CC BY
33
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 171-189
Механика
УДК 532.51; 551.46
К вопросу об угловом движении океанических вихревых образований
Э. К. Лавровский, В. В. Фоминых
Аннотация. В рамках твердотельной модели рассматривается движение вихревых образований в мировом океане вокруг их центров масс.
Ключевые слова: океан, вихревые образования, воздействующие моменты, угловое движение образований.
1. Введение
Более 30 лет океанологи проявляют повышенный интерес к изучению вихревых образований в толще океана - так называемых глубоководных «линз» и мелководных «рингов» [1-6]. Данные вихревые образования, заметно отличающиеся по термохалинным характеристикам от окружающего их океана, медленно перемещаются, вращаясь, в толще океана, и сохраняют в течение многих месяцев своего существования относительно стабильную равновесную форму. По всей видимости, это вращение является одним из основных факторов их стабильности.
В работе, в рамках гипотезы «твердотельности», изучаются внешние моменты, воздействующие на вращающуюся линзу в условиях невозмущенного, стратифицированного океана. На основании этого исследования строится гипотеза об угловом движении объектов такого рода. Ряд работ (например, [2, 5]) содержат отрывочные сведения о характере данных моментов. В статье данный вопрос изучается на систематической основе. Исследована структура действующих на линзу внешних моментов, оцениваются их величины и их воздействие на общую картину движения данных образований вокруг центра масс. Показано, что наиболее весомым из моментов является гидростатический архимедов момент, который на порядки больше момента кориолисовых сил инерции и момента за счет присоединенных масс, а также гравитационного и прочих моментов. Момент сил трения способствует стабилизации углового движения и появлению стационарного режима, который далее детально изучается. Полученные результаты находятся в хорошем соответствии с наблюдаемым в природе движением вихревых океанических образований.
2. Внешние моменты
Основными причинами, вызывающими появление угловых моментов, являются три фактора: вращение Земли, стратификация (переменная плотность по глубине) океана и, наконец, гидродинамические эффекты, связанные с тем, что в окружающей водной среде за счет любого движения возникают возмущения. Разумеется, при строгом подходе все эти факторы следовало бы учитывать вместе на основе некоторой общей системы динамических условий. Метод раздельного учета данных факторов, используемый ниже, является поэтому приближенным - таким же приближенным, как и гипотеза твердотельности линз, лежащая всюду в основе дальнейшего анализа; она отражает компактность структуры данных образований, наблюдаемую в природе.
2.1. Моменты, вызываемые вращением Земли. Любая система отсчета, связанная с вращающейся Землей, не является инерциальной и требует учета сил инерции — кориолисовых и переносных. Пусть точка О есть центр сферической Земли, вращающейся с постоянной угловой скоростью О, а точка С — центр масс имеющей пусть симметрическую, эллиптическую форму линзы. Введем в рассмотрение несколько систем отсчета: абсолютную ОХYZ; систему ОХ1У1 Zl, связанную с вращающейся Землей, и СХ1У^1, имеющей началом т. С; (кенигову) связанную с центром масс линзы СХУZ и Схуг, связанную с главными центральными осями линзы, где г — ось ее симметрии (рис. 1).
г
X
А.
7
У.
X
X
У
* У
х
Рис. 1. Основные используемые системы осей с началами в центре Земли O и центре масс линзы С
В осях СХУZ справедлива теорема об изменении кинетического момента динамической системы в угловом движении линзы
= м,
(И
где Ь — вектор кинетического момента относительно осей системы, а М — момент внешних сил относительно точки С. Более удобным в дальнейшем, как оказывается, является написание аналогичного соотношения в естественных, связанных с Землей, осях СХ1У1 Zl, которое требует учета моментов сил инерции. Тогда имеем
(Ь _____ _ _ __ __ ___
— = М + х йтг{-]п)] + ^[п х (Ьт(-]к)] = М + Мк + Мп, (1)
г г
где (тг и г\ — соответственно элемент массы и радиус-вектор относительно т. С г-й материальной точки тела; ]п и jk — вектора ускорений тела в его г-й точке: переносного (за счет движения тела вместе с осями CXlУlZl относительно CXУZ- вращения с угловой скоростью О вращения Земли) и кориолисова (за счет движения точек тела относительно подвижных осей CX1У1Z1- вращения осей Схуг с угловой скоростью ш). Известно [7], что момент кориолисовых сил инерции в случае симметричного твердого тела определяется формулой
Мк = С[ш х О]+2(А — С)[ш х г](О,г), (2)
а момент переносных сил как
Мп = (С — А)(г, О)[г х О]. (3)
Здесь г — орт по оси симметрии, а А = В, С — главные, центральные моменты инерции тела.
Следует отметить, что с точки зрения физического смысла между Мк и Мп есть определенная разница. Кориолисовы силы инерции воздействуют только на материальные точки линзы, в то время как переносные силы инерции, статические по своей природе, в равной степени воздействуют еще и на частицы невозмущенного окружающего океана. Поскольку океан находится в равновесии относительно Земли, а нас интересуют как раз дополнительные моменты, воздействующие на линзу по сравнению с частицами океана (гипотеза «компенсации»), то, естественно, учитывать переносный момент инерции (3) с малым коэффициентом компенсации А и тогда
Мп = А(С — А)(г,О)[г х О]. (4)
В качестве оценки величины А можно рассматривать, например, относительную разность масс линзы и вытесненной ею воды океана.
2.2. Момент за счет учета присоединенных масс. Движение
линзы относительно Земли вовлекает в движение и «прилегающие» к
линзе слои океана, которые, противясь данному движению, оказывают воздействие на линзу. Возникают дополнительные момент реакции среды и гидродинамическая сила. Момент реакции среды в рамках модели идеальной жидкости описывается известной формулой [8]:
МХр = —\44ІихІЛЬ + (А55 — \66)ШyШz + (А22 — А3з)vyvz,
мур = —\55йШу1 а + (Абб — А44)^z ^х + (А33 — \l1)Vz Ух, (5)
Мт = — Л66(шх/( + (Л44 — Л55)шх шу + (Л11 — Л22)^х^у,
где Л — некоторые коэффициенты, характеризующие величины присоединенных, т.е. вовлекаемых в движение масс внешней среды;
V(ух,уу,уг) и ш(шх,шу,шг) — линейная и угловая скорости центра масс линзы относительно осей СХ1У^1, связанных с вращающейся Землей, но перепроектированных на главные оси линзы Схуг. Точные значения коэффициентов Л неизвестны и требуют оценки, исходя из характера движения жидкости. Их теоретические оценки даны, например, в [8]. Следует отметить, что данные формулы, строго говоря, пригодны для случая инерциальных осей CXlУlZl и потому сами по себе могут рассматриваться, в определенной степени как приближенные.
Выделим в (5) члены, зависящие от произведения скоростей, и учтем, что в силу симметрии Л11 ~ Л22 [8]. Обозначая Л = Л33 — Л11, опишем эту группу членов векторной формулой
Мт = Л(г,¥)[г х V]. (6)
Для тела дискообразной формы Л33 >> Л11, а потому Л > 0.
Для остальных членов, зависящих от коэффициентов Л44 — Л66, ввиду Л44 = Л55(= А*) и Л66 = 0 [8] имеем, вводя в рассмотрение в подвижных осях Схуг вектор Ь*-кинетического момента присоединенных масс, равный Ь* = А*[ш — г(г,ш)], что данные члены могут быть записаны в следующем компактном виде:
(Ь* г— ~Т 1
— [ш х Ь*].
М
Если перенести получившееся влево в формуле (1), то этот член можно рассматривать как одно из слагаемых в левой части известного уравнения Эйлера в задаче вращения твердого тела
(Ь г_ —, —
— + [ш х Ь] = М,
причем под Ь теперь следует понимать суммарный кинетический момент всей системы, т.е. линзы и присоединенных масс, записанный в проекциях на подвижные оси Оху г. Член же М справа содержит всю сумму действующих внешних моментов сил, среди которых находится и Мт из (6).
Другой подход к оценке моментов за счет присоединенных масс рассмотрен в приложении.
2.3. Архимедов момент. Внешняя среда может воздействовать на тело только по его внешней оболочке. Если бы окружающий тело океан не был стратифицирован, то воздействующий на тело момент за счет реакции среды носил бы чисто динамический характер. Поскольку окружающая среда стратифицирована, то на тело, помимо этого динамического момента, оказывает влияние и момент гидростатических сил. При небольших скоростях движения тел в среде это - один из основных воздействующих моментов.
Следуя [8], запишем выражения для главного вектора ¥ и главного момента М архимедовых (гидростатических) сил воздействия окружающей среды:
Рх = Р со8(1,х)(Б, Еу = р со8(1,у)(Б, Еп = р со8(1,п)(Б,
■/й ■/й ■/й
Мх = /3 р[у сов(1,п) — Н 8'т(,,у)](Б, Му = /6, р[Н сов(1,х) — х 8'т(1,п)](Б, Мп = /6,р[х оов&у) — у вт(1,х)](5.
Здесь х,у,п — орты осей еще одной — системы Схуп, связанной с Землей, с началом в центре масс тела, причем п направлено по местной вертикали вверх в т. С, а х и у лежат в местной горизонтальной плоскости; х,у,Н — координаты той или иной точки поверхности тела в осях Схуп; р = р(х, у, Н) — давление внешней среды на тело; наконец, I = 1(х, у, Н) — вектор внутренней нормали к поверхности тела 5. Давление р определяется в статическом случае формулами
й =°- щ =о т = —а>>(К)-
Под д понимается ускорение силы тяжести, р — плотность среды.
Используя формулу Гаусса для замены поверхностного интеграла на объемный по V
[ f (х,у,Н) соъ(1,х)(1Б = — [ ^ (V,
Уй .'у дх
нетрудно подсчитать, обозначая через хс, ус координаты центра масс вытесненного объема в осях Схуп, что
¥х = ¥у = 0, ¥п = тд, Мх = угтд, Му = —хгтд, Мп = 0.
Первые три соотношения выражают известный закон Архимеда. Предположим, что тело имеет форму осесимметричного эллипсоида с центром в точке О, с полуосями а = Ь,с, причем плотность окружающей тело среды подчиняется линейному закону р(Н) = р0 — д(Н — Н0), где р0, Ьо(= 0) и д - константы, величина д имеет смысл градиента плотности среды йр/йН. Выберем оси, связанные с линзой Охуг, таким образом, как показано на рис. 2.
Cz
-► Сх Сх
Рис. 2. Расположение осей Cxyn и Cxyz
Системы Cxyn и Cxyz отличаются только поворотом на угол ф по общей оси y. Вводя в рассмотрение x', y', z/координаты точек линзы в осях Cxyz, можно показать, что
Mx = 0,My = ^go) Q^Jsinф cosф J po[(x'2 + y'2) - (y'2 + z'2)]dV.
Отсюда находим, что
My = —N2 sin ф cos ф((] — A) = N2 sin ф cos ф(Л — C),
где N — частота Вяйсяля-Брента океана на уровне центра масс линзы, A и C — моменты инерции тела, заполненного однородной жидкостью с плотностью po.
Будем линзу также считать телом постоянной плотности p. В принципе значения p и po не обязаны совпадать, если линза не достигла своего равновесного уровня в океане. Однако реально их различия не велики;
поэтому для оценки в качестве величин А и С могут быть взяты и соответствующие моменты инерции самой линзы.
В случае эллипсоидальной формы линзы имеем
А = 1 ш(Ъ2 + с2), С = 1 ш(а2 + Ъ2),
5 5
где ш — масса однородной жидкости плотности р0, замещающей линзу.
Для дискообразного эллипсоида, коим и является линза с << а, из данной формулы вытекает, что при положительном угле отклонения оси линзы ф от вертикали возникает отрицательный опрокидывающий момент, т.е. среда стремится скомпенсировать это отклонение тела. Полученную формулу представим в векторной форме:
Ма = (А — С)И2(п,г)[п х ~2} = ^(а2 — с2)шМ2(п,г)[г х п]. (7)
5
Архимедовы силы и их момент относятся к категории статических воздействий. По гипотезе «компенсации» при учете их действия на саму линзу из данных величин необходимо вычесть соответствующие силы и моменты, приложенные к частицам океана, замещенным линзой, которые равны нулю (хс = ус = 0). Тем самым, формула (7) описывает один из членов в выражении М в правой части соотношения (1).
2.4. Гравитационный момент. К числу статических моментов, воздействующих на линзу, наряду с архимедовым и переносным моментами, следует отнести и гравитационный момент. Линзы могут иметь значительные размеры, что требует более точного учета неоднородности (центральности) гравитационного поля.
Основной член гравитационного момента, учитывающий ньютоновский характер поля, может быть представлен согласно [9] в виде
Мд = 3д(А — С)(¥°;г)[г х г0]. (8)
Л
Здесь г0 — единичное направление по радиусу-вектору к центру масс тела из центра Земли, д- ускорение силы тяжести. Ввиду приближенного характера этой формулы вместо вектора г0 можно рассматривать близкий к нему единичный вектор п, а вместо моментов инерции линзы А, С использовать близкие по величине аналогичные моменты инерции для того же тела, но заполненного водой океана. При использовании гравитационного момента в соотношении, описывающем изменение кинетического момента, выражение Мд (8) по гипотезе «компенсации» умножается на малый коэффициент А.
Отбросим на время коэффициент А и сравним теперь гравитационный момент с моментом архимедовых сил. Очевидно полное сходство структур этих моментов и их различие по знаку. Так, в случае тела сплюснутой формы архимедов момент стремится повернуть линзу, поставив ее в горизонтальное положение, при котором вектора п и ~х коллинеарны.
Наоборот, гравитационный момент стремится поставить линзу на «ребро», когда вектора п и г ортогональны. Сравним также порядки данных моментов. Величина 3д/К на уровне поверхности Земли составляет примерно 4.62 * 10-6 1/с2. Коэффициент N2, входящий в состав архимедова момента, приближенно равен 6.76 * 10-61/с2 (в случае N = 0.0026 1/с
- берется уровень глубин в Атлантике Л,~ 103 м, характерный для глубоководных атлантических линз [10]). Тем самым, гравитационный (без учета малого сомножителя) и архимедов моменты обладают не только сходной структурой, но и примерно равны по порядку величин.
3. Угловое движение линзы под действием полной системы
моментов
Рассмотрим задачу о движении тела вокруг центра масс под действием всей совокупности основных моментов (2)-(4) и (6)-(8). Уравнение Эйлера углового движения тела в подвижных относительно CXlYlZl осях Схуг имеет вид
йЬ/йЬ + \й х Ь] = Ма + Мк + (Мп + Мд')А(Н) + Мт. (9)
Здесь в левой части стоит суммарный кинетический момент Ь тела и присоединенных масс, т.е. кинетический момент «тела» с моментами инерции, равными А* = (+*) и С соответственно по главным осям Схуг, а А имеет смысл относительной разности масс линзы и замещенной ею воды океана.
Построим ряд первых интегралов этой системы. Воспользуемся упрощающим предположением: будем считать, что вектора п, V являются неподвижными векторами с точки зрения связанных с Землей осей СХ^^1, а А(Ь) величина постоянная. Домножим скалярно левую и правую части соотношения (9) на единичный вектор оси симметрии тела г. Поскольку в случае симметричного тела
Ь = А*ш + (С — А*)г(й, г),
_йЬ —л _йЬ ,*ч,_ _ч_г_ -йЬ йг п ..
+г[" х Ь] = гм +(С — А)ш'^ х г = л =0' (10)
то левая часть (10) превращается в производную й(Ь, г)/йЬ. В итоге имеем
й(Ь, г)/йЬ = С (г, \й х О}), что ввиду уравнения пуассоновского типа
— + [^ х О} = 0
для постоянного в осях CX\Y\Z\ вектора угловой скорости Земли Q дает первый интеграл
(L,z) + C (Q,z) = const. (11)
Умножим теперь левую и правую части (9) скалярно на вектор относительной угловой скорости тела Ш. Левая часть переходит в производную кинетической энергии вращения «суммарного» тела T
2T = {A * p2 + A * q2 + Cr2 } = (L,Ш),
где (p, q, r) — компоненты угловой скорости по осям Cxyz. В правой части обнуляется член с кориолисовым моментом, а архимедов (и также гравитационный) моменты преобразуются при обозначении р = (C — A)N2 к виду
(Ш, Ma) = р(и,г)(Ш, [z х n]) = р(и,г)(г, [n x Ш]) =
= p(n,z)(z,n) = 0.5р * d{(n,z)2}/dt,
поскольку для неподвижного в осях CX\Y\Z\ вектора n также справедливо уравнение Пуассона. (В дальнейшем будем полагать, что в константе р учтен и гравитационный момент.) Аналогичные преобразования могут быть проделаны для переносного момента, а также для момента за счет присоединенных масс (6). В результате всех преобразований получаем первый интеграл вида
2T — X(z, V)2 — p(n, z)2 + (A — C)A(z, Q)2 = const. (12)
Кроме двух интегралов (11), (12) и n2 = 1, других интегралов построить не удается. Для интегрирования полной системы уравнений углового движения этого недостаточно: задача с учетом условий для направляющих косинусов имеет шестой порядок; даже в сходной, но имеющей немного более простую структуру задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки необходимо минимально наличие четырех первых интегралов - тогда два недостающих интеграла могут быть найдены [11].
3.1. Порядки малости моментов. Поскольку проинтегрировать уравнения (9) непосредственно не удается, оценим порядки членов, входящих в правые части, при реальном движении линзы. Выберем характерные для движения линз следующие значения некоторых параметров а = 2 ■ 104 <, A = 200 <, |V| = V = 0.05 < /A, N = 0.0026 1/c. Здесь ряд величин даже несколько завышен, однако, все это лишь подчеркивает в дальнейшем главенствующую роль архимедова момента.
Оценим сначала коэффициент р для архимедова момента, который согласно (7) в случае эллипсоидальной линзы равен р = (а2 — c2)mN2/5. Отсюда р/m = 0.54 * Ю^2/^ (m — как и ранее масса вытесненной телом жидкости). Коэффициент А, входящий в состав момента сил за счет
присоединенных масс, равен Л = Л33, поэтому весь член (6), поделенный на m, имеет порядок Л3^2/m = 0.25 * 10l м2/c2 при Л33/ш, = 103. Ко всему сказанному по поводу порядка момента за счет присоединенных масс следует добавить, что построенная выше оценка для реальных линз порядком завышена, так как на самом деле Vz = 0, а не Vz = V, что использовалось при получении последней оценки.
Оценим члены кориолисова момента (2). Для случая эллипсоидальной линзы получаем, что кориолисов момент по модулю, даже по сильно завышенной оценке, не может превосходить 4 Щ a2Q2, где M — масса линзы и |u| ^ |Q|. Поскольку M = m, получаем следующую оценку этого момента, деленного на m : 0.1Т * 101м2/c2.
Переносный момент (3) может быть оценен, как Щa2Q2. Однако в формулах (4),(9) он домножается на малую величину А(ІЇ), которая по приближенным оценкам не превосходит по модулю значения 1.5 * 10-4. В результате оценка этого члена (деленного на m) составляет менее 0.0Т * 10-'3м2/c2. По той же причине невелик порядок и гравитационного момента
- он составляет не более Т * 10-2м2/c2.
Подводя итог сказанному, видим, что несмотря на определенное завышение других моментов из формулы (9), архимедов момент примерно на три порядка более весом, чем все прочие: следом за ним идут момент кориолисовых сил инерции, а за ним — и другие моменты. Очевидно, что при таком подавляющем «превосходстве» архимедов момент всюду, где вектор (n,z)[z x n] существенно отличен от нуля, определяет характер вращения тела вокруг центра масс.
3.2. О прецессии оси симметрии, вызываемой архимедовым моментом. Запишем аналогичные уравнения Эйлера для случая действия одного архимедова момента
Г—- + [u x L] = ц,(n,z)[z x n].
Система уравнений имеет четыре первых интеграла, которые нетрудно получить, умножая скалярно обе части равенства z, и и n
n2 = 1, (L,z) = const, 2T — y,(n, z)2 = const (L,n) = const.
Здесь T = (Ap2 + Bq2 + Cf2)/2 — кинетическая энергия вращения тела, A = = B в силу симметрии тела. В скалярной форме данная система интегралов может быть переписана следующим образом:
Yi + Y2 + 7з = 1, f = f0, Ap2 + Aq2 + Cf2 — ^y3! = const = A2,
ApYl + AqY2 + CfY3 = const = cl, где n = (Yi,Y2,Y3) в проекциях на главные оси Cxyz.
Сходная система первых интегралов возникает при рассмотрении случая Лагранжа [11, 12] в задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Имеющиеся различия связаны только с наличием сомножителя (п,г) в формуле (7) для выражения архимедова момента. В результате третья из формул (13) содержит член с 73, а не в первой степени, как в упомянутом случае Лагранжа. Но эти различия несущественны, что позволяет использовать тот же метод для построения решения в квадратурах. И качественный характер движения здесь остается таким же: с «местными» осями СХуп свяжем единичную сферу так, чтобы вектор п оказался ее полюсом, тогда тело вращается таким образом, что орт оси симметрии тела г как бы обегает сферу (и орт п), перемещаясь при этом между двумя фиксированными «параллелями» данной сферы.
Можно показать, что отдельное рассмотрение всех других моментов, стоящих в правой части уравнения (9), вызывает подобную прецессию вектора г относительно либо вектора О, либо V. Словом, в случае учета всех моментов вектор г как бы участвует одновременно во всех подобных прецессиях сразу.
3.3. Движение тела при наличии дополнительного момента
трения. Учет трения, в качестве одной из сил при истолковании того или иного динамического процесса, достаточно естественен. Попытаемся добавить к числу действующих на тело моментов в формуле (9) еще момент сил трения следующего вида:
М/ = — е2{Ь — г(Ь,г)}, (14)
где £ — некоторый коэффициент.
В формуле (14) этот момент действует в экваториальной плоскости тела и не действует по его оси симметрии. Но это, по-видимому, один из основных членов, характеризующих момент сил трения. Реально момент сил трения действует со стороны окружающей среды на тело и по оси симметрии. Однако существуют механизмы, при которых за счет движения тела создаются противодействующие моменты, пытающиеся тело раскрутить.
Один из таких механизмов «закручивания» может возникать при «выдавливании» вод океана в результате погружения или всплытия линзы, что способствует растеканию океанской воды в «местной» горизонтальной плоскости. В подвижной системе координат, связанной с вращающейся Землей, за счет ненулевой нормальной к горизонтальной плоскости составляющей угловой скорости Земли возникает кориолисова сила инерции, приложенная к частицам вод океана и стремящаяся закрутить эти частицы антициклонически. По этой причине в граничной зоне, примыкающей к линзе, силы вязкого трения «помогают» антициклоническому закручиванию самой линзы. Другим подобным механизмом закручивания может являться известный эффект роста угловой скорости вертушки, на которую набегает
поток. Если линза первоначально закручена, то за счет дрейфа в океане возможно увеличение ее угловой скорости.
Добавим момент экваториального трения (14) в правую часть формулы (9). Будем считать, что центр масс тела медленно движется по поверхности Земли (условно: в «касательной» плоскости), так что при рассмотрении решений уравнения (9) на временах порядка многих периодов вращения тела вектора n,V можно считать неподвижными в осях CX1Y1Z1, а коэффициент A(h) постоянен ввиду незначительного изменения глубины погружения линзы. На следующем этапе центр масс тела переходит в другую «касательную» плоскость, где возможно такое же рассмотрение и т.д.
Вместо интеграла (12) имеем теперь следующее дифференциальное соотношение
d{2T — A(z,V )2 — р(й,г)2 + (A — C )A(z, Q)2}/dt = — £2A * (p2 + q2). (15)
Правая часть выражения (15) всегда не положительна, т.е. левая часть постоянно убывает, если экваториальная составляющая угловой скорости тела не равна нулю. Однако левой части «некуда» убывать безгранично, так как T ^ 0, а все остальные члены левой части также не могут убывать до бесконечности как скалярные произведения от соответствующих постоянных векторов, умножаемых на единичный вектор z. Иными словами, при t ^ ж
p2 + q2 ^ 0, 2T — A(z, V)2 — р(и, z)2 + (A — C)A(z, Q)2 ^ const. (16)
Используя соотношения (16), получаем, что r ^ const = r* и L ^ ^ Cr*z. Действительно, с точки зрения подвижных осей Cxyz, в которых ведется настоящее рассмотрение, вектора n, V подвижные и удовлетворяют (например, вектор n) дифференциальному уравнению пуассоновского типа. Поэтому ввиду первого из соотношений (16) имеем Ш ^ rz и, следовательно,
(z,n) = d(n,z)/dt = (z, [n x ~zr\) ^ 0,
т.е. все скалярные произведения в левой части второго соотношения (16) стремятся к неким постоянным значениям. А значит, к постоянной величине стремится и кинетическая энергия вращения T, т.е. как раз r ^ r* = const.
Чтобы понять, каковы эти предельные значения, подставим получающуюся предельную величину вектора кинетического момента L = Cr*z в уравнения (9). Естественно, что при этом обнуляется момент трения и второй член кориолисова момента (2), стоящие в правой части (9), а также левая часть этого соотношения. В результате получаем
z х {р(и,~г)и + A(h)(C — A)(z, Q)Q + Cr*Q + A(z, V)V} = 0.
Отсюда вытекает, что в пределе вектор оси симметрии тела z должен быть коллинеарен вектору
/л(п, г)п + А(Ь)(С — А)(г, О)О + Сг * О + Х(г, V
(17)
зависящему также и от вектора г.
Подведем итог сказанному. В рамках гипотезы постоянства векторов момент сил трения (14), действующий на тело, видоизменяет картину движения. В пределе он: а) приводит тело в режим осевого вращения с предписанной угловой скоростью, величина которой определяется начальными условиями (при этом, в частности, должен выполняться интеграл (11)); б) в осях, связанных с Землей, он стремится повернуть вектор оси симметрии тела в положение, при котором единичный вектор, направленный по этой оси г, становится коллинеарен вектору, задаваемому выражением (17). Если в выражении (17) на время пренебречь членами более высокого порядка малости, то можно считать, что трение стремится совместить вектор оси симметрии тела с направлением местной вертикали п.
4. Ориентация вектора стационарного вращения
Найдем ориентацию в осях, связанных с Землей, вектора г в режиме стационарного вращения, определяемого векторным выражением (17). Формула (17) содержит члены, зависящие от самого г, наряду с векторами п, V, О, положение которых в осях, связанных с Землей, известно. Возможные стационарные положения вектора г должны определяться из некоторого уравнения. Составим это уравнение.
Для простоты в выражении (17) оставим только три главных по порядку величин члена. Получаем следующее соотношение:
где к — неизвестный сомножитель.
С точки зрения законов физики данное соотношение является следствием факта равенства нулю на стационарном режиме суммы трех моментов: архимедова (вместе с гравитационным), кориолисова и момента реакции среды за счет учета присоединенных масс.
Несколько слов о физической интерпретации процесса стационарного вращения линзы в абсолютных (кениговых) осях CXYZ в наиболее простом случае V = 0, когда точка С неподвижна по отношению к Земле. Вектор кинетического момента Ь, совпадающий по направлению с осью симметрии тела г, вовлекается Землей во вращение вокруг ее полярной оси с угловой скоростью О. Возникает ненулевая производная йЬ/йЬ = Сг*[О х г]. Скомпенсировать эту производную может только активный момент. Им является момент архимедовых сил (7)
кг = ^(п, г)п + Х(г, V^ + Сг*О,
(18)
йЬ/йЬ = Сг * [О х г] = М а = (С — A)N2 [г х п].
Причем данное равенство возможно лишь тогда, когда все три вектора Q,n,z лежат в одной плоскости, а именно, в плоскости Cvn, (v — направлен по меридиану на север), содержащей векторы Q,n. Если теперь r* < О (антициклоническая закрутка), то при «притопленном» южном крае линзы (когда вектор z наклонен к «югу» от вектора n) два векторных произведения [z x Q] и [~z x n] имеют проекции одного знака на нормаль к плоскости Cvn и равенство dL/dt = Mа возможно. При r* > 0 — векторные произведения имеют обратные знаки. Иными словами, вектор z должен располагаться так, чтобы в случае антициклонической закрутки дискообразной линзы был «притоплен» ее южный край, а при циклонической - северный.
Исследуем соотношение (18) в общем случае. Достроим до полной правой декартову систему осей Cuvn, связанных с Землей (u — направление на восток), это — аналог системы CXiYiZi. Обозначим компоненты искомого стационарного единичного вектора оси симметрии тела zo через Yi,Y2,Y3. Пусть ф — угол географической широты точки C, а б — азимутальный угол вектора скорости в плоскости vu (азимутальные углы отсчитываются от направления на север по часовой стрелке). Вектор Q и вектор V, перпендикулярный местной нормали, имеют следующие компоненты в осях Cuvn:
Q = (О, Q cos ф, Q sin ф),V = (V sin б, V cos б, 0).
Подставляя все это в (17), приходим к следующей системе условий: kYl = ЛV2(y1 sin2 б + y2 cos б sin б),
kY2 = XV 2(y1 cos б sin б + y2 cos2 б) + Cr * Q cos ф, (19)
kY3 = ЦY3 + Cr * Qsin ф.
Учитывая (19) и единичность вектора zo, получаем следующее уравнение 6-й степени для неизвестной величины k:
k2(k — ц)2(k — ЛV2)2 = (Cr*Q)2{k2(k — ЛV2)2 sin2 ф+
+(k — ^)2[(\V2 cos ф sin б cos б)2 + (k — ЛV2 sin2 б)2 sin2 ф]}, ( )
то есть возможно до шести различных решений по k системы (20) и столько же решений по остальным неизвестным ”y”. Интерес же представляют только решения вблизи zo = n.
Приведем данные численных расчетов для антициклонических линз в случае ф = 250, a = 2 ■ 104 м, c = 200м, r* = —0.25Q, Л^/m = 103. При V = 0 решение соотношений (19) — вектор zo естественно находится в вертикальной плоскости vn, содержащей векторы n, Q. Поэтому азимутальный угол х проекции вектора zo на горизонтальную плоскость vn равен п, а угол в (между проекцией оси линзы на плоскость vn и местной вертикалью n) составляет примерно 2.032 * 10-2 градуса. При V = 0
данные расчетов зависят еще и от азимутального угла 5 вектора скорости. Будем рассматривать линзы, движущиеся в юго-западном направлении (что для линз северной Атлантики характерно), когда 5 Є [180°, 270°]. При
V = 0.03 м/с зависимости углов в и % = 180° + Д% от 5 представлены в табл. 1.
Таблица 1
Зависимости углов в и х от 5
б [град] 180 190 200 220 240 255 270
в [град] * 1G2 2.035 2.035 2.039 2.034 2.033 2.032 2.032
Ах [град] * 1G2 0.00 1.63 3.066 4.70 4.135 2.39 0.00
Иными словами, с ростом б углы в и х практически не меняются. Аналогичная картина имеет место и при V = G.G1 м/с — здесь угол в постоянно равен 2.G32 * 1G-2, а значение угла Ах Є [G, G.GG5] (все в градусах). При V = G.G5 м/с угол в Є [2.G32 * 1G-2, 2.G41 * Ю-2], а угол Ах Є [G, G. 131]. Картина не меняется существенно и при других значениях r*, если только r* ~ —G.22 (последняя величина - характерная угловая скорость глубоководных линз).
При реальной скорости движения линзы на юго-запад «южный» конец линзы «притапливается» по отношению к горизонту на малую величину около шести метров на периферии и меньше, а северный соответственно приподнимается. При этом вектор Z0 весьма близок к вектору местной вертикали П. Приближенно (ведь л >> XV2 и л >> Cr*2) решение системы (19) можно описать формулами
^ ^ , і ^ ^ </ ,Cr* 2cos 6 r2 .
к = л + Cr * і 2 sin ф, Y3 w 1,y2 = Cr* Ucos ф/л, j1 = X-2-V sin б cos б.
V2
Ввиду л = (C — A)N2, C 2A величина Y2 приближенно равна
^ 2и cos ф ^
Y2 =------N2 2,U = —r *
Для линзы с антициклонической закруткой и > G данные формулы определяют отрицательные значения 71 < G, 72 < G при движении линзы на юго-запад б Є [1SG0, 27G0]. В этом случае вектор z0 отклонен от П к югу и западу, соответственно у линзы притоплен ее южный (и немного западный) край. Например, при и = 2/5 получаем оценку 72 ~ —3 * 1G-4, что отвечает углу в ~ 2 ■ 1G-2 градуса. Интересно отметить, что подобная оценка угла в возникает и при изучении казалось бы не связанного непосредственно с движением вокруг центра масс вопроса о формах равновесия линз [2-6].
4.1. Угловое движение тела в малой окрестности стационарного режима. Рассмотрим поведение линзы в окрестности стационарного
режима движения. Учтем главные действующие на тело моменты -архимедов, а также кориолисов и момент за счет присоединенных масс, которые могут существенно повлиять на частотные характеристики; трение в окрестности стационарного режима будем считать пренебрежимо малым
- этот член в основном влияет на скорость перехода к стационарному режиму. Малое отклонение от стационарного состояния охарактеризуем трехмерными векторами Дг, Дй в осях Опии:
Подставим данные представления в пуассонову группу уравнений углового движения и в запись вектора кинетического момента Ь из (10) с целью линеаризации уравнений и нахождения частот малых гармонических колебаний. Можно показать, что (ненулевые) частоты приближенно — при V& 0 и & п — удовлетворяют биквадратному уравнению
Коэффициент Х1 близок к нулю, а Х2 — к минус единице. При а/с & 100 получаем [8], что Х1 0.023, Х2 2х1 — 1; биквадратное уравнение имеет
только чисто мнимые решения р, минимальный период отвечающих им гармонических колебаний равен приблизительно 4.40 часа при упомянутых ранее величинах ф,г*. Другой корень биквадратного уравнения отвечает периоду приблизительно в 4.445 часа. Отметим, что неплохое приближение обоих периодов дает простая формула р = г^^/Хл. Такая частота отвечает периоду в 4.424 часа. Численное исследование задачи показывает, что два «минимальных» периода линеаризованной системы уравнений, например, при V = 0.05 м/с также близки к этим приближенным значениям.
Момент сил за счет присоединенных масс можно рассматривать не только на основе формулы (5), но и исходя из некоторого обобщения ее соотношений:
г = г° + Дг, й = г*г° + Дй.
где
А 1
Х1 А * 1 + \^/^ Х2
Приложение
Мх = - Л44 ( Х—) + (Л55 — Л66)(йу + йуд'р){йх + йгЄР) + (Л22 — Л33^
*(Уу + УуеР)(у? + УТР) + Л44 - (Л55 - \бб)йПЄРйПЄР - (Л22 - Л33^у^уГ^,
Му = — Л55 ( у + У—) + (Лбб — \44){Шх + Р)(шх + р) + (Л33 — Ац)*
7 пер
*(Ух + уТр)(Ух + уТр) + Л55 ----(Абб — Лм)иХериТр — (Лзз — Лп)уХ, ерьХер,
(21)
Мх = —Лбб ( 2 + 2—- + (Л44 — Л55)(шх + Шх Р)(^у + ШуР) + (Л11 — Л22)*
*(Ух + УуеР)(Уу + Ууер) + Лбб — (Л44 — Л55)шуершуер — (Л11 — Л22)ухерууер,
где линейные и угловые скорости с верхним индексом «переносная» есть местные скорости, связанные с вращением Земли.
Дело в том, что в [8] рассматривался случай движения и вращения тела в абсолютных осях, который не допускает существования промежуточной системы отсчета в виде вращающейся Земли. Структура предложенных выше формул, как легко видеть, такова, что частицы находящегося в равновесии океана не испытывают влияния никаких присоединенных масс в отличие от вращающейся линзы. Это говорит о возможности неоднозначного толкования формул для учета моментов за счет присоединенных масс. Подобный подход возможен и при описании поступательного движения. Соответствующие формулы здесь не приводятся, но их нетрудно построить по аналогии с приведенными выше и имеющимися в [8]; так, например, в [2, 5] именно они использовались для описания движения центра масс линз (или рингов).
Кратко укажем, к какого рода изменениям в движении тела вокруг центра масс приводит использование соотношений (21) взамен прежних формул (5). Момент за счет присоединенных масс вместо (6) будет описываться условием
Мт = г х [ЛУ (г, У) — А * [й(П,г) +Щй,г)] + Л[У (Ухер ,г) + Ухер(У,г)]}, а стационарное положение оси симметрии линзы взамен (18) — соотношением
кг = лп(п,г) + ЛУ (г,У) + Л[У (Ухер,г) + Ухер(У,г)] + (С — А * )г * П,
причем момент сил трения (14) по-прежнему приводит тело в стационарный режим осевого вращения. Численные расчеты показывают, что положение оси симметрии г теперь в гораздо большей степени зависит от величины и ориентации в осях Спьп вектора поступательной скорости линзы У. В частности, это в ряде случаев сказывается на величине угла в, который теперь при тех же У может достигать величин порядка градусов.
Список литературы
1. Монин А.С., Жихарев Г.М. Океанические вихри // Успехи физ. наук. 1990. Т. 160. Вып. 5. С. 1-47.
2. Средиземноморские линзы — жидкие гироскопы в океане / Э.К. Лавровский [и др.] // ДАН. 2000. Т. 375. № 1. С. 42-45.
3. Семенова И.П., Слезкин Л.Н. Динамически равновесная форма интрузионных вихревых образований в океане // Изв. РАН, МЖГ. 2003. № 5. С. 3-10.
4. Семенова И.П., Слезкин Л.Н. Динамически равновесные формы рингов океанических течений // ДАН. 2004. Т. 405. № 3. С. 346-350.
5. Романовская М.Л., Семенова И.П., Слезкин Л.Н. Динамически равновесные формы и направление движения рингов океанских течений // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 3. С. 511-526.
6. Лавровский Э.К., Фоминых В.В. О формах равновесия океанских вихревых образований и проблеме их устойчивости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 85-98.
7. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
8. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1955. 560 с.
9. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.
10. «Поле плотностей северной части Атлантического океана». М.: Гидрометеоиздат, 1985. 190 с.
11. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 287 с.
12. Аппель П. Теоретическая механика. Т. II. М.: Физматгиз, 1960. 487 с.
Лавровский Эдуард Кирович ([email protected]), к.ф.-м.н., с.н.с., ведущий научный сотрудник, лаборатория № 301, Институт механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Фоминых Валентина Владимировна ([email protected]), научный сотрудник, лаборатория № 301, Институт механики Московского
государственного университета им. М.В. Ломоносова.
About angular motion of ocean vortical formations around its
mass center
E. K. Lavrovsky, V. V. Forminykh
Abstract. We consider the motion of ocean vortical formations around its mass center in the base of rigid body model.
Keywords: ocean, vortical formations, force moments, angular motion of formations.
Lavrovsky Eduard ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, leading researcher, laboratory № 103, Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University.
Forminykh Valentina ([email protected]), researcher, laboratory № 103, Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University.
Поступила 14-01.2014
