Метод разделения переменных для уравнений марковских процессов гибели Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.21

J

А. В. Калинки н, А. В. Мастихин

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

ГИБЕЛИ

Предложенный в работе [19] метод построения незамкнутого решения первого и второго уравнений Колмогорова для экспоненциальной (двойной) производящей функции переходных вероятностей применен к одномерному, двухмерному и трехмерному марковским процессам гибели квадратичного типа. Для производящей функции переходных вероятностей получены представления в виде рядов Фурье, использующие обобщенные гипергеометрические функции и многочлены Якоби.

Аналитический метод исследования марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний основан на рассмотрении первой (обратной) и второй (прямой) систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей [1], [2], [5]. Число случаев, для которых найдено решение систем уравнений, невелико: известны решения для процесса простой гибели, процесса чистого рождения, процессов рождения и гибели линейного или пуассоновского типов (см. обзор [21], глава 2, § 2.1.1), ветвящихся процессов ([3], глава 1, § 8) и модификаций перечисленных случаев. "Неблагодарность решения уравнений Колмогорова" [4] отмечается специалистами в связи с приложениями теории марковских процессов.

Уравнения процесса простой гибели рассматриваются различными методами, например в работах [1], [4] применяется операционное исчисление. Явные выражения для переходных вероятностей имеют громоздкий вид [1] и малопригодны для исследования асимптотических свойств случайного процесса.

При специальных условиях на марковский процесс вторая система дифференциальных уравнений свертывается с помощью производящей функции переходных вероятностей, что позволяет представить систему в виде уравнения в частных производных [21]. В случае уравнения первого порядка имеем марковский ветвящийся процесс [3].

В случае второго порядка, исследование уравнения в частных производных и соответствующего марковского процесса гибели квадратичного типа начато работой [7], в которой ко второму уравнению Колмогорова применен метод разделения переменных и для производящей функции переходных вероятностей получен ряд Фурье с двумя

разделенными переменными, при этом собственные функции — многочлены Гегенбауэра.

Таким же методом J. Letessier и G. Valent в цикле работ 1982— 1995 гг. (см. [9], [10], обзор [11] и др.) получили решения в виде рядов по специальным функциям для уравнений второго, третьего и четвертого порядков. В работах [9], [11] и др. даны спектры и собственные функции для некоторых процессов рождения и гибели квадратичного, кубического и биквадратичного типов. Авторы строили ряды для второго уравнения Колмогорова со все более сложными функциями, когда уравнение для собственной функции принадлежит классу гипергеометрических уравнений (уравнение Фукса второго порядка с тремя особыми точками) или является обобщенным гипергеометрическим уравнением.

В работе [10] для процесса рождения и гибели квадратичного типа получено решение второго уравнения в виде ряда Фурье, когда собственные значения выражаются через эллиптический интеграл и уравнение для собственной функции принадлежит классу уравнений Гойна (уравнение Фукса второго порядка с четырьмя особыми точками, см. [16], гл. 15, § 3).

Числовые коэффициенты в рядах определялись в работах [7, 9, 10] и др. стандартными для теории рядов Фурье интегральными формулами и во многих случаях остались ненайденными. Исходя из рядов для переходных вероятностей, неясна возможность делать выводы о предельных свойствах рассматриваемых марковских процессов. Построение незамкнутых решений уравнений Колмогорова для процессов рождения и гибели связано и с проблемой нахождения спектра таких уравнений [11]. Примеры решений, данные в работах [7], [9-11] и др., имеют дискретный спектр; построение примеров точных решений в случае непрерывного спектра [6] является сложной задачей [5].

В настоящей работе развитие метода разделения переменных применительно к уравнениям Колмогорова связано с введением экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей [19], [21], что позволяет свернуть первую систему дифференциальных уравнений к уравнению в частных производных. Метод Фурье, применяемый одновременно к первому и второму уравнениям, приводит к ряду с тремя разделенными переменными, и коэффициенты ряда определяются известными в теории специальных функций разложениями экспоненты.

Даны примеры применения метода для уравнений процессов гибели квадратичного типа на N, N2 и N3. Найденные ряды содержат обобщенные гипергеометрические функции и многочлены Якоби. В последней части работы обсуждается переход от незамкнутых решений первого и второго уравнений к интегральному представлению решения.

Предварительные результаты приведены в работах [18], [20], [22, 23].

Обобщенный марковский процесс гибели квадратичного типа.

На множестве состояний N = {0,1, 2,...} рассматривается однородный во времени марковский процесс £ € [0, то), с переходными вероятностями Р^(£) = Р {<5 = ] | <0 = г}, г,^ € N. Пусть при £ ^ 0+ переходные вероятности имеют вид (Л > 0, ^ > 0)

Рг,г-2(£) = г(г - 1)Лро£ + О (£),

Р»,»-1(£) = (г(г - 1)Лр1 + + о (£), (1)

Рй(£) = 1 - (г(г - 1)Л + + о (£), Р^(£) = о (£),

если ] = г - 2, г - 1,г. Здесь р0 > 0, р1 > 0, р0 + р1 = 1. Введем производящие функции (|в| < 1)

те

8) = ^ Р%3 (ф3, г € N.

3=0

Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей в случае процесса < равносильна уравнению в частных производных [21]

8) + 2) д8) + ) 8) (2) —^ = Л(р0 + р18 - + ^ - (2)

с начальным условием ^¿(0; в) =

Возможные скачки случайного процесса < изображены на рис. 1. В начальном состоянии г марковский процесс находится случайное время п, Р{т < £} = 1 - е-(г(г-1)А+г^)4. Затем процесс переходит в состояние г - 1 с вероятностью (р1г(г - 1)Л + г^)/(г(г - 1)Л + г^) или в состояние г - 2 с вероятностью р0г(г - 1)Л/(г(г - 1)Л + г^). Далее аналогичная эволюция процесса гибели. Состояние 0 является поглощающим.

Марковский процесс < интерпретируется как модель бимолекулярной химической реакции с кинетической схемой 2Т ^ 0, Т; Т ^ 0

[7], [21].

0 1 2

Рис. 1. Скачки обобщенного процесса гибели

Вводим экспоненциальную (двойную) производящую функцию

те ^ те ^

Т(*; г; в) = Е |^ *) = Е ^Р*. (3)

г=0 ' г=0,*=0 '

Функция Т(£; г; в) является аналитической в области |г| < то, |в| < 1.

Первая и вторая системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей рассматриваемого марковского процесса получают вид [21]

дТ Л 2( ^ дТ д2 Т ) / дТ )

АТ = Лг К + Р1 -И*) + КТ_ (4)

дТ 2 д2Т дТ

— = Л(ро + - + М1 - (5)

с начальным условием Т(0; г; в) = е2в. Линейные уравнения в частных производных второго порядка параболического типа (4), (5) решаются методом разделения переменных [12].

Далее нам потребуются следующие специальные функции (см. [1417] и др.). Вырожденная гипергеометрическая функция определяется рядом (Ь = 0, -1, -2,...)

^ . , . ^ а(а + 1)... (а + к — 1)^

1*<а; ^-) = 1 + Е +1)... ¡„ + к _ цн (6)

и удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению

гу" + (Ь _ _ ау = 0. (7)

Функция (6) является аналитической на всей комплексной плоскости; при некоторых значениях параметров они выражаются через модифицированные функции Бесселя ([17], формулы 7.11.1(5)):

1*1 (а; 2а; г) = Г (а + 1)(4) ^ >/2/а_1/2 (|),

где Г(а) — гамма-функция.

Многочлен Якоби порядка п определяется выражением ([15], § 10.8)

РПа,в)(х) =

(а + п _ к + 1)...(а + п)(в + к + 1)...(в + п) ^ , 1 к( к

2пк!(п _ к)! (Х+1) (Х-1)

п = 0,1,..., и является единственным полиномиальным решением дифференциального (гипергеометрического) уравнения

(1 _ ж2)у" + (в _ а _ (а + в + 2)ж)у' + п(п + а + в + 1)у = 0. (8)

Далее потребуется разложение экспоненты ([15], § 10.20, формула (4))

ezx =

^ г(п + а + ^ + 1)

А. Г(2п + а + в + 1)( ) Х

п=0 4 х

х е-г 1^1 (п + в + 1; 2п + а + в + 2; 2г)РПа-в)(х). (9)

Теорема 1. Пусть марковский процесс на множестве состояний N задан плотностями переходных вероятностей (1). Двойная производящая функция переходных вероятностей имеет вид (А > 0, а > 0)

оо

х 1^1 (п + а/А; 2п + а/А; (1 + ро)г)Р(-1'1*/А-1) х

( 28 - 1 + ро ) (п(п-1)а+П^ (10)

V 1+ ро / ' V '

где Г(а) — гамма-функция, 1^1(а,6; г) — вырожденная гипергеометрическая функция, Рп *'в)(х) — многочлены Якоби.

Доказательство. Решение системы уравнений (4), (5) ищем в форме ряда с тремя разделенными переменными (|з| < 1):

те

F(t; z; s) = Y AnC^n(z)Cn(s)e-Äni. (11)

in ^nJ^n

n=0

Подставив выражение (11) в уравнения (4) и (5), получаем уравнения для функций Сп (г) и Сп(з):

Аг2(роССп(г) + (г) - ¿'(г)) + ^(ВД - С(г)) + АПВД = 0,

(12)

А(ро + - в2)СП'(8) + а(1 - (8) + АПСП(8) = 0, п = 0,1,... .

(13)

Дифференциальные уравнения (12) и (13), в случае а = 0 и ро = 0 или ро = 1, исследовались в работе [7], следуя которой показывается, исходя из условий на рассматриваемый марковский процесс, что для уравнения (13) имеет место краевое условие "Сп(з) есть многочлен". Тогда последовательность "собственных значений" Ап = п(п - 1)А + + п^, п = 0,1,... ([14], часть II, гл. 3, § 9.7). В уравнении (13) делаем замену переменной х = (28 - 1 + ро)/(1 + ро); вводим функцию у(х) такую, что Сп(з) = у(х). Тогда уравнение (13) получает вид уравнения (8):

(1 - х V + (А - А х)у' + п(п - 1 + А)у = 0.

Следовательно, каждому An соответствует "собственная функция"

PS-—' (^ )•

+ Po

где

п

(n_k) . . . (n-l)(^/A+k) . . . WA±n—)(x + 1)k(x-1)n-k (14)

^ 2nk!(n - k)!

к=0

Соответственно, уравнение (12) принимает вид

Аг2(роС(г) + рД(г) - (,'(*)) + ^((„(г) - (г)) +

+ (п(п - 1)А + п^)Сп(г) = 0

и представляет собой одну из приведенных форм вырожденного гипергеометрического уравнения (7) ([14], см. уравнение 2.273(6) при а = —р1, Ь = ^/А, а = — ро, в = —^/А, 7 = —п(п — 1) — п^/А). Из условий на производящую функцию следует, что нас интересует решение, аналитическое на всей комплексной плоскости. Следуя работе [14],

(ЗД = ((1 + ро)г)пе-Р021^1 (п + ^/А; 2п + ^/А; (1 + ро)г),

где 1^1(а; Ь; г) — вырожденная гипергеометрическая функция. Таким образом, искомый ряд (11) имеет вид

те

Т(£; г; з) = ^ Ап((1 + Ро)г)пв-Р02х

п=0

х 1^1 (п + ^/А; 2п + ^/А; (1 + ро)г)р(-1'^/А-1) х

х /2з — 1 + ро\ е-(п(п-1)А+п^)4

V 1+ Ро / '

Значения Ап определяются из сравнения начального условия Т(0; г; з) = в28 с разложением для экспоненты (9):

ezs =

^ Г(П — 1+ ^/А) ((1 + )Пв-Р02><

Г(2п — 1+ ^/А)((1+ Ро)г)в х

х 1*1(п + ^/А;2п + ^/А;(1 + ро)*^-1'"^ ( 2" ~ 1 + Ро V (15)

\ 1 + ро '

Получаем Ап = Г(п — 1 + ^/А)/Г(2п — 1 + ^/А) и приходим к выражению (10). Сходимость ряда (10) при любых г, з и £ € [0, то) следует из сходимости разложения (15). Теорема доказана.

При £ = 0 формула (10) есть разложение в ряд экспоненты в2в. В случае ^ > 0, ро = 1, имеем разложение по многочленам Якоби.

В случае а = 0, р0 = 1, имеем разложение Сонина ([15], §7.10.1, формула (5)).

Из выражения (6) имеем ^(а/А; а/А; г) = е2 = 1 + г + г2/2 +

+ ..., 1*1(1 + а/а; 2 + а/а; г) = 1 + ((1 + а/а)/(2 + а/а))(1 +

+ р0)г + ..., 1*1(2 + а/А; 4 + а/А; г) = 1 + ..., и из выражения (14) имеем Р0(-1^/А-1)(ж) = 1; р(-1,^/А-1)(х) = (а/(2А))(х - 1); р(-1^А-1)(х) = ((1 + а/А)/8)[(2 + а/А)х2 - (2а/А)х - 2 + а/А]. Подставляя в формулу (10) указанные выражения и приравнивая коэффициенты при степенях 22з2 в получившемся ряде и определении (3), находим переходные вероятности

Роо(*) = 1; Рю(*) = 1 - е-^; Рп(*) = е-^;

р20(^) = 1 - 2[2+аД (1+ Ро) - Ро

-2 + А/А (1 + Po)2 - (-1 + + (-1 + Po)2

+ 4 ..

^Н2^(1 + P0) - Po

L 2 + А/A v 2 + А/А

- + А ! + А А/А

g-(2A+2^)í;

(1 + Po) + 1 - Po

e-(2A+2^)í.

l2 + а/а P22(t) = e-(2A+2^)¿.

Эти выражения для Pj (t) могут быть получены при указанных значениях i, j непосредственным решением системы дифференциальных уравнений Колмогорова [1] для рассматриваемого обобщенного процесса гибели.

Двухмерный процесс гибели квадратичного типа. Рассматривается однородный во времени марковский процесс £(t) = (^(t),£2(t)) на множестве состояний N2 = {(а1,а2), а1,а2 = 0,1,...}, переходные вероятности P^j^t) = P {£(t) = (ft, 02) I £(0) = (а^)} которого представимы при t ^ 0+ в виде (А > 0)

PÍ1-:) 2-1)(t) = Poo а 1 «2 At + o (t), P((a7;:22-1)(t) = p10«1«2At + o (t),

P&S2)(t) = Po1«1 «2At + o (t), P&^t) = 1 - «1«2At + o (t),

(16)

где Poo > 0, P1o > 0, Po1 > 0, Poo + P1o + Po1 = 1. С помощью производящей функции (Is11 < 1, |s2| < 1)

те

F(a i,e 2) (t; 81,82) = £ РвХ)^)^ ^ , («1,«2) G N2,

ei,e:=o

вторая система дифференциальных уравнений для переходных вероятностей марковского процесса (£1(t), £2(t)) записывается в виде урав-

Рис. 2. Реализация двухмерного процесса гибели нения в частных производных [21]

dF(ai,a2)s1,s2) w , 2F(alla2)(t; s1,s2) -^- = A(poo + P10S1 + P01S2 - S1S2)--—--,

dt ös1ös2

с начальным условием F(ai a2)(0; s1, s2) = sai sa2.

Пример реализации процесса (&(t),£2(t)) изображен на рис. 2. В начальном состоянии (a1,a2) марковский процесс находится случайное время T(ai,a2), P{T(ai,a2) < t} = 1 — e-aia2Äi. Затем с вероятностью p10 процесс переходит в состояние (a1,a2 — 1), с вероятностью p00 переходит в состояние (a1 — 1, a2 — 1) или с вероятностью p01 переходит в состояние (a1 — 1,a2). Далее получим аналогичную эволюцию случайного процесса. Состояния {(y1 , 0), (0, y2), y1 ,y2 = 0,1, 2,...} являются поглощающими. "Вложенная цепь Маркова" для процесса (?1(t), £2(t)) является случайным блужданием на N2.

Марковский процесс (^(t), £2(t)) представляет собой модель популяции с особями мужского рода и особями женского рода. Состояние (a1, а2) интерпретируется как наличие совокупности из a1 особей типа T1 и а2 особей типа T2; в случайные моменты времени происходят взаимодействия пар различных особей, превращающихся в новые совокупности особей. Основные предположения в модели: любая пара особей T1 + T2 в популяции порождает потомство независимо от всех других; частота актов порождения новых особей пропорциональна числу особей типа T1 и пропорциональна числу особей типа T2.

С помощью экспоненциальной производящей функции

F(t; Z1,Z2; S1,S2)= V" 1 , 2 , F(aba2)(t; S1,S2)

^ n «1!a2!

ai,a2=0

первая и вторая системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей такого марковского процесса записываются

в виде [21]

dF . ( г dF дF д2F \

— = Az^ pooF + pw---+ po^-----, (17)

dt V dz1 dz2 dz1dz2/

dF d2F

— = A(poo + PioSi + P01S2 - S1S2)-——, (18) dt ds1ds2

с начальным условием F(0; z1, z2; s1, s2) = ezisi+z2s2.

Обобщенная гипергеометрическая функция определяется рядом

те k

oF1(biz) = 1 + Е +1) ...(b + k - 1)k! (19)

и удовлетворяет уравнению

zy" + &y' - y = 0.

Функция (19) выражается через модифицированные функции Бесселя ([17], формула 7.13.1(1)):

oF\(&; z) = r(6)z(1-b)/2Jb-1(2yZ).

Теорема 2. Пусть марковский процесс на множестве состояний N2 задан плотностями переходных вероятностей (16). Двойная производящая функция переходных вероятностей имеет вид (P1o < 1,Po1 < 1)

F (t; zb z2; sb s2) =

те

Е

\a2

= eP0izi+pi0Z2 \ a1 + a2 ((1 - Pül)zi)ai ((1 - Plo)z2)C x

max(a1,a2) (a1 + a2)!

a1,a2=0 V.-/ \ /

x oFi(ai + «2 + 1; (1 - Poi)(1 - Pio)ziZ2)x

^ - A |ai-a2l (-i,|ai-a2|) U si - P0i s2 - Pi0 , \ -a^Aí

, ^—^ 2 —^ - 1 е

V 1 - р^У т1"<а1,"2М 1 - ро! 1 - Рю ' '

(20)

где 0^\(6; г) — обобщенная гипергеометрическая функция, РП-!,в)(х) — многочлены Якоби; ^ = = р0!, если а, > а2, и ^ = 82, = р!0,

если а, < а2; при а, =0, а2 = 0 выражение (а, + а2)/тах(а,,а2) полагается равным 1.

Доказательство. Рассматриваем уравнения в частных производных (17), (18). Решение ищем в форме ряда (18,| < 1, |з2| < 1)

те

F ,82) = Ааю2 , г2) Сах«2 (8Ъ 82)е Аа1"2 ^

а, ,а2=0

(21)

Подставив выражение (21) в уравнения (17) и (18), получаем уравнения для функций Caia 2 (zi,z2) и Caia2(si, S2):

\ ( ñ I dCai^ dCaia2 d Caia2 \ ,

Az1z2l P00Caia2 + Pi0-Ö--г Pol-^---^-- 1 +

V dz1 dz2 dz1 dz2 /

+ Aa ia 2 Ca ia 2 0; (22)

d 2C

A(P00 + PloSl + P01S2 - SiS2^ "iQ2 + Aa ia 2 Ca ia 2 = 0

ds1ds2 (23)

a1, a2 = 0,1,....

Из условий для скачков процесса £(t) следует, что для уравнения (23) имеет место краевое условие "Caia2 (s1, s2) есть многочлен". Тогда последовательность "собственных значений" Aaia2 = a1a2A, a1,a2 = 0,1,..., и из уравнения (23) нетрудно найти соответствующую "собственную функцию"

C (s s )= ( - Y"i-a 2|P (-1,1 a i-a 2|)/9 s1 - P01 s2 - P10 Л Caia2 (sl, s2) = ) Pmin(ai,a2) (,2 - 4 '

где РП ' )(х) — многочлены Якоби; ^ = 81, = р01, если а1 > а2 и ^ = 82, = р10, если а1 < а2. Соответственно, уравнение (22) принимает вид

( Т^ , дСаха 2 . дСаха 2 д Саха 2 \ . Я» п

Р00Саха 2 + Р10~£--+ Р01 о---- + «^Саха2 = 0.

Из условий для функции Т(£; г1, г2; 81, з2) следует, что нас интересует аналитическое решение при любых г1,г2:

Саха2 О^) = ((1 - Р01)^1)а 1 ((1 - РюЫ^ Х

X еР0Х2х+рх0220*1 («1 + «2 + 1; (1 - Р01)(1 - Рю)*^),

где 0Р1(6; г) — обобщенная гипергеометрическая функция.

Для определения значений Ааха2 получим разложение экспоненты е2хвх+22в2. Исходя из определения гипергеометрической функции (19) устанавливается равенство

ezi+z2 = 0*1 (

те k /

0*1(1; ¿1*2) + £ + ку)0*1(к + 1; г1 **). (24)

к=1 ' '

Для рассматриваемых специальных функций справедливы соотношения ([17], формула 6.8.3.13):

те i

Г

0*1(1; zs) = 0*1(1; z) + 2 £ (^i0*1(2/ + 1; z)P/-1'0)(2s - 1); (25)

k0Fi(k + 1; zs) =

= £ (2l + k -1 )!(l + k)oFi(21 + k + 1 z)P'-1'"(2s - 1), (26)

k = 1, 2,... Используя выражения (24), (25) и (26), имеем цепочку равенств:

g2lSl+22S2 = gP0lZi+pi0Z2 e2i(si-poi)+22(s2-pio) =

= e« +p.0Z2{oFi(l;(1-poi)(1 - Pi0)ziz2( ^ )( ^ )) +

+ r((1 - Poi)Zl)k ( Si - poi )k + ((1 - Plo)z2)k ( S2 - P10 )k"

+ k! V 1 - poJ + k! V 1 - pio / -

poi / V 1 - Pio

X

fe=i

X oF^k + 1; (1 - Poi)(1 - Pio)zizJSP^) (SP^)) V V 1 - poi / V 1 - pio / /

= epoizi+pioz^oFi(1; (1 -poi)(1 -pio)ziZ2) + + 2 ^ ((1 - poi)zi)ai ((1 - pio)z2)ai

+ 2 (W X

ai=i 4 x

X oFi(2ai + 1; (1 -poi)(1 -pio)ziZ2)PÍii'o) (2 SP^ - 1) +

V 1 - poi 1 - pio /

+ ((1 - poi)zi)a2+k((1 - pio)z2)a2

к ¿=o (2«2+k - 1)j(«2+k) X

X oFi(2«2 + k + 1; (1 - poi)(1 - pio)ziz2)x (si - poi )k P(-i,fe)(2 Si - poi s2 - pio 1) +

XV 1 - poJ P°2 V21 - poi 1 - pio 4 +

+ ((1 - poi)zi)ai ((1 - pio)z2)ai+k

к ai=o (2«i + k - 1)!(ai + k) X

X oFi(2ai + k + 1; (1 - poi)(1 - pio)ziz2)X

X )kPÍ7i,k)(2^ ^ _ 1)\ (27)

V 1 - pio / i V 1 - poi 1 - pio n

Из сравнения ряда (21) при t = 0 с разложением экспоненты (27) следует, что Aoo = 1, Aaia2 = 1/(ai(ai + a2 - 1)!), если ai > a2, и Aaia2 = 1/(a2(ai + a2 - 1)!), если ai < a2; получаем решение (20) для системы уравнений (17), (18).

Абсолютная сходимость ряда (20) при любых zi, z2, si, s2 и t G [0, то) следует из сходимости ряда (27). Теорема доказана.

Дадим выражения для P^/eO^t) при начальных значениях «1, «2,01,02- Из выражения (19) имеем oFl(1; z) = 1 + z + ..., oFi(2; z) = 1 + z/2 + ..., o*i(3; z) = 1 + ..., o*i(4; z) = 1 + + ..., и из выражения (14) имеем Po(-1'o)(x) = 1, Po0-1,1)(x) = 1, P(-1,o)(x) = (1/2)(x — 1), P1(-1,1)(x) = x — 1- Подставляя эти функции в формулу (20), вместе с разложением экспоненты eP0lZl+Pl0Z2 = 1 + + Po1z1 + P1oz2 + po1z2/2 + Po1P1oz1z2 + p?oz|/2 + ..., и приравнивая коэффициенты при степенях 1, z1, z1s1, z2, z2s2,..., z1z|s2, z1z|s1s2 в получившемся ряде и при определении двойной производящей функции переходных вероятностей, находим:

P®t) = 1, P(o>) = 0, С) (t) = 1, PO) = 0, P^(t) = 1,

Poo)(t) = Poo(1— e-Äi),p(11;o1))(t) = P1o(1—e-Äi), P(<$(t)=po1(1—е-Л*), Pf1>) = e-Äi, PS(t) = 0, P((oo '^(t) = 0, P^(t) = 1,

PO) = PooP1o(1 — 2e-Ai + e-2Ai), P^t) = p?o(1 — 2e-Ai + e-2Ai),

P((o1;1) (t) = poo + P1oPo1 — 2p1oPo1ß-Äi — (poo — P1oPo1)e-2Ai,

P^t) = 2рю(е-*—e-™), P^t) = po1 (1—e-2At), P&^t) = e-2^.

Вероятностная модель бимолекулярной реакции. Рассмотрим однородный во времени марковский процесс £(t) = (£1(t), £2(t), £3(t)), t £ [0, то), на множестве состояний N3 = {(а1,а2,а3), а1,а2,а3 = = 0,1,...}- Пусть переходные вероятности P^1 ва2/3з))(t) представимы при t ^ 0+ в виде [2] (Л > 0)

Pfö-Ä ,аз+1)(t) = «^t + o (t),

(28)

P&1,ST) (t) = 1 — «1^t + o (t).

С помощью производящей функции (|s1| < 1, |s2| < 1, |s3| < 1)

те

F(ai,а2, аз) (t; s1,s2,s3)= £ рА^/вз^ (t)^ ^ ,

в1 в ,вз =o

вторая система дифференциальных уравнений для переходных вероятностей процесса записывается в виде [21]

dF(a1 ,а2, аз)(t; s1,s2,s3) w ч^2Р(а1 ,а2 ,аз)(t; s1,s2,s3)

dt = Л(83 — S1S2) ^ , (29) с начальным условием ра1 а2,аз)(0; s1, s2) = sS1 sS2^аз-

В состоянии (а1 ,а2,а3) марковский процесс находится случайное время Т(а1 ,а2,аз), Р{т(а1 ,а2,аз) < t} = 1 — e-a1a2Äi, и затем переходит в состояние (а1 — 1,а2 — 1,а3 + 1). Реализация процесса

Рис. 3. Реализация процесса Т1 + Т2 ^ Тз, случай «1 > а2

£2(£), при начальном состоянии (а1,а2, 0) изображена на

рис. 3. Если а1 > а2, то остановка процесса произойдет в поглощающем состоянии (а1 — а2, 0,а2), и если а2 > а1? то в состоянии

(0, а2 — а1, а1).

Марковский процесс (^(¿), £2(£), £3(^)) представляет собой модель химической реакции Т1 + Т2 ^ Т3 [2]. Состояние процесса (а1, а2, а3) интерпретируется как наличие а1 элементов типа Ть а2 элементов типа Т2, а3 элементов типа Т3; в случайные моменты времени пары элементов Т1 + Т2 превращаются в элемент типа Т3. В работе [2] обсуждается связь второго уравнения (29) и известного в химической кинетике закона действующих масс [7], [21]; там же получены громоздкие явные выражения для переходных вероятностей процесса.

С помощью экспоненциальной производящей функции

F(t; zbz2; sbs2,s3) =

те

ai а 2 Z1 z2

«i!«2!

ai,a 2=0

F(a i ,a 2, o)(t; si, s3),

первая и вторая системы дифференциальных уравнений Колмогорова для рассматриваемого процесса записываются в виде

dF . / д2 F

ÖF = Azi z4S3F- dZÄ

dF w , д2F

Hi = A(s3 - sis2) ,

(30)

(31)

с начальным условием F(0; г1, г2; 81, з2, з3) = ег1в1+г2в2.

Теорема 3. Пусть марковский процесс на множестве состояний N3 задан плотностями переходных вероятностей (28). Двойная производящая функция переходных вероятностей имеет вид

F(t; zi,z2; si,s2,s3) =

ai + «2

те

= e

a i a2

Z1 Z2

а i, а 2=0

(ai ,«2) (ai + «2)!

max

oFi(ai + «2 + 1; ziZ2S3) x

x 5|ai-a2|smin(al,a 2) p(-1,|ai —a21) i2 Si52 Л e

a 3 min( ai, a2) V S3 /

—aia 2 At

где 0Р\(&; г) — обобщенная гипергеометрическая функция, РП-1'в) (ж) — многочлены Якоби; = вь если а > а2, и = в2, если а < а2; при «1 = 0, а2 = 0 выражение («1 + а2)/ тах(«1, а2) полагается равным 1.

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2, система уравнений (30), (31) решается методом разделения переменных. В частности, если в формуле (20) положить р10 = р01 = 0 (т.е. р00 = 1), и в формуле (32) положить в3 = 1, то указанные формулы совпадают.

Процесс простой гибели, нелинейное свойство переходных вероятностей марковского ветвящегося процесса и вывод замкнутых решений уравнений Колмогорова. Рассматривается марковский процесс £ £ [0, то), на множестве состояний N = {0,1, 2,...}; переходные вероятности Р^-(£), г, £ N, представимы при £ ^ 0+ в виде [1]

Pi,i—i (t) = ^t + o (t), Pii (t) = 1 - ^t + o (t),

(33)

где заданы = 0, ^ > 0 при г = 1, 2,....

Скачок процесса гибели ^ изображен на рис. 4. В начальном состоянии г процесс находится случайное время т, Р{т < £} = 1 — е-^. В момент т происходит переход процесса в состояние г — 1 и так далее.

Первая и вторая системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей процесса после свертки двойной производящей функцией (|в| < 1)

F (t; z,s) = ^

i i

-Fi(t; s), Fi(t; s) = V Pj(t)sj, i € N, (34)

i=0

получают вид [21]

f = z(F — Dz (F)),

(35)

0 12 i - 1 i Рис. 4. Скачки процесса простой гибели

dt = (1 - s)Ds(F), (36)

с начальным условием Т(0; z; s) = e(zs). Здесь применяется оператор Гельфонда-Леонтьева [13] обобщенного дифференцирования

те те

Е = Е

í—0 i—1

определенный на аналитических в окрестности нуля функциях. Функция

те

g(z) = 1 + Е

=1 . . . ^г

является собственной функцией для оператора , (е(г)) = е(г).

Теорема 4 [21] . Пусть марковский процесс гибели на множестве состояний N задан плотностями переходных вероятностей (33), > г € N, и Ншг^те = то. Двойная производящая функция переходных вероятностей представима рядом Фурье

те 1

F(t; z; s) = V-1-Cn(z)C„(s)e-^ní, (37)

/ J ^n \

n=0

<£l . . .^n

где

те 'П+fe

C (z) = 'П + y^

П k=i (^n+1 - ¥>n) . . . (^n+fc - ^n) '

-1

Cn(s) = sn + E

n

n- 1

yn ( S) = sn + >4-^ -r sk

к=0 (<Рк - ... (^п-1 -

Ряд (37) абсолютно сходится при любых г, |з| < 1 и £ € [0, то).

Доказательство. Выражения для переходных вероятностей процесса простой гибели известны [1]: (£) = ¿0, 3 € N; (£) = 0

при 3 > г > 1; при 3 < г

Pj (t) =

= ^j+i...

g-^ní

—' (<£¿ - ... (<£n + 1 - <£n)(<£n-1 - <£n) ... (^j - <£n)

n—j

(38)

Используем определение двойной производящей функции (34) и (38):

те те i те i i i

Т z; s) = Е Е ^ Pj w* = Е ЕЕ ^ -

г—0 j—0 г—0 j—0 n—j ^1

g-^nt

_ =

(<£i - ^n) . . . (<£n+1 - ^n)(^n—1 - <£n) . . . - <£n)

= У e-^nt (> + у _Z_

П=0 . . . ^n V i=n+1 (^n+1 - ^n) ... - ^nK

n— 1

X (*n + E?-j1^--S

V j=0 - Ы ... (^n—1 - ^n) Сходимость ряда для F(t; z; s) следует из оценки

ЕЕ ^ (f)sj

i=0 j=0 r1

<

oo oo

" 1=0£0 ^ 1 1 " 1 — 1=0 ^ для любых г и |в| < 1. Теорема 4 доказана.

Таким образом, решение (37) системы уравнений Колмогорова (35), (36) имеет вид ряда с тремя разделенными переменными. При £ = 0 получаем разложение функции

те 1

е(гв) = Е-¿7п(г)Сп(в);

П=0 ... ^п

функции Сп(г) и Сп(в) связаны интегральным преобразованием.

Важным частным случаем является процесс гибели линейного типа, в котором ^ = ¿а, г ^ N (а > 0). Тогда Дг = а (¿/¿г), и производящая функция переходных вероятностей в) удовлетворяет уравнению [3], [5] (ср. уравнение (2) при Л = 0):

^ = а(1 - в) ^, (39)

с начальным условием в) = Для процесса линейного типа ряд (37) легко суммируется, и выражение для Т(£; г; в) получает вид

те

Т(£; г; в) = Е ^^^е^(в - 1)п е-п^ = е(г/^(1+(5-1)е-м4). (40)

п=0 П'

те

Из определения Т(£; г, в) = !))*«(£; в) и разложения

г=0

функции (40) по степеням г, приравнивая коэффициенты при степенях получаем свойство ветвления переходных вероятностей ([3], гл. 1)

в) = (1 - е-^ + = *!(£; в), г € N. (41)

Непосредственное решение линейного уравнения в частных производных первого порядка (39) методом характеристик приводит к выражению (41) (см., например, [5], § 3.2).

Нелинейное свойство переходных вероятностей (41) позволяет рассматривать процесс гибели частиц: в момент времени £ = 0 имеется г тождественных частиц, каждая из которых существует случайное время т(к), Р{т(к) < £} = 1 — е-^; величины т(к), к = 1,..., г, независимы (гибель одной из этих частиц соответствует переходу марковского процесса ^ из состояния г в состояние г — 1 и так далее).

Для марковских процессов, обладающих свойством ветвления, построен мощный аналитический аппарат их исследования [3]. Тем самым, для процесса простой гибели ставится задача вывода нелинейного свойства переходных вероятностей, обобщающего свойство (41), что сводится к аналитической проблеме суммирования ряда Фурье (37) — при тех или иных предположениях о функции = <^(г), г € N.

Для процесса гибели квадратичного типа, в котором = г(г — 1)А (Дг = Аг )), ряд (37) (т.е. ряд (10) при А > 0, ^ = 0, р = 1)

суммирован в работах [19], [21] с помощью теоремы сложения Ге-генбауэра ([15], § 7.6.1) к замкнутому представлению для двойной производящей функции переходных вероятностей Т(£; г; з). Получено интегральное представление для в), аналогичное по своей структуре выражению (41).

Для обобщенного процесса гибели квадратичного типа (А > 0, ^ > 0) также возможно получить замкнутое решение уравнений Колмогорова (4), (5) методами, изложенными в работах [19], [21]. Ряд (10) рассматривается с целью суммирования и вывода нелинейного свойства переходных вероятностей

в) = М(Х + г € N (42)

где X, У — некоторые взаимосвязанные случайные процессы.

Для двухмерного процесса гибели квадратичного типа ряд (20) рассматривается с целью вывода путем суммирования ряда замкнутого решения системы (17), (18) в виде, аналогичном нелинейному свойству (41):

¥{аг ,а2)(*; 31, 82) = М(Х + 31У )а (^ + , (аь «2) € N2, (43)

где X, У, и — некоторые взаимосвязанные случайные процессы.

Возможность вывода интегральных представлений вида (42), (43) детально обсуждается в гл. 5 работы [21]. Формулы, подобные (42), (43), получены для процесса эпидемии — марковского процесса гибели квадратичного типа на множестве состояний N3 [24].

Заключение. Рассмотренная модификация метода разделения переменных, применительно к первому и второму уравнениям Колмогорова, может быть использована для других марковских процессов гибели. Для примера укажем на процесс простой гибели полиномиального типа, в котором ^ = г(г — 1)... (г — к + 1)Л (к = 3, 4,...); уравнения для двойной производящей функции имеют вид

с начальным условием Т(0; г; в) = егв.

Аналогичным образом, к ряду с тремя разделенными переменными приводит решение первого и второго уравнений для переходных вероятностей процесса чистого рождения и обобщенных процессов рождения. Например, для приложений представляет интерес процесс чистого рождения квадратичного типа на № [8], [5]; уравнения для двойной производящей функции имеют вид

с начальным условием F(0; zi, z2; si, s2) = eZlSl+Z2S2.

Сложной задачей является развитие изложенного метода на случай марковских процессов рождения и гибели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.

2. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. - М.: Наука, 1969. - 512 с.

3.Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971. - 436 с.

4. Р ы к о в В. В. Обобщенные процессы рождения и гибели и модели старения // Автоматика и телемеханика. - 2006. - Вып. 3. - С. 103-120.

5. Anderson W. J. Continuous-time Markov chains: An applications-oriented approach. - Berlin: Springer-Verlag, 1991. - 442 p.

6. Lederman W., Reuter G. E. H. Spectral theory for the differential equations of simple birth and death processes // Phil. Trans. of the Royal Sotiety of London. Ser. A. - 1954. - V. 246. - P. 321-369.

7. M c Q u a r r i e D. A., Jachimowcki C. J., R u s s e l M. E. Kinetic of small system. II // J. Chim. Phys. - 1964. - V. 40, № 10. - P. 2914-2921.

8.Becker N. G. Interactions between spesies: some comparisous between deterministic and stochastic models // Rocky Mountain J. Math. - 1973. - V. 3.

at"

dF

at"

P. 53-68.

9. Letessier J., Valent G. Exact eigenfunctions and spectrum for several cubic and quartic birth and death processes // Physics Letters. Ser. A. - 1985. - V.108, № 5-6. - P. 245-247.

10. V a l e n t G. An integral transform involving Hein function and a related eigenvalue problem // SIAM J. Math. Anal. - 1986. - V. 17, №. 3. - P. 688-703.

11. Letessier J., Valent G. Some exact solutions of the Kolmogorov boundary value problem // Approx. Theory Appl. - 1988. - V. 4, №. 2. - P. 97-117.

12. Бабич В. М., Капилевич М. Б., Михлин С. Г., Натансон Г. И., Риз П. М., Слободецкий Л. Н., Смирнов М. М. Линейные уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964. - 368 с.

13. Г е л ь ф о н д А. О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Математ. сборник. - 1951. - Т. 29(71), вып. 3. - С. 477-500.

14. К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971.- 576 с.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1974.-296 с.

16. Б е й т м е н Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - М.: Наука, 1967. -300 с.

17. П р у д н и к о в А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., М а р ы ч е в О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. - М.: Наука, 1986. - 800 с.

18. K a l i n k i n A., Valent G. Exact solution of the linear Kolmogorov equations for a quadratic death process // Обозр. прикл. и промышл. матем. Сер. Вероятность и статистика. - 1998. - Т. 5, вып. 2. - С. 304-305.

19. К а л и н к и н А. В. Проблема точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 1999. - № 1(2). - C. 14-24.

20. Калинкин А. В. Уравнения процесса гибели и размножения и оператор Гельфонда-Леонтьева обобщенной производной // Обозр. прикл. и промышл. матем. Сер. "Вероятн. и статист." - 2000. - Т. 7, вып. 1. - С. 106-107.

21. К а л и н к и н А. В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи матем. наук. - 2002. - Т. 57, вып. 2. - С. 23-84.

22. Калинкин А. В. Решение уравнений Колмогорова для вероятностной модели бимолекулярной реакции // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2003. -Т. 10, вып. 1. - С. 167-168.

23. К а л и н к и н А. В. Незамкнутое решение уравнений Колмогорова для двухмерного процесса гибели квадратичного типа // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2004. - Т. 11, вып. 2. - С. 347-348.

24. Мастихин А. В. Финальное распределение для марковского процесса эпидемии Гани // Математические заметки. - 2007. (В печати.).

Статья поступила в редакцию 17.11.2006

Александр Вячеславович Калинкин родился в 1956 г., окончил в 1978 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 40 научных работ в области теории вероятностей и математического моделирования.

A.V. Kalinkin (b. 1956) graduated from the Lomonosov State University in 1978. D. Sc. (Phys.-Math.), professor of "Higher Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 40 publications in the field of probability theory and mathematical simulation.