CC BY
56
УДК 517.956
Б.С. Аблабеков
д-р физ.-мат. наук, профессор, Кыргызский государственный технический университет
им. И. Раззакова, г. Бишкек, Киргизия
А.Ж. Артыков
канд. физ.-мат. наук, доцент, Ошский государственный технический университет
им. М.М. Адышева, г. Ош, Киргизия
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА
Аннотация. В работе исследован вопрос о существовании решений многоточечных краевых задач для линейного возмущенного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра. Предлагается метод решения линейной многоточечной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения, основанный на теоремах Фредгольма. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи.
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, уравнения Вольтерра, существования решения.
B.S. Ablabekov, Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov, Bishkek, Kyrgyzstan
A.G. Artikov, Osh State Technological University named academic M.M. Adyshev, Osh, Kyrgyzstan
EXISTENCE OF SOLUTIONS OF LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF VOLTERRA TYPE
Abstract. We have studied the question of the existence of solutions of multipoint boundary value problems for linear perturbed Volterra integro-differential equation. A method for solving a linear multi-point boundary value problem for integro-differential equations, based on theorems Fredgolma. Obtained necessary and sufficient conditions for the solvability of the problem.
Keywords: integro-differential equations, equation Volterra, existence of solutions.
Введение
История разработки теории интегро-дифференциальных уравнений началась с работ Бурбаки в 1903 г. В 1934 г. были опубликованы работы А.И. Некрасова [1] по решению интегро-дифференциальных уравнений. Затем идеи этой работы развивались В.В. Васильевым [5; 6], Я.В. Быковым [4] и другими.
Вопросы существования и единственности решения рассматривались в работах Б.М. Галаева [7], А.И. Егорова [8], О. Женхена [9], Г.А. Шишкина [10] и др.
В данной работе построения ведутся в терминах операторного решения в [3], как это делается и в теории дифференциальных уравнений, где все построения ведутся в терминах фундаментальной матрицы решений.
Постановка задачи
Рассмотрим многоточечную краевую задачу для системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра:
dx t
— = A(t)x + j K(t, s)x(s)ds + f(t) + eA, (t) x(t) , (1)
Ul 0
k
XMix(ti) = b, t e [0,1], (2)
i=1
где A(t), A(t),K (t,s) - nxn -мерные матрицы, f (t) - n-мерный вектор-столбец, x = col(x1(t)),x2(t),..,xn(t), причём все эти функции - A(t), A (t),K(t,s),f(t) - предполагаются непрерывными в соответствующих областях определения Mi - (mxn) - матрицы, b- (mxn) - вектор-константа из m-мерного вещественного E-вкладов пространства Rm,E - малый параметр.
Отметим, что случай т ф п для интегро-дифференциальных уравнений ранее не изучался. Предположим, что у порождающей краевой задачи, получающейся из (1), (2), при £=0
— = А(/ )х +1К (/, 5)Х(5^ + ^ (?), (3)
& о
X M,x(f,) = b t е [0,1], (4)
i=i
не существует решений произвольных неоднородностей f(t),p.
Возникает вопрос: можно ли с помощью линейных возмущений сделать краевую задачу (3), (4) разрешимой, чтобы краевая задача (1), (2) имела решение при любых f(t) и в. Наряду с неоднородной краевой задачей (3), (4) рассмотрим краевую задачу
dx '
— = A(t )x + J K (t, s)x(s)ds, (5)
dt о
n
X Mix(ti) = 0. (6)
i=1
Определение. Краевая задача (3), (4), для которой соответствующая ей линейная однородная краевая задача (5), (6) имеет (не имеет) нетривиальное решение, называется критической (некритической).
Для того чтобы ответить на эти вопросы, решение поставленной задачи будем искать в виде ряда:
x(t,e) = XteJxj (t), (7)
j=-i
где xJ(t) - удовлетворяет краевому условию
k
X Mixj(ti) = p.
i=1
Подставляем ряд (7) в краевую задачу (1), (2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях £. Следовательно, при е-1 для x-1(t) получим однородную краевую задачу:
dx * n
—1 = A(t)x-1 + JK(t,s)x-1(s)ds, XM,x-1(t,) = 0. (8)
dt 0 '=1
Рассмотрим критический случай. Когда однородная краевая задача (5), (6) имеет нетривиальные решения, т.е. rang M=r. По предположениям, однородная краевая задача (8) имеет r-параметрическое семейство решений x-1(t, С-1). Константа С-1 будет определена на следующем шаге из условия разрешимости задачи для x0(t). При £0 приходим для x0(t) к краевой задаче:
dx 1 n
—0- = A(t )x0 + J K (t, s )x0 (s)ds + A (t )x-1 (t) + f (t), X Мл (ti) = p. (9)
dt 0 i =1 Тогда по теореме 2 [5] критерий разрешимости краевой задачи (9) имеет следующий вид:
в
М
k >,
p- X Mi J F(ti, s)(A1 (s)x-1 (s, С-1) + f (s))ds
i
i=1 0
Откуда получаем алгебраическую систему относительно С-1:
DC-1 = вМ
k г
p- X Mi J F(ti ,s)f (s)ds
/=1 0
= 0. (10)
(11)
t
где D = 0M (X Mi J F(t, ,s)A,(s)Fr (s,0)ds), F(t,s) - операторное решение в смысле Быкова [4],
i=1 0
0
M = XMiF(t,0), 0M - левая-0 - собственная матрица для M в смысле [1; 2], Фг(t,0) - опера-
i=1
торное решение системы (8).
Для разрешимости системы (11) при произвольных f(t) и в необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие:
0D 0M = 0. (12)
Если дополнительно потребовать rangD = r ^ 0D = 0, то система (11) единственным образом разрешима относительно С_1:
С , =D+ 0M
b- X Mt J F(t| ,s)f (s )ds
'=1 0
где й+ - псевдо-обратная матрица.
Тогда краевая задача (9) имеет /--параметрическое семейство решений в виде
+ f (s))ds,
х0((,О0) = Ф(/,0)С„ +1Ф(*,5)(Д(5)Ф(5,0)0+ вМ Ь-£М11ф('/,ТУ(^
0 |_ /=1 0 _
где С0 - г-мерный вектор констант, который будет однозначно определён на следующем шаге из условия разрешимости краевой задачи для х1(?). При е1 имеем
-1 = А« )Х1 + | К (*, 5 )Х1 (5 )с5 + А (* )Х0 (*), £ М/Х1 (*/) = 0.
0 /=1
Тогда критерий разрешимости задачи (13) имеет следующий вид:
(13)
®
M
t,
0.
£ М11 Ф(/, ,5)Д(5 )Х0(8,С0^8
_ /=1 0 _
Из условия (необходимого и достаточного) разрешимости этой краевой задачи получаем алгебраическую систему относительно С0:
DC0 = 0M
X Mi J F(ti, s)A, (s) (J F(t|, t)A (t)F(t, 0)D+ 0M(b - X Mi J F(t,, J)f(J)dJ) + f(s))ds
_ i=1 0 0 i=1 0 _
Для разрешимости последней необходимо и достаточно выполнить условие:
0D 0M = 0. (14)
Если потребовать rank D=r, то система относительно С0 имеет единственное решение.
Продолжая этот процесс методом математической индукции, доказываем, что при выполнении условия (14) коэффициенты xj(t) ряда (7) однозначно определяются из соответствующих краевых задач. Сходимости ряда (7) также доказываются традиционными способами мажорирования.
Итак, справедлива ТЕОРЕМА.
Пусть краевая задача (1), (2) удовлетворяет указанным выше условиям так, что имеет место критический случай, и соответствующая порождающая краевая задача (3), (4) при произвольных неоднородностях f(t), b не имеет решений.
Тогда если выполнены условия rank D=r, 0D0M = 0, то для краевой задачи (1), (2) существует при произвольных f(t), b единственное решение, представимое в виде сходящегося при e е [0,e.] ряда (7).
k
Анализируя теорему, замечаем, что краевая задача вида (1), (2) принадлежит к классу задач нефредгольмового типа. Действительно, в случае rank M=r, когда необходимо следует, что размерность m-краевых условий больше размерности n-системы интегро-дифференциальных уравнений (m>n), краевая задача (1), (2) может иметь единственное решение, однако не при любых f(t), ß, а только при тех, для которых выполняется (10). С другой стороны, если rank M=r=m<n, по теореме 1 [6] при любых f(t), ß краевая задача (1), (2) имеет r-параметрическое семейство решений,
поскольку условие разрешимости автоматически выполняется в силу того, что ÄM =0 (r=n-m).
Таким образом, краевая задача (1), (2) принадлежит к фредгольмовому типу тогда и только тогда, когда n=m. В некритическом случае условие rank M=r эквивалентно условию detMlü, и тогда D+ = DЛ
В критическом случае условие det M=r. Это означает, что критерий разрешимости (10) краевой задачи (1), (2) в силу произвольности неоднородных ее членов f(t), ß не выполняется. Следовательно, с помощью малых возмущений краевую задачу (1), (2) можно сделать разрешимой при любых неоднородностях.
Более подробно предложенная схема определения коэффициентных условий возникновения решений краевых задач для дифференциальных уравнений фредгольмового вида изложена в работе [13; 14].
Список литературы:
1. Боташев А.И. Конечные методы в теории многомерного ветвления. - Фрунзе: Илим, 1976. - 259 с.
2. Боташев А.И. Периодические решения интегро-дифференциальных уравнений Воль-терра. - Москва: Изд-во МФТИ, 1998. - 98 с.
3. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. - Киев: Наук. думка, 1990. - 94 с.
4. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. -Фрунзе: Киргиз. гос. ун-т, 1957. - 328 с.
5. Васильев В.В. Решение задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР. - М., 1955. - Вып. 100, № 5.
6. Васильев В.В. Решение линейных обобщенных интегро-дифференциальных уравнений // ПММ. - М., 1951. - Вып. 15.
7. Галаев Б.М. Теорема существования решений интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР. - М., 1956. - Вып. 85, № 3.
8. Егоров А.И. Теорема существования решений интегро-дифференциальных уравнений // Труды физ.-мат. фак. Киргиз. ун-та. - Фрунзе, 1953. - Вып. 2. - С. 119-123.
9. Женхен О. О существовании и единственности решений интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР. - М., 1952. - Вып. 86, № 2.
10. Шишкин Г.А. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского университета, 2007. - 195 с.
11. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. - 1960. - Т. 15, вып. 3. - С. 3-80.
12. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // Тр. ЦАГИ. - М., 1934. - Вып. 190.
13. Артыков А.Ж. Условия разрешимости краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 1994. - Вып. 25. - С. 110-113.
14. Артыков А.Ж. Краевые задачи для систем линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 1999. - Вып. 28. - С. 49-52.
