Стационарное распределение в открытой стохастической системе с парным взаимодействием частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

i

УДК 519.21

А. М. Ланге

СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В ОТКРЫТОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С ПАРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ЧАСТИЦ

Рассмотрена дискретная марковская модель системы с внешним источником и парным взаимодействием частиц. Найдены явные решения стационарного второго уравнения Колмогорова с использованием специальных функций. Получены асимптотики математического ожидания и дисперсии стационарного распределения, а также показана его асимптотическая нормальность при большой интенсивности поступления новых частиц.

Во многих задачах современного естествознания при исследовании систем частиц используются модели, основанные на математическом аппарате теории вероятностей и теории случайных процессов. С помощью таких моделей исследуются флуктуации числа электронов или фотонов в ливне космических лучей; в физической и химической кинетике исследуются процессы превращения и взаимодействия молекул; в биологии и медицине изучаются процессы развития популяций и распространения эпидемий; в теории массового обслуживания рассматриваются потоки поступления и обслуживания заявок.

Первоначально такие системы исследовались в рамках детерминистского подхода, когда физический процесс рассматривается как изменение во времени макроскопических характеристик системы (концентраций, объемов и т.д.) [1]. При этом считается, что, располагая необходимыми начальными данными, можно с определенностью предсказывать поведение процесса в будущем. Однако детерминированные модели имеют ограниченное применение. В ряде случаев невозможно предсказать поведение процесса по начальным данным, что связано с наличием в системе невоспроизводимых флуктуаций. Детерминированная модель в этих случаях оказывается недостаточно адекватной, так как не учитывает случайного характера наблюдаемых физических явлений.

Вероятностные модели развивались при микроскопическом подходе к физическим процессам. Основная задача статистического метода изучения свойств физико-химических процессов формулируется следующим образом: зная законы взаимодействия частиц (молекул, атомов и т.п.), составляющих систему, необходимо установить при предельном переходе к большому числу частиц законы поведения макро-

скопического количества вещества (в первую очередь, феноменологические законы, устанавливающие связь между наблюдаемыми из опыта макроскопическими величинами [2, 3]).

Часто в основе вероятностных моделей лежит предположение о том, что для каждого момента времени поведение системы не зависит от ее предыстории и зависит только от ее текущего состояния. Это приводит к использованию марковских случайных процессов. В работе [2] введена дискретная модель физико-химической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде однородного во времени марковского процесса на множестве Nn всех п-мерных векторов с целыми неотрицательными компонентами; отмечается связь с детерминированным законом кинетики химических реакций — законом действующих масс. В работе [4] исследован марковский процесс в системе без взаимодействия с постоянным притоком частиц извне (открытая стохастическая система), не зависящим от числа имеющихся частиц. Подобные марковские процессы рождения и гибели на Nп исследовались во многих работах, посвященных различным задачам физической и химической кинетики [5], развитию популяций в экологических системах, теории массового обслуживания [6] и другим приложениям.

Пример: детерминированная и стохастическая модели. Рассмотрим детерминированную модель открытой физической системы с достаточно большим числом частиц х типа Т, которое допустимо считать непрерывной функцией времени х(Ь). Поскольку система открыта, в ней возможно появление новых частиц (0 ^ Т), представляющее собой иммиграцию частиц извне или образование частиц в результате иных физических процессов. Кроме того, частицы могут участвовать в парном взаимодействии, приводящем к гибели одной из частиц: 2Т ^ Т. Гибель можно интерпретировать как участие в образовании частиц других типов, выход за пределы системы и т.п.

Предположим, что появление частиц происходит с определенной скоростью Л, которая постоянна и не зависит от х, а взаимодействие частиц выступает в качестве замедляющего фактора, который увеличивается с возрастанием х, и скорость замедления для одной частицы равна ^х, где ^ — коэффициент пропорциональности. Наряду с описанием химических реакций, такая модель может использоваться для описания экосистемы с ограниченными ресурсами, в которой гибель особей 2Т ^ Т обусловлена внутривидовой конкуренцией [7]. Результирующая скорость роста популяции, таким образом, равна Л — ^х2, что соответствует дифференциальному уравнению

— = Л — ^х (1)

с начальным условием х(0) = х0.

Рис. 1. Стохастическая реализация марковского процесса £(£) и его детерминированное приближение х(Ь) при начальных условиях £(0) = 10, хо = 10 и значениях параметров Л = 104, р =1

Решение уравнения (1) имеет вид логистической кривой с горизонтальной асимптотой ха = -у/А/^ (рис. 1). Это означает, что при Ь ^го система приходит в состояние равновесия, которое наступает при числе частиц, близком к Ха.

Для системы частиц со схемой взаимодействий 0 ^ Т, 2Т ^ Т рассмотрим стохастическую модель в виде однородного во времени марковского процесса £(Ь) со счетным множеством состояний N={0,1,...} и непрерывным временем Ь Е [0, го) [8]. Событие {£(Ь) = г} означает наличие в системе г частиц типа Т в момент времени Ь. Время нахождения процесса в состоянии г случайно и длится либо до момента появления новой частицы, либо до момента взаимодействия пары частиц. Обозначим Рц(Ь) = Р{£(Ь) = а | £(0) = г}, г,а Е N, вероятности перехода процесса за время Ь из состояния г в состояние ]. Будем считать, что вероятность Р^+х(ДЬ) образования одной частицы за достаточно малое время ДЬ равна АДЬ + о(ДЬ), а вероятность Р^^ДЬ) взаимодействия пары частиц пропорциональна числу Сг2 сочетаний двух частиц из имеющихся г частиц и равна ^г(г — 1)ДЬ + о(ДЬ), где А и ^ — заданные коэффициенты пропорциональности. Вероятность рождения или гибели более одной частицы за время ДЬ равна о(ДЬ). Тогда полная вероятность [9] перехода из состояния г в состояние ] за время Ь + ДЬ с точностью до о(ДЬ) определяется равенствами

Роо(Ь + ДЬ) = Роо(Ь)(1 — АДЬ), Рго(Ь) = 0, г = 1, 2,..., Рц (Ь + ДЬ) = Р^-х(Ь)АДЬ + Рц (Ь)(1 — (А + ^ а — 1))ДЬ) + (2) +Р^+х(Ь)^0' + 1)ДЬ, г = 0,1,..., а = 1, 2,...,

основанными на следующих рассуждениях. Если в момент Ь + АЬ число частиц равно 3, то в момент Ь либо было 3 — 1 частиц и за время АЬ появилась одна новая частица, либо было 3 + 1 частиц и одна частица погибла, либо было 3 частиц и за время АЬ это число не изменилось. При этом состояние процесса £(Ь) в момент Ь + АЬ зависит только от состояния в момент Ь и не зависит от состояний, предшествующих моменту Ь. Путем перестановки членов в равенствах (2) и деления на АЬ получаем при заданном i и АЬ ^ 0 вторую (прямую) систему дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей [10]:

^Р0^ = —Роо(Ь)Л,

¿Р^ = Р^_1(*)Л — Рг](Ь)(Л + 3 — 1)) + +1 (фз(з +1), (3)

i = 0, 1,..., 3 = 1, 2,...,

с начальными условиями Р^(0) = 1, P^j (0) = 0 при i = 3.

Введем производящую функцию переходных вероятностей в) = °=0 Píj(Ь)в-', i £ N, |в| < 1. Тогда умножением 3-го уравнения на в^ и суммированием по 3 получим из системы (3) равносильное уравнение в частных производных второго порядка [11]:

в) 2ч д2в) Лт ) = Д(в — в2) д(2; ) + Л(в — ВД (Ь; в), Рг(0; в) = в. (4)

Поведение марковского процесса £(Ь) при Ь ^ то характеризуется стационарными вероятностями qj = Нт^^ Р^ (Ь), которые не зависят от начального состояния ^ Из уравнения (4) следует стационарное уравнение для производящей функции /(в) = ^°=0 qj в^:

!в/л — Л/(в) = 0. (5)

Для функций РДЬ; в) и / (в) выполнены условия нормировки Fi (Ь; 1) = 1, / (1) = 1. Математическое ожидание т и дисперсия а2 стационарного распределения ^, 3 = 0,1,... } вычисляются по формулам [4]

т = /1), а2 = а2/ (1) + /1) — ( /1) V. (6)

¿в ' ¿в2 ¿в \ ав у

В работе [8] получено решение уравнения (5)

/ (в) = , (7)

где /1(5) — модифицированная функция Бесселя первого порядка. На основе выражения (7) при А/д ^го найдены асимптотики стационарных математического ожидания т = у/А/д и дисперсии А/(4д).

Таким образом, когда при больших Ь в стохастической системе устанавливается динамическое равновесие, число частиц £(Ь) колеблется около значения у/А/д, если это число достаточно велико (см. рис. 1). Следовательно, в состоянии равновесия при большом числе частиц детерминированная и вероятностная модели дают близкие результаты. Однако в вероятностной модели заметные отклонения от математического ожидания при большом числе частиц учитываются ростом дисперсии, что делает эту модель более адекватной по сравнению с детерминированной.

Рассмотренный марковский процесс £(Ь) относится к процессам рождения и гибели [10], для которых непосредственный переход из состояния г происходит только в состояние г — 1 или г + 1. Для процессов рождения и гибели выражения для стационарных вероятностей известны [6, гл.1, § 5, формулы (21), (22)], но малопригодны при асимптотическом исследовании. Выражение (7) для производящей функции f (в) определяет возможности изучения предельных свойств стационарного распределения и приближенного вычисления вероятностей. В работе [8] установлено, что распределение {дц } асимптотически нормально при А/д ^ го, т.е. вероятность нахождения случайного процесса в пределах от а до а2 при больших Ь приближенно вычисляется следующим образом:

32 ц

1 Г (у-т)2 > дз рй -;== е 2^2 ¿у.

7 = 71

^ ''1 31

В настоящей работе свойство асимптотической нормальности установлено для более общей марковской модели, не являющейся процессом рождения и гибели. При исследовании предельных свойств стационарного распределения используются асимптотические разложения для модифицированных функций Бесселя и вырожденных гипергеометрических функций, получаемые с помощью известных интегральных представлений [12]. Асимптотики вырожденных гипергеометрических функций получены с помощью метода перевала [13, 14], в том числе, когда критическая точка зависит от растущего параметра.

Описание общей стохастической модели. Второе уравнение Колмогорова. Рассматриваемая система частиц описывается кинетической схемой 0 ^ коТ, 2Т ^ к2Т, в которой коэффициентам ко и к2 соответствуют распределения вероятностей {рк > 0, ^£=о рк = 1, Рк = 0}, k = 0, 2 [11]. Если в системе имеется г частиц типа T, то веро-

ятности каждого из переходов за время АЬ ^ 0 соответственно равны ЛАЬ + о(АЬ) и — 1)АЬ + о(АЬ). Число к0 частиц, образующихся в результате перехода 0 ^ к0Т, определяется распределением вероятностей {рк0}, а переход 2Т ^ к2Т с распределением вероятностей [р12} приводит к замене пары частиц к2 новыми частицами. Вычисляя полную вероятность перехода из состояния i в состояние 3 за время АЬ ^ 0, представим переходные вероятности Рг^ (АЬ), i, 3 £ N, в виде

Pj (At) = i

Г (Лр0-, + — 1)р2-+2)АЬ + о(АЬ) при 3 > ^

1 — (Л + — 1))АЬ + о(АЬ) при 3 = i,

— 1)р2-г+2АЬ + о(АЬ) при i — 2 < 3 < ^

чо(АЬ) при 3 < i — 2.

Таким образом, марковский процесс £(Ь), Ь £ [0, то), на множестве состояний N = {0,1,... } задан плотностями распределения вероятностей переходов.

В состоянии i процесс £(Ь) находится случайное время, до тех пор, пока не произойдет один из указанных переходов. Переход 0 ^ к0Т может произойти спустя случайное время тг0, имеющее распределение вероятностей Р{тг° < Ь} = 1 — е-А [6, гл. 1, §2], а переход 2Т ^ к2Т — спустя время тг2, имеющее распределение вероятностей Р{т2 < Ь} = 1 — е-мг(г-1)г:. Поскольку величины тг0 и тг2 независимы, то время тг = min(тг0, тг2) нахождения системы в состоянии i распределено по экспоненциальному закону, Р{тг < Ь} = 1 — е-(А+мг(г-1))4, а условные вероятности каждого из переходов (при условии, что какой-либо переход произошел) соответственно равны Л/(Л + — 1)) и — 1))/(Л + — 1)). При помощи производящих функций

Fг(Ь; в) = £] Ргj(Ь)в^, Нк(в) = в1, к = 0, 2, |в| < 1, ^=0 1=0

вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковского процесса £(Ь) записывается в виде уравнения в частных производных [11, теорема 1.3]

= (в) — в2)д2^ в) + Л(Л0(в) — ВД(Ь; в), Fг(0; в) = в.

Соответствующее уравнение для производящей функции /(в) = = Нт^^ Fг (Ь; в) стационарных вероятностей принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка [11, теорема 3.2]

а2/ (в)

МЧв) — в2) -/т2 + Л(Мв) — 1)/(в) = 0. (8)

В настоящей работе поведение процесса £(t) при t ^го исследуется в случае h0(s) = pi s+p°s2, h2(s) = p2 + pis. Из условий pi + p2 = 1, Po + p2 = 1 имеем разложения на множители h0(s) — 1 = (s — 1)(p0s + 1), h2(s) — s2 = (1 — s)(s + p0), и стационарное уравнение (8) сводится к уравнению, коэффициенты которого являются линейными функциями независимой переменной (см. уравнение Лапласа в работах [15, ч.3, уравнение 2.145], [12, гл. 6, §2]:

Существование стационарного распределения следует из наличия нетривиального абсолютно суммируемого решения стационарной системы уравнений Колмогорова [10, гл. 3, § 6], [6, гл.1, § 5, теорема 4], которое получаем как решение уравнения (9). При этом коэффициенты д^ разложения производящей функции в степенной ряд

составляют предельное стационарное распределение.

Уравнение (9) решено в явном виде при всех значениях параметров р2 и р0. Предельные теоремы, приводимые далее, устанавливают асимптотическую нормальность найденного стационарного распределения при А/д ^ го.

Решение стационарного уравнения в случае р0 = 1, р^ = 1. Для

рассматриваемого марковского процесса со схемой взаимодействий 0 ^ 2Т, 2Т ^ 0 класс сообщающихся состояний [10] зависит от начального состояния. Если начальное состояние четное, то имеем класс К0 = {0, 2, 4,...}; если нечетное, то имеем класс К1 = {1, 3, 5,...}. Интенсивности вероятностей переходов указаны на рис. 2.

Уравнение (9) принимает вид уравнения с постоянными коэффициентами:

d2f (s)

Ms + -Tir1 - A(p2s + 1)/(s) = о.

(9)

/ (r) = £ qj rj

j=0

/il [1-1) JJL(L+1) /J(L + 1)(L+Z)

Рис. 2. Диаграмма переходов в случае pP0 = 1, = 1

Общее решение f (s) = C^e vs + C2evs, v = у/Л/д, представим в виде степенного ряда

,, ^ ((—1)*С1 + С2Ь*в*

/(в) = ^(( ) 3, 2)—, (10)

*=0 3'

где С1, С2 — произвольные константы. Поскольку переход из состояния i в состояние i + 1 невозможен, то Рг,г+1(Ь) = 0. Если процесс £(Ь) находится в классе состояний К0, то ряд (10) содержит только четные степени в, и тогда С1 = С2; если в классе состояний К1 — ряд (10) содержит только нечетные степени в, и тогда С1 = — С2. Определяя константы С1 и С2 из условия нормировки / (1) = 1, получаем для производящих функций выражения

/0(в) = и/ Ч , /1(в) = V, / ч . (11)

Таким образом, распределения вероятностей [16]

j = ., w ч > j е K >

j!ch(v)

vj 1

j!sh(v)

(12)

являются предельными стационарными распределениями в классах сообщающихся состояний К0 и К1 соответственно.

Рассмотрим случайные величины и п^д с распределениями вероятностей (12). Из формул (6) получаем для математических ожиданий = М^,0, = М^д и дисперсий ст20 = Б^,0, ^д = 0^,1 следующие выражения:

т,,0 = V ), ст20 = ^2(1 — Ш2^)) + V ), (13)

= V сШ^), = V2(1 — cth2(v)) + V сШ^). (14)

Утверждение 1. При п = 0,1 и V ^то справедливы асимптотики

1"'и,п и п

Доказательство. Из определения функций Ш(г) и сШ(г) следуют асимптотические формулы при г ^ +то: ) ~ 1, сШ(г) ~ 1, 1 — Ш2(г) ~ 4е-22, 1 — сШ2(г) ~ —4е-2г. Применение указанных формул к выражениям (13) и (14) завершает доказательство утверждения.

Теорема 1. При n = 0,1, v ^ го и фиксированном x £ (-го, +го) имеем

x

lim Р ( ^ - < Л = 1 Г e-y2/2dy.

I J v 2n J

Доказательство. Для доказательства предельной теоремы используем стандартный метод характеристических функций [9, гл. 9]. Введем характеристическую функцию (здесь и далее мнимую единицу обозначим ш, ш2 = -1)

/ \ Л /г I Ли,п ти,п \ <^,п(т) = искр ШТ-

V а»,п )

нормированной случайной величины — т,1п)/а,,п. По определению математического ожидания имеем

Vv,n(r) = У^Р {nv,n = 2k + n} exp ( шт 2k + П-^^ ) =

k=0 V ^n ;

= exp ^-шт ^^ exp ^ В соответствии с формулами (11) получаем

(v exp( So))

J ch(z/)

sh [ v exp [ - ) )

V Wiyy

, \ CM v exp

f \ i V Wo// ^v,o(t ) = exp -шт- -—--, (15)

V ffv,o/

( \ ( т^,Л \ v^,i/7 (16)

^v,i(T)=ex^ -шт- -—--. (16)

V ov,i / sh(v)

Покажем, что при v ^ го характеристическая функция ^,п(т) стремится к характеристической функции е-т /2 случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону. Из определения функций sh(z) и ch(z) следуют асимптотические формулы sh(z) ~ ez/2, ch(z) ~ ez/2 при |z| ^ го, | arg z| < п/2 — S < п/2 (здесь и далее S > 0 сколь угодно мало и не зависит от z), с помощью которых из выражений (15) и (16) получаем при v ^го

<^,п(т) ~ exp( vi exp ( ) - 1 ) - шт ^^ ).

V V \av,nJ ) °v,n J

Используя разложение по формуле Тейлора

( шт \ шт т2 , _2 ч exp - = 1 +--тт^- + Чav,n ,

приходим к асимптотике

(r) - ех^^г

v — mJy

v,n

2<J ■

(17)

Согласно формулам 1 — ^(г) ^ 2е-2^, 1 — ) ^ — 2е-2^ при г ^ +то из выражений (13) и (14) имеем V — тип = о(1), V ^ то. Таким образом, первое слагаемое под знаком экспоненты в выражении (17) стремится к нулю. Отсюда, учитывая асимптотику для из утверждения 1, получаем окончательно

(т) - ехр -

V

г-J e

-т 2/2

Теорема доказана.

Решение стационарного уравнения в случае = 0. Предельная теорема. Имеем процесс со схемой взаимодействий 0 ^ Т, 2Т ^ к2Т, к2 = 0,1, т.е. поступление в систему частиц можно интерпретировать как пуассоновский поток с интенсивностью Л [6, гл.2, §1]. Возможные переходы марковского процесса из одного состояния в другое и их интенсивности показаны на рис. 3.

Уравнение (9) принимает вид

( + 2. d2f (s)

- Лf (s) = 0.

(18)

После замены переменных г = (здесь и далее под у/г под-

разумевается главная ветвь), у (г) = г-1 / (в), где V = у7 Л/^, уравнение (18) сводится к модифицированному уравнению Бесселя г2у00 + + гу0 — (г2 + 1)у = 0 [17, гл.7, §2, уравнение (11)]. Следуя работе [17], имеем общее решение уравнения (18) в виде

/(в) = С^в + /1(2^в + р0) + в + К!(19)

где /1 (г) и К1 (г) — модифицированные функции Бесселя первого порядка соответственно первого и второго рода; С1, С2 — произвольные

Рис. 3. Диаграмма переходов в случае = 0

константы. Из представлений /1(2) и ) в форме рядов [17, гл.7, § 2, формулы (2) и (37)] следует, что первое слагаемое в выражении (19) — функция, аналитическая на всей комплексной плоскости в, а второе слагаемое — функция неаналитическая в точке в = — р. Если < 1, то С2 = 0, так как производящая функция f (в) по определению является аналитической в круге |в| < 1. Если р2 = 1, то С2 = 0, так как в этом случае f (в) = С1 у/в + /1(2^у/Т+"р|) представляет собой единственное (с точностью до множителя С1 > 0) решение уравнения (18), все коэффициенты которого при разложении в ряд по степеням в неотрицательны. Определяя константу С1 из условия f (1) = 1, приходим к выражению для производящей функции стационарного распределения _

,() /в + Р Л(2уРв + р2) (20)

f (в) = У^ /^Ртр) ■ (20)

Случай = 1 соответствует химической реакции А ^ Т, 2Т ^ В [18, гл. 9, § 1], в которой концентрации веществ А и В поддерживаются постоянными. Выражения для стационарных вероятностей qj [18, гл. 9, § 1, формула (15)] следуют из разложения функции (20) в ряд по степеням в.

Рассмотрим случайную величину Пи на множестве N = {0,1,.. ■} с распределением, определяемым функцией (20). Дифференцируя выражение (20) с использованием соотношения для модифицированных функций Бесселя г/1 (г) = г/0(г) — /1(г) [17, гл.7, §2, формула (54)], получим

= ,

а /1(2а^)

где а = + р^. Из уравнения (18) следует, что f"(1) = V2/а2. Подставляя значения производных в формулы (6), получаем выражения для математического ожидания ти = М^ и дисперсии ст2 = :

V /0(2av) 2 V2 / /2(2av)\ V /0(2av)

- , 2 = V2 Л 1o2(2av Л , v IqU- , (21)

a/1(2av)' ^ а2 V A2(2av); + a^(2av)' ( ) Утверждение 2. При v ^то справедливы асимптотики

2

mu ~ -, а,, ~ (1 -

fi - v'

2а2 а

Доказательство. Воспользуемся асимптотиками для модифицированных функций Бесселя при |z| ^ то, | argz| < п/2 — £ < п/2 [17, гл. 7, §13, формула (5)]:

J0(z >=(1+8z+O<z-2)) (22)

(z >=i1 - 8Z+O(z-2)} (23)

Суммируя и вычитая формулы (22) и (23), получим

ez

Io (z) + Ii(z) = -== (2 + O(z-1)), (24) V 2nz

\/2nz

Из формул (22) и (23) следует также

1o(z)

Й+°(z-2))

1o(z) - Ii(z) = — + O(z-2) . (25)

т ()=1 + о(1). (26)

Перемножая формулы (24) и (25), получаем

1—Ш=—о(г—1 )• (27)

Подстановка асимптотик (26) и (27) в формулы (21) завершает доказательство утверждения.

Теорема 2. При V ^го и фиксированном х Е (—го, +го) имеем

X

П — т< Л = * [ е-У2'Чч.

иш р( п^—т < Л = * [

Доказательство. Обозначим < (т) характеристическую функцию нормированной случайной величины (п^ — ти. Тогда получим

<(т) = Мехр^штп" ^ = ехр^—шт/(ехр^"О")) = /, , (т) / А /1^Р7^ (т) + а2)

= у1+— ехч—

/i(2av)

где ш2 = —1; (т) = ехр(шт/о^) — 1. Согласно утверждению 2 имеем ст^ ^го и, следовательно, (т) ^ 0. Используя главный член асимптотики (23), получаем при V ^го

(т ) - ехр (+ ^ — 0 — шт 1Т) •

Используя разложение по формуле Тейлора

Y, (т)

= 1 +

^т 2а2 а,

(1 - 2а2)т2 , 2а

получим выражение

( v/а - m, 1/ 1 \ v т2\

^(т) - — ^ - — j a oi) •

Покажем, что первое слагаемое под знаком экспоненты в выражении (28) стремится к нулю. Действительно, из формул (23) и (25) следует

V V //о(2а^) - Д(2а^)\ 1

- I г-и -

/1 (2^) ) 4а2'

m,--= —

(М

откуда — V/а = ). Учитывая асимптотику для ^2 в утверждении 2, получаем окончательно

7 1 4 „ /2

^(т) ~ ехр(- ^ - а ^)

Теорема доказана.

Решение стационарного уравнения в случае р0 > 0, рРо < 1. Предельная теорема. Схема взаимодействий в данном случае принимает вид 0 ^ к0Т, к0 = 1, 2; 2Т ^ к2Т, к2 = 0,1. Возможные переходы между состояниями марковского процесса £(¿) показаны на рис. 4.

Введем обозначения V = л/Ар2/м, а = (1 — р2р2)/2р2. С помощью замены переменных г = 2v(й + р2), У(г) = (й + р2)-1 в/М стационарное уравнение (9) сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению гу00 + (2 — г)у0 — (1 + av)у = 0 [12, гл.6, §1, уравнение (2)]. Аналитическое на всей комплексной плоскости решение этого уравнения имеет вид

у(г) = СФ(1 + а^ 2; г),

Рис. 4. Диаграмма переходов в случае > 0, Р0Po < 1

2

а

где Ф(а, в; £) — функция Куммера с параметрами а, в [12]; С — произвольная константа. Соответственно, аналитическое в круге |в| < 1 решение уравнения (9) имеет вид /(в) = С(«+р0)е-^Ф(1+а^, 2; (в+ + р2)). С помощью условия нормировки /(1) = 1 приходим к выражению для производящей функции стационарного распределения:

(s + р2 \

U+ Р2У

f (s) _ ev(1-sW £ + ф(1 + gv 2;2v(s + p2)) f (i)_ 6 —2 ' Ф(1 + av, 2; 2v(1 + p2))' ( )

Обозначим Пи случайную величину на N = {0,1,... } с распределением, соответствующим производящей функции (29). Математическое ожидание и дисперсия примут вид

ти = + 1, (30)

Ь

=- я)+^ (1 -1)+1+(31)

где Ь = 1 + р0,

, 2Ф0(1 + ду, 2;2Ьу) 1 (32)

Ф" = Ф(1 + ду, 2;2Ьу) " 1. (32) Утверждение 3. При V ^го справедливы асимптотики

/ 2a 0 / g\ 2a

m ~ "V 1 + !g. ~v - ь^д+^ + т- (33)

Доказательство. Воспользуемся интегральным представлением функции Куммера [12, гл. 6, § 11, формула (2)]:

(1+)

Ф(а, в; *) = — Г(в)Г(а - в е^ииа-1[и - 1)в-а-1 Л (34)

2пш Г(а) У

о

Ив а > 0. Здесь Г (а) — гамма-функция, а контуром интегрирования служит петля, которая начинается и заканчивается в точке и = 0 и обходит точку и = 1 в положительном направлении. Полученные далее асимптотики для выражений, содержащих функцию Ф(1 + av, 2; 2bv), основаны на вычислении асимптотики при V ^го интеграла

(1+)

е^(и) й(и) ¿и, 5(и) = 2Ьи + а 1п —^ (35)

У и - 1

о

(под значением логарифма подразумевается главная ветвь), где Л-(и) — функция, аналитическая в области Ив и > 0. Указанная асимптотика

находится с помощью метода перевала [13, 14]. Функция 5(и) является однозначной аналитической функцией в области Ив и > 0 с разрезом по отрезку [0,1] и имеет простую точку перевала ио, определяемую из условия £'(ио) = 0. Дифференцируя функцию 5(и), находим

u0 _--+

2 2

1 1 I 2g

2 +2^ + 7-

4b2

S>o) _ — g

2a

1 + !T

„„„ , 8Ь2 / 2Ь\ „(4), ч 96Ь4 / а А I 2а

("о> = - т 0 ■+ -а) ■ 5(4)("о) =—(1 +д) \А + у

Контур интегрирования может быть деформирован в петлю, проходящую через точку ио и лежащую при и = ио в области Ив5(и) < < Ив5(ио) (рис. 5). В рассматриваемом случае выполнены условия теоремы 7.1 из работы [14, гл. 4]. Согласно этой теореме асимптотика интеграла (35) с точностью до второго члена определяется выражением

v S "Ы

4v S ''(uo)

(^J Г

l evS(u)h(u) du - uJevS(u0) ( h(uo) - X

0 (

x 2h''(uo) -

2S "'(uo )h'(uo) / 5(S '''(uo))2 S(4) (uo)

S00(u0) Введем обозначение

(

6(S''(uo))2 2S'' (uo)

)h(uo))j

(36)

Rv _

,vS(u0)

av^/ 2nvS ''(uo)

Im и

Рис.5. Контур интегрирования в области ReS(u) < ReS(uq) (область

Re S(u) > Re S(uq) заштрихована)

Учитывая равенства Г(а + 1) = аГ(а), Г(1) = 1, получаем с помощью выражения (36) следующие асимптотические формулы:

(1+)

Ф(1 + а^ 2; 2^) =-1--^ ~ , (37)

2па> аv У о

2Ф0(1 + av, 2; 2Ьv) — Ф(1 + av, 2; 2^) =

(1+)

1 f ,,Qi„.\, ч , „ / 2а

vS(u)(2u - 1) du - 1 + у, (38)

av J V b

о

2Ф(1 + av, 2; 2bv) - ( 1 + 1 + у ) Ф(1 + av, 2; 2bv) =

(1+)

(2u -1 -iA+t)

1 f „S(uW / 2a \ 3a + 2b R,

I ~vS(u) I 2u — 1-a/1 + — du------v

av J \ V b I 2b(2a + b) v '

о

(39)

2Ф0(1 + av, 2; 2bv) - (1 - 1 + у ) Ф(1 + av, 2; 2bv) =

(' -iA+T)

^2u - 1 + ^ 1 + у j du - 2R^ 1 + (40)

2п<^ а^ у \ V Ь / V Ь

о

При выводе формул (37), (38) и (40) в асимптотической формуле (36) используется только главный член, а при выводе формулы (39) используется все выражение (36).

Из выражений (32), (37) и (38) получаем

I 2a

v1+T-

2a

ф, 1 + у. (41)

Из формул (39) и (40) следует, что

I 2a 3a + 2b

V1 + T - - 2b(2a + b)v,

I 2a , I 2a

V1 + 2b" +- Т + У

(42)

Перемножая последние формулы, получаем

2а ,2 3а + 2Ь / 2а

1+т -я ~ ц^г+^+т- (43)

Применяя асимптотики (41) и (43) к выражениям для математического ожидания (30) и дисперсии (31), завершаем доказательство утверждения.

Теорема 3. При V ^то и фиксированном х е (—го, +то) имеем

Ншр( п^—т < Л = * [ е-у2/2^у.

Доказательство. Характеристическая функция случайной величины (п^ — т,равна

(т) = М ^= ех^—штехр^Щ")) =

= Л , 7*(т)\ ^ Ф(1 + av, 2, 2v(7„(т) + Ь))

Л _i_ Yv(тЛ ^ / \ тЛ

11+--— I expl -vy, (т) - шт— I

Ь ) \ к ' а^ Ф(1 + а^ 2,2Ьv)

где (т) = ехр(шт/ст^) —1. Согласно формуле (34) имеем интегральное представление

(1+)

Ф(1 + av, 2; 2v(7„ + Ь)) = -1- [ ) ¿и,

2пш av У о

где 5(и, V) = 2(7^ + Ь)и + а 1п(и/(и — 1)). Асимптотика интеграла при

V ^ то находится с помощью метода перевала, причем определяемая из условия 5и(и, V) = 0 критическая точка ) зависит от параметра

V [13, гл. 5, § 21]. Нетрудно получить соотношения

5(ио, V) — 5(ио) = 2ио7^, ^(ио, V) = 27^, (ио, V) = 500(и),

(44)

где 5(и) и ио определены при доказательстве утверждения 3. Поскольку 7^ ^ 0, то 5(и, V) ^ 5(и) и ) ^ ио. При этом выполнены условия теоремы Фабера [13, теорема 21.3], согласно которой главный член асимптотики определяется выражением

(1+)

'5<") - ехр( v Su(uo, v) - igggf),

(45)

в котором и0 — приближенная точка перевала. Из выражения (45) с учетом формул (37) и (44) получаем асимптотику

Ф(1 + av, 2; 2v+ b))

{2

ex^2uov7v - Jg^) ■

Ф(1 + av, 2; 2bv) Следовательно, для характеристической функции при v

оо имеем

fv (т )

m.

ex4(2uo - 1)vY(т) - ^>07-

о

= ехш V7v (т)'

- avY2(T) - ШттЛ

V b 2b(2a + b) V b av у

Используя разложения по формуле Тейлора

/ \ щт т2 _2

Yv(т) =--r-J + ),

0"„ 2

получим выражение

/ vPl + 2a/b -f v (т) ~ ехш шт-

2 (т ) = - т? + o(a-2)

Y

mv

- Л__^

V b(2a + b)J V + b 2^

b 2aJy (46)

Заметим (см. формулу (42)), что

mv — v

1

2a

T

2b(2a + b)

+ o(1),

откуда следует, что первое слагаемое под знаком экспоненты в выражении (46) стремится к нулю. Далее, используя асимптотику для в утверждении 3, при V ^го получаем окончательно

fv (т) ~ ехр - 1 -

( ( a \ I ^^т!) У1 - b(2a + b)J V1 + Т 2^2 J

~ e

-т 2/2

Теорема доказана.

Заключение. Применение аналитических методов позволило исследовать асимптотические свойства стационарного распределения для процессов со схемами вида 0 ^ к0Т, 2Т ^ к2Т. Доказательства предельных теорем следуют из интегральных представлений решений уравнения Колмогорова. Предложенные в работе методы обобщаются для процессов со схемами вида 0 ^ к0Т, Т ^ к^Т, 2Т ^ к2Т. Переход Т ^ 2Т характерен для автокаталитической химической реакции, а переход 2Т ^ 3Т учитывает возможность размножения в

2

a

популяции индивидуумов [18]. Факт асимптотической нормальности стационарного распределения является новым для рассматриваемого класса стохастических моделей систем с взаимодействием частиц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г. Курс химической кинетики. - М.: Высшая школа, 1974. - 400 с.

2. Леонтович М. А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1935. - Т. 5. - Вып. 3. - С. 211-230.

3. Морозов А. Н. Необратимые процессы и броуновское движение. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. - 332 с.

4. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971. - 436 с.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.

- М.: Мир, 1979.-512 с.

6. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

7. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций.

- М.: Наука, 1985.- 182 с.

8. Л а н г е А. М. Об одном ветвящемся процессе с иммиграцией и взаимодействием частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. "Вероятность и статистика". - 2001. - Т.8. - Вып. 2. - С. 783-784.

9. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики.

- М.: Наука, 1982.-256 с.

10. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.

- М.: Наука, 1977. - 568 с.

11. Калинкин А. В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи матем. наук. - 2002. - Т. 57. - Вып. 2. - С. 23-84.

12. Б е й т м е н Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. - М.: Наука, 1973. - 296 с.

13. Риекстыньш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 2. - Рига: Зинатне, 1977. - 464 с.

14. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. - М.: Наука, 1978. - 376 с.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

- М.: Наука, 1971.-576 с.

16. Калинкин А. В. Стационарное распределение системы взаимодействующих частиц с дискретными состояниями // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 268. - Вып. 6.

- С.1362-1364.

17. Бейтмен Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены.

- М.: Наука, 1974. - 296 с.

18. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. - М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.

Статья поступила в редакцию 18.05.2004