CC BY
68
МАТЕМАТИКА
J
УДК 519.218.27
А. В. Калинки н, А. В. Мастихин
МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС ЭПИДЕМИИ ВЕЙСА И ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
Предложенный в работе [17] метод построения замкнутого решения уравнений Колмогорова для экспоненциальной (двойной) производящей функции переходных вероятностей применен к двумерному марковскому процессу гибели специального вида. Получено интегральное представление для производящей функции переходных вероятностей, использующее специальные функции. Приведены выражения для математического ожидания и дисперсии случайного процесса, и установлена предельная теорема.
Определение марковского процесса эпидемии. На множестве состояний N = {(«!, а2), а1,а2 = 0,1,...} рассматривается однородный во времени марковский процесс £(£) = (£1(£),£2(£)), t Е [0, то), с переходными вероятностями Р^во?^) = Р {£(£) = (във2) | £(0) = = (а1,а2)}. Пусть при £ ^ 0+ переходные вероятности имеют вид (М > 0)
Р£1;Г22-1>(£) = Р1а1а2£ + о (£), Р^2-1)(£) = Р2а^ + о (£),
Р^-Й2>(£) = Ма1£ + о(£), Р^ф = 1 - (а№ + ма^ + о (£).
(1)
Здесь р1 > 0, р2 > 0, р1 + р2 = 1. Введем производящие функции
(Ы < 1, ы < 1)
те
1 ,в:>(£; 81,82)= £ Р^?(£)^в1 42, (а1,а2) Е (2)
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей в случае процесса £(£) равносильна уравнению в частных производных [2, 15]:
^^^ = (Р2в2 + Р181 - 8182) ^^Т21 + М (1 - 81) ^^Г^, (3)
с начальным условием 1а2>(0; 81, 82) = 12.
Событие {£(£) = (а1,а2)} интерпретируется как наличие совокупности из а1 частиц типа Т1 и а2 частиц типа Т2. Следующее
описание принято в вероятностных моделях распространения эпидемии [2-4]. Частицы типа Т1 интерпретируются как больные особи, частицы типа Т2 как здоровые особи, восприимчивые к инфекционному заболеванию. Можно полагать, что через случайное время т(
p к
2
(0:1,0:2)' 3—01021
Скачки марковских процессов гибели на N2
(01,02) < О = 1 - е-
происходит контакт частицы типа Т1 с частицей типа Т2. Эта пара частиц с вероятностью р заменяется частицей типа Т (заболевшая особь удаляется из популяции) — процесс переходит в состояние, соответствующее вектору («1,а2 — 1), или с вероятностью р2 заменяется двумя частицами типа Т1 (заболевшая особь не удаляется из популяции) — процесс переходит в состояние, соответствующее вектору (а1 + 1,а2 — 1). Кроме того, через случайное время Т(!а1,а2), р {т(!а1,а2) < = 1 — в"^, одна из частиц типа Т1 гибнет — процесс переходит в состояние, соответствующее вектору (а1 — 1, а2). Предполагается, что случайные величины т^ а), т2а1 а) независимы; в состоянии (а1, а2) процесс находится случайное время Т(а 1,а2) = Ш1п(т(1а1,а2),т(2а1,а2)). Пример реализации процесса изображен на рисунке, а.
Задача решения уравнения (3). Марковский процесс в случае р1 = 1 называется моделью эпидемии Вейса [6], [12], а в случае р2 = 1 называется моделью эпидемии Бартлетта-Мак-Кендрика [1],
[2]. Процесс принадлежит специальному классу марковских процессов, определенному Б.А. Севастьяновым [15]; в работе [16] описан наиболее общий процесс с двумя типами частиц Т1, Т2 и двумя комплексами взаимодействия е1 = (1,1), е2 = (1,0) — уравнение такого процесса обобщает уравнение (3). Обзор задач для вероятностных моделей процессов эпидемии содержится в статье А.Н. Старцева [12].
Имеется обширная литература по точным решениям уравнений различных марковских процессов эпидемии и способам их вывода (см. [4], [5], обзор [10], [11], [18] и др.). Для уравнения (3) в случае р1 = 1 выражение для ^(а1,а2)(£; 81,82) известно (см. далее замечание 1). В случае р2 = 1 Дж. Гани [7] получил решение уравнения
(3) методом преобразования Лапласа и выписал формулы для переходных вероятностей. В. Сискинд [8] получил те же формулы, решив (3) способом прямого рекурсивного интегрирования. Несколько более
простые ряды для решения уравнения (3) дал С. Сакино [9]. Все эти явные выражения для ^(а1,а2)(£; 81, ¡2) имеют необозримо громоздкий вид; например решение, найденное в работе [7], занимает две страницы журнального текста. Такие формулы малопригодны, в частности, для вывода асимптотических следствий о поведении марковского процесса £(£).
А. Баруча-Рид [3] и Н. Бейли [4] ставят задачу сведения выражений для производящей функции переходных вероятностей к виду, содержащему известные функции. В работе [4] обсуждается необходимость вывода замкнутых решений для уравнений эпидемии.
В настоящей работе построение решения для уравнения (3) основано на положениях теории ветвящихся случайных процессов с независимыми частицами [14].
Нелинейное свойство ветвящихся процессов и процесс эпидемии. Простейшим ветвящимся процессом является марковский процесс на множестве состояний N такой, что при £ ^ 0+ переходные вероятности имеют вид > 0, > 0)
<-а12)2)(£) = + о(£), Р&£-1)(*) = ^ + О(£),
Ры^) = 1 — (^1«1 + ^2«2)£ + О (£).
Производящая функция переходных вероятностей (2) удовлетворяет уравнению в частных производных (см. [14], гл. 4, § 3, уравнение (12)):
—О— = М1 — ¡О"^ + М1 — ¡2 , (4)
с начальным условием 1,а2)(0; ¡1, ¡2) = ¡а1 ¡а2.
Состояние (а1, а2) интерпретируется как наличие совокупности из а1 частиц типа Т1 и а2 частиц типа Т2. Через случайное время т^ а2), р {т^! а 2) < £} = 1 — в"^1а1одна из частиц типа Т1 гибнет — процесс переходит в состояние, соответствующее вектору (а1 — 1,а2). Кроме того, через случайное время т(2а 1,а2), р {т^ 1,а2) < £} = 1 — в"№а2*, гибнет частица типа Т2 — процесс переходит в состояние, соответствующее вектору («ьа — 1). Случайные величины т^ 1,а2), т2а 1,а2) независимы; в состоянии (а1,а2) процесс находится случайное время т(а 1 ,а2) = Ш1п(т11,а2),т2а 1,а2)). Пример реализации такого процесса гибели изображен на рисунке, б.
Решение уравнения первого порядка (4) находится стандартными методами и имеет вид свойства ветвления ([14], гл. 4, § 2, формула (3)):
F{а 1,а2)(£; ¡1, ¡2) = (1 — в"^14 + ¡1в"^)а1 (1 — в"^ + ¡2в"№*)а2 . (5)
Теоремой 1 настоящей работы установлено, что в случае марковского процесса эпидемии Вейса решение уравнения в частных производных второго порядка (3) имеет вид, обобщающий формулу (5). Для построения такого представления для ра1,а2)(£; 81,82) применяется метод, предложенный в работе [17]. Рассматриваются одновременно первое и второе уравнения Колмогорова для экспоненциальной (двойной) производящей функции переходных вероятностей и находится решение этих уравнений в виде ряда с тремя разделенными переменными. Затем строится интегральное представление решения, при этом подынтегральное выражение содержит специальные функции. Дальнейшие преобразования приводят замкнутое решение к виду, аналогичному нелинейному свойству (5).
В теореме 1 решение уравнения (3) дано при р1 = 1, но изложенный метод применим при труднопреодолимой технике вычислений к построению замкнутого решения при р1 < 1.
Отдельной задачей [20] является нахождение интегрального представления решения уравнения (3) при ^ = 0 в виде, обобщающем формулу (5).
Замкнутое решение уравнений Колмогорова. Ограничимся рассмотрением процесса £(Ъ) в случае р1 = 1. Введем экспоненциальную производящую функцию
с 1 z® 2
Fz1,z2; s1, s2^) / -j-T1 ,a2)(t; s1,s2) =
a1!a2!
ai,a 2=0
.о 1 .а 2
= Е ОЙ42- (6)
а1,а 2,в1>в2=0
Первая и вторая системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей Р^ва) (Ъ) записываются в виде уравнений в частных производных [16, 17]:
дТ (дТ д2 Т \ ( дТ
Иъ = дТ1- д^ + И Т-дТ1
dF д 2F dF
-Ж = (s1 - S1S2) dsdS2 + M1 - S1) dF, (8)
с начальным условием F(0; z1, z2; s1, s2) = eziSl+Z2S2. Далее нам потребуется функция (x > 0, y > 0)
сю сю
H(x, у) = J J J0(2VUX)J0(2Vvy)0F2(1,1; —uv) dudv, (9) 00
где 70(г) — функция Бесселя порядка нуль, 0^2(1,1; г) — обобщенная гипергеометрическая функция,
с (—1)' (,~/2)2к г'
J«М = Е( '¿Г , «F2(1 1; z) = E
k=0 k=«
Теорема 1. Пусть марковский процесс £(£) на множестве состояний N задан соотношениями (1) и р1 = 1. Производящая функция переходных вероятностей имеет вид
сю сю
F{aí ,а2)(£; ¡1,^)=// ((¡1в-(ж+^)а 1 (1 — в"У + ¡2в"У )а2 +
+ /(¿ / ^а1 (£; X, и; ¡1М2 (у, V ¡2)в(и-^^ ^ Н(ж, у) ¿ж^у, 0 0+
(10)
где линейные по переменным ¡ь ¡2 функции ж, и; ¡1), (у, V; ¡2) определены формулами
ж, и; ¡1) = ^(1 — в-(ж+^)/и + ¡1в-(ж+^,
^2(у, V; ¡2) = 1 — + ¡2в-у-".
Доказательство. Применим к линейным уравнениям в частных производных второго порядка (7), (8) метод Фурье:
а) метод разделения переменных. Решение ищем в форме ряда
с
¿1,2:2; ¡1, ¡2)= ^ Лад Сад (¿1, ¿2)Сад (¡1, ¡2)в-Аа1"2
а1,а 2=0
(11)
Подставив ряд (11) в уравнения (7) и (8), получаем уравнения для функций <6а 1а2 (¿Ъ^) и Са1а2(¡1, ¡2):
. дСа 1а 2 д Са 1а 2 . 21221 — ' +
^а ia 2 „1 2 + л
ai«2 а ia 2 0; (12)
д<а
д 2< дС
(¡1 — ¡1^) д Г2 + ^(1 — ¡1) "1а 2 + Аа 1а2 Са 1а2 = 0; (13) д^д^ д¡1
а1, а2 = 0,1,.... Из условий на скачки процесса £(£) следует, что для уравнения (13) имеет место краевое условие "Са 1а2 (¡1,¡2)
есть многочлен". Тогда последовательность собственных значений Аа 1а2 = а1а2 + —«ъ а1, а2 = 0,1,..., и каждому Аа 1а2 соответствует собственная функция
Са 1а2 (81,82) = (81--—- ) (82 — 1)"2 .
V «2 + — ' Соответственно, уравнение (12) принимает вид
( д Са 1а 2 д Са 1а 2 {77 д Са 1а 2 ^ / \ 77 г\
*1*2 I "д.---д. д. ) С-а 1а 2--д.-у +(а1а2+—а1)С-а 1а2 = 0.
Из условий на скачки процесса £(Ъ) следует также, что нас интересует аналитическое при любых .1, .2 решение
— 1а 2 (.1, .2) = .а1 2 е^2+^)+"2 . Таким образом, искомый ряд (11) имеет вид Т (ъ; .ъ .2; 8ъ 82) =
те
= У Аа^ 2^ 12 е21 ^/(а2+^)+22(81--а1 (82 - 1)а2 е-Аа1 а2*.
^ V «2 + — /
а1,а2=0
Значения Аа 1а2 определяются из сравнения начального условия Т(0; .1, .2; 81, 82) = е21в1+22в2 с разложением для экспоненты
g21S1+22S2 = g21S1+22
с а2
Е ^ (S2 — 1)
z—' а о!
п "2!
а2 =0
с za 2
= -L- (S2 — 1)a2 gzW(a2+^)gz1(s1-^/(a2+^)) =
а 2=0
= е2^ %(82 - 1)а2е21^/(а2 у £1_ Л--^
«2!(2 ) аД1 «2 + —
2=0 1=0
Получаем Аа 1а2 = 1/(а1!а2!) и приходим к выражению
^ .а:
Т (ъ; .1,.2; 81,82)= V —
^ 0 а^!
а1,а 2=0
х ^81--—)а1 (82 - 1)а2е-(а1а2+^а (14)
V «2 + — )
Абсолютная сходимость ряда (14) при любых .1, .2, 81, 82 и Ъ € [0, то) очевидна.
с —а 1 —а 2
-1 —2 g21^/(a2+^)+22 х
б) интегральное представление. Используем следующее представление экспоненты ([13], часть 2, формула (3.5), и часть 1, гл. 2, § 12):
сю сю
в-а 1а24 = / /в-а14х-а2УН(ж, у) ^Ыу,
««
где функция Н(ж, у) определена формулой (9). Из выражения (14) получаем (изменение порядка интегрирования и суммирования допустимо, так как интеграл сходится абсолютно)
F(t; Zi,Z2; si,s2) = У^ —
^ 1 2
— gZW("2 +^)+22x
« ail«2!
1, 2=«
x fsi--—)01 (s2 - 1)a2e—"W e—a1tx—a2yH(x,y) dxdy =
V a2 + u/ 7 7
««
e| E -fje"1"7^2+")[(«2 - 1)e—y]a2 x 0 0 a 2=« 2"
{S S [(si - 02TU )e—П }}H (х,У) ^ =
X
a1=«
сю сю
в2151е-(х+^)4+2Л ^ [¿2(¡2 — 1)в У]а2 в21^(1-е-(х+^)4)/(а2+^)1 х
1а7=0 ^ /
0 0 а2=0
х Н(ж, у) ^ж^у. (15)
Для суммирования ряда в фигурных скобках воспользуемся формулой
СЮ сю
V_—_ = _1_ Л.'-^-^+Ье-« , и = . 2
¿0 а!(а + ^ = (и — 1)^ и в ^ к = 1, 2,...,
и модифицированной функцией Бесселя
(г/2)2'+1
ад = Е
k!(k + 1)!
k=«
(делаем замену а = -iu(1 — e—(ж+")4), b = -2(s2 — 1)e—y):
'С ^ео/(а2+^) = 0 «2!
а2 =0
~ ^ gk _ ^ а* ^ ьа2
с k
= eb + V _-_ vk-1e-^v+6e-v=
e + k!(k — 1)!У V e
k—1 n
СЮ
= еЬ + /J1(2^-v)e-^v+be-vdv. (16)
0
Из известного представления функции Бесселя
/1 (-) = J_1(z) = e(z/2)(u+1/u) du
0+
нетрудно получить
A/-/1(2V-V) = — /evu+a/u du. (17)
V v 2ni J
0+
Подставляя уравнение (17) в формулу (16), и (16) в выражение (15), получаем окончательно
сю сю
F(t; -1,-2; S1,S2) = yI ez1s1e-(x+M)t+z^ez2(s2_1)e-y + 00
сю
i)/u+z2(s2_1)e-y-v+(u_^)vd^ d^ H(x, y) dxdy.
+ / ( — i ez1^(1-e-(x+M)t)/u+z2(s2_1)e-y-u+(u_^)vdu )dv
2пг
0 0+
(18)
Из определения двойной производящей функции (6), формулы (18) и разложения экспоненты
с ^ац а 2 --
=21S1+22S2 _ \ Л z1 z2 „а^а 2
^ а1!а2!
e 11 22 = —:—rSi1 So
1, 2=0
следует интегральное представление (10). Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Преобразуем ряд (14) к виду
F ¿ъ z2; «ъ «2) =
то a2 ^то ai
=Y^r (S2 -1)" Y Or («1 - o^) aV<a2+"')"=
a 2=0 ai=0
то a 2 / 1 \ a 2 ^то n
«2! n=0 n!
a2=0 n=0
то a 2
/ i \ k <то) ai
(«2 - 1) y^ / e-(fc+^)t ^ е-(к+^Лai
= E z2 ^ т^-^ E «1e-(k+^+^ (1-e
(19)
Из определения экспоненциальной производящей функции (6) и разложения (19), приравнивая коэффициенты при степенях г^1 2, получаем известное представление [5, 10]:
^(а 1 ,а 2)
а 2
^ С£2(81е-(^ + (1 - е-(к+^))^ (82 - 1)к. (20)
к=о +-
А.М. Зубков предложил вероятностный вывод формулы (20), основанный на свойствах траекторий марковского процесса эпидемии Вей-са (2001 г., устное сообщение).
Некоторые следствия. Интегральная формула (10) для производящей функции переходных вероятностей F(ai a2)(t; si,s2) простым образом содержит начальные условия a1, а2 и переменные s1, s2, что определяет стандартные пути вывода следствий. Числовые характеристики марковского процесса (^(t), £2(t)) находятся по формулам ([14], гл. 4, § 1):
dF(a i,a 2)
ai(t)= m &(t) =
ds
b (t) = m & (t)(&(t) -1) =
d2F(
Si = 1,S2 = 1 (a i,a 2)
si = 1,s2 = 1
08?
А(*) = Б £(*) = Д(*) + Д(*) - А2(^), г = 1, 2.
Следствие 1. Для процесса эпидемии Вейса средние и дисперсии равны:
A1(t) = „1e_^, A2(t) = aJ -+- + -+-е_<>+1)Л ^;
\— + 1 — + 1 /
D1(t) = „^e^ — e_2^),
B2(t)= „2(02 — 1)(+ -f^—)" 1 + (21)
+ e^«)')"1 — „2(-^- + e^*^ 1 V - +1 - +1 / 2 V - +1 - +1
Доказательство. Приведем вычисления для A2(t):
сю сю
dF( а 1,а 2)
A (t) =
dS2
_а1(ж+^)4„2е_у+
51 = 1,52 = 1
00
+ ' I (1 — е_(ж+^) + е_(ж+^)а1 „2e_y_ve(u_^)vdu^dv^) х
0+
х H(x, y)dxdy = „2е_а 1(^+1)4+
1
юэ юэ <ю
+„2^1 Е C"1 -k (1—'S_(x+^)t)k (е_(ж+^)а 1_k euv_(^+1)v_y du^ х
х H(x,y)dvdxdy = „2е_а 1(^+1)4+
0 0 0 0+ k=0
00 00 00
'а1 1
+ „2 11 ¡Е (1 — е_(х+^)к(е_(х+^)а 1_ke_(^+1)v_y х
0 0 0
х H(x, y)dvdxdy = „2е_а 1(^+1)4+
+ „^ /Е Ck^-+г) Е C"(—1)(e_(x+^)г(е_(ж+^)а 1_ke_y х
0 0 k=1 г=0
х H(x, y)dxdy = „2е_а 1(^+1)4+
а1 k "
" f - ^ V^ Cl (_1)iе_(а 1_к)^^е_(1+а 1_")t =
+ „2£ CS1 £ C (—1)
k=1 Р 1=0
1 ( )k
„2(e_(^+1)t)а1 + „2 Е (1 — е_(^)k(е_(^)а 1_k -
\ — + 1 /
k=1
= -+Т + -+г e^1*) (22)
V- +1 - +1 /
Для Ai(t), Bi(t), B2(t) вычисления аналогичны. Следствие 1 доказано.
Замечание 2. Для процессов распостранения эпидемии рассматриваются также детерминированные модели; взаимосвязь вероятностного и детерминистического описаний для различных эпидемий обсуждается в работах [2-4, 19] и др. Процессу эпидемии Вейса (&(£),&(£)) соответствует аналог в виде системы дифференциальных уравнений (см. [6], уравнения (2)):
x 1 = —x 2 = —x1x2, (23)
где x1(t) — количество больных особей, x2 (t) — количество особей, восприимчивых к инфекционному заболеванию. Решение уравнений (22) при начальных условиях x1(0) = x0, x2(0) = x2 имеет вид
xi(t) = ; x2(t) = x2(e-(1-e-Mi)/^)x?. (24)
Вывод детерминированной модели (22), исходя из уравнения (3) дан в работе [19]. Такой переход основывается на предположении [24], что средние величины процесса A(t) совпадают с ^¿(t), i = 1, 2, при предельном переходе для начального состояния а = (na1,na2), n ^ то. Однако сравнение формул (21) и (23) показывает, что среднее A1(t) совпадает с x1(t), а среднее A2(t) отлично от X2(t), следовательно из вероятностной модели не может быть получена детерминированная модель указанным предельным переходом к большому числу частиц. В то же время лежащие в основании степени функции (— + + e-(^+1)i)/(- + 1) в формуле (21) и e-(1-e в уравнениях (23) являются близкими; в частности, их отношение стремится к 1 при - ^ 0 или - ^ то.
Для марковского процесса £(t) состояния {(0, y2), y2 = 0,1, 2,...} являются поглощающими, для финальных вероятностей =
= lim poY'°)2)(t) имеем производящую функцию:
t^ (0,72)
оо
Ф(а 1,а2)Ы = ^ 822 = ^(а 1 ,а2)(^ «Ь 82).
72=0
Вычисление предела, исходя из уравнения (10), приводит к интегральному выражению, полученному в работе [16] прямым решением стационарного первого уравнения Колмогорова.
Следствие 2. Производящая функция финальных вероятностей имеет вид (- > 0, а1 = 1, 2,...)
Ф(аi ,а 2)(S2) = ^J va 1 -1(1 - e-v + S2e-v)a2 dv.
0
Для приложений представляет интерес случай, когда в процессе эпидемии в начальный момент времени число а1 больных особей мало, а число а2 особей, восприимчивых к инфекционному заболеванию, велико [3-5]. Используя явное выражение (10) для производящей функции числа частиц, стандартным образом применив метод характеристических функций (см. [14], гл. 5, § 5; [16], следствие 2), получим
Следствие 3. Пусть £2(t) — число частиц типа T2 в момент времени t для процесса эпидемии Вейса, и в момент времени t = 0 имелось а1 частиц типа T1 и а2 частиц типа T2 (^ > 0, а1 = 1, 2,...). Тогда, при фиксированном t > 0,
lim p(^ < Л = Fai (t; x), (25)
[ «2 J
где Fa 1 (t; x) — функция распределения, характеристическая функция которого равна
^i (t; А) = / eiÄxdF« 1 (t; x) = e-a ^eiÄe—ait +
g-(ai — fc + Z)i
ai k k
+Е ТТЗГГ^ Е С(-1)1 еахх^—1(— 1п х—(о,—1 ¿X. к=1 ( )! 1=0 0
(26)
Из формулы (25) находится явное выражение для функции распределения
' 0, х < е-а24;
X
! (*; х) = ^ е-а+ / /! (*; у) ¿у, е-а24 < х< 1;
,1, х > 1,
где кусочно-непрерывная функция /а 1 (¿; х) задана в каждом из интервалов е-(а 1—, е-(а 1—п—п = 0,..., а1 — 1, формулой
/а 1 х) =
а1 к к—п—1
Е Cki£ Ck(-1)1 (-ln x - («1 - к + 1)t)k-1.
x
k=n+1 v" "1=0
В частности,
Fi(t; x) =
0,
xh
x < e
-t.
o-i
< x < 1;
1, x > 1,
0,
x<e
-2i.
F2(t; x) = <
x^(1 + ^lnx + 2^t), e-2i < x < e-i;
x^(1 — ^ ln x),
,-i
< x < 1;
1,
x > 1.
Отметим, что вывод предельной теоремы (24) из представления (20) является сложным, а вывод соотношения (24) из интегрального представления решения (10) простой и сводится к использованию второго замечательного предела.
Заключение. Основным прикладным результатом работы является предельная теорема (24) — утверждение типа "пороговой теоремы" [2, 12]. Так как в практических приложениях представляет интерес случай, когда при £ = 0 число больных особей мало, а число здоровых особей велико, то асимптотические свойства распределения компоненты £2(£) случайного процесса рассматриваются при а2 ^ го. Теоремы такого типа используются при определении пороговой численности больных особей, при превышении которой принято говорить о начале эпидемии [4, 5].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Эпидемии процесс // В кн.: Математическая энциклопедия. Т. 5. - М.: Советская энциклопедия, 1985. - Кол. 1008.
2. Б а р т л е т т М. С. Введение в теорию случайных процессов. - М.: ИЛ, 1958. -384 с.
3. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. - М.: Наука, 1969. - 512 с.
4. Б е й л и Н. Математика в биологии и медицине. - М.: Мир, 1970. - 328 с.
5. B a i l e y N. T. J. The mathematical theory of infections diseases and its applications. - London: Griffin, 1975.
6. W e i s s G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. - 1965. - V. 21, no. 2. - P. 481-490.
7. G a n i J. On a partial differential equation of epidemic theory. I // Biometrika. -1965. -V. 52. - P. 617-622.
8. S i s k i n d V. The solution of a general stochastic epidemic // Biometrica. - 1965. -V. 52, no. 3-4. - P. 613-616.
9. S a k i n o S. On the solition of the epidemic equations // Ann. Inst. Statist. Math. -1968, Suppl. V. - P. 9-19.
10. G a n i J. Approaches to the modelling of AIDS. In: Stochastic Processes in Epidemic Theory. (Conference Luminy, 1988.) // Lecture Notes in Biomathematics. V. 86. California: Santa Barbara Univ. Press, 1990. - 197 p.
11. E f e v r e C., P i c a r d P. On the algebraic structure in markovian processes of death and epidemic types // Adv. Appl. Prob. - 1999. - V. 31. - P. 742-757.
12. Старцев А. Н. О распределении размера эпидемии в одной немарковской модели // Теория вероятн. и ее примен. - 1996. - Т. 41, вып. 4. - С. 827-839.
13. Д и т к и н В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложения. - М.: Физматгиз, 1958. - 180 с.
14. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971. - 436 с.
15. Севастьянов Б. А., Калинкин А. В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 264, вып. 2. С. 306-308.
16. Калинкин А. В. Финальные вероятности ветвящегося процесса с взаимодействием частиц и процесс эпидемии // Теория вероятн. и ее примен. - 1998. -Т. 43, вып. 4. - С. 773-780.
17. Калинкин А. В. Проблема точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. "Естественные науки". - 1999. - № 1(2). - C. 14-24.
18. Мастихин А. В. Решение стационарного первого уравнения Колмогорова для марковского процесса эпидемии со схемой T1 + T2 ^ T1 + T3, T1 + T3 ^ T1, Ti ^ 0 // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2005. -№ 2(17). - C. 75-86.
19. К а л и н к и н А. В., Л а н г е А. М., Мастихин А. В., Шапо ш н и к о в А. А. Численные методы Монте-Карло для моделирования схем взаимодействий при дискретных состояниях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cер. "Естественные науки". - 2005. - № 2(17). - C. 53-74.
20. К а л и н к и н А. В. Незамкнутое решение уравнений Колмогорова для двухмерного процесса гибели квадратичного типа // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2004. - Т. 11, вып. 2. - С. 347-348.
Статья поступила в редакцию 14.11.05
Александр Вячеславович Калинкин родился в 1956 г., окончил в 1978 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 40 научных работ в области теории вероятностей и математического моделирования.
A.V. Kalinkin (b. 1956) graduated from the Moscow State University n.a. M.V. Lomonosov in 1978. D. Sc. (Phys.-Math.), professor of "Higher Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 40 publications in the field of theory of probabilities and mathematical simulation.
