CC BY
8УДК: 517:957 MSC2010: 35K55
СТАЦИОНАРНЫЕ СТРУКТУРЫ В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ С ОТРАЖЕНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
© Ю. А. Хазова
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики пр. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация e-mail: hazova.yuliya@hotmail.com
Stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable.
Khazova Y. A.
Abstract. Recently, there have been many studies on nonlinear optics, which is due to the wide use of optical systems in information technologies. The key advantages of optical methods for data storage and conversion are parallel signal processing and high performance. Owing to their natural benefits, optical systems are used to create elements of content-addressable memory, pattern recognition systems, and learning analog computers.
One of the most popular nonlinear optical systems is a system consisting of a thin layer of nonlinear Kerr-type medium and a two-dimensional feedback loop that can be organized in different ways. The fundamental feature of such systems is that the external feedback loop can be used to directly influence the nonlinear dynamics of the system by using prisms, lenses, dynamic holograms, and other devices for controlled transformation of spatial variables.
Parabolic functional differential equations with transformed arguments of the unknown function, used to model optical systems with two-dimensional feedback, are a new class of equations for studying the structurization phenomenon.
The paper deals with the dynamics of stationary structures of a parabolic equation on a circle with small diffusion in case of reflection spatial variable. The method to be used combines the formalisms Galerkin's methods.
Emergence of metastable structures in the equation at reduction of parameter has bifurcation character. In Galerkin's approximations of the equation average (20-31) dimensions the broad spectrum saddle-nodal bifurcations is implemented. Continuous branches of stationary points of systems of the ordinary differential equations which are given rise as a result saddle-nodal bifurcations, are answered by continuous branches of approximate stationary solutions. In this work the task about approximate stationary solutions of the equation type of transitional layer with one transition point is investigated. The set of approximate stationary solutions of the equation stated above like correctly reflects nature of evolution of metastable structures with one transition point at increase and at mean values of parameter. The last means that each metastable
structure of the equation with one transition point at increase passes near approximate stationary solutions with one transition point. Thus it is about dynamics of metastable structures not only at stage of slow evolution, but also in transitional zone. At research of metastable structures the task about approximate stationary solutions is key. In this work it is established that for the solution of this task at mean values of parameter application of method of Galerkin's leads to qualitatively and quantitatively correct results.
Keywords: parabolic problem, bifurcation, stability, Galerkin's method.
Введение
Оптические системы с двумерной обратной связью демонстрируют широкие возможности по исследованию процессов зарождения и развития диссипативных структур [1, 6]. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику оптической системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и другими устройствами. Нелинейный интерферометр с зеркальным отражением поля в двумерной обратной связи является одной из наиболее простых оптических систем, в которых реализуется нелокальный характер взаимодействия световых полей. В этом случае экспериментально установлено многообразие оптических структур, выявлена зависимость их количества и форм от коэффициента диффузии [1, 7]. Математической моделью оптических систем с двумерной обратной связью являются полулинейные параболические уравнения с преобразованиями пространственных переменных. Параболическое уравнение на отрезке с преобразованием отражения рассматривалось в работах [8, 6, 2]. Методы локальной теории бифуркаций в этом случае применялись в [8, 6] с целью построения стационарных структур и анализа их устойчивости. Метод Галеркина использовался в [2, 3] для построения стационарных структур и исследования их устойчивости при углублении в область надкритичности.
Задача о бифуркации пространственно неоднородных стационарных решений из пространственно однородного стационарного решения параболической задачи на окружности с преобразованием отражения исследовались в работе [10]. В указанной работе рассматривалась, при некоторых упрощающих предположениях, задача об эволюции стационарных решений при уменьшении коэффициента диффузии и его приближении к нулю. Эта же задача в данной работе рассматривается при более общих, чем в [10], условиях. Отметим, что в работе [10] также рассматривался вопрос о метаустойчивых структурах при малых значениях коэффициента диффузии и некоторых упрощающих условиях. Здесь тоже будем исследовать метаустойчивые
структуры при более общих условиях. Строится иерархия упрощенных моделей указанной задачи. Анализ галеркинских аппроксимаций указанной задачи, а также её численные расчеты в пакете "Mathematica", позволяют утверждать, что при средних (не очень малых) значениях коэффициента диффузии в рассматриваемой задаче возникают метаустойчивые структуры.
1. Постановка задачи
На окружности рассматривается параболическая задача с преобразованием отражения
ut + u = Duw + K(1 + y cos u(n — p,t)), t> 0, (1)
u(p + 2n,t) = u(p,t). (2)
Задача (1), (2) моделирует динамику фазовой модуляции u(p,t), p G (0, 2n), t > 0, световой волны, прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровского типа с преобразованием отражения в контуре обратной связи в одномерном приближении. Здесь D — коэффициент диффузии нелинейной среды, положительный коэффициент K пропорционален интенсивности входного поля, y — видность (контрастность) интерференционной картины, 0 < y < 1.
Гильбертово пространство L2(]0, 2п[) 2п-периодических функций обозначим H. Пусть Hs, s G N, шкала пространств, порожденная оператором Д (Д — одномерный оператор Лапласа) при условиях (2). Норма в Hs задается формулой IMI2 =< (—Д)su, u > + < u,u >. Здесь < *, * > — скалярное произведение в H. Отметим, что оператор —Д с областью определения H2 в пространстве H имеет полную ортогональную систему собственных функций 1, sin p, cos p, sin 2p, cos 2p....
Рассмотрим в этом разделе вопросы существования, формы и устойчивости в метрике H1 пространственно неоднородных стационарных решений, бифурцирующих из пространственно однородных стационарных решений, т. е. решений u(p, t) = w, определяемых из уравнения
w = K(1 + y cos w). (3)
С ростом K количество сосуществующих корней этого уравнения неограниченно растет, причем при K ^ то их состав постоянно меняется [4, 5]: рождаются новые состояния равновесия и умирают старые. Поэтому фиксируем гладкую ветвь решений
ш = w(K,y), 1 + Ky sin w(K, y ) = 0, (4)
уравнения (3).
Затем линеаризуем (1), (2) на ш(К,7). В результате получаем уравнение
ut + Lu = 0,
где
Lu = u — Duw — Л^и, Л = Л(К, y ) = — К y sin ш,
Q — самосопряженный в H оператор, определенный согласно равенству Qu(<^, t) = u(n — t).
Несложно убедиться в справедливости следующего предположения.
Лемма 1. Оператор L имеет полную ортогональную систему собственных функции
1, cos sin cos 2^, sin 2^..., соответствующих собственным значениям
А0 = 1 — Л, А? = 1 + D + Л, Л? = 1 + D — Л, А2 = 1 + 4D — Л, А2 = 1 + 4D + Л...
Если Л > 1, то ш(К, y) неустойчиво. Если —1 < Л < 1, то ш(К, y) устойчиво. Таким образом, интерес представляет случай Л < —1. Фиксируем К такое, что выполняется следующее условие.
Условие 1. Л = Л(К, y) < —1.
Проблема реализуемости этого условия исследована в [4, 5].
2. Устойчивые структуры параболической задачи
В качестве бифуркационного параметра примем D. Замена u = v + ш приводит уравнение (1), (2) в пространстве H1 к виду
vt + Lv = R(Qv), (5)
где
R(Qv) = Л— ctgш ■ Qv2 - Л^ ■ Qv3, (6)
L = L(D) = 1 — DA — ЛQ, Qv(<^, t) = v(n — t), а все члены порядка 4 и выше опущены.
Справедлива следующая теорема [10].
Теорема 1. Пусть выполнено условие 1. Существует > 0 такое, что если 0 < Б — Б < 80, то решениями (5) являются где
D - DA 1/2 ci(Di) ) 1 (D - Di\ Л
v±(p,D) = DloDyJ cos
+ ^ ( ^(D)1 ) Л ctg ш((Л0 - 2Л1)-1 + (Д1 - 2Л1)-1 cos 2р)±
3/2
2! V ci(Di^ 2
± - (D-DO (Л4 - 3Л1)-^Л - 4л2 ctg2 ^(Л2 - 2Л1)-М cos Эр + O((D - Di)2).
Здесь
ci(D) = Л - j(Лctg ш)2((Ло - 2Л1)-1 + 2(Л2 - 2Л1)-1) < 0. Решения u± экспоненциально устойчивы.
Теорема 1 справедлива в окрестности бифуркационного значения D1 параметра D. Для исследования задачи об эволюции v±(p,D) при выходе D из окрестности D1 в [10] использовался метод Галеркина. При этом предполагалось, что cos ш = 0.
В данной статье рассматривается общий случай уравнения (5) (cosш = 0), а также влияние квадратичного слагаемого на форму и устойчивость возникающих пространственно неоднородных стационарных решений. Согласно теореме 1, нулевое решение (5) асимптотически устойчиво для всех D > D1, D1 = -(1 + Л). При уменьшении параметра D и его прохождении через значение D1 нулевое решение теряет устойчивость. В результате от нулевого решения ответвляется пара стационарных решений v±, которая рождается устойчивой. При дальнейшем уменьшении D
и прохождении значения из неустойчивого нулевого решения бифурцирует пара стационарных решений v± , которая рождается неустойчивой с индексом неустойчивости 1. Для каждого —-1—~ < D < —1, k = 1, 2 ..., D1 = -(1+Л) существует ровно
(k + 1)2 k2
k пар стационарных решений v±, v±,... , v± уравнения (5), которые бифурцируют из нулевого решения.
Рассмотрим галеркинскую аппроксимацию уравнения (5) в виде
N N
v = ^^ zs cos sp + ^^ zk+N sin kp. (7)
s=0 k=1
Подставим (7) в уравнение (5). Приравняв затем коэффициенты при cos sp и sin kp, s = 0, N, k = 1, N, приходим к системе уравнений
-Л^ + gs(z), s = 0, N,
Zk+N = -ЛкZk+N + gk+N(z), k = 1, N.
Функции gs(z), gk+N (z) зависят от порядка аппроксимации N (в связи с громоздкостью выражения для них не приводятся).
Системы уравнений (8) обладают рядом общих свойств. Для каждого N нулевое решение (8) — асимптотически устойчиво, если D > Di. Нулевое решение (8) теряет устойчивость при прохождении параметра D через значение D1. Максимальная точка спектра нулевого решения проходит в этом случае через нуль с ненулевой скоростью. В результате этой бифуркации от нуля ответвляются две устойчивые непрерывные ветви неподвижных точек z±(D,N) = (zs1±(D,N), 0), s = 0,N, где все четные компоненты положительные, а у нечетных знак чередуется. Справедливо неравенство: |z1,±(D, N )| > |Z31;±(D,N )| >....
В силу (7) и определения z^D, N) справедливо следующее равенство
N
v±(D) = D) « Y z1,±(D, N) cos sp. (9)
s=0
Опишем динамику по параметру D стационарных решений v±(p,D) уравнения (5), опираясь на равенство (9) и численные расчеты непрерывной ветви z^ (D, N) стационарных точек системы (8), проведенные для N до 33. Для значений параметра D вблизи D1 v±(p,D) является квазигармонической функцией с малой амплитудой. Амплитуда функций (9) монотонно возрастает с убыванием параметра D, прибли-
3Л ctg ш ± J9Л2 ctg2 ш + 24Л2 - 24Л ^ n 0 жаясь к значениям -;- при D —> 0. Заметим, что
2Л F '
начиная с зависящего от N значения D* функции (9) колеблются вблизи значений
3Л ctg ш ± л/9Л2 ctg2 ш + 24Л2 - 24Л тт ^ ^ -—-. На рис. 1 представлены приближенные решения v+(p,D), полученные согласно (9) для N = 10.
Перейдем теперь к вопросу об устойчивости стационарного решения D). С
этой целью обратимся к динамике спектра a(z1 (D,N)) ветви неподвижных точек z±(D, N) системы (8). Проведенный анализ показал, что при убывании параметра D точки спектра сближаются. При этом максимальная точка спектра ^ < 0 — убывает, а остальные точки — возрастают. В качестве примера приведем 4 максимальные точки спектра, когда N =10, ш = 1.76, Л = -1.17
a(z1(0.07,10)) ={..., -1.179, -0.693, -0.331, -0.207}, a(z1(0.03,10)) ={..., -0.666, -0.471, -0.280, -0.264}, a(z 1(0.001,10)) ={..., -0.377, -0.374, -0.301, -0.265}.
Проведенный анализ для N от 16 до 33 дает основание предполагать, что решение v±(p,D) асимптотически устойчиво на промежутке (0,D1) изменения параметра D.
v
1
0.9
D=0.1
D=0.08
D=0.06
D=0.04
D=0.03
D=0.02
D=0.01
D=0.001
2 p
j
Рис. 1. Решения ^+(р,Д),где D = 0.1; 0.08; 0.06; 0.04; 0.03; 0.02; 0.01; 0.001, N = 10, ш = 1.76, Л = -1.17.
Спектр стационарных точек системы дифференциальных уравнений зависит от параметра Л. Спектры z+ (D, N), z1 (D, N) совпадают. В рассмотренных нами примерах, когда D от 0 до D1 и cos ш отходит от нуля, получено, что спектр всегда отделен от нуля. Так, например, для Л = -2.39
а(гЛ(1.1,10)) ={..., -4.172, -3.610, -2.754, -0.591}, а(гЛ(0.8,10)) ={..., -3.441, -3.072, -1.922, -1.211}, ^(z1 (0.07,10)) ={..., -1.883, -1.145, -1.509, -1.669}.
3. Решения г>±(р,Д)
Перейдем теперь к анализу формы и устойчивости стационарных решений Д) уравнения (5). Эта пара решений рождается из нуля неустойчивой с индексом неустойчивости 1 тогда, когда параметр Д, убывая, проходит через Д2 = д1 . Для анализа поведения (р, Д) при отходе параметра Д от точки бифуркации обратимся к системам (8). В этих системах индекс неустойчивости нуля повышается на единицу и становится равным двум тогда, когда параметр Д, убывая, проходит через Д2. В результате имеет место бифуркация "вилки" — от нуля ответвляются две непрерывные ветви неподвижных точек (Д, N) = (г0, — ^2±(Д, N), ±гк+м±(Д, N)), ^ = 0, N, к = 0, N, где от нуля отличны только координаты с индексами 4т, т = 0,1, 2,....
Как и выше, воспользовавшись равенством (7), приходим к следующему приближенному равенству
N N
v2±(D) = D) « £ 4с,±(А N) cos + £ z42fc+2+N;±(D, N) sin(4k + 2 + N
k=0
k=1
(10)
Равенства (10) позволяют описать динамику при убывании П. Отме-
тим, что при П ^ 0 приближается к ступенчатой функции, принимающей
3ЛС^ ш ±л/9Л2 с1§2 ш + 24Л 2 - 24Л л п 3п п тт значения -—- и точками разрыва 0, — ,п, —, 2п. На
рис. 2 представлены, согласно (10), приближенные решения где N = 10,
ш = 1.76, Л = -1.17 и различных значениях параметра П.
1
0.9
- D=0.035 0.5
- D=0.03 0.3
--- D=0.02 0.1
- D=0.01 - 0.1
---- D=0.008 - 0.3
— D=0.006 -0.5
- D=0.005 - 0.7
2 p
Рис. 2. Решения v-(p,D),^ D = 0.035; 0.03; 0.02; 0.01; 0.008; 0.006; 0.005, N = 10, ш = 1.76, Л = -1.17.
v
j
Вопрос об устойчивости у2 (<^, П) при уменьшении параметра П приводит к вопросу о поведении максимального собственного значения решения Обратимся в этой связи к вопросу о динамике при уменьшении параметра П максимального собственного значения ^(П, N) неподвижных точек (П, N) системы (8). Спектр матрицы устойчивости (П, N) лежит на вещественной оси и его максимальная точка ^2(П, N) при малых П2 — П > 0 принадлежит положительной полуоси. Остальные точки спектра лежат на отрицательной полуоси.
Поведение ^1(Д,N) при уменьшении Д зависит от порядка аппроксимации N. Если N = 4п — 3, п = 5,6, 7, то с уменьшением Д ^2(Д,N) убывая приближается к нулю, затем медленно меняется вблизи нуля, оставаясь на положительной полуоси. Если приведенное выше условие на N не выполняется, то (Д, N) приближается к нулю при уменьшении параметра Д и при некотором Д = Д**^) становится отрицательным. Приведем иллюстрирующий пример: ^?(0.03,10) = 0.047, ^(0.0106,10) = 0.0000596, ^2(0.0105,10) = —9.99 ■ 10-6, ^(0.0104,10) = —0000782, д1(0.006,10) = —0.00441.
Проведенный анализ не позволяет сделать строгих заключений о характере устойчивости решений г>±(р, Д) на всем интервале (0, Д2) изменения Д. Однако есть основания полагать, что г>±(р, Д) на интервале (0, Д2) сохраняет индекс неустойчивости.
4. МЕТАУСТОйЧИВЫЕ СТРУКТУРЫ
В системах (8) размерности N согласно проведенному бифуркационному анализу для значений N от 20 до 30 реализуется широкий спектр седло-узловых бифуркаций при средних (не очень малых) значениях параметра Д. В результате бифуркации седло-узел в однопараметрической системе (8) появляются две непрерывные по Д ветви стационарных точек, индексы неустойчивости которых отличаются на 1. Эти ветви стационарных точек определены для всех положительных значений параметра Д, которые меньше соответствующего бифуркационного. Рассматриваемым двум ветвям стационарных точек (8) отвечают в силу (7) две непрерывные ветви приближенных стационарных решений (5) типа внутреннего переходного слоя. Будем говорить, что приближенные решения (5) указанного типа отвечают седло-узловым бифуркациям в системе (8). Некоторые из седло-узловых бифуркаций в (8) порождают непрерывные по Д ветви приближенных стационарных решений (5) типа внутреннего переходного слоя с четырьмя точками перехода.
Реализация в системе (8) бифуркаций седло-узел с указанными выше свойствами вызвана медленной эволюцией вблизи нуля максимальной точки спектра ветвей стационарных точек (D,N) на достаточно большом интервале изменения параметра Д. Далее для определенности ограничимся анализом бифуркаций седло-узел, связанных с ветвью стационарных точек (Д, N). Бифуркации седло-узел указанного типа объединяются в конечные наборы бифуркаций, которые называются далее каскадами седло-узловых бифуркаций.
Рассмотрим один из каскадов, который порождает приближенные решения краевой задачи (5) с точками перехода, принадлежащими интервалу (п, 2п). Имеет
место 3 таких бифуркаций с бифуркационными значениями Д = Дк, к = 1, 2, 3, Д1 > Д2 > Д3. Здесь Дк = Дк^), к = 1,2,3. Подчеркнем, что Дк = Дк(N), к = 1, 2, 3 убывают с ростом N. Приведем теперь в качестве иллюстрации для случая N =10 приближенные бифуркационные значения Д, соответствующие им координаты точек и 3 наибольшие точки их спектров:
Д1 = 0.0329
(0.01160,0.179, 0.00205, 0.116, —0.00901,0.0265, —0.000251, 0.00341,...)
{ ..., —0.323, —0.215, 0.0000138} (0.01169,0.214, 0.00267, 0.124, —0.00841,0.0285, —0.000111, 0.00326,...)
{ ..., —0.322, —0.217, —5.51 ■ 10-8} Д2 = 0.0299
(0.0143,0.520, 0.0148, 0.196, —0.00181, —0.00867, —0.000294, —0.00711,...)
{ ..., —0.333, —0.257,1.3 ■ 10-7} (0.0144,0.527, 0.0151, 0.195, —0.00163, 0.00936, —0.000320, —0.00732,...)
{ ..., —0.334, —0.258, —1.35 ■ 10-7} Д3 = 0.00716
(0.0390,1.0384, 0.0274, —0.101, —0.0101, —0.0767, —0.000577, 0.0711,...)
{ ..., —0.332, —0.317,1.3 ■ 10-7} (0.0392,1.0479, 0.0275, —0.120, —0.0108, —0.0625, —0.000181, 0.0657,...)
{ ..., —0.347, —0.320, —1.4 ■ 10-7}
С целью сокращения многоточием обозначены остальные координаты стационарных точек. Устойчивая и неустойчивая ветви неподвижных точек, родившиеся в результате седло-узловой бифуркации системы (8), расходятся медленно с уменьшением параметра Д. Соответственно медленно расходятся и отвечающие им в силу (7) непрерывные ветви приближенных решений краевой задачи (5).
Приведенным стационарным точкам системы (8), где N = 10, Д = 0.004, отвечают приближенные решения задачи (5) на рис. 3. Очевидно, что с помощью преобразования р ^ 2п — р можно получить другие наборы ветвей приближенных решений.
Обозначим = %'+(р, Д, N), = %'+(р, Д, N), к = 1, 2, 3 непрерывные по Д ветви приближенных решений (5), отвечающие соответственно в силу (7) устойчивой, неустойчивой непрерывным ветвям стационарных решений системы (8), рожденных
— v2
— D=0.0329
— D=0.0329
D=0.0299
D=0.0299
D=0.00716
D=0.00716
v
1
0.9 0.7 0.5 0.3 0.1
/ / /' /' /' /
: ! / '/ / / '/ - < '/
// а
;: I
;; '/ ; i I,
-U-Ц-
г -
а и
'/ ■ I
и а : ч ' ; :
'/ ; ; ;
м ■ I :
'/ ;; ■■ ■
!' а ■ ;
п I ■ ■ :
-ч-;-!—^
j
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
' 31
: а 'I
: I I I,
И
п :
ч !
:: I:
, ;; //
1 и I
1 'I / /
7Я
Рис. 3. Приближенные стационарные решения (5), Л = -1.17, ш = 1.76, D = 0.005.
в результате седло-узловой бифуркации с номером к. Подчеркнем, что имеет место слабая зависимость указанных функций от N.
Положим далее N = 10. Рассмотрим решения 12'+, 1>2'+ уравнения (5) с начальными условиями г^'+ = П, N), г>2'+ = 1>2'+(^, П, N). Согласно численным
оЬ «'+ пЬ и' +
расчетам, на значительных промежутках изменения времени решения Ьв 12 , 12 меняются медленно. Приближенные решения 12'+, 12 + порождают метаустойчивые структуры. На рис. 4 представлено решение 1^'+ уравнения (5). Видно, что в течение времени £ порядка 40000 решения г>2'+ медленно меняется. Затем за достаточно короткий по сравнению с этапом медленной эволюции промежуток времени 12 оказывается вблизи устойчивого стационарного решения.
Заключение
Проведенный анализ показал, что замена исходной задачи некоторыми упрощенными моделями является целесобразной. В галёркинских аппроксимациях уравнения (5) средних (15-25) размерностей реализуется широкий спектр седло-узловых бифуркаций. Непрерывным ветвям стационарных точек систем обыкновенных дифференциальных уравнений, рожденных в результате седло-узловых бифуркаций, отвечают непрерывные ветви приближенных стационарных решений (5). Исследована задача о приближенных стационарных решениях уравнения (5) типа переходного
Рис. 4. Метаустойчивая структура (5), Л = -1.17, ш = 1.76, D = 0.005.
слоя с четырьмя точками перехода. Множество приближенных стационарных решений уравнения (5) указанного выше типа правильно отражает характер эволюции метаустойчивых структур с четырьмя точками перехода при увеличении t и при средних значениях параметра D. Последнее означает, что каждая метаустойчивая структура уравнения (5) с четырьмя точками перехода при увеличении t проходит вблизи приближенных стационарных решений (5) с двумя точками перехода. При этом речь идет о динамике метаустойчивых структур не только на стадии медленной эволюции, но и в переходной зоне. При исследовании метаустойчивых структур задача о приближенных стационарных решениях является ключевой. Установлено, что для решения этой задачи при средних значениях параметра D применение метода Галеркина приводит к качественно и количественно правильным результатам.
Описок литературы
1. Ахманов, С. А., Воронцов, М.А., Иванов, В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // Новые физические принципы оптической обработки информации. — M.: Наука, 1990. — C. 263-325.
AKHMANOV, S.A. and VORONTSOV, M.A and IVANOV, V.Y. (1990) Structure génération in optical systems with two-dimensional feedback: towards the création of nonlinear optical analogs of neural networks. New physical principles of optical information processing. p. 263-325.
2. Белан, Е.П. Динамика стационарных структур в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — Т. 46. — C. 95-111.
BELAN, E. P. (2010) Stationary structures in parabolic equations with inversion transformer spatial argument. Cybernetics and Systems Analysis. 46. p. 95-111.
3. Белан, Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журн. математ. физики, анализа, геометрии. — 2005. — Т. 1. — C. 3-34.
BELAN, E. P. (2005) On the dynamics of travelling waves in a nonlinear parabolic equation with a shift transformation of the space variable. Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 1 (1). p. 3-34.
4. Колесов, А. Ю., Розов, Н.Х. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения // Теор. и матем. физика. — 2004. — Т. 140. — C. 14-28.
KOLESOV, A.Y. and ROZOV, N.K. (2004) Optical buffering and mechanisms for its occurrence. Teoret. Mat. Fiz. 140 (1). p. 14-28.
5. Мищенко, Е. Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е. Ф. Мищенко,
B. А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит, 2005. — 430 c. MISHCHENKO, Е. F. and SADOVNICHIY, V. A. and KOLESOV, A. Y. and ROZOV, N. K. (2005) The autowave processes in nonlinear media with diffusion. Moscow: Fizmathlit.
6. Разгулин, А. В. Нелинейные модели оптической синергетики / А. В. Разгулин. — M.: МАКС Пресс, 2008. — 203 c.
RAZGULIN, A.V. (2008) Nonlinear optical model of synergy. Moscow: MAKS Press.
7. Воронцов, М. А., Железных, Н.И. Поперечная бистабильность и мультистабильность в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2. — C. 31-38.
VORONTSOV, M. A. and ZHELEZNYKH, N.I. (1990) Transverse bistability and multistability in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback. Mathematical modelling. 2 (2). p. 31-38.
8. Чушкин, В. А., Разгулин, А. В. Стационарные структуры в функционально- дифференциальном уравнении диффузии с отраженным аргументом // Вестн. Моск. ун-та. — 2003. — Т. 2. —
C. 13-20.
CHUSHKIN, V. A. and RAZGULIN, A. V. (2003) Steady-state structures in a functional-differential diffusion equation with reflection of the spatial argument. Mosc. Univ. 2. p. 13-20.
9. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — M.: Мир, 1985. — 376 c.
Henry, D. (1985) Geometric theory of semilinear parabolic equations. Moscow: Mir.
10. Белан, Е. П., Хазова, Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — Т. 4. — C. 43-57.
BELAN, E. P. and KHAZOVA, Y. A. (2014) Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of a circle. Dynamic systems. 4 (1-2). p. 43-57.
Статья поступила в редакцию 02.06.2015
