Стационарные и периодические режимы в задаче о движении тяжелой точки по вращающейся сфере при наличии вязкого трения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36

СТАЦИОНАРНЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ ПО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ

Е. С. Шалимова

1

Рассматривается задача о движении тяжелой точки по сфере, равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси. образующей постоянный угол с горизонтом, при наличии вязкого трепня. Исследуются существование, ветвление и устойчивость равновесий такой системы. Изучается вопрос о существовании периодических движений, предлагается подход к их отысканию в случае малой вязкости.

Ключевые слова: вязкое трепне, движение точки по сфере, положения равновесия, периодические режимы.

The problem of motion of a heavy material point on a sphere uniformly rotating about a fixed axis is considered in the case of viscous friction. The angle of inclination between the axis and the horizon is constant. The existence, bifurcation, and stability of the equilibrium positions are discussed. The existence of periodic motions is also studied. An approach is proposed to find such motions in the case of low viscosity.

Key words: viscous friction, motion of a particle on a sphere, positions of equilibrium, periodic modes.

При изучении динамики механических систем с вращающимися элементами, ориентированных на различные операции тина перемешивания, помола, сушки и т.д. различных веществ (см., например, [1 4|), а также автобалансировочных систем (см., например, [5]) возникает задача о взаимодействии отдельных подвижных элементов (частиц) и этих вращающихся элементов. Современные средства математического моделирования (см., например, [6, 7]) позволяют сделать достаточно детальные количественные выводы о движении таких систем в случае большого числа движущихся частиц. Вместе с тем, как оказалось, уже в случае одной частицы обнаруживаются качественные эффекты, создающие предпосылки для исследования более сложных динамических эффектов, таких, как бифуркация Андронова Хопфа.

Постановка задачи. Пусть P — тяжелая материальная точка массы ш, совершающая движение по поверхности двумерной сферы радиуса £ с центром в точке O под действием силы вязкого трения. Введем абсолютную систему координат OX1X2Х3, плоскость Ox 1Х2 которой горизонтальна, а третья ось Охз = ез направлена вертикально вверх. Если и — постоянный вектор угловой скорости сферы, г — вектор OP, то движение можно описать с помощью системы уравнений (рис. 1)

mr = —шдез + с(и х г — r) + Аг, (1)

где с — коэффициент вязкого трения, А — множитель Лагран-жа. Систему (1) следует рассматривать совместно с уравнением сферы, определяющим связь вида

f = -2{(r,r)-i2) =0.

(2)

Пусть е единичный вектор, задающий ось вращения, т.е. ш = ше. Тогда можно ввести безразмерные координаты и параметры, опираясь на соотношения

г = £т , с = шЬ, с = ш£шс, А = шш2А, д = £ш2д . (3)

Подставляя соотношения (3) в (1) и (2), сокращая общие множители в левых и правых частях и отбрасывая волнистые линии над символами, имеем

= —де3 + с(е х г — г') + Аг,

(4)

Рис. 1. Расположение вращающейся сферы относительно неподвижной системы координат Oxix2x3

1 Шалимова Екатерина Сергеевна ekat.eryim-slmlimovaOyandex.ru.

асп. каф. теоретической мехапики и мехатропики мох.-мат. ф-та МГУ. e-mail:

/ = -((г,г)-1)=0,

(5)

где штрихом обозначено дифференцирование но новому времени. Эти уравнения составят предмет дальнейших исследований.

Равновесия и их устойчивость. Уравнения равновесий и их решение. В силу уравнений (4) равновесия точки определяются из .линейной относительно г системы уравнений

—дез + се х г + Аг = 0,

(6)

дополненной уравнением (5).

Пусть А = 0, тогда уравнения равновесий иринимают вид —дез + се хт = 0. Отсюда (е, ез) = ез = 0, т.е. ось вращения горизонтальна, и равновесия могут иметь место только в горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения. Такие решения существуют при с — д ^ 0 и имеют вид

П = хвг

№2 с

Г2 = Хв2 +

де1

гз = 0, х = ±

л/^72

(7)

Эти решения составляют первый класс решений для горизонтальной оси вращения.

Пусть теперь А = 0. Решение системы (6) относительно компонент вектора г имеет вид

Г1

сд(—в2 А + св1вз)

А(А2 + с2) ' Г'2 А(А2 + с2) ' А(А2 + с2) '

А

сд(в1А + св2вз)

гз

д(А2 + с2ез)

(8)

сд(-е2Х + се1е3)у | ^сд(е1\ + се2е3)У | (д(\2 + (?еЩ2 1 = ()

А(А2 + с2) ) V А(А2 + с2) ) V А(А2 + с2)

Вещественные корни А± этой функции определяются из биквадратного относительно А уравнения

2, ! 2 2\ 2 2 2 п \2

ц + (с — д — д с ез = 0, ц = А.

Для положительного корня этого уравнения

А± = ±\

д2 - с2 + \/(с2 -д2)2 + 4д2с2е2

(9)

Этим значениям отвечают два равновесия изучаемой системы (рис. 2). Заметим также, что дез = А( , ) ез =( з,

),

(е ^) =

дез А '

(10)

которое понадобится в дальнейшем.

В частном случае при ез = 0 ось вращения горизонтальна, и в силу (8) и (5) условие на множитель Лагранжа примет вид

Рис. 2. Изменение положений равновесия при возрастании параметра с в случае негоризонтальной оси вращения: а вид сверху, б вид сбоку

д2

— 1 = 0, откуда получа-

А2 + с2

ем, что два различных корня записываются как А± = ±л/д2 — с2. Они существуют лишь при д ^ с, причем решения имеют вид

Г1

се-2 9 '

Г2

се1

д '

Гз = ±

\/д2

(11)

с

с

2

2

д

Этим решениям отвечает второй класс равновесий, для которых точка Р располагается на окружности большого круга, перпендикулярной оси вращения, причем при с ^ д соответствующие равновесия стремятся вдоль этой окружности к горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения (рис. 3).

Линеаризованные уравнения движения и необходимые условия устойчивости. Линеаризация уравнений (4), (5) в окрестности найденных равновесий дает

¿г" = с(е х ¿г - ¿г') + А£г + ¿Аг, (г, ¿г) = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид

p (a) =

0 Г1 Г2 Гз

т1 —a2 — ca + A -ce3 ce2

r2 ce3 —a2 — ca + A — cei

—a2 — ca + A

Рис. 3. Изменение положений равновесия при возрастании параметра c в случае горизон-

ce3

r3 —cw2 ce1

талыгой оси вращения

Принимая во внимание соотношения на параметры задачи, возникшие после введения безразмерных переменных, заключаем, что

P (a) = —a4 — 2ca3 — (c2 — 2 A) a2 + 2cAa — A2 — c2(e, r)2.

Заметим, что характеристическое уравнение приводится к виду (a2+ca — A)2 + c2(e, r)2 = 0; тогда решения можно найти из квадратных уравнений с комплексными коэффициентами a2 + ca — A = eic(e, r), e = ±1. Пусть сначала A = 0, e3 = 0. С помощью критерия Гурвица получим условия устойчивости

2c > 0, 2c (c2 — A) > 0, —4c4 ((e,r)2 + A) > 0, —4c4 (A2 + c2(e, r)2)((e,r)2 + A) > 0.

Так как c > 0, то в силу этих неравенств соответствующее решение устойчиво при выполнении условия

A + (е,г)2 < 0, (12)

принимающих) с учетом соотношения (10) вид

A3 + g2e3 < 0, A = 0. (13)

Для отрицательного корня из выражения (9) условие (13) преобразуется следующим образом:

22 g e3 <

g2 — c2 + \/(c2 — g2)2 + 4g2 c2e3

3/2

2

(с, д)

которых движение устойчиво, располагаются над некоторой кривой Г (па рис. 4 такие кривые 1, 2 и 3 построены для значений параметра ез = 1/10, 1/2, УЗ/2 соответственно).

Для положительного корня из выражения (9) условие устой- Рис. 4. Области устойчивости: 1 при чивости (12) не выполнено. ез = 1/10:2 1/2: 3 л/3/2

Пусть теперь А = 0. Тогда условия критерия Гурвица принимают вид

2с > 0, 2с3 > 0, —4с4(е, г)2 > 0, -4с6(е^)4 > 0,

и равновесия (7) неустойчивы.

Наконец, исследуем устойчивость равновесий (11). Так как для них ез = 0 (е,г) = 0 и А± = ±д'2 — с2, то условия критерия Гурвица принимают вид

2с > 0, 2с (с2 ^ (д2 — с2)1/2) > 0, т4с4 (д2 — с2)1/2 > 0, ^4с4 (д2 — с2)3/2 > 0.

При этом устойчивы равновесия, отвечающие нижнему знаку, и неустойчивы, отвечающие верхнему.

Необходимое условие существования периодических движений при условии малости параметра возмущенной системы. Пусть

X = ^х), X емп, (14)

— система дифференциальных уравнений на гладком п-мерном многообразии Мп, обладающая периодическим решением х(£) : х(£) = х(£ + Т) с периодом Т > 0. Тогда для любой однозначной скалярной функции Г = Г(х) на Мп имеет место равенство

Г (х(£)) = Г (х(£ + Т)) V«

Если функция Г дифференцируема, то вдоль траекторий системы (14) имеет место равенство

(Ш (дГ

которое представнмо в виде

4+т

^ (х(< + Г)) - ^ (х(<)) = I = (15)

г

Пусть теперь правая часть уравнений (15) гладким образом зависит от параметра е, который будем считать малым. Тогда ^х) = ^(х) + ^1(х) + ...

Предположим, что при е = 0 невозмущенная система обладает первым интегралом 3 = 3(х), т.е.

Тогда, выбирая функцию 3 в качестве функции Г, из (15) имеем

(16)

г

Пусть

х(*)=хо(*)+ ех 1(£) + ... (17)

Т

х = хо(£) невозмущенной системы с тем же периодом. Подстановка решения (17) в (16) и разложение

е

периодического решения (17) в виде

4+т

'д3 (хо(т)) Л

—-, ^ (хо(т)) 1 (¿Г = 0.

Аналогичные условия оказываются верными и при отыскании двоякоасимптотических решений возмущенной задачи. Для произвольных ¿1 и ¿2 представим соотношение, аналогичное (15), в виде

гг

и предположим, что невозмущенная система обладает двоякоасимптотическим движением

х = хо (¿) : хо (те)=х+, хо (—те)=хд,

неограниченно приближающимся к гиперболическим, быть может совпадающим между собой положениям равновесия х+ и хд при £ ^ те и £ ^ —те соответственно. Если 3 = 3(х) — первый интеграл

невозмущенной системы, то 3(х+) = 3(х0 )• Опираясь на рассуждения, аналогичные предыдущим и примененные к равенству (18), находим, что для существования решения

х = Х£(£): Х£(£)=Х+, х£(-г)=х0,

двоякоасимптотического к гиперболическим периодическим решениям х = х +(£) и х = х°(Ь), необходимо, чтобы выполнялось условие

д3 (хо(т))

3(х+)-3(хе")= J (^(g°(T)),fi(xo(r)))dT = 0

что верно, в частности, в случае, когда х+ и х° совпадают.

Примечание. Применение метода, несомненно восходящего к Пуанкаре, в рамках рассматриваемой задачи обусловлено желанием предварительного отыскания начальных условий для численного построения периодических решений (см. [8], а также [9, 10]).

Периодические движения в случае малости приведенной вязкости. Пусть в рассматриваемой системе вязкость с мала. В пределе, при с = 0, имеем вполне интегрируемую задачу о движении сферического маятника. При этом уравнения движения допускают два первых интеграла — интеграл энергии Зо = \ (г')г') + §(г7ез) и интеграл площадей От = (г х г',ез). Их производные в силу уравнений возмущенного движения имеют вид

30 = (г',г") + д(г',ез) = (г', —де3 + с(е х г — г') + Аг) + д(г' ,е3) = с (г', е х г — г') ,

31 = (г' х г' ,е3) + (г хг", е3) = (г х {—де3 + с(е х г — г') + Аг) , е3) = с (г х (е х г — г') , е3) .

Так как невозмущенная задача представляет собой вполне интегрируемую систему с двумя степенями свободы, то в качестве "порождающих" периодических решений можно взять любые решения с соизмеримыми частотами. Ограничимся рассмотрением одночастотных прецессионных движений I и расположенных на нулевом уровне интеграла площадей плоских движений II, двоякоасимптотических к верхнему положению равновесия.

Так, прецессионные движения I имеют вид

г\ = -ñcos(wt), Г2 = -ñsin(wt), г3 = — у/ 1 — R2,

где ш = const R = sin в, при этом в = const — угол, который составляет радиус-вектор точки с вертикалью Ох3^в>1

На движениях II в фиксированной вертикальной плоскости

ri = f (t) cos в, Г2 = f (t) sin в, r3 = g(t),

где в — угол между плоскостью движения и плоскостью Ож1 Жз.

Случай одночастотных прецессионных движений. Рассмотрим сначала одночастотные прецессионные невозмущенные движения I. Для них

' r01 = R cos(wt), Г02 = R sin(wt), Гоз = -УГ^Ё2, u01 = —Rw sin(wt), u02 = Rw cos(wt),

, U03 = 0,

^ ^ ^ n

где R = s'mO, в = const, 9 > —, w = const.

Система x! = f (x) для x = (r, v) запишется следующим образом:

( /

r1

r2

r3

Ui, U2, U3,

ui = —c cos ar2 — cu1 + Ar1,

u2 = c cos ar1 — c sin ar3 — cu2 + Ar2,

u'3 = —g + c sin ar2 — cu3 + Ar3,

где a — угол между осью вращения и осью Ox-3. Тогда условие существования периодического решения с периодом T

t+T

'dJ 1 (хо(т)) , Л, _ —^-,Л(хо (т)) )dr = 0

примет вид

J (cR2 cosa — cR2ío + cií cos wí-\/l — -ñ2 sin aj dr = cR2 eos aT — cR2'2ir = 0

(здесь мы учли, что wT = 2п). Следовательно, T =

2п

при cos a = 0. Так как периодическое решение

cos а

должно иметь тот же период, что и порождающее его движение невозмущенной системы, то условия для него следуют из равенства

2тг 2тг I Т -= —

cos а ш*

откуда получаем

л/l - R2 = - cos в =

УГ^я2' д

cos2 a'

(19)

Рассмотрим теперь интеграл площадей 3 = г'2Г1 — Г2Г[ = У2Г1 — Аналогично, выписывая условие

Т

t+t

J (cR2w cos a — cR2u)2 + cR cos u)t\/l — R2u) sin aj dr = 0

(20)

На рассматриваемых невозмущенных движениях ш = ш*, поэтому условие (20) примет вид

2ircR2 cos a - cR2—j£= = 0, Vl^R2

2тг

Piic. 5. Периодическое решение при а 41 4 1 ^ 4 1 Ш

откуда Т = — \/l — R2 cos а. Приравнивая последнее выражение

g

к периоду невозмущенного движения, вновь приходим к условию (19), полученному для интеграла площадей.

Таким образом, если периодическое решение, близкое к одно частотному прецессионному движению невозмущенной системы,

гр 2тг

существует, то его период составляет 1 =-и выполнено усло-

cos а

вие (19). В частности, при cos а = 0, т.е. для горизонтальной оси вращения, таких решений не существует.

На рис. 5 периодическое решение возмущенной системы при

7Г А 3-7Г л/2 г

-, д = ——, ш = v 2 изображено для наглядности в

а = Т> в = 4

4 4

4

сферических координатах в, р.

Случай двоякоасимптотических движений. Для того чтобы перейти к случаю решений, порожденных двоякоасимптотическим движением, рассмотрим плоский аналог изучаемой задачи. Это система,

состоящая из тяжелой точки и неподвижной окружности, которая расположена в вертикальной плоскости и по которой эта точка может двигаться. В отсутствие трения уравнения движения этой системы интегрируются в эллиптических функциях. Исключение составляет случай двоякоасимптотических движений. Пусть угол д отмеряется от нисходящей вертикали. Тогда из интеграла энергии

1 ( dq \ о2

2

, , , — iV cos q = h 2 \dt,'

при константе h = Q2, отвечающей двоякоасимптотическим гомоклиническим движениям, находим

q 1 dq eQ

_ = ___ = у __р — \

2 ch (Q(t — to))' dt ch(fi(i-i0))'

Возвращаясь к трехмерной задаче, получим

2 q -2 qN

r3 = - cos q = g(t) = - (cos2 | - sin2 |) = 1 ~

2 2) ch2 (Q(í - íq))'

• 0 • Q Q 0 sh (Q(t — tp)) f(t) = sinq = 2sin-cos - = 2e —-

2 2 А2 ({(* -

Таким образом, в невозмущенной задаче имеется семейство двоякоасимптотических движений, параметризованное углом в поворота плоскости вокруг вертикального диаметра сферы. На этих движениях

г\=2е—-г2 = 2е—--{-втв, г3 = 1--—--—.

сЬ2 - ¿о))

Запишем интеграл энергии для этой задачи Зг = ^ + "^2 + ^з) + 9гз ■ Тогда необходимое условие существования двоякоасимптотического решения возмущенной задачи

запишется как

f í 2eü п 4Q2 \ „

/ , -rr sin a sin В--„- ат = етт sin a sin В — 8 Í1 = 0.

J \ch(Q(t-t0)) и ch (Q(í — ¿o))/

Таким образом, если решение, близкое к двоякоасимптотическому верхнему положению равновесия невозмущенной задачи, существует, то выполнено условие Q = (п/8) sin a sin ß. В частности, если ось вращения вертикальна, то это условие не может быть выполнено.

Выводы. В работе исследованы условия существования и устойчивости равновесий системы, состоящей из тяжелой точки и равномерно вращающейся сферы, по которой точка движется при наличии вязкого трения, а также вопрос о существовании периодических и двоякоасимптотических движений при условии малости величины коэффициента вязкого трения. Представляет интерес исследование сходных задач в иных предположениях о трении, в частности случай сухого трения, а также вопрос о катании твердых тел конечных размеров по вращающимся поверхностям в рамках различных предположений о характере взаимодействия тела и поверхности.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 12-08-00591, 12-08-00637, и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" 2009-2013 гг. (контракт № 14.В37.21.0225).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арет В.А., Орлов В.В., Зеленков С.К. Выбор перемешивающего устройства на основе построения его морфологической модели // Процессы и аппараты пищевых производств. 2009. № 2. 1-5.

2. Akpolat Z.H., Asher G.M., Clare J. С. Dynamic emulation of mechanical loads using a vector-controlled induction motor-generator set // IEEE Trans. Ind. Electron. 1999. 46, N 2. 370-379.

3. Papadopoulos Е., Papadimitriou I. Modeling, design and control of a portable washing machine during the spinning cycle // Proc. 2001 IEEE/ASME Int. Conf. on Advanced Intelligent Mechatronics Systems (AIM 2001), 8-11 July 2001. Como, Italy, 2001. 899-904.

4. Joshi P., Nigam K.D.P., Nauman E.B. The Kenics static mixer: new data and proposed correlations // Chem. Eng. J. 1995. 59, N 3. 265-271.

5. Wouw N. van de, Heuvel M.N. van Den, Nijmeijer H., Rooij J.A. van. Performance of an automatic ball balancer with dry friction // Int. J. Bifurc. Chaos. 2005. 15, N 1. 65-82.

6. Fleissner F., Lehnart A., Eberhard P. Dynamic simulation of sloshing fluid and granular cargo in transport vehicles // Vehicle System Dynamics. 2010. 48, N 1. 3-15.

7. Alkhaldi H., Ergenzinger C., Fleissner F., Eberhard P. Comparison between two different mesh descriptions used for simulation of sieving processes // Granular Matter. 2008. 10, N 3. 223-229.

8. Понтрягин Л. С. О динамических системах, близких к гамильтоиовым // Жури, экперим. и теор. физ. 1934. 4, № 9. 234-238.

9. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980.

10. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // Успехи матем. наук. 1986. 41, № 5. 177-178.

Поступила в редакцию 05.04.2013