Научная статья на тему 'Асимптотический анализ шестимерной модели свободной конвекции в сфероидальной полости при исчезающей диссипации'

Асимптотический анализ шестимерной модели свободной конвекции в сфероидальной полости при исчезающей диссипации Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
57
21
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СИСТЕМА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА / ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ОБЕРБЕКА БУССИНЕСКА / ВОЛЧОК ЛАГРАНЖА / МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ / АСИМПТОТИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ / HYDRODYNAMIC TYPE SYSTEM / EXACT SOLUTIONS OF THE OBERBECK-BOUSSINESQ EQUATIONS / LAGRANGE TOP / AVERAGING METHOD / ASYMPTOTICS OF PERIODIC MOTIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Петровская Наталья Владимировна

Рассматривается предложенная Ф.В. Должанским шестимерная модель свободной конвекции вязкой теплопроводной жидкости в эллипсоидальной полости. В случае невязкой нетеплопроводной жидкости эта модель сводится к известным уравнениям Эйлера Пуассона движения твердого тела с закрепленной точкой. В отличие от других маломодовых моделей она определяет точные решения уравнений свободной конвекции в приближении Обербека Буссинеска с пространственно-линейными полями скорости и температуры. Изучаются установившиеся конвективные движения, определяемые шестимерной моделью при малых значениях коэффициентов вязкости и теплопроводности жидкости , . Эллипсоидальная полость предполагается вращательно-симметричной, градиент температуры на ее границе и сила тяжести направлены по оси симметрии. Если и малы, то модель можно рассматривать как возмущение уравнений Эйлера Пуассона в интегрируемом случае Лагранжа. Это позволяет выполнить для нее асимптотический анализ в предельном случае , при сохранении отношения коэффициентов числа Прандтля. Оказывается, что в зависимости от параметров задачи и начальных условий с течением времени устанавливаются либо стационарные, либо периодические движения. Первые представляют собой эллиптические вращения жидкости вокруг оси, ортогональной направлению силы тяжести. Вторые это движения колебательного типа с нулевым средним значением угловой скорости. Для них ось вращения постоянна (ортогональна силе тяжести), а интенсивность и направление вращения изменяются периодически.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ASYMPTOTIC ANALYSIS OF THE SIX-DIMENSIONAL MODEL OF FREE CONVECTION IN A SPHEROIDAL CAVITY WITH VANISHING DISSIPATION

A six-dimensional model of free convection of a viscous heat-conducting fluid in an ellipsoidal cavity proposed by F.V. Dolzhanskii is considered. In the case of an inviscid, non-heat-conducting fluid, this model reduces to the well-known Euler-Poisson equations of motion of a rigid body with a fixed point. At the same time, unlike other low-mode models, it determines the exact solutions of the free convection equations in the Oberbeck-Boussinesq approximation with spatially linear velocity and temperature fields. * Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ (№ 1.5169.2017/8.9). In this paper, we study the steady-state convective motions determined by the six-dimensional model for small values of the coefficients of viscosity and thermal conductivity of the fluid , . The ellipsoidal cavity is assumed to be rotationally symmetric, the temperature gradient at its boundary and the force of gravity are directed along the axis of symmetry. If and are small, then the model can be considered as a perturbation of the Euler-Poisson equations in the integrable Lagrange case. This allows us to perform an asymptotic analysis for it in the limiting case , , while maintaining the ratio of the coefficients Prandtl number. It turns out that, depending on the parameters of the problem and the initial conditions, either stationary or periodic motions are established. The first ones are elliptical rotations of fluid around an axis orthogonal to the direction of gravity. The second ones are oscillatory-type motions with zero mean angular velocity. For them, the axis of rotation is constant (orthogonal to gravity), and the intensity and direction of rotation change periodically.

Текст научной работы на тему «Асимптотический анализ шестимерной модели свободной конвекции в сфероидальной полости при исчезающей диссипации»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3

УДК 532.5.032:531.383 DOI 10.23683/0321-3005-2019-3-20-26

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ШЕСТИМЕРНОЙ МОДЕЛИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В СФЕРОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ ПРИ ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ДИССИПАЦИИ*

© 2019 г. Н.В. Петровская1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

ASYMPTOTIC ANALYSIS OF THE SIX-DIMENSIONAL MODEL OF FREE CONVECTION IN A SPHEROIDAL CAVITY WITH VANISHING DISSIPATION

N. V. Petrovskaya1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Петровская Наталья Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: NVP108@gmail.com

Natalia V. Petrovskaya - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Researcher, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vo-rovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:

NVP108@gmail. com

Рассматривается предложенная Ф.В. Должанским шестимерная модель свободной конвекции вязкой теплопроводной жидкости в эллипсоидальной полости. В случае невязкой нетеплопроводной жидкости эта модель сводится к известным уравнениям Эйлера - Пуассона движения твердого тела с закрепленной точкой. В отличие от других ма-ломодовых моделей она определяет точные решения уравнений свободной конвекции в приближении Обербека - Бус-синеска с пространственно-линейными полями скорости и температуры.

Изучаются установившиеся конвективные движения, определяемые шестимерной моделью при малых значениях коэффициентов вязкости и теплопроводности жидкости |1, 8 . Эллипсоидальная полость предполагается вращательно-симметричной, градиент температуры на ее границе и сила тяжести направлены по оси симметрии. Если | и 8 малы, то модель можно рассматривать как возмущение уравнений Эйлера - Пуассона в интегрируемом случае Лагранжа. Это позволяет выполнить для нее асимптотический анализ в предельном случае 0, 8 ^ 0 при сохранении отношения коэффициентов - числа Прандтля. Оказывается, что в зависимости от параметров задачи и начальных условий с течением времени устанавливаются либо стационарные, либо периодические движения. Первые представляют собой эллиптические вращения жидкости вокруг оси, ортогональной направлению силы тяжести. Вторые - это движения колебательного типа с нулевым средним значением угловой скорости. Для них ось вращения постоянна (ортогональна силе тяжести), а интенсивность и направление вращения изменяются периодически.

Ключевые слова: система гидродинамического типа, точные решения уравнений Обербека - Буссинеска, волчок Лагранжа, метод усреднения, асимптотика периодических движений.

A six-dimensional model of free convection of a viscous heat-conducting fluid in an ellipsoidal cavity proposed by F. V. Dolzhanskii is considered. In the case of an inviscid, non-heat-conducting fluid, this model reduces to the well-known Euler-Poisson equations of motion of a rigid body with a fixed point. At the same time, unlike other low-mode models, it determines the exact solutions of the free convection equations in the Oberbeck-Boussinesq approximation with spatially linear velocity and temperature fields.

In this paper, we study the steady-state convective motions determined by the six-dimensional model for small values of the coefficients of viscosity and thermal conductivity of the fluid |, 8 . The ellipsoidal cavity is assumed to be rotationally symmetric, the temperature gradient at its boundary and the force of gravity are directed along the axis of symmetry. If | and 8 are small, then the model can be considered as a perturbation of the Euler-Poisson equations in the integrable Lagrange case. This allows us

* Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ

(№ 1.5169.2017/8.9).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3

to perform an asymptotic analysis for it in the limiting case ^ ^ 0, 8 ^ 0, while maintaining the ratio ofthe coefficients - Prandtl number. It turns out that, depending on the parameters of the problem and the initial conditions, either stationary or periodic motions are established. The first ones are elliptical rotations offluid around an axis orthogonal to the direction of gravity. The second ones are oscillatory-type motions with zero mean angular velocity. For them, the axis of rotation is constant (orthogonal to gravity), and the intensity and direction of rotation change periodically.

Keywords: hydrodynamic type system, exact solutions of the Oberbeck-Boussinesq equations, Lagrange top, averaging method, asymptotics of periodic motions.

Введение

В уравнениях свободной конвекции в приближении Обербека - Буссинеска [1] жидкость характеризуется двумя параметрами - коэффициентами кинематической вязкости и температуропроводности. Если один или оба эти параметра велики или, наоборот, малы, то численное исследование решений затруднено, а иногда и невозможно. В таких случаях результат могут дать асимптотические методы. В работе [2] рассмотрены предельные формы уравнений свободной конвекции, возникающие, когда безразмерные коэффициенты вязкости и теплопроводности ц, 8 стремятся к нулю или к бесконечности. Одна из наиболее сложных предельных форм - идеальная конвекция - получается при ц = 0, 8 =0. В

частном случае, когда жидкость заполняет эллипсоидальную полость, уравнения идеальной конвекции имеют точные решения с пространственно-линейными полями скорости и температуры. Эволюция этих решений во времени определяется системой шести обыкновенных дифференциальных уравнений, которые с точностью до обозначений совпадают с классическими уравнениями Эйлера - Пуассона движения твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести [3].

Эта гидродинамическая интерпретация уравнений Эйлера - Пуассона использована Ф.В. Должан-ским при построении шестимерной модели конвекции вязкой теплопроводной жидкости в эллипсоидальной полости [4]. Скорость жидкости и температура предполагаются близкими к пространственно-линейным полям всюду, кроме пограничного слоя на границе эллипсоида. Учет диссипативных эффектов приводит к появлению в уравнениях Эйлера - Пуассона дополнительных линейных слагаемых, стремящихся к нулю вместе с коэффициентами вязкости и теплопроводности. В [4] эти слагаемые соответствуют случаю изотропного трения, их форма в случае анизотропного трения приведена в [5].

В данной работе исследуются установившиеся конвективные движения, определяемые шестимерной моделью Ф.В. Должанского в предельном случае ц ^ 0, 8 ^ 0 . Как известно [6, 7], уравнения Эйлера - Пуассона имеют три независимых первых ин-

теграла и интегральный инвариант - фазовый объем. В трех частных случаях (Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) имеется дополнительный четвертый интеграл и уравнения Эйлера - Пуассона интегрируемы. В этих случаях при малых ц и 8 изучаемая шестимерная модель - система, близкая к интегрируемой, и для ее исследования может быть использован метод усреднения.

В данной работе параметры шестимерной модели конвекции выбраны так, что ее можно рассматривать как возмущение уравнений Эйлера - Пуассона в интегрируемом случае Лагранжа: эллипсоидальная полость предполагается вращательно-сим-метричной, а градиент температуры на ее границе и сила тяжести направлены вдоль оси симметрии эллипсоида. В асимптотическом исследовании задачи существенную роль играет система Лоренца [8]. Оказывается, что с течением времени фазовая точка притягивается к трехмерному инвариантному подпространству, на котором движение определяется системой Лоренца. В предельном случае исчезающей диссипации система Лоренца изучалась в работах [9-12]. В частности, в [9] она полностью исследована в предельном случае больших чисел Рэлея (ц8 ^ 0 при сохранении отношения а = ц / 8): уравнения Лоренца приведены к форме системы с быстро вращающейся фазой [13, 14], выписаны усредненные уравнения первого приближения, аналитически исследованы их равновесия и бифуркации соответствующих порождающих циклов. Эти результаты существенно использованы в данной работе при построении асимптотики установившихся конвективных движений, определяемых шестимерной моделью.

Следует отметить, что возмущенные движения твердого тела, близкие к случаю Лагранжа, изучались рядом авторов методом усреднения (см. [15] и приведенный там обзор). Однако в задаче о движении твердого тела возмущения могут присутствовать только в первой тройке уравнений (Эйлера), но не во второй (Пуассона), так как последние определяют проекции вертикального орта неподвижной системы координат на оси системы координат, связанной с телом. Напротив, при построении модели свободной конвекции жидкости в эллипсоидальной

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

полости учет вязкого трения и теплопроводности приводит к появлению диссипативных слагаемых во всех уравнениях. Следствием являются отсутствие первых интегралов и, более того, диссипативность этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

При построении шестимерной модели свободной конвекции жидкости в эллипсоидальной полости [4] предполагается, что вязкая несжимаемая теплопроводная жидкость заполняет эллипсоидальную

полость с границей 2|=1 (Хк / ак ) = 1, на которой задано линейное по пространственным переменным х = (х15 Х2, Хз) распределение температуры с постоянным градиентом О . Скорость жидкости у(х, /) и температура Т (х, /) предполагаются близкими всюду (кроме пограничного слоя на границе эллипсоида) к пространственно-линейным полям вида

(1)

v(x t ) = =1Ю£ (t )• w к (х)

T(Хt)=Zi=i4k (t^ xk /ak •

осей эллипсоида, их выражения (достаточно громоздкие) приведены в [5, с. 8].

Предположим, что эллипсоид вращательно-сим-метричен (а! = а2, / = /2, Лу = А2, В = В2), а сила тяжести и градиент температуры на границе направлены по его оси симметрии Ь = (0,0, ¿0 ), О = (0,0,00 ), причем ¿0 < 0, 00 < 0 (случай подогрева снизу). При таком выборе параметров систему (2) можно рассматривать как возмущение уравнений Эйлера -Пуассона в интегрируемом случае Лагранжа [6, 7]: при ц = 0, 8 =0 она имеет дополнительный четвертый интеграл Ю3. Кроме того, при принятых условиях система (2) инвариантна относительно вращений вокруг оси симметрии эллипсоида:

© — ^, ц — ^, (3)

Л

J

cos у - sin у

0 ^

sin у cos у 0 0 0 1

Здесь (х) (к = 1, 2, 3) - бездивергентные, линейно независимые, касательные к границе области

а2 аз

векторные поля ^^ =--Хзв2 н--Х2вз ; w2, w 3

аз а2

получаются циклической перестановкой индексов; ек - координатные орты. Каждому векторному полю wк соответствует стационарное движение жидкости - так называемое эллиптическое вращение вокруг одной из главных осей эллипсоида. Уравнения для определения неизвестных юк (/), qk (/) имеют вид [4]

М = [©,М]+ 8Р [Ь,ц]-ц АМ , (2)

ц = [©, ц] + 8 В(0 - ц).

Здесь точка означает производную по времени /; М = I© ; I = ^(/ь/2,/з); /к = Е3=1 аг2 - а2 ; ш = (юу,Ю2,газ); 4 = (ql,q2,qз); 8 - ускорение силы тяжести; Р - коэффициент теплового расширения жидкости; ц и 8 - эффективные коэффициенты вязкого трения и теплопередачи соответственно; О - градиент температуры на границе области. Вектор Ь задает направление силы тяжести: Ьк = ак ^ 9к , cos 9к - направляющие косинусы силы тяжести по отношению к главным осям эллипсоида. Элементы матриц А = diag(Лl, Л2, А3) и В = diag(B1, В2, В3 ) - положительные функции полу-

Уравнение для Ю3 принимает вид

юз = -Ц Азюз .

Отсюда следует, что подпространство, определяемое равенством Ю3 = 0, инвариантно. Ввиду положительности ц и А3 , при / — да для любых начальных данных юз(?) — 0 . Следовательно, все аттракторы системы (2) принадлежат инвариантному подпространству Ю3 = 0. Далее система (2) рассматривается на этом подпространстве. После масштабирования

/ — с-1/, © — су© , ц — С2Ц ,

01 =(йР Ьэ0О///1)1/2, С2 = 00 ,

она принимает вид

ю 1 =-q2-саю 1, (4)

сю2 = ql -стэю 2, <71 =ю2<З-8<Ь ¿12 =-ю1<З -eq2,

¿¡3 =ю1<2 -ю2<1 -8^3 -l), где 8 = 8В^01 - малый параметр; ст = (цЛ1)/(8В1) -

пропорциональная числу Прандтля величина; 2 2

Ь = В3 / В1 = а1 / аз определяет форму эллипсоида. Далее система (4) изучается в предельном случае, когда 8 —^ 0 при постоянных ст и Ь .

Усредненные уравнения первого приближения

При 8 = 0 уравнения (4) - это известные в теории движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой уравнения Эйлера - Пуассона в интегрируе-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

мом случае Лагранжа на нулевом уровне дополнительного четвертого интеграла Ю3 [6, гл. 3, §4] или в более современном изложении [7, гл. 2, §3]). Уравнения (4) при е = 0 имеют три независимых первых интеграла:

,2 , 2 |

H = (ю12 +и>2 )/2 + q3, G = ra1q1 +Ю2?2,

R = q2 + q2 + q|-

(5)

со i = —qi -авю i, q2 = -ciq3— sq2, q3 =®iq2——1)

(7)

В предельном случае исчезающей диссипации система Лоренца изучалась в работах [9, 12]. Результаты этих работ существенно использованы ниже.

Полагая в (7) е = 0, получаем порождающую си-

стему

с i = -q2, <02 =-ciq3, <оз =ciq2.

(8)

Следует отметить, что в задаче о движении твердого тела Я - квадрат длины единичного вектора -может принимать только значение, равное единице. Однако для задачи (2) интеграл Я может принимать любые неотрицательные значения.

При малых е >0 функции Н, О, Я - медленные переменные. Дифференцируя равенства (5) в силу системы (4), находим

(6)

H = е((2ст - b)q3 + b - 2стЯ),

G = -е(ст + 1)G,

R = 2s(q +(1 - b)q32 - r).

Так как при s >0 для любых начальных данных G(t) ^ 0 при t ^ да, то все аттракторы системы (4) принадлежат поверхности G = 0 . Далее система (2) рассматривается при условиях Ю3 = 0, G = 0 . Порядок системы можно уменьшить еще на единицу, используя ее инвариантность относительно вращений (3). Переходя на плоскостях (pi, ip) и (qi, q2) к полярным координатам ip = X cos ф , ®2 = X sin ф, qi = -Y sin у, q2 = Y cos у и используя условие G = 0, получаем sin^-y) = 0 . Уравнения для X, Y, q3 отделяются и не содержат угловых переменных, а ф = 0 , у = 0 . Отсюда следует, что совместный уровень Ю3 = 0, G = 0 расслоен на трехмерные инвариантные поверхности, на каждой из которых движение фазовой точки управляется одной с точностью до преобразования (3) системой уравнений. Простейшая форма такой системы получается из (4) при ф = 0 : ®2 = 0, qi = 0 , а остальные переменные удовлетворяют уравнениям

2 2 2 Н = Ю2 /2 + дз , Я = ^2 + ?з - ее первые интегралы. При фиксированных значениях Н и Я невырожденный совместный уровень интегралов - это либо один цикл, симметричный относительно преобразования Jo: (ю15 Яз ю1,-Я2, Яз ) при

Н е (-л/Я ), либо симметричная относительно

преобразования Jo пара циклов при н >Тя . Соответствующие периодические движения в первом случае имеют колебательный характер (либрации), а во втором - вращения. В первом случае среднее за период значение угловой скорости эллиптического вращения жидкости равно нулю, а во втором - отлично от нуля.

Уравнение для переменной 2 = дз отделяется:

(z )2 = 2(H — z )(r — z2).

(9)

Это уравнение хорошо известно в теории движения твердого тела: почти все его решения периодические и могут быть выражены через эллиптические функции [6, гл. 3, §4]. Пусть Р - период решения , а (г) - среднее значение функции г({) за период. Следуя [6], находим

P = 2^ , <z) = píi — 2Щ yfp Ч K (k)

k2 =(p + H)/(2p) при H e (—p, p),

P = 2yÍ2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

K (k)

Vp+H '

(

< z) = p

A fi—Ek)

2 Ii K (k)

k

— i

(10)

(11)

к2 = (2р)/(р + Н) при Н > р , где К(к) и Е(к) - полные эллиптические интегралы

первого и второго рода соответственно [16], р = 4Я .

Пусть теперь е > 0 мало. Тогда Н и Я - медленные переменные, удовлетворяющие уравнениям (6):

Н = е((2ст- Ъ)г + Ъ - 2стН), (12)

С точностью до обозначений (7) - это известная система Лоренца [8]. Отсюда следует, в частности, что в некоторой области параметров е, ст, Ъ в фазовом пространстве шестимерной модели (2) существует однопараметрическое семейство аттракторов Лоренца.

(bz + (i — b)z2 — r),

Я = 2е\Ъг

которые вместе с (9) образуют систему с вращающейся фазой. В их правые части, кроме г , входит

также функция г'2. Величина (22) выражается через (г) при помощи рекуррентного соотношения [17, гл. 8, с. 104]:

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

<z2 > = (2#<z> + R)/3 .

(13)

Выполняя для уравнений (12), (9) стандартную процедуру усреднения [13, 14] и переходя к медленному времени т = 8/, с учетом (13) получаем усредненные уравнения первого приближения:

H ' = -2стН + (2ст-Ь\г) + Ь, (14)

Я' = (4Н (1 - Ь)/ 3 + 2Ь) Г) - 2(Ь + 2)Я /3, где (г) определяется формулами (10), (11), штрих означает производную по медленному времени т. Правые части уравнений (14) определены в

£2; £1 = |н,К): Н е(-л/Я^л/К)К >0},

£2 = КН,Я): Н>4К,Я > 0}. Их можно доопределить по непрерывности на границах областей £1, £2: (Н',р')=(Ь - 2стН,0) при р = 0, Н >0 , (15)

(Н', р') = (Ь(1 + р),-Ь(1 + р)) при р >0, Н = -р,

(Н,р')=(Ь(1-р),Ь(1-р)) при р>0, Н = р, р = ТЯ .

Фазовым пространством системы (14) можно считать множество |(Н, Я): Н > -4Я, Я > 0}\ (0,0).

Равновесия усредненных уравнений и установившиеся конвективные движения

Равновесия усредненных уравнений первого приближения полностью исследованы в [9, 10, 12]. Невырожденным равновесиям, лежащим в £ ^ £2, соответствуют порождающие циклы - решения системы (7) при 8 = 0 . При достаточно малых 8 >0 в их окрестности существуют предельные циклы, которые при 8 — 0 переходят в порождающие.

Усредненные уравнения (14) имеют два семейства невырожденных равновесий. Равновесия в области £1 существуют при ст > <ст , <ст = (2Ь +1)/3, и устойчивы. Каждому равновесию отвечает один порождающий цикл, симметричный относительно преобразования Jo : (к>1,q2,<з) — (-к>1,-<2,<з). Соответствующие предельные циклы при достаточно малых 8 асимптотически орбитально устойчивы. Значению ст = ст1 отвечает бифуркация рождения порождающего цикла из гомоклинического контура, определяемого равенством Н = 4Я [9, 10]; для предельных циклов такая бифуркация имеет место при близких значениях ст .

Опишем свойства соответствующих конвективных движений жидкости. В пределе (8 — 0) скорость и температура жидкости определяются формулами (1). Так как Ю2 (/) = 0, юз(/) = 0 и ql(/)= 0, то эти формулы упрощаются: у(х, ?) = Ю1 (?)• Wl (х), T(x,/) = q2 (/)Х2/а2 + <з(/) Vа3 .

Это периодические решения либрационного типа: (ю^/)) = 0 . Период функции юу(/) равен 2Р , функций q2 (/), <з(/) - Р ; Р определяется формулами (10). Вектор угловой скорости жидкости направлен перпендикулярно оси симметрии эллипсоида (вдоль оси Оху ), изменяются только интенсивность и направление эллиптического вращения. Вектор-градиент температуры жидкости совершает колебания в плоскости, перпендикулярной вектору угловой скорости (в плоскости ОХ2Х3). Из инвариантности задачи относительно вращений вокруг оси симметрии эллипсоида следует существование од-нопараметрического семейства (по углу у , входящему в (3)) таких движений. Какое из них установится с течением времени, зависит от начальных данных.

В области £2 также есть невырожденные равновесия усредненной системы (14). Они существуют при ст е (ст1, ст2), Ст1 = (2Ь +1)/3, ст2 = Ь +1, и неустойчивы. Каждому из них отвечает пара порождающих циклов, симметричная относительно преобразования Jo: (<с>1,q2,<з) —(-©1,-q2,<з). Значению ст = ст1 отвечает бифуркация рождения пары порождающих циклов из гомоклинического контура, определяемого равенством Н = 4К [9, 10]. При ст — ст2 - 0 порождающие циклы стягиваются к равновесиям системы (8). Соответствующие предельные циклы в фазовом пространстве системы (7) при достаточно малых 8 также неустойчивы. Аналогичные бифуркации для них имеют место при ст , близких к ст1 и

ст2 .

Усредненная система (14) имеет, кроме невырожденных, также вырожденные равновесия на границах областей £1 , £2 . Одно из них с координатами Н = 1, Я = 1, не зависящими от параметров ст

и Ь , лежит на линии Н = 4Я и всегда неустойчиво. В фазовом пространстве порождающей системы (8) ему отвечает гомоклинический контур, состоящий из равновесия (0,0,1) и Jo -симметричной пары его гомоклинических траекторий. Именно этот контур участвует в бифуркации описанных выше семейств порождающих циклов. Отметим, что

каждой точке на линии Н = -/Я соответствует аналогичный гомоклинический контур, содержащий равновесие (0,0,Н) системы (8), но равновесие (0,0,1) особенное - ему в модели (2) отвечает механическое равновесие жидкости.

Еще одно вырожденное равновесие усредненной системы (14) лежит на границе Я = 0 области £2, для него Н = Ь /(2ст). В пределе (8 — 0) ему отвечает

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Jо -симметричная пара вторичных равновесий системы (7): Ю1 = ±4Ъ/ст-е2 , Я2 = —свю, дз =сте2 , устойчивых при ст < ст2, ст2 = Ъ +1. Соответствующие движения жидкости - стационарные эллиптические вращения вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии эллипсоида. Температура жидкости Т (х) при этом близка к нулю во всей области течения. Из инвариантности задачи относительно вращений вокруг оси симметрии эллипсоида (3) следует существование однопараметрического семейства (по параметру у ) таких движений.

При ст е (ст1, ст2), Ст1 = (2Ъ + 1)/з, ст2 = Ъ +1, в зависимости от начальных данных, с течением времени может установиться либо один из двух стационарных режимов движения, отличающихся направлением вращения жидкости, либо периодический режим движения либрационного типа с нулевым средним значением угловой скорости. С ростом параметра Ъ интервал сте(ст1, ст2) сдвигается в сторону больших ст : значениям Ъ <1 отвечает вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид, Ъ >1 - сплющенный.

Заключение

Проведено асимптотическое исследование построенной Ф.В. Должанским шестимерной модели свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в предельном случае исчезающей диссипации. Параметры задачи выбраны так, что ее можно рассматривать как возмущение уравнений Эйлера -Пуассона движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой в интегрируемом случае Ла-гранжа. Показано, что для достаточно малых значений коэффициентов вязкости и теплопроводности ц и 8 с течением времени устанавливаются простые конвективные движения - стационарные или периодические, описаны характеристики этих движений.

Следует отметить, что для уравнений Эйлера -Пуассона в интегрируемом случае Лагранжа невырожденные совместные уровни интегралов - двумерные торы. При этом типичной является ситуация, когда фазовая траектория всюду плотна на торе, а соответствующее движение является условно-периодическим. Однако наличие диссипа-тивных членов в уравнениях (2) приводит к тому, что при достаточно малых е устанавливаются только движения, соответствующие вырожденным совместным уровням интегралов, - периодические и стационарные.

Автор благодарит М.Ю. Жукова за полезные замечания.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 6 : Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

2. Юдович В.И. Об уравнениях свободной конвекции в приближении Обербека - Буссинеска / Ростовский гос. ун-т. Ростов н/Д., 1990. 19 с. Деп. в ВИНИТИ. № 6225-В90.

3. Должанский Ф.В. О гидродинамической интерпретации уравнений движения тяжелого волчка // Изв. АН СССР. ФАО. 1977. Т. 13, № 2. С. 201-203.

4. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов Е.М. Системы гидродинамического типа и их применение. М. : Наука, 1981. 366 с.

5. Гледзер А.Е. Конвективные режимы в малокомпонентной модели движения жидкости в почти аксиально-симметричной эллипсоидальной полости // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, № 1. С. 3-31.

6. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953. 288 с.

7. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ РХД, 2001. 384 с.

8. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 88-116.

9. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Рэлея / Ростовский гос. ун-т. Ростов н/Д., 1978. 48 с. Деп. в ВИНИТИ. № 2611-78.

10. Robbins RA. A new approach to subcritical instability and turbulent transitions in a simple dynamo // Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc. 1977. Vol. 82, part 2. P. 309-325.

11. Петровская Н.В., Прокофьева О.В. Качественное исследование осредненной системы Лоренца // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1983. № 4. С. 30-31.

12. Покровский Л.А. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Рэлея. I. // Теорет. и мат. физика. 1985. Т. 62, № 2. С. 272-290.

13. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 507 с.

14. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 3. 304 с.

15. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Эволюция движений твердого тела относительно центра масс. Ижевск: НИЦ РХД, 2015. 308 с.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т.: Наука, 2003. Т. 2. М. 864 с.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3

References

1. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskayafizika [Theoretical physics]. Vol. 6. Hydrodynamics. Moscow: Nauka, 1986, 736 p.

2. Yudovich V. I. Ob uravneniyakh svobodnoi kon-vektsii v priblizhenii Oberbeka-Bussineska [On the equations of free convection in the Oberbeck-Boussinesq approximation]. Rostov State University. Rostov-on-Don, 1990, 19 p. Dep. in VINITI, No. 6225-V90.

3. Dolzhanskii F.V. O gidrodinamicheskoi inter-pretatsii uravnenii dvizheniya tyazhelogo volchka [On the hydrodynamic interpretation of the equations for the motion of a heavy top]. Izv. ANSSSR. FAO. 1977, vol. 13, No. 2, pp. 201-203.

4. Gledzer E. B., Dolzhanskii F. V., Obukhov E. M. Sistemy gidrodinamicheskogo tipa i ikh primenenie [Hy-drodynamic type systems and their application]. Moscow: Nauka, 1981, 366 p.

5. Gledzer A. E. Konvektivnye rezhimy v malokom-ponentnoi modeli dvizheniya zhidkosti v pochti aksial'no-simmetrichnoi ellipsoidal'noi polosti [The convection regimes in a low-order model of fluid motion in nearly axi-ally symmetrical ellipsoidal cavity]. Nelineinaya dinamika. 2007, vol. 3, No. 1, pp. 3-31.

6. Golubev V. V. Lektsii po integrirovaniyu uravnenii dvizheniya tyazhelogo tverdogo tela okolo nepodvizhnoi tochki [Lectures on the integration of equations of a heavy rigid body motion near a fixed point]. Moscow: GITTL, 1953, 288 p.

7. Borisov A. V., Mamaev I. S. Dinamika tverdogo tela [Rigid Body Dynamics]. Izhevsk: NITs RKhD, 2001, 384 p.

8. Lorenz E. N. [Deterministic nonperiodic flow]. Strannye attraktory [Strange attractors]. Moscow: Mir, 1981, pp. 88-116.

9. Yudovich V.I. Asimptotika predel'nykh tsiklov sistemy Lorentsa pri bol'shikh chislakh Releya [Asymptotics

Поступила в редакцию /Received

of the limit cycles of the Lorenz system for large Rayleigh numbers]. Rostov State University. Rostov-on-Don, 1978, 48 p. Dep. in VINITI, No. 2611-78.

10. Robbins K. A. A new approach to subcritical instability and turbulent transitions in a simple dynamo. Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc. 1977, vol. 82, part 2, pp. 309-325.

11. Petrovskaya N. V., Prokofeva O. V. Kachestven-noe issledovanie osrednennoi sistemy Lorentsa [Qualitative study of the averaged Lorenz system]. Izv. SKNTs VSh. Estestv. nauki. 1983, No. 4, pp. 30-31.

12. Pokrovskii L.A. Reshenie sistemy uravnenii Lorentsa v asimptoticheskom predele bol'shogo chisla Releya [Solution of the system of Lorenz equations in the asymptotic limit of large Rayleigh numbers I]. Theoret. i mat. fizika. 1985, vol. 62, No. 2, pp. 183-196.

13. Volosov V. M., Morgunov B. I. Metod osredneniya v teorii nelineinykh kolebatel'nykh system [Averaging method in the theory of nonlinear oscillatory systems]. Moscow: Izd-vo MGU, 1971, 507 p.

14. Arnol'd V. I., Kozlov V. V., Neishtadt A. I. [Mathematical aspects of classical and celestial mechanics]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennye problemy matematiki. Fun-damental'nye napravleniya [Results of science and technology. Current problems in mathematics. Fundamental directions]. Moscow: VINITI, 1985, vol. 3, 304 p.

15. Chernousko F. L., Akulenko L. D., Leshchenko D. D.

Evolyutsiya dvizhenii tverdogo tela otnositel'no tsentra mass [The evolution of rigid body motions relative to the center of mass]. Izhevsk: NITs RKhD, 2015, 308 p.

16. Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow: Nauka, 1971, 1108 p.

17. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i inte-gral'nogo ischisleniya [Course of differential and integral calculus]. Vol. 2. Moscow: Nauka, 2003, 864 p.

18 июня 2019 г. / June 18, 2019

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.