds + + F(t, ХоО; с) + у)] (7) система (7) является при дальнейшем анализе исходной.

Будем искать —периодические решения у(^ г) данной системы, обращающиеся в нуль при 8^0, а также вектор С методом последовательных приближений. Для первого приближения у1 =У1(^ г) имеем систему уравнений

^ = Ауг + £ [/-^(^у^^ + /-^(^Хо&с)^ + F(t,Xо (^))] (8)

где С - нулевое приближение для вектора С.

Вектор Со будем искать из условия существования 2п-периодического решения системы (8) обращающегося в нуль при 8^0.

Рассмотрим линейную однородную систему, сопряжённую с (3), которая обладает таким же максимальным количеством линейно независимых 2п- периодических решений, что система (3):

— Л*Х (9)

где А* —сопряжённая (то есть комплексно-сопряжённая и транспонированная ) матрица по отношению

к А.

Пусть Н^^-матрица из этих — периодических решений, аналогичная матрице (5).

Необходимые и достаточные условия существования 2п —периодических решений неоднородной системы

НХ = АХ + ФО0, (10)

где ф(£) — 2п - периодическая (непрерывная или кусочно-непрерывная функция), записывается в виде

/О2пнож^=о, (11)

где Н(£) —матрица, сопряжённая по отношению к Н^).

При выполнении условия (11) система (10) обладает семейством 2п - периодических решений, представляемых формулой

Хо вс^Юс + ед, (12)

где частное 2п -периодическое решение системы (10); Q(t) - матрица (5) 2п -периодических решений однородной системы (9); С- производный постоянный т - вектор . В случае системы

dy = Ay + £/1, R(t - s)y(s)ds + 8 ^(t), (13)

где ф(^-такая же функция, что и в (10), условие (11) гарантирует существование — периодического решения X = x(t, 8), обращающегося в нуль при 8^0. Если условие (11) не выполняется, то система (12) имеет периодическое решение, но это решение не обращается в нуль при 8^0.

Рассмотрим, например, скалярное уравнение

d2y + ^2y = 8 /^ e-^(t-s)y(s)ds + 8 Neiwt, N = const. (14)

Если бы интеграл справа отсутствовал, то это уравнение не имело бы периодического решения (условие вида (11) не выполняется). При наличии же интеграла периодическое решение существует и имеет вид

y = y(t) = —Nß + (14')

Таким образом, условие (11) требуется для того, чтобы можно было искать именно такое 2п —периодическое решение системы (8) для первого приближения и (t, s) соответствующих систем для последующих приближений y k(t — 8), k = 2 , которые обращаются в нуль при 8^0.

Применим условие (11) к системе (8).

Построив матрицу H(t), наложим на правую часть системы (8) условие :

/ГH(t) [j-OTR(t — s) xo (s, Co)ds + F(t,Xo(t, Co))] dt = 0. (15) Это условие представляет собой алгебраическое уравнение относительно постоянного вектора Co и его называют иногда «уравнением порождающих амплитуд», поскольку постоянный вектор Co в (15) определяет амплитуду колебаний компонента функции Xo (t, c).

Это уравнение можно переписать на основании (4) в виде

kco + T(co) = 0, (16)

где

k

f2n ft

= J H(t) J

Jo J-(

R(t — S)Q(s)ds

dt;

7тт

Т(со) = /0 НОЖ^О)^ (17) Обозначив левую часть (16) через Ф(со) перепишем (16) в виде

Ф(со) = 0. (18)

Если это уравнение не имеет решений относительно Со, то система (8) , а вместе с ней исходная система (2,7) не имеет 2п —периодических решений обращающихся в нуль вместе с г.

Если уравнение (16) имеет решение, то это решение определяет то порождающее решение хо(^ со), которому может отвечать 2п —периодическое решение у (^ г), исходной системы (7), обращающееся в нуль при г = 0. Но для того, чтобы такое решение существовало, требуется выполнение и других условий.

Как будет показано ниже, достаточным для существования периодического решения системы (7), обращающегося в нуль при г ^ 0, является условие, чтобы уравнение (18) имело простые решения для Со,

т.е.

_дФ(Со)

det

* 0 (19)

с0

дсо

Именно этот случай называется (19) критическим случаем первого порядка. Такое название определяется тем, что вопрос о существовании интересующего нас 2п-периодического решения исходной системы (7) уг = уг (^ г).

решается на основании анализа системы (8) для первого приближения

Этот случай мы непосредственно рассмотрим, предполагая, что функция F( х, £) аналитическая в

окрестности порождающего решения хо(^ Сд). В этом случае удобно применить оценки по

тригонометрической норме.

Преобразуем условие (19) к другому виду, для чего рассмотрим производную от функции

F(t, х0(^ с0)) по с0 при с0 = сд, учитывая выражение (12) для х0(^ с0). Получим

12

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №5/2015 ISSN 2410-6070

dF(tX0(tC0)) = р(t) ÖKoCtcS) = p(t)Q(t) (20)

dc0 dc0

где

p(t) = (^)x=x0(t,c0) . (21)

Используя это обозначение и (16) , (17), можно переписать (19) в виде

det(^) =det[K + /o2nH(t)dFtf^] det*0 (22) V dc0 /с=с0 L 0 dc0 Jc=c0

или

detB0 Ф 0, (23)

где

Bo = K + /02nH(t)P(t)Q(t)dt (23')

Матрица Во является согласно (19) неособенной, так что обратная матрица ß-1 - существует и её норма конечна

||В-1| = Ьо<~. (24)

Удовлетворив условие (15), построим 2п—периодическое решение y1(t, г) системы (8) с помощью рядов (полиномов) Фурье. Такое решение y1(t, г) найдётся единственным образом. Согласно решение y1 (t, г) удовлетворяет оценке

||у1(и)||<р*г||^%)|^ (25)

где р* — некоторая постоянная, определяемая матрицей А и ядром R(t — S)

f(1)(t) = J-OTR(t — s) Xo (s,c*)dx + F(t,Xo(t,c*)) (25')

Например, в случае скалярного уравнения

d^y + У = г /-ет e-^(t-s)y(s)ds + f(t), (26)

где

f(t) = Zy Aje1* j*1 (26')

Мы получим периодическое решение в виде

y(t, г) = Mjeijt j*1 (27)

где

11 Mj = = 1 ,2 j (27')

В целом ряде задач, в которых встречаются рассматриваемые здесь интегро-дифференциальные уравнения, например, в задачах теории вязко упругости, накладывается на ядро R(t — s) и на параметр s дополнительное условие

г J-ral|R(t — s)||ds < 1 (28)

Ввиду принятой оценки (2) имеем

= 1 (29)

С учётом этого условия получим

maXj|M,| = |Mol (30)

Следовательно, получим для y(t, г) оценку

||y(t, г)|* < |MolEj|Aj| (31)

или

||y(t,г)||* < р|f(t)|* , (32)

где

1

P = |Mol = ~Г~ё (33)

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №5/2015 ISSN 2410-6070

Рассмотрим далее систему для второго приближения У2 = У2 (t, 8);

^ = Ау2 + £, (34)

где

f2(t,c,s) = [/-OTR(t- s)xo(s,)ds + F(t,x(t,Co) +yi(t,E))] (34') и c1 —первое приближение для вектора c . Наложим на функцию f(2)(t, c1) условие, аналогичное (15)

Ф(2)(С1,8) = J02nH(t)f(2)(t,Ci,8)dt (35)

где

Ф1 ( Ci,£)/02nH(t)f(2)(t,Ci,8)dt (35')

При 8 = 0, c1 = cQ имеем

f(2)(t,ci, 0) = f1(t); ф(1)(с2,0) = ф(с0) = 0;

= cQ = jf H(t) R(t — s)Q(s)ds + ^ lx=xo(t,c0)Q(t)] dt = K + jf H(t)p(t)Q(t)dt =

Bo (36)

Таким образом при 8 = 0, c1 = cQ;

ф(%5,0) = 0 (37)

По теории о существовании неявной функции уравнения (35) имеет при значениях 8, не превышающих некоторой границы, естественное решение c1 = c1 (8) обращающееся в cQ при 8^0.

Определив c1, построим 2п — периодическое решение y2(t, 8) системы (34) с помощью рядов (или полиномов) Фурье. При этом можно получить оценку , аналогичную (25):

||y2(t,8)||*<8po||f(2)(t,cQ(8))|U. (38)

Для всех последующих приближений yj(t, 8), Cj_1, j = I, 2,... и их оценки получим аналогичные алгоритмы, то есть

||yk(t,s)||<8p*||fk(t,ck_i(8))||, (39)

если все yj(t, 8), j = I, 2,... остаются в области, где функция F(t, Xo + yj) является аналитической по

аргументу x0 + yj.

Из всего изложенного следует, что справедлива.

Теорема. Каждому простому решению С0 = С° уравнения (18), то есть такому, что

ЗФ(с0) (det —г——) co_c* * 0 öc0

соответствует при достаточно малых £ —периодические решение у = y(t, £) системы (7),

обращающее в нуль при £ = 0.

Список использованной литературы:

1. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. -Москва, Наука, 1973. -431 стр.

2. Лика Д.К., Рябов Ю.А. Методы итерации и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. -Кишинев: Штиница, 1974. -291 стр.

3. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. -Москва, Изд. Мос. Ун-та, 1982. -152 стр.

4. Бердиеров А.Ш. Построение периодического решения интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра в критическом случае. -Деп. ВИНИТИ 03.05.1990 г. № 2380-В90. -10 стр.

© А.Ш.Бердиеров, У.Я.Тураев, Т.Т.Хайдаров, 2015

УДК 519.6

Н. И. Гордеев

к. т. н., доцент кафедры дискретной математики и информатики Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова

С. Н. Ефимов

студент 5 курса факультета прикладной математики, физики и информационных технологий

Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова

К. В. Ведерникова

студентка 5 курса факультета прикладной математики, физики и информационных технологий

Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова

Г. Чебоксары, Российская Федерация

АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Аннотация

В работе представлена методика аппроксимации тригонометрической функции у(х) = cosx на отрезке [— алгебраическим полиномом седьмой степени относительно переменной х.

Ключевые слова

Аппроксимация функции, алгебраический полином, расстояние нулевого порядка между двумя кривыми

В предлагаемой работе рассматривается метод аппроксимации функций, отличный от традиционных методов [1].

Продемонстрируем этот метод аппроксимации по отношению к функции (рис. 1)

у(х) = cosx, (1)

заданной в прямоугольной системе координат на плоскости.

Для этого вначале найдем от (1) производные до третьего порядка включительно по х:

у'(х) = — sinx (2), у"(х) = —cosx (3), у'''(х) = sinx (4).

Будем строить аппроксимацию функции (1), например, на отрезке [— ^, Далее вычислим значения

функций (1) - (4) при х = —| и х = | у(—1) = 0 (5), у'(— |) = 1 (6), у" (— §) = 0 (7),

у»(—1) = —1 (8), у(|) = 0 (9), у'(|) = —1 (10), У"(|) = 0 (11), У'"(|) = 1 (12).

Полученные равенства (5) - (12) ,будем считать граничными условиями. Значит, имеем восемь граничных условий. Исходя из этих соображений, будем аппроксимировать функцию (1) на отрезке [— алгебраическим полиномом (многочленом) седьмой степени относительно переменной х:

у(х) = а7х7 + а6х6 + а5х5 + а4х4 + а3х3 + а2х2 + а1х + а0; (13)

здесь а7, аб, &5, я4, «2, а1, ао - коэффициенты полинома.

Далее найдем от у(х) (13) производные до третьего порядка включительно по х:

у'(х) = 7а7х6 + ба6х5 + 5а5х4 + 4а4х3 + 3а3х2 + 2а2х + а1, (14)

у''(х) = 42а7х5 + 30а6х4 + 20а5х3 + 12а4х2 + ба3х + 2а2, (15)

у'''(х) = 210а7х4 + 120а6х3 + б0а5х2 + 24а4х + ба3. (16)

Используя граничные условия (5) - (12) по отношению к функциям (13) - (16), получаем следующую систему из восьми линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов а7, а6, а4, 03 а3, а2, а1, «о: