Стационарные структуры в параболической задаче с преобразованием поворота на окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957

Стационарные структуры в параболической задаче с преобразованием поворота на окружности

А. А. Корнута

Крымский федеральный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: korm_57@mail.ru

Аннотация. Рассматривается параболическое функционально-дифференциальное уравнение на окружности с преобразованием поворота пространственной переменной. Используя метод центральных многообразий, доказывается теорема о существовании стационарных пространственно неоднородных решений, бифурцирующих из пространственно однородного решения при изменении бифуркационного параметра. Теорема носит локальный характер. А также исследуется асимптотическая форма указанных решений при отходе параметра от бифуркационного значения.

Ключевые слова: бифуркация, стационарные структуры, метод центральных многообразий

Stationary structures in a parabolic problem with a rotation transformation on a circle

A. A. Kornuta

V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. We considered a parabolic functional differential equation on a circle with rotation transformation of a spatial variable. Using the method of central manifolds, we proved a theorem on the existence of stationary spatially inhomogeneous solutions that bifurcate from a spatially homogeneous solution when the bifurcation parameter changes. The theorem has a local character. We also studied the asymptotic form of these solutions for the departure of the parameter from the bifurcation value. Keywords: bifurcation, stationary structures, the method of central manifolds. MSC 2010: 35B32, 35B35, 35K20

1. Введение

Одной из самых популярных нелинейных оптических систем является система, состоящая из тонкого слоя нелинейной среды керровского типа и различным образом организованного контура двумерной обратной связи. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, которое выполняется призмами, линзами и другими устройствами. Нелинейный интерферометр — одна из наиболее простых оптических систем, в которой реализуется нелокальный характер взаимодействия световых полей. Моделирование динамики нелинейных оптических систем

© А. А. КОРНУТА

с нелокальными взаимодействиями в контуре обратной связи [1, 10] приводит к параболическим функционально-дифференциальные уравнения с преобразованием пространственной переменной искомой функции. В [11] рассмотрены методы построения периодических решений для произвольной области и невырожденного гладкого преобразования. При построении стационарных структур и анализе их устойчивости для параболического уравнения на отрезке с преобразованием отражения в [12] применялась локальная теория бифуркаций. В [6] экспериментально установлено многообразие оптических структур, показана зависимость их количества и форм от коэффициента диффузии.

В [2, 4] для исследования бифурцирующих структур в кольце и круге использован метод центральных многообразий. В [7] на основе теории нормальных форм изучаются качественные свойства периодических структур, описываемых полулинейным параболическим уравнением с поворотом пространственного аргумента.

2. Постановка задачи

В работе рассматривается функционально-дифференциальное уравнение на окружности S1 = R/2nZ, описывающее динамику фазовой модуляции u = u (x,t) световой волны прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровско-го типа в оптической системе с преобразованием поворота на угол h в контуре обратной связи [1, 10]:

dtu + u = fAu + K (1 + y cos Qhu) ,t > 0, (21)

u (x + 2n, t) = u (x, t), u (x, 0) = u0 (x),

где A — одномерный оператор Лапласа, Qhu (x,t) = u (x + h,t), f > 0—коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, h — угол поворота поля, коэффициент K > 0 пропорционален интенсивности входного поля, 0 < y < 1— видность (контрастность) интерференционной картины.

Пусть H = L2 [R/2nZ] . Обозначим Hs, s Е Z+, шкалу пространств, порожденную оператором A при граничных условиях u (x + 2n,t) = u (x,t). Норма в пространстве Hs,s Е Z+ определяется формулой ||u||2 =< (—A)s > + < u,u >, здесь < * > — скалярное произведение в гильбертовом пространстве H.

В работе рассматриваются вопросы существования, формы и устойчивости пространственно неоднородных стационарных решений, бифурцирующих из пространственно однородных стационарных решений (2.1) u (x,t) = ш, которые определяются уравнением

ш = K (1 + Y cos ш). (2.2)

При увеличении K количество одновременно существующих корней этого уравнения неограниченно растет, причем при K ^ ж их состав постоянно обновляется: рождаются новые состояния равновесия и исчезают старые. Фиксируем гладкую ветвь решений

ш = ш (K), 1 + Ky sinш (K) = 0 (2.3)

уравнения (2.1). Уравнение (2.1), линеаризованное в окрестности решения ш (K), представим в виде

dtu = Au, (2.4)

где Au = —u + ßAu — LQhu, L = —Ky sinш [12], Qh—самосопряжённый оператор в H, определяемый равенством Qhu(x,t) = u(x + h,t).

Далее будем считать, что h = п, параметр ß принимается в качестве бифуркационного параметра.

Методом Фурье устанавливается

Лемма 1. Оператор A, рассматриваемый в гильбертовом пространстве H = L2 [R/2nZ] с областью определения H2 (R/2nZ), имеет полную ортогональную систему собственных функций cos kx, sin kx, k = 1, 2,..., соответствующих собственным значениям

Xk = —ßk2 — 1 + (—1)k L, k =1, 2,... (2.5)

Согласно теореме 5.1.1 [13] и лемме 1, если L > 1, то решение (2.3) уравнения (2.1) неустойчиво для любого значения параметра ß. Если —1 < L < 1, то решение (2.3) уравнения (2.1) является асимптотически устойчивым для любого значения параметра ß. Интерес представляет случай L < —1. Выберем теперь K так, чтобы выполнялось следующее условие. Условие 1.

L = L (K) < —1.

Реализуемость этого условия исследована в [8].

Пусть ßk = (—1 — L) /k2 ,k = 1, 2,.... Если ß > ßi, то согласно лемме 1 решение (2.3) уравнения (2.1) является устойчивым. При убывании параметра ß и его прохождении через значение ßi решение (2.3) теряет устойчивость.

Если ß2 < ß < ßi, то индекс неустойчивости решение (2.3) равен 1. При уменьшении ß и его прохождении через ßk, k = 2, 3,... индекс неустойчивости решение (2.3) каждый раз увеличивается на единицу.

3. Теорема о существовании и устойчивости

Преобразование u = v + ш приводит уравнение (2.1) к виду

dtv + v = ßdxxv + L ^Qhv + 1 (Qhv)2ctgш — 6 (Qhv)3 + O (v4)^ ,t > 0, (31)

v (x + 2п, t) = v (x, t), v(x, 0) = v0(x).

где L = —Ky sin ш [12].

Опуская слагаемые порядка O (v4) и выполняя замену — 6)1/2 v = U, получаем уравнение:

dtU + U = ßdxxU + LQnU + ЛQпU2 + QnU3,t > 0,

U (x + 2п, t) = U (x,t) , U(x, 0) = Uo(x), (.)

где Л = —^J^r ctgu.

Множество стационарных решений Eц уравнения (3.2), а следовательно, решений краевой задачи

¡лдххи — U + LQnU + Лд^U2 + QnU3 = 0, t> 0, (33)

U (x + 2п, t) = U (x,t),

зависит от параметров L и ¡.

Для случая cos u = 0 в [9] в окрестности бифуркационного значения параметра ц доказана теорема о существовании, устойчивости и асимптотической форме стационарных пространственно неоднородных решений задачи (2.4), построена иерархия упрощенных моделей и установлено существование медленно меняющихся решений.

Далее будем считать, что выполняется следующее условие. Условие 2.

cos u = 0.

Имеет место теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 и 2. При h = п, L < — 1, существует 5 > 0 такое, что для любых значений параметра ¡¡, удовлетворяющих неравенству

—L — 1 — 5<^< —1 — L, (3.4)

существует решение ipi(x,y) уравнения (3.2), определяемое равенством

фх(х,^) = (z cosx + z2а2(х,ц) + z3a3(x,y) + zV4(x,^) + +z5a5(x, ¡) + r(z,x,v)) \z=z(v),

(3.5)

где

Л

"4 =2

л / 1 1

=2 [-L - 1 - 2Ai + 2A-¡J COS 2ж' (3.6)

-2Л2 - 2Ai + A2 (3 7)

= 4(2Ai - A2)(3Ai - A3) C°S3"' (3.7) 1 ( 3 3 5Л2

(

L - 1 - 4AiVL - 1 - 2Ai 4(2Ai - A2) 2 (L - 1 - 2Ai)

2-

Л2 Л2

+

4(2Ai - A2)2 (L - 1 - 2Ai)(2Ai - A2) 1 (- , ,

(4Ai - A2)\2(L - 1 - 2Ai) (2Ai - A2) 2 (3Ai - A3) (2Ai - A2)

)

3 3 1 Л2

+ (2Ai - A2) + 2(3^-^ "-(3.§)

3Л2 Л2

+ -Л , Л--- c°s 2x+

(L - 1 - 2Ai) (2Ai - A2) (2Ai - A2) (3Ai - A3)

_1_( 3 2Ai - A2 - Л2 _Л

(2Ai - A2) (4Ai - A4 A - 4 3Ai - A3 + 4(2Ai - A2)

1

05 =

5Ai — A3

V 3Ai — A3 + 2 V

- --- I--

3Ai — A3 2 \2(L — 1 — 2Ai) (4Ai — A2)

3 3 3

---1 1-----

8(2Ai — A2)2 2 (L — 1 — 2Ai)(2Ai — A2) (2Ai — A2) (4Ai — A2)

31

+ TT-;-tt тттг-+

4 (2Ai — A2) (3Ai — A3) (L — 1 — 2Ai) (3Ai — A3) 13

2 (4Ai — A2) (3Ai — A3) 4 (2Ai — A2) (3Ai — A3) 31)

+ ^-ГТ7Т-T^ + +

4(2Ai — A2) (4Ai — A4) 2(3Ai — A3) (4Ai — A4) + Л4 ( 1 3

2 V (4Ai — A2) (2Ai — A2)2 (L — 1 — 2Ai) (4Ai — A2) (2Ai — A2) 1 3

+ (L — 1 — 2Ai)(4Ai — A3) (2Ai — A2) + (4Ai — A2) (2Ai — A2) (3Ai — A3)— (3'9)

31

+

2 (2Ai — A2)2 (3Ai — A3) 4 (2Ai — A2)2 (4Ai — A4) + (2Ai — A2)(3Ai — A3) (4Ai — A4)} ,С083Ж+

1 / 3 л2/ 3 _3_

(5Ai — A5^4(3Ai — A3) +TV4(2Ai — A2)2 + 2 (3Ai — A3) (2Ai — A2)

1 3 1 \

+-----1--+

^2 (3Ai — A3) (2Ai — A2) 2 (4Ai — A4) (3Ai — A3) (3Ai — A3) (4Ai — A4))

Л4 ( 1 1

+------+

2 V 2 (2Ai — A2)2 (3Ai — A3) 4 (2Ai — A2)2 (4Ai — A4)

-л ч / л-л ч / л-гт I I cos5x

(3Ai — A2) (3Ai — A3) (4Ai — A4) 1 1

здесь r(z,x,ß) = 0(|z|5); z(ß) > 0 — непрерывная ветвь стационарных точек ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2016, том 6(34), №4

уравнения

z = Xi(ß)z +

Г 3

+

3 л2 л2

-Т +

4 L - 1 - 2Ai 2(2Ai - А2)

z3+

3 2 3 3

+ ЛЧ - —-—2 - —-;--;-— +

16 (3Ai - A3) V 4 (L - 1 - 2A1 )2 (L - 1 - 2Ai) (L - 1 - 4Ai)

333 i-----1---1

4 (L - 1 - 2Ai) (4Ai - A2) 8 (2Ai - A2)2 4 (L - 1 - 2Ai) (2Ai - A2)

33

1-----1

4 (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2) 2 (4Ai - A2) (2Ai - A2)

_1_ _1_)

+ 4 (3Ai - A3) (4Ai - A2) + 2 (2Ai - A2) (3Ai - A3)J +

+Л' 5 1

(2 (L - 1 - 2Ai)2 (L - 1 - 4Ai) 4 (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2)2 11

2 (2Ai - A2)2 (4Ai - A2) (L - 1 - 2Ai) (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2) 3 1

+ 2 (L - 1 - A2) (4Ai - A2) (2Ai - A2) + 2 (2Ai - A2) (4Ai - A2) (3Ai - A3) +

1

+

z5

4(2Ai - A2) (3Ai - A3)

Решение pi(x,ß) — экспоненциально устойчиво.

Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся методом центральных многообразий [13]. Существование в окрестности бифуркационного значения параметра центрального многообразия уравнения (3.3) доказывается как в [3]. В окрестности и = 0, ц = —1 — Ь центральное многообразие представим в виде

pi(x,ß) = z cos x + z2a2(x,ß) + z3a3(x,ß) + z4a4(x,ß) + z5a5(x,ß) + ... (3.10)

где ак (х,у), к = 2,3,... функции из пространства Я0[О,2п]. На многообразии (3.10) уравнение (2.4) принимает вид

г = + + Сз г3 + С^ + С^5 + ... (3.11)

Найдём коэффициенты разложений (3.10) и (3.11). Для этого подставим (3.10) ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2016, том 6(34), №4

и (3.11) в уравнение (3.2)

(Xi(ß)z + C2z2 + C3Z3 + C4Z4 + C5Z5 + ...) (cos ж + 2za2(x,ß)+ +3z2CT3(x,ß) + 4z 3CT4(x,ß) + 5z4CT5(x,ß) + ...) + z cos x + z2CT2(x,ß) + +z3^3(x, ß) + z4CT4 (x, ß) + z5 ^ 5 (x, ß) + ... =

( . 2 д2CT2(x,ß) 3д2CT3(x,ß) 4 d2CT4(x,ß)

= ß - z cos x + z2-—2--+ z3-—2--+ z4-—2--+

у dx2 dx2 dx2

5 д2 CT5 (x, ß) \ T( 2 / \ 3 / ч

+ ... + M — z cos x + z CT2(x + П, ß) + z CT 3 (x + П, ß) +

(3.12)

dx2

+Z4CT4(x + П, /) + Z5CT5 (x + П, /) + + Л( — z cos x + z2ct2(x + П, /) + +z3CT3(x + п, /) + z4ct4(x + n, /) + z5ct5(x + n, /) + ...)2 + ( — z cos x+ +Z2CT2(x + П, /) + z3CT3(x + П, /) + z4CT4(x + П, /) + z5CT5(x + П, /) + . . . ) 3.

Из равенства коэффициентов при z2 в (3.12) получаем уравнение:

дд/*) ^Л

/-^--(1 + 2Ai) ct2(x, /) + Lct2(x + п, /) = С2 cos x--(1 + cos 2x). (3.13)

dx2 2

Из условия разрешимости (3.13) в пространстве [0, 2п] в классе гладких по параметру / функций следует, что C2 = 0. Тогда решением уравнения (3.13) в указанном классе является функция, определяемая равенством (3.6).

Приравняем коэффициенты при z3. Учитывая (3.13) и C2 = 0, получаем уравнение

/д ^ — (1 + 3Ai) CT3(x, /) + Lct3(x + п, /) =

/ 3 Л2 Л2 (

= (С3 + 4 — L — 1 — 2Ai + 2(2Ai — A2J ^ x+ (3.14)

(1 Л2 (

+ т--г-;-г^ cos 3x.

\4 2(2Ai — A2))

Из условия разрешимости уравнения (3.14) в классе гладких по параметру / функций находим

С= з , Л2 Л2 (315)

С3 = — 4 + L — 1 — 2Ai — 2(2Ai — A2). (3 )

Тогда решением уравнения (3.14) является функция, удовлетворяющая равенству (3.7).

Учитывая найденные ранее C2, C3, CT2 , CT3 и приравнивая коэффициенты при z4

в уравнении (3.12), получим уравнение

ß-dx2--(1 + 4Ai) a^(x, ß) + La4(x + n, ß)

, Л

C cos x + 2

3 3Л 5Л2

L - 1 - 2Ai 4(2Ai - A2) 2 (L - 1 - 2Ai)2

л2 л2 3 + TT-;-—t^TTT";-r^ +

4 (2Ai - A2)2 (L - 1 - 2Ai) (2Ai - A2) \(L - 1 - 2Ai) 3 1 л2

(2Л1 — Л2) + 2 (ЗЛ1 — Аз) (2А1 — Л2)2 + (3.16)

_3л2__л2_\ 2

+ (Ь — 1 — 2Л1) (2Л1 — Л2) + (2Л1 — Л2) (ЗЛ1 — Аз)) °08 Х+ ( 3 1 л2

+---1-----ъ

V 4(2Л1 — Л2) 2 (ЗЛ1 — Лз) 4(2^1 — Л2)2

+ (2Л1 — Л2)(3Л1 — Лз)) С084Х Из условия разрешимости уравнения (3.16), следует, что

С5 — 3

(

16 (3Ai - A3) V 4 (L - 1 - 2Ai)2

33

+ ттт-:-t^ttt^-

(L - 1 - 2Ai) (L - 1 - 4Ai) 4 (L - 1 - 2Ai) (4Ai - A2)

33

^^-:-тт ГТТТ-; т +

4 (L - 1 - 2Ai) (2Ai - A2) 4 (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2)

31

---1---

2 (4Ai - A2) (2Ai - A2) + 4 (3Ai - A3) (4Ai - A2)

31

^^-r^TTT^-r^ 1 +

+Л'

(

8(2Ai - A2)2 2(2Ai - A2) (3Ai - A3) 51

2 (L - 1 - 2Ai)2 (L - 1 - 4Ai) 4 (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2)2 11

(3.17)

2 (2Ai - A2)2 (4Ai - A2) (L - 1 - 2Ai) (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2) 3 1

+ 2 (L - 1 - A2) (4Ai - A2) (2Ai - A2) + 2 (2Ai - A2) (4Ai - A2) (3Ai - A3) +

1

4(2Ai - A2)2 (3Ai - A3)

При этом уравнению (3.16) удовлетворяет функция, определяемая равенством (3.9).

Процесс последовательного построения коэффициентов разложений (3.10) и (3.11) неограниченно продолжим. Получающиеся в результате разложения являются асимптотически сходящимся в окрестности ц = —1 — L. При ц < коэффициент С3(л) < 0, следовательно, в уравнении (3.11) при ц = имеет место суперкритическая бифуркация и из нулевого устойчивого стационарного решения ответвляются две устойчивые непрерывные по параметру ц ветви стационарных точек [13]. □

Заметим, что утверждения теоремы о существовании, форме и устойчивости ф1 (х,л) носят локальный по параметру ц характер. Однако, анализ построения инвариантного многообразия (3.10) даёт основание для следующего утверждения: в достаточно широком диапазона изменения параметра ¡ справедливо приближённое равенство

ф\(х,л) ~ z cosх + z2а2(х,л) + z3a3(x,^) + zV4(x,^) + z5a5(x,^), (3.18) где z(^) > 0 — непрерывная ветвь стационарных точек уравнения

z = Xi(ß)z +

3 Л2 Л2

-Т +

4 L - 1 - 2Ai 2 (2Ai - А2)

z 3+

+

3 2 3 3

+ ЛМ - —-;-г—2 - —-;-^ГГ-;-— +

16 (3Ai - A3) V 4 (L - 1 - 2Ai)2 (L - 1 - 2Ai)(L - 1 - 4Ai)

333

+-----1---h

4 (L - 1 - 2Ai) (4Ai - A2) 8 (2Ai - A2)2 4 (L - 1 - 2Ai) (2Ai - A2)

_1_ _1_A

+ 4 (3Ai - A3) (4Ai - A2) + 2 (2Ai - A2) (3Ai - A3) J +

5 1

+Л4

(3.19)

(

2 (L - 1 - 2Ai)2 (L - 1 - 4Ai) 4 (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2)2 11

f

2 (2Ai - A2)2 (4Ai - A2) (L - 1 - 2Ai) (L - 1 - 4Ai) (2Ai - A2) 3 1

+ 2(L - 1 - A2) (4Ai - A2) (2Ai - A2) + 2 (2Ai - A2) (4Ai - A2) (3Ai - A3) +

1

4(2Ai - A2)2 (3Ai - A3)

z5.

На основании выполненного выше анализа никаких выводов об устойчивости ф1 (х,ц) при углублении ц в область надкритичности сделать нельзя. Однако, приближённое равенство (3.18) позволяет исследовать устойчивость стационарной точки ф1(х,л) при отходе параметра ц от бифуркационного значения.

Рассмотрим поведение ф1 (х,ц) при уменьшении параметра ¡. С этой целью воспользуемся приближенным равенством (3.18). Численные расчеты проводились для случая Ь = — |. В качестве иллюстрации на Рис. 1 приведены графики функции ф1(х,л) для ¡л = 0.49, ¡л = 0.4, ¡л = 0.2, ¡л = 0.1, ¡л = 0.01.

4>i К/м)

Рис. 1. Приближённое решение (3.18) уравнения (2.5) при L = —1.5, ¿t = 0.49; 0.4; 0.2; 0.1; 0.01.

Вблизи значения параметра ц,\ график функции <р\ имеет квазигармоническую форму с малой амплитудой. При уменьшении параметра ц, амплитуда функции tfi {х,ц) возрастает. При этом tpi (х,ц) функции принимает экстремальные значения в точках 0, 7Г и 2тг. Затем рост её амплитуды прекращается. При дальнейшем уменьшение параметра ¡л увеличиваются промежутки, примыкающие к х = 0, х = 7Г, х = 27Г, на которых функция <р\ (х,ц) принимает почти постоянные значения. При достижении ¡л некоторого значения, функция tpi (х,ц) начинает колебаться, т. е. проявляется явление Гиббса. При ¡л близких к нулю tfi (х,ц) является функцией типа внутреннего переходного слоя [5] с двумя точками перехода | и

Зтг 2 '

При уменьшении параметра ¡л и прохождении значений ¡ли = л/—1 — L/ (2k — 1) , к = 1 , 2 , ... от U = 0 каждый раз ответвляется пара tpu{x, n),tp*k{x, ц) пространственно неоднородных стационарных решений задачи (3.2).

Для нахождения ipk(x,fi) используется принцип подобия

Lpk(x, ¡л) = <fi(kx] к/л), к = 2, 3,...

4. Заключение

В работе, используя метод центральных многообразий, доказана теорема о существовании, форме и устойчивости пространственно неоднородных стационарных решений параболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием поворота пространственной переменной на окружности.

Список цитируемых источников

1. Ахманов С А., Воронцов М А., Иванов, В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических анало-

гов нейронных сетей // Новые принципы оптической обработки информации./Под ред. С. А. Ахманова, М.А.Воронцова. — М.: Наука, 1990. — С. 263-325.

Akhmanov, S A., Vorontsov, M A., & Ivanov, V. Ju. (1990) Generation of structures in optical systems with two-dimensional feedback: on the way toward the creation of nonlinear-optical analogs of neuron nets. In S.A. Akhmanov, & MA.Vorontsov (Eds.), New Physical Principles of Optical Processing of Information (pp. 263-325). Moscow: Nauka. (in Russian)

2. БеланЕ. П. Динамика стационарных структур в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — T. 46, №5. —C. 99-111.

Belan, Е. P. (2010). Dynamics of stationary structures in a parabilic problem with reflected spatial argument. Cybernetics and systems analysis, 46:5, 772-783.

3. БеланЕ. П. (2004). О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении //Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40. №5. — C. 645-654.

Belan E.P. (2004). On the interaction of traveling waves in a parabolic functional-differential equation. Differ. Equ., 40:5, 692-702.

4. Белан Е. П. Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных // Кибернетика и системный анализ — 2011. — T. 47. №3. — С.33-41.

Belan Е. P. (2011). Two-dimensional stationary structures in a parabolic equation with an inversion transformation of its spatial arguments. Cybernetics and systems analysis 47, No.3, 360-367.

5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений — М: Высшая школа, — 1990. — 208 c.

Vasil'eva, A.B., Butuzov, V.F. (1990). Asymptotic Methods in the Theory of Singular Perturbations. Moscow: Vysshaya Shkola. (in Russian)

6. Воронцов, М.А., Железных, Н.И. Поперечная бистабильность и мультистабильность в нелинейных оптических системах с обратной связью // Матем. моделирование — 1990. —Т.2, №2. — C. 31-38.

Vorontsov M. A., ZheleznykhN. I. (1990). Transverse bistability and multistability in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback. Matem. Mod. 2, No.2, 31-38. (in Russian)

7. Кащенко C. A. Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных нелинейно-оптических системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — T.31, №3. — C. 467--473.

Kashchenko, S. A. (1991). Asymptotic form of spatially non-uniform structures in coherent nonlinear optical systems. Comput. Math. Math. Phys. 31, No.3, 97-102.

8. КолесовА.Ю., Розов Н.Х. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения. // Теор. и матем. физика. — 2004. — T. 140, №1. — C. 14-28.

Kolesov, A. Yu.& Rozov, N. H. (2004). Optical buffering and mechanisms for its occurence. Theoret. and Math. Phys. 140, No.1, 905-917.

9. КорнутаА. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении на окружности с поворотом пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — T.4(32), №1-2. — C. 59-75.

Kornuta A A. (2014). Metastable structures in a parabolic equation on a circle with rotation of a space variable. Dinamicheskie sistemy 4(32), No.1-2, 59-75. (in Russian)

10. РазгулинА. В. Нелинейные модели оптической синергетики. — M.: МАКС Пресс, 2008. — C. 201.

Razgulin, A. V. (2008). Nonlinear models of optical synergetics. Moscow: MAX-Press. (in Russian)

11. СкубачевскийА. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения. // Дифференц. уравнения. — 1998. — T. 34, №10. — C. 1394-1401.

Skubachevskij, A. L. (1998). The Hopf bifurcation for a quasilinear parabolic functional-differential equation. Differ. Equations 34, No.10, 1395-1402.

12. ЧушкинВ.А, РазгулинА. В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная Математика и кибернетика. — 2003. — №2. — C. 13-20.

Chushkin, V. A, Razgulin, A. V (2003). Steady-state structures in a functional-differential diffusion equation with reflection of the spatial argument. Vestn. Mosk. Univ., Ser. 15: Vychisl. Mat. Kibern., 2, 4-12.

13. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — M.: Мир. — 1985. — 376 c.

Henry, D. (1981). Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag.

Получена 14.08.2016