Теорема о существовании и устойчивости решения одного параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2018, том 8(36), №3, 275-280 УДК 517.957

Теорема о существовании и устойчивости решения одного параболического уравнения

Ю. А. Хазова, О. В. Шиян

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, 295007 E-mail: [email protected]

Аннотация. Рассматривается смешанная краевая задача для нелинейного параболического уравнения с преобразованием отражения пространственной переменной в круге. Доказывается теорема о существовании, форме и устойчивости пространственно неоднородного стационарного решения поставленной задачи.

Ключевые слова: параболическая задача, теорема существования, бифуркация, устойчивость.

The theorem on the existence and stability of a parabolic equation solutions

Yu. A. Khazova, O. V. Shiyan

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, 295007.

Abstract. The paper considers a mixed boundary value problem for a nonlinear parabolic equation with a transformation of the spatial variable on a sphere. It seems the proof of the existence, shape and stability of spatially inhomogeneous stationary solution of the problem. Keywords: parabolic problem, existence theorem, bifurcation, stability. MSC 2010: 35K10, 35K55

Введение

В данной работе продолжается исследование функционально-дифференциального параболического уравнения с преобразованием пространственной переменной. Ранее были изучены случаи возникновения и дальнейшая динамика решений параболической задачи с преобразованием отражения пространственной переменной на окружности [1, 3, 4, 8] и на прямой [2, 7], а также с преобразованием поворота пространственной переменной на окружности [5, 6].

Исследование выполнено при поддержке Программы развития федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского» на 2015-2024 годы по проекту "Сеть академической мобильности «Академическая мобильность молодых ученых России»" в 2017 году на базе ФГБУН Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН, лаборатория дифференциальных и разностных уравнений.

© Ю. А. ХАЗОВА, О. В. ШИЯН

1. Постановка задачи

Рассматривается параболическое уравнение в круге

^ cos w ^ 2 ^ sin w ^ 3 vt + Lv = -Ki^TQv + Qv , (i i)

Lv = v — DAv + Ki sin w Qv.

где v = v(r,ip,t) — искомая функция, 0 < r < r\, 0 < ф < 2n, t > 0, Av = idr (rдГ) + r2— оператор Лапласа в полярной системе координат.

На уравнение (1.1) накладываются следующие условия: условие Неймана на границе при r = f\

Щ!££ = 0, (1.2)

dr

условие периодичности

v(r,p,t) = v(r,p + 2n,t); (1.3)

условие ограниченности в начале координат

\v(0,p,t)\< c < o (1.4)

и начальное условие

v(r,p, 0) = qo(r,p) — w = vo. (1.5)

Лемма. Линейные оператор L уравнения (1.1) имеет собственные функции вида

Uk iKmr) COS Jk(Km,r) sin kV},

которым соответствуют собственные значения

Km = + (-1)* KY Sin * + 1

Akm = D^J + (-1)k+1 Ky sin * + 1 k = 0,1, 2,..., m = 1, 2,..., где Jk (x) — функция Бесселя, ¡ikm — корни уравнения

J'k (Vkm) = 0, k = 0,1, 2,...,m =1, 2,.... (1.7

Доказательство проводится методом разделения переменных.

1.6)

2. Формулировка и доказательство теоремы

Теорема. Существует 50 > 0 такое, что если 0 < Б — Б х < 50, где = ——-— первое бифуркационное значение параметра Б, 'то уравне-

(^1т/г1)

ние (1.1) имеет два асимптотически устойчивых решения вида

{D — D \ /2

+ 2 (D-Dy) ^ctS ^((A1° - 2A1i)_1 + ^ - 1)_1 cos 2ф) J (Mi r)±

3/2

2! V cci(Di) ) 2

± 3! ( Di-DY' (Ai3 - 3A"ri (4 - 4Л2 ctS2 -<Ai2 - 2Aii ^ X

x ^12(Aiir)J3(Aiir)cos 3ф,

здесь Л = -Ky sin w,

Ci(D)

Л - ^(Л ctg ш)2((Aio - 2Aii)-i + i(A?2 - 2Aii)-i)

Ji(Aiir) < 0.

Доказательство. Будем искать решения уравнения (1.1) при помощи метода центральных многообразий. В рассматриваемом случае центральное многообразие представимо в виде

v = zJ(Л1 цг) cos ф + + 3n3(z,r,p,D), (2.1)

где (z,r^,D), Q3(z,r^,D),... формы второй, третьей степени относительно z = z(i).

На центральном многообразии исходное уравнение принимает вид

z = -Л1 i(D)z + c i (D)z3 + ... (2.2)

Найдем коэффициенты разложений (2.1), (2.2). С этой целью подставим (2.1), (2.2) в уравнение (1.1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z. Положим П2 = q2(r^)z2. Тогда уравнение для определения q2(r^) примет вид

(L - 2!Л 11)q2 = ЛС^ ш.]1(Л1 1r) cos2 ф. Опираясь на лемму однозначно находим выражение для q2(r, ф)

Л 2

®(г,ф) = - ctg J2(Ai ir)[(Aio - 2Aii)-i + (Ai2 - 2Aii)- i cos2p]. (2.3)

Полагая = д3(т,ф)г3, приходим к заключению, что q3 удовлетворяет уравнению

- 3Xcn)q3 + e1(D)J1(Xcnr) cos ф = -Л ctg uJ1(\cnr)cos <£>Qq2+

+Ji(A?ir)

'А Л

8cos ф + 24cos 3ф

(2.4)

где (г, ф) определен выше.

Для разрешимости уравнения (2.4) необходима и достаточна ортогональность правой части уравнения (2.4) решениям соответствующей однородной задачи. Условие разрешимости этого уравнения приводит к однозначному определению коэффициента сС(О)

ci(D)

Л - 1 (Л ctg ш)2((ЛСо - 2ACi)"c + 1(AC2 - 2ACi)"c^

J2(ACcr) < 0. (2.5)

Уравнение (2.4), при указанном выборе сС(О), имеет решение того же вида, что и его неоднородность

qs(r^) = (ЛСз - 3ACc)-C (Л - 3Л2 ctg2 ^(ЛС2 - 2ЛСс)"^ J2(ACcr)J3(ACcr)cos 3ф.

(2.6)

Решая уравнение (2.2) с точностью до кубического слагаемого, получаем

V

ACC (D)

d(D)+exp(2AC1 (D)(t - c))

Разложим А1С в окрестности точки ОС. А1С(О) « (О — ОС).

Из условий сС(ОС) < 0, АСс(Ос) = 0 следует, что имеет место суперкритическая бифуркация типа «вилка» и из нулевого решения уравнения ответвляются два асимптотически устойчивых решения

О — Ос )1/2

^=DD)) + °((D - Di)1/2)- (2.7)

)

Следовательно, имеет место суперкритическая бифуркация рождения асимптотически устойчивых неоднородных стационарных решений. В силу (2.3), (2.6), (2.7) получаем

(О — О \ 1/2

у±(Т,Ф,О) «±1 сО)) ^с(АСсг)СОйф+

+2 (Ош) Ш((АС° — 2АСс)-1 + (АС2 — 2АСс)-1 cos2ф)J?(АСlr)±

1 (О — ОС)3/2 ,, с _ ч_С (Л

±КШ (AC3 - 3ACi)-^4-

■О

-4Л2 ctg2 ш(Х{2 — 2\СпГ1) Jf(Xcnr)J3(Xcnr)cos 3ф,

(2.8)

где Л = —Ky sin w,

cc(D)

О

Л — 4(Лctg( (АСо — 2ЛСсГ" + 2(^2 — 2АСс)

\с \-1

J2(АССГ) < 0.

□

Заключение

Авторами была доказана теорема о существовании, форме и устойчивости пространственно неоднородного стационарного решения смешанной краевой параболической задачи с преобразованием отражения пространственной переменной с условиями на круге. Доказательство опирается на метод центральных многообразий. Показан принцип построения асимптотической формы рождающихся пространственно неоднородных стационарных решений и определена устойчивость рожденных решений. Теорема носит локальный характер, поэтому для дальнейшего исследования динамики неоднородных решений необходимо использовать другие методы, например метод Галеркина.

Список цитируемых источников

1. БеланЕ. П., ХазоваЮ. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с преобразованием отражения пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — Т.4(32), No.1-2. — C. 43-57.

Belan, E.P.; Khazova, Yu. A. Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of a circle. Dinamicheskie sistemy 4(32), No.1-2, 43-57 (2014). (in Russian)

2. Хазова Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на отрезке с отражением пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — Т.4(32), No.3-4. — C. 245-257.

Khazova, Yu. A. Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of segment. Dinamicheskie Sistemy 4(32), No.3-4, 245-257 (2014). (in Russian)

3. ХазоваЮ. А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Таврический вестник информатики и математики. — 2015.— No.3(28). — C. 82-95.

Khazova, Yu. A. Stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable. Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki No 3(28), 82-95 (2015). (in Russian)

4. Хазова Ю. А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. — 2015. — Т.3, No.8-4 (19-4). — С. 314-317.

Khazova, Yu. A. Stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable. Aktualniye napravleniya nauchnih issledovaniy XXI veka: teoriya i praktika 3, 3-16 (2015). (in Russian)

5. ХазоваЮ. А. Бегущие волны в параболической задаче с преобразованием поворота на окружности // Компьютерные исследования и моделирование. — 2017. — Т.9, No.5. — С. 705-716.

Khazova, Yu. A. Traveling waves in a parabolic problem with a rotation on the circle. Computer research and modeling 9(5), 705-716 (2017). (in Russian)

6. ХазоваЮ. А. Решение типа «бегущие волны» в параболической задаче с преобразованием поворота // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2017. — Т.25, No.6. — С. 57-69.

Khazova, Yu. A. Traveling waves solution in parabolic problem with a rotation. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Prikladnaya Nelineynaya Dinamika 25(6), 57-69 (2017). (in Russian)

7. ХазоваЮ. А. Метаустойчивые структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной на отрезке // Динамические системы. — 2017. — Т.7(35), No.2. — С. 121-131.

Khazova, Yu. A. Metastable structures in a parabolic problem with reflection of a spatial variable on a segment. Dinamicheskie Sistemy 7(35), No.2, 121-131 (2017). (in Russian)

8. Шиян, О. В. О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией // Труды ИПММ НАН Украины. — 2008. — Т.16. — С. 208-222.

Shiyan, O.V. Dynamics of traveling waves in a Van der Pol system with low diffusion. Trudy IPMM NAN Ukrainy 16, 208-222 (2008). (in Russian)

Получена 25.09.2018