Динамика стационарных структур в параболической задаче с преобразованием отражения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.957 MSC2010: 35R20

ДИНАМИКА СТАЦИОНАРНЫХ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ОТРАЖЕНИЯ

© А. А. Корнута

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики пр. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: korn_57@mail.ru

Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with

transformation of reflection.

Kornuta A. A.

Abstract.

We consider the scalar parabolic equation on the quadrant which describes the dynamics of phase modulation of the light wave that has passed a thin layer of the nonlinear medium of Kerr type with transformation of reflection of the spatial variable in the two-dimensional feedback[1]. The equation depends on two parameters: the diffusion coefficient ц > 0 and Л < -1. The bifurcation parameter is ц. When decreasing ц and its passing —1 — Л from the zero solution losing its stability there branches out a pair of exponentially asymptotically stable stationary spatially inhomogeneous solutions. Using the Galerkin method it is found that there exists the solution Л* such one, that with Л > Л* the indicated stationary solutions remain stable when decreasing ц parameter. When ц —> 0 these stationary solutions approach the step functions with values ±\/—1 — Л. If Л < Л* then there is such value of the parameter ц < —1 — Л, when passing through which there is a loss of stability of stationary solutions. This bifurcation results in birth of two pairs of exponentially asymptotically stable stationary solutions. We have received a representation of these stationary solutions.

With further decrease of ц parameter and the passage of the next bifurcation values each time the zero solution increases the instability index by one. As a result of the bifurcation of the zero solution each time a new pair of unstable stationary spatially inhomogeneous solutions branches out. The nature of the stability of these solutions for the withdrawal from the corresponding bifurcation parameter values depends on the order of approximation. We have received a representation of these stationary solutions.

The direct numerical solution of the equation under consideration suggests that the application of the Galerkin method for the problem of stationary structures leads to a quantitatively and qualitatively correct results.

Keywords: nonlinear optics, feedback, bifurcation analysis, stability, Galerkin's method.

Введение

Одной из самых популярных нелинейных оптических систем является система, состоящая из тонкого слоя нелинейной среды керровского типа и различным образом организованного контура двумерной обратной связи. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, которое выполняется призмами, линзами и другими устройствами. Нелинейный интерферометр — одна из наиболее простых оптических систем, в которой реализуется нелокальный характер взаимодействия световых полей. Моделирование динамики нелинейных оптических систем с нелокальными взаимодействиями в контуре обратной связи [1, 2] приводит к параболическим функционально-дифференциальным уравнения с преобразованием пространственной переменной искомой функции.

В [3] экспериментально установлено многообразие оптических структур, показана зависимость их количества и форм от коэффициента диффузии. Согласно локальной теории бифуркации, для параболических уравнений с преобразованием пространственных переменных (см. [2, 4] и библиографию к ним) возникновение оптических структур вызвано потерей устойчивости пространственно однородного режима. В [5] для параболического уравнения на отрезке с преобразованием отражения пространственной переменной в малой окрестности бифуркационного значения параметра построены стационарные структуры и проведен анализ их устойчивости. С использованием метода центральных многообразий, в [4, 6] исследуются стационарные структуры параболической задачи, бифурцирующие в кольце и круге.

1. Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается функционально-дифференциальное уравнение на квадрате P = {(x,y) | — п/2 < x < п/2, —п/2 < y < п/2} [1, 4, 6], описывающее динамику фазовой модуляции w = w (t, x, y) световой волны, прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровского типа в оптической системе с преобразованием отражения в контуре обратной связи:

dtw (t, x, y) + w (t, x, y) = ^Aw (t, x, y) + K (1 + y cos w (t, —x, y)), t > 0,

w (x, 0) = wo (x) ,

dxw (t, —n/2, y) = dxw (t, n/2, y) = dyw (t, x, —n/2) = dyw (t, x, n/2) = 0, (2)

здесь A — оператор Лапласа, ^ > 0 — коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, коэффициент K > 0 пропорционален интенсивности входного поля, 0 < y < 1 — видность (контрастность) интерференционной картины.

Пусть H = L2 (P) — гильбертово пространство интегрируемых с квадратом на P функций. Обозначим Hs,s Е Z+ шкалу пространств, порожденную оператором А при граничных условиях (2). Норма в пространстве Hs,s Е Z+, определяется формулой ||u||2 =< (—A)s > + < u,u >, здесь < *, * > — скалярное произведение в гильбертовом пространстве H.

Данная работа посвящена нахождению асимптотической формы и анализу устойчивости пространственно неоднородных стационарных решений, бифурцирующих из пространственно однородных стационарных решений (1) w (t,x,y) = ш, которые определяются уравнением

ш = K (1 + y cos ш). (3)

При увеличении K количество одновременно существующих корней этого уравнения неограниченно растет, причем при K ^ то их состав постоянно обновляется: рождаются новые состояния равновесия и исчезают старые. Фиксируем гладкую ветвь решений ш = ш (K) , 1 + K7 sin ш (K) = 0 уравнения (3). Выполняя замену w = v + w и раскладывая функцию cos (v + ш) в окрестности точки v = 0 в степенной ряд, получаем уравнение

dtv (t, x, y) + v (t, x, y) = ^Av (t, x, y) + +Л ^v (t, -x, y) + 1 v2 (t, -x, y) ctgш - 6v3 (t, -x, y) + O (v4^ ,

t > 0, v(x, 0) = v0(x), d^v (t, -n/2, y) = dxv (t, n/2, y) = dyv (t,x, -n/2) = 5yv (t,x,n/2) = 0,

где Л= -K7 sin ш. Далее будем считать, что Л< 0 и выполняется следующее условие.

Условие 1. cos ш = 0.

Опуская в (4) слагаемые порядка O (v4) и выполняя замену (-Л)1/2 v = u, получаем уравнение:

dtu (t, x, y) + u (t, x, y) = ^Au (t, x, y) + Л^и (t, x, y) + (Qu (t, x, y))3, t > 0,

Qu (t, x, y) = u (t, -x, y), u(x, 0) = u0(x), (5)

dxu (t, -n/2, y) = dxu (t, n/2, y) = dyu (t, x, -n/2) = dyu (t, x, n/2) = 0.

Множество стационарных решений E^ уравнения (5), а следовательно, решений краевой задачи

^Au (x, y) - u (x, y) + ЛQu (x, y) + (Qu (x, y))3 = 0,

(6)

dxu (-n/2, y) = dxu (n/2, y) = dyu (x, -n/2) = dyu (x, n/2) = 0, зависит от параметра ^ > 0.

Уравнение (5), линеаризованное в окрестности нулевого решения, представим в виде

dt u = Au,

где Au = ^Au — u + Л^и, Qu (t, x, y) = u (t, —x, y). Линейный оператор A с областью определения H2, рассматриваемый как неограниченный оператор в пространстве H, является самосопряженным оператором. Методом Фурье устанавливается следующее утверждение [4]

Лемма 1. Оператор A, рассматриваемый в гильбертовом пространстве H с областью определения H2, имеет полную ортогональную систему собственных функций

sin (2k + 1) x ■ sin (2s + 1) y, sin (2k + 1) x ■ cos 2sy, cos 2kx ■ sin (2s + 1) y, cos 2kx ■ cos 2sy, k, s = 0,1, 2,..., соответствующих собственным значениям

A2fc+M = —1 — ^ ((2k + 1)2 + s2) — Л, A2M = —1 — ^ ((2k)2 + s2) + Л.

Согласно теореме 5.1.1 ([7, стр.113]) и лемме 1, если Л > 1, то нулевое решение (5) неустойчиво для любых ^ > 0. Если —1 < Л < 1, то нулевое решение (5) является асимптотически устойчивым для любых ^ > 0. Интерес представляет случай Л < — 1. Выберем теперь K так, чтобы выполнялось следующее условие.

Условие 2. Л = Л (K) < —1.

Если ^ > = — (1 + Л), то согласно лемме 1 нулевое решение задачи (5) является устойчивым. При убывании параметра ^ и его прохождении через значение

нулевое решение теряет устойчивость, одна точка спектра переходит на положительную полуось. Обозначим = -^^-, k = 0,1, 2,..., s = 1, 2, 3,...

(2k + 1) + s2

Если < ^ < ^i,o, то индекс неустойчивости нулевого решения равен 1. Индекс неустойчивости нулевого решения повышается на единицу при уменьшении ^ и его прохождении через ^2k+1)S, k = 0,1, 2,... , s = 0,1, 2,... Параметр ^ далее принимается в качестве бифуркационного. С использованием метода центральных многообразий в работе [4] доказана теорема о существовании, устойчивости и асимптотической форме двух стационарных пространственно неоднородных решений рассматриваемой задачи. В отличие от [4] в данной работе для описания асимптотической формы и исследования устойчивости стационарных решений (5) используется метод Галёркина. Отметим, что родственные задачи в одномерном случае рассматривались

в [8, 9]

2. АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЯ (5)

Для исследования динамики стационарных структур задачи (5) при отходе параметра ^ от соответствующего бифуркационного значения в данной работе строится иерархия упрощённых моделей уравнения (5) [10].

Будем искать приближённые решения уравнения (5) в виде

N

У] (Z2fc+1,0 sin (2k + 1) x + z0,2fc+i sin (2k + 1) y) +

u

k=0

N N

+ Z2fc+I,2s+1 sin (2k + 1) x ■ sin (2s + 1) y+

k=0 s=o (7)

NN ()

+ У] У Z4k+2,2s+1 cos (4k + 2) x ■ sin (2s + 1) y+

k=0 s=0 NN

+ ^ Z2k+1,4s+2 sin (2k + 1) x ■ cos (4s + 2) y.

k=0 s=0

Подставим (7) в уравнение (5). Приравняв затем коэффициенты при sin (2k + 1) x, sin (2k + 1) y, sin (2k + 1) x sin (2s + 1) y, cos (4k + 2) x sin (2s + 1) y, sin (2k + 1) x cos (4s + 2) y, (fc, s = 0, N, приходим к системам обыкновенных дифференциальных уравнений:

Z= F (ЗД , (8)

где Z = } , индексы р, д, принимающие значения 0, 2к + 1, 4к + 2, к = 0, Ж, не могут быть одновременно чётными. Были рассмотрены аппроксимации порядков 12, 21, 40, 55, 84, которые соответствуют значениям N = 1, 5.

Согласно проведенному анализу, системы (8) для N = 1, 5 обладают рядом общих свойств. Опишем их. Для Л < —1 и любого N =1, 5 нулевое решение (8) экспоненциально устойчиво при ^ > ^1,0 (все точки спектра матрицы устойчивости расположены на отрицательной полуоси). При переходе параметра ^ значения ^10 одна точка спектра переходит на положительную полуось, нулевое решение теряет устойчивость. В результате этой бифуркации от нуля ответвляются две непрерывные по ^ ветви неподвижных точек ±г(1) N) = ± 1, координаты которых, кроме 4к+1 0, к = 0, Ж, равны нулю, причём

410 >410 >... > 0, к = О^.

Функция

N

¥>1 (Х У ^ N) = ^ 41+1 81П(2к + 1)х (9)

к=1

является приближённым решением краевой задачи (6), отвечающим ветви неподвижных точек (ц, N).

Функция (х,у,ц) не зависит от у. Асимптотическая форма и динамика таких решений исследована в [8]. Представляет интерес лишь вопрос об устойчивости (х, у, ц) под действием мод, зависящих от у. Проведенный для значений N = 1,5 анализ спектра показал, что существует Л* ^ — 2 такое, что для Л > Л* и любых ц < ц1 спектр лежит на отрицательной полуоси. Отметим, что при уменьшении параметра ц точки спектра сближаются, причём максимальная точка спектра отделена от нуля. В качестве иллюстрации приведём для Л = —1.5, N = 3 спектры г(1) при различных значениях параметра ц:

ц = 0.4 ^ {—19.70, —13.91,..., —3.70, —3.30, —2.69, —1.79, —0.59, —0.19} ,

ц = 0.1 ^ {—5.46, —4.88,..., —1.47, —1.42, —1.37, —1.11, —0.81, —0.71} ,

ц = 0.01 ^ { — 1.94, —1.78,..., —1.01, —0.99, —0.92, —0.87, —0.84, —0.83} ,

ц = 0.001 ^ {—1.58, —1.56,..., —0.995, —0.80, —0.79, —0.78, —0.78, —0.77} .

Точки (ц, N) устойчивы для указанных значений Л > Л* при любых ц < ц1. Следовательно, есть основания полагать, что решение (х,у,ц) задачи (6) устойчиво при ц < ц1 .

На Рис. 1 представлен график приближённого решения (9) краевой задачи (6) для ц = 0.001.

Рис. 1. Приближённое решение (9) краевой задачи (6) при Ь = —1.5, ц = 0.001, N = 4.

Для Л < Л* существует значение параметра = ^) такое, что

при < ^ < ^10 все точки спектра г(1) N) принадлежат отрицательной полуоси. При ^ = наибольшая точка спектра г(1) N) переходит на положительную полуось. В результате от теряющей устойчивость ветви г(1) N) ответвляется пара непрерывных по параметру ^ ветвей стационарных точек г(±1) N). Проведенный анализ спектров ветвей г(±1) показал, что при одинаковых значениях параметра ^ спектры точек г(+1) N) и г(-1) N) совпадают. Для значений параметра ^ < все точки спектра г(+1) N) находятся в левой полуплоскости.

При уменьшении параметра ^ и переходе значения = (—1 — Ь)/2 индекс неустойчивости нулевого решения увеличивается, ещё одна точка спектра тривиального решения переходит на положительную полуось. В результате от нуля ответвляется вторая пара непрерывных по ^ ветвей стационарных точек ±г(2) N) таких, что

7(2) =0 к с

i о о i 1 ^ ^ гь .

г,

(2)

2к+1,0

г

(2)

0,2к+1

г,

(2)

2к+1,4«+2

'4«+2,2к+1

0, N

(2)

(2)

г2к+1,2«+1 = г2«+1,2к+1 ^(2) > г(2) >

к = С

Функция

N

^2 О^У^^) = ^ г2к+1,2«+1 ^ (2к + 1) Х ' ^ (2с + 1) у

к,«=0

10)

у(2)

является приближённым решением (6), отвечающим ветви неподвижных точек г(

На Рис. 2 изображено приближённое решение (^у,^^) задачи (6), определяемые равенством (10).

Анализ спектра ветви неподвижных точек г(2) N) системы (8), проведенный для N = 1, 5, приводит к следующим результатам. Спектр устойчивости г(2) (^,N) лежит на вещественной оси. Все точки спектра ветви неподвижных точек г(2) N) , кроме максимальной точки A0(^,N), принадлежат левой полуоси. При уменьшении параметра ^ отрицательные точки спектра сближаются: максимальная точка спектра уменьшается, а минимальная точка увеличивается. В окрестности бифуркационного значения параметра ^1,1 максимальная точка спектра А0(^, N) ветви неподвижных точек г(2) N) положительна. Для —2 < Л < —1 при отходе от бифуркационного значения максимальная точка спектра А0(^, N) медленно приближается к нулю и переходит через нуль на левую полуось.

При уменьшении параметра ^ и переходе значения ^12 = (—1 — Ь)/5 индекс неустойчивости нулевого решения увеличивается до трёх. В результате

от нуля ответвляется! третья пара непрерывных по ц ветвей стационарных точек ±г(3) (ц^) = ±|; 1,т = 0,1, 2,..., у которых все координаты, кроме

(3)

г^-н 4^+2, к, 5 = 0,1, 2,..., равны нулю. Функция

N

^3 (х,у,ц) = ^ г2к+1,4в+1 (2к + 1) Х ' СОЙ (45 + 2) у (11)

к,в=0

является приближённым решением (6), отвечающим ветви неподвижных точек г(3).

На Рис. 3 приведено приближённое решение (х,у,ц) задачи (6), определяемое равенством (11).

Приведём далее полученные нами результаты по динамике спектра неподвижных точек г(3) (ц^) , N = 1, 5 системы (8). Спектр г(3) (ц^) лежит на вещественной оси. Все точки спектра ветви неподвижных точек г(3) (ц, N) , кроме двух максимальных точек Л1(ц, N), Л2(ц, N), принадлежат левой полуоси. При уменьшении параметра ц отрицательные точки спектра сближаются: максимальная точка уменьшается, а минимальная точка увеличивается. В окрестности бифуркационного значения параметра ц1>2 максимальные точки спектра Л1(ц, N), Л2(ц, N) ветви неподвижных точек г(3) (ц, N) положительны. При уменьшении параметра ц и отходе от ц1>2 для —2 < Л < —1 поведение Л^ц^),Л2(ц^) зависит от N : при N = 3 точки Л^ц^),Л2(ц^) медленно приближаются к нулю, но не переходят через нуль;

Рис. 3. Приближённое решение (6), N = 5,Ь = — 1.5,^ = 0.001.

при N = 3 точки А1 N), А2(^, N) медленно приближаются к нулю, сначала одна точка переходит с ненулевой скоростью через нуль на левую полуось, а потом и вторая точка переходит на левую полуось. Например,

N = 3

V = = 0.075 —6.90, —5.71, . . ., —0.53, —0.41, —0.36, —0.235, 0.18,0.13} ,

V = 0.05 -5.18, - -4.42,.. . , —0.58, —0.42, —0.37, —0.30, —0.05, 0.03} ,

V = 0.01 2.61, - 2.33, . . . , —0.71, — 0.58, — -0.49, — -0.31, —0.14, —0.10} ,

V = 0.001 2.21, — 1.91, . . . , —0.71, — 0.60, — 0.54, — -0.23, —0.17, —0.08} ,

V = 0.0001 -1.81, - 1.73... , —0.69, — 0.58,— 0.38, — 0.32, —0.28, —0.19}.

Для Л < —2 при уменьшении параметра ^ ветвь неподвижных точек N) уве-

личивает индекс неустойчивости: ещё две точки спектра одна за другой переходят через нуль на правую полуось.

Рассмотрим решения ^, к = 1,3 уравнения (5) с начальными условиями ^к (ж,^,N). Согласно численным расчетам, проведенным для Ь = — |, N

1, 5,

на значительных промежутках изменения времени решения ^к меняются медлен-

но.

На Рис. 4 представлено численное решение уравнения (5), полученное с помощью пакета "МаШеша^са 8.0"для ^ = 0.001, Л = — |, £ = 2.2 • 105, где в качестве начального условия принято приближённое решение краевой задачи (6).

Рис. 4. Приближённое решения (5) с начальной функцией (11) при ц = 0.001, Л = — §, Ь = 2.2 ■ 105

Отметим, что из проведенного численного анализа можно сделать вывод, что в течение промежутка времени (0, ~ 2 ■ 105) решения ^, к = 1, 2, 3 меняются медленно. При дальнейшем увеличении Ь на профилях решений появляются резкие всплески, расположенные на линии быстрого изменения функции (линии перехода).

На Рис. 5 приведено решение задачи (5) при Ь = 2.5 ■ 105,ц = 0.001, иллюстрирующее указанное поведение. При увеличении времени Ь от 2-105 амплитуда этих всплесков быстро возрастает, достигая значений порядка 106 при Ь = 106. По нашему мнению, это явление связано с накопление ошибок интерполяции при численных расчётах.

Таким образом, результаты непосредственного приближённого решения задачи (5) согласуются с результатами галёркинской аппроксимации исходной задачи.

Заключение

Рассмотрены галеркинские аппроксимации порядков 12, 21, 40, 55, 84 уравнения (5), описывающего динамику фазовой модуляции световой волны, прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровского типа в оптической системе с преобразованием отражения пространственной переменной в контуре обратной связи.

При уменьшении ц и его прохождении —1 — Л от теряющего устойчивость нулевого решения ответвляется пара экспоненциально асимптотически устойчивых стационарных пространственно неоднородных решений. При ц ^ 0 эти стационарные

Рис. 5. Приближённое решения (5) е начальной функцией (9) при ^ = 0.001, Л = - §, Ь = 2.5 ■ 105

решения приближаются к ступенчатым функциям со значениями ±\/— 1 — Л. Установлено, что существует значение Л* ^ — 2 такое, что при Л* < Л < —1 указанные стационарные решения сохраняют устойчивость при уменьшении параметра Если Л < Л*, то существует значение параметра при переходе через которое имеет место потеря устойчивости стационарных решений. В результате происходит бифуркация рождения двух пар экспоненциально асимптотически устойчивых стационарных решений, которые сохраняют устойчивость при уменьшении параметра Получено представление этих стационарных решений.

тг - ^1,0

При уменьшении ^ и прохождении значений = -§-,

(2к + 1) +

к = 0,1, 2,..., в = 1, 2, 3,... нулевое решение увеличивает индекс неустойчивости. В результате этих бифуркации от нулевого решения каждый раз ответвляется новая пара неустойчивых стационарных пространственно неоднородных решений. Характер устойчивости этих решений при отходе параметра ^ от соответствующих бифуркационных значений зависит от порядка галёркинской аппроксимации.

Непосредственное численное решение рассматриваемого уравнения позволяет утверждать, что применение метода Галёркина в задаче о стационарных структурах приводит к количественно и качественно правильным результатам для Ь Е (0, « 2 ■ 105).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахманов, С. А., Воронцов, М.А., Иванов, В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // Новые принципы оптической обработки информации / Под ред. С. А. Ахманова, М. А. Воронцова - М.: Наука, 1990. - С. 263-325.

AKHMANOV, S., VORONTSOV, M. and IVANOV, V. (1990) Structure generation in optical systems with two-dimensional feedback: Toward creating nonlinear-optical analogs of neural networks. New Physical Principles of Optical Data Processing. Moscow: Nauka.

2. Разгулин, А. В. Нелинейные модели оптической синергетики / А. В. Разгулин.. — M.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2008. — 201 c.

RAZGULIN, A.V. (2008) Nonlinear models of optical synergetics. Moscow: MAX-Press.

3. Воронцов, М.А., Железных, Н.И. Поперечная бистабильность и мультистабильность в нелинейных оптических системах с обратной связью // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2. — № 2. — C. 31-38.

VORONTSOV, M. and ZHELEZNYKH, N. (1990) Transverse bistability and multistability in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback. Matematicheskoe Modelirovanie. 2 (2). p. 31-38.

4. Белан, Е.П. Двумерные стацонарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — T. 47. — № 3. — C. 33-41.

BELAN, E. (2011) Two-dimensional stationary structures in a parabolic equation with an inversion transformation of its spatial arguments. Cybernetics and systems analysis. 47 (3). p. 33-41.

5. Чушкин, В. А., Разгулин, А. В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная Математика и кибернетика. — 2003. — № 2. — C. 13-20.

CHUSHKIN, V. and RAZGULIN, A. (2003) Steady-state structures in a functional-differential diffusion equation with reflection of the spatial argument. Mosc. Univ. Comput. Math. Cybern. (2). p. 4-12.

6. Белан, Е. П. Динамика стационарных структур в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — T. 46. — № 5. — C. 95-111.

BELAN, E. (2010) Dynamics of stationary structures in a parabilic problem with reflected spatial argument. Cybernetics and systems analysis. 46 (5). p. 95-111.

7. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри.. — M.: Мир, 1985. — 376 c.

HENRY, D. (1981) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Berlin: Springer.

8. Белан, Е.П., Хазова, Ю.А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — Т. 4. — № 1-2. — C. 43-57.

BELAN, E. & KHAZOVA, YU. (2014) Dynamics of stationary structures in a parabilic problem with reflection spatial variable in the case of a circle. Dinamicheskie Sistemy. 4 (1-2). p. 43-57.

9. Корнута, А. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении на окружности поворотом пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — Т. 4 —№ 1-2. — C. 59-75.

KORNUTA, A. (2014) Metastable patterns of a parabilic equation on the circle with rotation of the spatial variable. Dinamicheskie Sistemy. 4 (1-2). p. 59-75.

10. Ахромеева, Т. С. Структуры и хаос в нелинейных средах / Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. — M.: Физматлит, 2007. — 485 c.

ACHROMEEVA, T., KURDYUMOV, S., MALINETSKII, G. and SAMARSKII, A. (2007) Struktury i haos v nelineynyh sredah. Moscow: Fizmatlit.

Статья поступила в редакцию 29.05.2015