Стационарное движение смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9

СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ

Д. А. Прокудин, О. С. Трофимова

В работе изучается модель, описывающая установившееся движение двухкомпонентных смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками.

In the paper, we are dealing with a model for mixtures of the steady incompressible viscous fluids between two parallel walls.

Ключевые слова: динамика смесей, несжимаемые жидкости, решение уравнений Навье-Стокса

В данной работе рассматривается модель механики сплошной среды, описывающая изотермическое движение двухкомпонентных смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками. В стационарном случае балансовые соотношения массы и импульса для каждой составляющей такой смеси имеют следующий вид [1-3]:

div

div

= 0, i = 1,2,

= divP(i) + J(i), i = 1,2,

(i )

(1)

(2)

где p = const > 0 - плотность, u - поле скоростей

i -ой составляющей смеси, P(i) - тензор напряже-

„ . „ 7 (')

ний i -ой компоненты смеси, J - интенсивность

обмена импульсом между составляющими смеси.

В качестве P(i) примем:

P« =- p.i + '

■t (2md (u j))

(4)

Рис. 1. К течению смесей вязких жидкостей между параллельными стенками

Обозначим расстояние между стенками через 2h . Начало оси х2 возьмем на средней линии между стенками. Из предположения о плоско-параллельности движения и из уравнений (1) следует, что

ди()

-со

= (u (i),0,0 ),

дХ1

= 0, i = 1,2.

(6)

i = 1,2. (3)

Здесь p t - давление i -ой компоненты смеси, D - тензор скоростей деформаций, I - единичный тензор, и - коэффициенты вязкости (заданные постоянные) такие, что:

Мп > 0, /22 > 0, 2/11 + Л11 > 0, 2/22 + Я22 > 0,

4^и^22 -(/М +/21 )2 > 0,

4 (2/11 + 4l )(2/22 + ^22 )-

-(2/j2 +Xj2 + 2/21 +Л21 ) > 0.

Будем предполагать, что интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси:

J° = (-1)i+1 a(u() -u()), a = const > 0, i = 1,2. (5) Зачастую в моделях механики сплошных сред гипотеза о геометрии линий тока (см., например, [46]) позволяет получить решения рассматриваемых задач в аналитической форме. Ниже в данной работе показывается, что аналогичное положение дел имеет место и в рассматриваемой модели смесей вязких несжимаемых сред.

Рассмотрим прямолинейно-параллельное движение смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками, простирающимися в направлении осей x1 и x3 до бесконечности (рис. 1).

В этом случае уравнения (2) принимают следующий вид:

'д2и(1) д2и(1) ^

+ Ип

dpt

(д2 u(2)

дх1 " V дХ2 дхЗ j

+ (-iy+1 a(u(2) -u(1)), i = 1,2,

dp, _

дх2

V 2

дх,

дх дХ

(7)

= 0, ' = 1,2.

2

Из уравнений (6) и (7) непосредственно вытекает, что

и('-1 = и(,) (х2, х3), рп = р{ (х1), ' = 1,2. (8)

Ясно, что равенства (7) могут иметь место тогда и только тогда, когда обе части уравнений:

дх,

= Мп

Гд2u(1) 52u(1) ^ (д2u(2) я2„(2)

+ Ми

дх2 5х32

дх2

дХ2

+ (-1)'+1 а (и(2) - и(1)), ' = 1,2,

являются постоянной величиной, которую обозначим через к1,' = 1,2.

др.

Из равенств —'- = к 1 получаем, что

дх1

р ' = к1 х1 + С', ' = 1,2. (9)

Для полного определения вида прямой (9), характеризующей изменение давления вдоль оси х1 для -ой составляющей смеси, т. е. для определения постоянных к и С , достаточно задать значения давлений р] и р.2 в каких-либо двух сечениях объ-

ема, занимаемого смесью (например, при х1 = 0 и X = I).

Рассмотрим теперь задачу об определении скорости движения и(1) и и(2) каждой из рассматриваемых компонент смеси жидкостей между двумя параллельными стенками при условии, что постоянные к' заданы. Для простоты примем, что к1 = к2 = к .

Для определения и(1) и и(2) на основании (7) и (9) имеем следующую систему уравнений:

^д2и(1) д2и(1) ^ (д2и(2) д2и(2)'

-

дх

V 2

дх,

+ -а

дх

V 2

дх,

(10)

(і)

і = 1,2.

(11)

ак

дх,

2 - а^Ти = Т -2 - — —~ГУ Т" х2 ,

2 2к Д Д Д

(12)

(13)

м(і) = С[^аД х где:

— -

+ С2е ^аДХ2 + Ах22 + 5х2 + С,

(14)

А = к, В = —,-21), З 2к 2 1

С =

2к Д

аЗк

аЗ(-кк -к)+ 2 — +1) З

1 - е

С1 = е

/а—л - е V Д

с = Vа —е---------і-1

р-

4,/а-А А

4Л а—Н

1 - е

и(2) = -

1

-2 + -22

- + кх2) -

,2 ч -1 -21 „.(1)

-2 + -22

и' .

(15)

II). Если и12 + И22 = 0, то для определения мы приходим к следующей краевой задаче:

д2и(1)

(Ип +И21)----— = 2k,

дх—

.,(1)

2 =-И = 21, «(1) ,2 = * = ^2.

(16)

Так как в этом случае и2 + И21 ф 0 , то решение задачи (16) единственно и имеет вид:

и(1) =-

■ Х2 + Сі Х2 + С-

+ (-1)'+1 а (и(2) - и(1) ) = к, ' = 1,2.

Уравнения (10) необходимо дополнить граничными условиями. Предположим, что нижняя граница (стенка) перемещается с постоянной скоростью V, а верхняя - со скоростью У2. Тогда мы приходим к следующим условиям на границе:

-- + -где

Сі =1 -1 С2 =-(- + -)-------------------------

2/г 2 -- + -і

(17)

Далее, определим функцию и(2) как решение

к Ии - И21 ак

краевой задачи:

д 2и(2)

дх—

а — к ак х,

-22 -22 -1 -21 -22 -11 -21

а (V- - 2^) х2 -~а(у1 + V—)-

акк

2 -22 к

-22 (—1 + -21 )

Решение задачи (10)-(11) сводится к рассмотрению следующих двух случаев:

I). Если и12 + И22 ^ 0, то сначала определим функцию и(1) как решение обыкновенного дифференциального уравнения: д2 и(1) 3 (1) к

,(2)

= V,, и

(2)

общее решение которой представляется в виде:

и(к) = С- -22 где

+ С2е

+ Ах + + С .

(18)

(19)

А =-

к

^=3^2 - ^) Х2 +3(К + 22) - kh2 2h 2

при граничных условиях:

и (1)| х2=-* = 21 , и (1)| х2 =h = Уг.

Здесь 3 = и11 + И2 + И21 + И22 > 0,

Д = ИпИ22 И12И21 > 0.

Краевая задача (12)-(13) имеет единственное решение, определяемое формулой:

- +И21

5=-к(2— -),

с = 2 -22 ++( -л—

а - + -21 2

кк2

к - - И21

- + -21 + И-1 + /^21

-к зк^к к - ^ V ^22 Г7

^ = ед/ И р - е V и— И и 2______2-

■'(

(

4 ------к

1 - е А,-кк

2—и

-к ^ е V -кк ТУ

С = — -кк * 2 к_к (

1 - е

^ = 21 - Ah2 + Bh - С, Е, = 22 - Ah2 - Bh - С .

Заметим, что если в уравнениях (2) мы не будем брать в расчет слагаемые, отвечающие за обмен импульсом между различными составляющими смеси

/- /- 14'-+1 Г (2) ~ а\ч

(т. е. слагаемые (-1) а(и - и )), то решение задачи (10)-(11) в этом случае имеет следующий вид:

—о и

кД

(/^-к Х^ік )(к - ) +

Е = V - Ah2 + Bh - С , Е2 = 22 - - Bh - С .

Зная теперь и(1) , найдем и(2) из следующего выражения:

+ +1 ^-1 )х +^2),

2h 2

(2) к , х 2 2 х

и = — (И1 — -21)(h — - ) +

2А (20)

+ +1 -г-2 + + +К2).

2h 2

Проведем сравнительный анализ результатов доставляемых предположенной моделью смеси и

классической моделью, описывающей течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными стенками. Предположим, что обе компоненты смеси физически неразличимы, т. е. И11 = И22 = И, И12 = И21 = 0 . Тогда, из (14), (15) и (20) следует, что

-(1)

'(2)

и(1) = и(2) = и = и =---------------------------------(2 - () +

(21)

+Т1 -21)х2 +1 + 1).

2 2

Ясно, что картина движения такой смеси ничем не отличается от течения вязкой несжимаемой жидкости с теми же свойствами (см. [4]). Также сохраняются все качественные зависимости (расход, средняя и максимальная скорость движения, коэффициент сопротивления и др.) присущие классической модели, описы-

вающей движение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными стенками.

Теперь выясним вопрос о влиянии на физическую картину течения смеси слагаемых, ответственных за обмен импульсом между ее составляющими. В соответствии с этим зададим значения коэффициентов вязкости и11 = 0.1, И12 = 0.02, и21 = 0.01, И22 = 0.3 ; значения перепада давления - к = 200 ; расстояние между стенками - h = 10; стенки будем считать неподвижными, т. е. У1 = 0, У2 = 0. По-

(') й<л

' = 1,2, изменяя

строим графики функций и значения параметра а в пределах от 0.0001 до 0.1 .

тах |и(1) - и (1)| = 2694.6 [-10;10]

тах и(2) - и(2) = 926.3 [-10;10]1 I

Рис. 2. а = 0.0001

тах и(1) - и(1) = 17966.9

[-10;10]1 I

- - и(2), - - и(2)

тах |и(2) - и(2)| = 6176.1 [-10;10]1 I

Рис. 3. а = 0.001

и . ••• - и()

max |u(1) - u (1)| = 41166.1 [-10;10]

max u(2) - u(2) = 14150.8

[-10;10]l I

Рис. 4. а = 0.01

eoooo-

max u(1) - u(1) = 46790.5

[-10;10]l I

- - u(2), - - u(2)

max |u(2) -u(2)| = 16084.2 [-10;10]l I

Рис. 5. а = 0.1

Из данных графиков видно, что при увеличении параметра a , максимум разности по модулю между ы{') и u(i) возрастает. Когда a достигает значения

1, то эта разница имеет порядок 1027. Таким образом, в рассматриваемой модели смеси слагаемые, ответственные за обмен импульсом между ее составляющими, способны существенно влиять на физическую картину течения.

Литература

1. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. Ч. 1. - М.: Наука, 1987.

2. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - London: World Scientific Publishing, 1995.

3. Кучер, Н. А. О существовании стационарных решений уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 4 (36). - Кемерово, 2008. - С. 16 - 20.

4. Кучер, Н. А. Об установившемся течении смеси вязких несжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 4 (32). - Кемерово, 2007. - С. (3 - (8.

5. Слезкин, Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н. А. Слезкин. - М.: Г осударствен-ное издательство технико-теоретической литературы, (955.

6. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. - М.: Наука,1970.

Научный руководитель - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой дифференциальных уравнений КемГУ Н. А. Кучер.

Рецензент - В. И. Полтавцев, ФГОУ ВПО «Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт».

— - u ’, • •• - u 1