CC BY
30
НАУКИ О ЗЕМЛЕ
«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №4, 2021
НАУКИ О ЗЕМЛЕ
Федеральное государственное бюджетное учреждение «Высокогорный геофизический институт», Россия
СТАТИСТИКА ХЕРСТА (R/S-АНАЛИЗ) В ИССЛЕДОВАНИИ КЛИМАТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
DoI: 10.37493/2308-4758.2021.4.10
В статье проведен R/S-анализ устойчивости трендов климатических переменных методом нормированного размаха, который является одним из непараметрических подходов для исследования рядов, не удовлетворяющих всем условиям стандартной гауссовой статистики. Для исследования устойчивости системы, ведущей себя не как случайная величина, а проходящей более длительный путь (смещенное броуновское движение с наличием тренда), был использован индикатор Херста Н. Материалы и методы
исследований. Оценка трендоустойчивости (персистентности) изменений температуры воздуха проводилась с помощью метода нормированного размаха (R/S-анализ). В основе метода лежит определение индикатора Херста Н с целью анализа размаха параметра (наибольшего и наименьшего значения на изучаемом отрезке) и среднеквадратичного отклонения и его зависимость от периода изучаемого времени Т. Индикатор Херста Н призван дать ответ на вопрос, каким будет следующее значение исследуемого ряда, больше или меньше текущего. Исследования проведены с использованием многолетних данных средних, максимальных и минимальных температур приземного воздуха 20 метеостанций различных климатических зон юга России (по данным государственной наблюдательной сети Росгидромета Северо-Кавказского УГМС).
Результаты исследований
и их обсуждение. При анализе климата исходными данными являются временные ряды, содержащие значения тех или иных климатических показателей (температуры, осадков, влажности и т.п.) за некоторый период. Традиционно для анализа данных ряда климатических параметров используются тренды. При этом решается задача предсказания будущих значений ряда. В то же время тренд ничего не говорит о том, насколько устойчив ряд. Таким образом, классические методы анализа являются малоинформативными и имеют много методологических ограничений к применению. В работе представлены результаты анализа временных рядов с использованием метода нормированного размаха R/S. Получено, что индикаторы устойчивости Н характеризуют устойчивость и долгосроч-ность изменения временных рядов годовых и летних средних температур (H = 0,80), а также осенних средних температур (H = 0,73). Ряды годовых, летних (H = 0,75) и осенних максимальных температуры (H = 0,70), а также весенних минимальных температур (H=0,72) также имели устойчивые тенденции.
25.00.30 УДК 551.583
Ташилова А.А.
Введение.
Выводы: Результаты Я/5-анализа показали, что ряды температур не являются
идеальным пуассоновским процессом (без памяти), напротив, существует некоторая долгосрочная корреляция между последними событиями и начальными. Изменение климатических переменных как явление, несет двойственные характеристики случайности и регулярности, и чем больше индикатор Херста Н отклоняется от 0,5, тем больше регулярности проявляется во временных рядах, и наоборот.
Ключевые слова: метод нормированного размаха, Я/5-анализ, индикатор Херста, фрактальная размерность, персистентность, тренд, температура, осадки.
Federal State Budgetary Institution "Vysokogorny Geophysical Institute", Russia
Hurst Statistics (r/s-analysis) in the Study of climatic Variables
An R/S analysis of the persistence of trends in climatic variables was carried out in the article using the normalized range method, which is one of the nonparametric approaches for studying series that do not satisfy all the conditions of standard Gaussian statistics. To study the stability of a system behaving not as a random variable, but passing a longer path (shifted Brownian motion with the presence of a trend), the Hurst indicator H was used.
Materials and methods
of research. The trend stability (persistence) of air temperature changes was assessed
using the normalized range method (R/S analysis). The method for determining the Hurst indicator H is based on in order to analyze the range of the parameter (the largest and the smallest values on the period of the segment) and the standard deviation and its dependence on the period of the studied time T, more or less than the current one. The use of long-term data of average, maximum and minimum surface air temperature of 20 meteorological stations of different climatic southern Russia (according to the state observational network of Roshydromet of the North Caucasian Directorate of the Hydrometeorological Service) is used.
Results of the study and
their discussion. When analyzing the climate, the initial data are time series containing the values of certain climatic indicators (temperature, precipitation, humidity, etc.) for a certain period. Traditionally, trends are used to analyze data for a number of climatic parameters. This solves the problem of predicting future values of the series. At the same time, the trend does not say anything about how stable the series is. Thus, classical methods of analysis are not very informative and have many methodological limitations for their application. The paper presents the results of time series analysis using the method of the normalized range R/S. It was found that the indicators of stability H characterize the stability and long-term changes in the time series of annual and summer average temperatures (H = 0.80), as well as autumn average temperatures (H = 0.73). Series of annual, summer
Tashilova A.A.
Introduction.
науки о земле
Статистика херста (r/s-анализ) в исследовании климатических переменных Ташилова А.А.
(H = 0.75) and autumn maximum temperatures (H = 0.70), as well as spring minimum temperatures (H = 0.72) also had stable trends.
The results of the R/S-analysis showed that the temperature series is not an ideal Poisson process (without memory), on the contrary, there is some long-term correlation between the last events and the initial ones. Change in climatic variables. as a phenomenon, it bears the dual characteristics of randomness and regularity, and the more the Hurst indicator H deviates from 0.5, the more regularity appears in the time series, and vice versa.
method of normalized range, R/S-analysis, Hurst indicator, fractal dimension, persistence, trend, temperature, precipitation.
Введение
Понимание естественной изменчивости климатической системы имеет решающее значение для прогнозирования нелинейных климатических воздействий и резких изменений, возможно, из-за антропогенной деятельности. Целью данного исследования является изучение свойства устойчивости (персистентности) природных рядов метеопараметров для возможности прогнозирования изучаемого процесса на основе данных об его истории.
Любое исследование с применением методов классической статистики начинается с выдвижения и проверки гипотезы о случайности процессов, происходящих в системе. Для удовлетворения всех условий стандартной гауссовой статистики, события должны быть независимыми друг от друга и иметь одинаковую вероятность наступления. Долгое время предполагалось, что большинство крупных, комплексных систем должны моделироваться именно таким образом [1, 2]. Традиционно для анализа данных ряда климатических параметров используются тренды. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Используя уравнение тренда, решается задача предсказания будущих значений ряда. В то же время тренд ничего не говорит о том, насколько устойчив ряд. Стандартная гауссова статистика не имеет инструмента для исследования устойчивости тренда и лучше всего работает на основе ограниченных предположений: измеряемые события должны быть «независимы и идентично распределены». Если временной ряд не подчиняется нормальному закону, то существуют различные методы внесения в него корректировок, чтобы с некоторыми оговорками
Conclusions.
Key words:
назвать его случайным и идентично распределенным^ таком случае, классические методы анализа являются малоинформативными и имеют много методологических ограничений к применению.
Однако, если изучаемая система не удовлетворяет указанным выше условиям, то появляется необходимость использования нового, непараметрического подхода, такого как метод нормированного размаха (КЗ-анализ), предложенного Г. Херстом [3] и получившее дальнейшее развитие в работе Б. Мандельброта [4]. Исходя из предположения о том, что временной ряд на некотором интервале масштабов самоподобен, а процессы, происходящие в данный момент, определяются предыдущими состояниями, особый интерес представляет оценка долговременной памяти исследуемых рядов метеопараметров с помощью метода нормированного размаха [5-8].
Материалы и методы исследований
Классическим примером случайной системы является броуновское движение и для него справедливо соотношение, полученное Эйнштейном (1908 г.) для движения броуновской частицы (беспорядочный путь, который проходит частица, взвешенная в жидкости):
К - аТ11,
где К - пройденное расстояние; Т - показатель времени;
а - константа.
Броуновское движение стало первичной моделью для процесса случайных блужданий. Практические исследования английского гидролога Гарольда Херста [3] природных явлений показали, что размах расширяется несколько быстрее, чем это следует из формулы Эйнштейна. Херст расширил уравнение Эйнштейна и привел его к более общей форме. Для калибровки временных изменений Г. Херст ввел безразмерное отношение посредством деления размаха на стандартное отклонение наблюдений:
—— = (аТУ,
(1)
науки о земле
Статистика херста (r/s-анализ) в исследовании климатических переменных Ташилова А.А.
где R - размах;
S - стандартное отклонение
T - временной интервал;
к - показатель степени;
a - константа.
Согласно формуле Херста показатель степени к составил примерно 0,7. Система ведет себя не как случайная величина, а проходит более длительный путь, что можно определить как смещенное броуновское движение (с наличием тренда). Это возможно, если предыдущие события влияли друг на друга. Значение R/S изменяет масштаб по мере увеличения приращения времени Т согласно показателю степенной зависимости, равному к, который в дальнейшем стали называть индикатором Херста Н. В дальнейшем метод получил развитие в работах Бенуа Мандельброта как фрактальная геометрия [4]. Б. Мандельброт отметил важную особенность, что размах вариации изменяет свой масштаб в зависимости от числа наблюдений по степенному закону. Изменение масштаба по степенному закону - это признак самоподобия и, как следствие, фрак-тальности временного ряда. Требуемая для фрактального анализа ряда R/S траектория представляется в логарифмических координатах последовательностью точек, абсциссы которых xt = lg(0,5T), а ординаты yt = lg(R/S).
Соединяя отрезком соседние точки (хй у) и (xt + 1, yt + 1), T = 3, 4, ... n-1 получаем графическое представление R/S-траектории (Н-траектории) в логарифмических координатах (в обычных декартовых координатах). В двойных логарифмических координатах зависимость логарифма нормированного размаха от логарифма времени имеет линейную зависимость, что будет показано далее. Поскольку все фракталы изменяют масштаб согласно степенной зависимости, то в этом проявляются фрактальные свойства многих природных явлений.
Броуновское движение, как и любой процесс с независимыми приращениями, есть марковский процесс. Это означает, что условная вероятность события «X(t2) достигает определенного значения при данном значении X(t1)» где t1 < t2 зависит только от t1 и t2. Эта ве-
роятность не зависит от поведения X(t) при t < tl, то есть в процессе случайного блуждания каждый шаг делается без какой-либо информации, каким образом процесс достиг текущего значения. Случайный процесс, обладающий некоторой памятью, получил название фрактального броуновского движения (ФБД) и был исследован Б. Мандельбротом. В книге P.M. Кроновера [9] дано следующее определение фрактального броуновского движения (ФБД): «Гаус-совский процесс X(t) называется фрактальным броуновским движением (ФБД) с параметром Н (0 < Н < 1), если он обладает следующими свойствами:
1. Х(0) = 0 и функция X(t) почти всегда непрерывна.
2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина AX = X(t2) - X(tj) подчиняется гауссовскому распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией g2 (t2 - tl)2H:
1
Р(А/<Х) =-i-т~\-и-(2)
2лс fa - i2)#L,exp (- -у ( _ t^Hf) du где t2 > ti, а - положительная константа.
Большинство естественных явлений следуют «смещенному случайному блужданию», то есть тренду с шумом. В работе Е. Федера [10] показано, что приращение в прошлом коррелиро-вано с будущими приращениями с бесконечно большим временем корреляции. Функция корреляции будущих приращений с приращениями в прошлом имеет вид:
C(T) = 22H-1 - 1. (3)
Отсюда следует, что при H = 0,5 корреляция прошлых и будущих приращений C(T) отсутствует при всех T и ФБД совпадает с классическим броуновским движением. Устойчивость тренда и уровень шума могут быть оценены тем, как для рассматриваемого временного ряда изменяется с течением времени его
науки о земле
. Статистика херста (r/s-анализ) в исследовании климатических переменных Ташилова А.А.
нормированный размах, то есть насколько рассчитанная величина Н (0; 1), называемая показателем Херста, превосходит значение 0,5. Отсюда следует немарковское свойство фрактального броуновского движения:
1. Если Н > 0,5, то Х({) - Х(0) (приращение в настоящем) и Х(+И) - Х(^) (приращение в будущем), скорее всего, имеют одинаковые знаки и функция Х(^) обычно возрастает в будущем, если она возрастала в прошлом. Такие временные последовательности относятся к классу персистентных - сохраняющих имеющуюся тенденцию (броуновское движение со смещением). Теоретически то, что происходило вчера и происходит сегодня, воздействует на будущее и существует большая вероятность того, что если предшествующее движение было положительным, то оно останется положительным еще какое-то время. Если, например, Н = 0,6, то существует, в принципе, большая вероятность того, что, если предшествующее движение было положительным, то оно останется положительным еще какое-то время. Это не истинная вероятность, это просто мера «смещения».
2. Если же Н < 0,5, то Х (¿) - Х (0) (приращение в настоящем) и Х(^ + И) - Х (¿) (приращение в будущем),скорее всего, имеют различные знаки, а значит функция Х(^) обычно убывает в будущем, если она возрастала в прошлом (наличие долговременной памяти). Процессы являются анти-персистентными и для них характерна знакопеременная тенденция в сочетании с относительно высоким уровнем зашумленности, то есть последующий период времени с большой вероятностью будет характеризоваться изменением направления тренда.
При Н = 0,5 ФБД совпадает с классическим броуновским движением, имеют место процессы, в которых тренд от-
сутствует (классическое броуновское движение), а степень зашумленности определяется факторами, которые нельзя учесть в методе Херста - Мандельброта, то есть эти процессы чисто стохастические и хорошо описываются стандартной (гауссовой) функцией распределения.
Реализация одномерного ФБД с параметром Н имеет топологическую размерность Б. Существует как минимум две вариации фрактальной размерности - Б и А. Фрактальную размерность Б (размерность временного следа - это оценка степени изломанности ряда) определяют по формуле:
Б = 2 - Н. (4)
Фрактальная размерность Б временного ряда или накопленных изменений при случайном блуждании (Н = 0,5) равна 1,5. Фрактальная размерность кривой линии равна 1,0, а фрактальная размерность геометрической плоскости равна 2,0. Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит посреди между кривой линией и плоскостью и характеризует собой независимую случайную систему. Если 0,5 < Н < 1,0, то это будет соответствовать фрактальной размерности, более близкой к кривой линии, что по терминологии Херста является персистентным временным рядом, дающим более гладкую, т.е. менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание. Анти-персистентная величина 0 < Н < 0,5 дает более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, т.е. характеризует систему, более подверженную переменам.
Б. Мандельброт в работе [4] показал, что фрактальная размерность является обратной величиной от Н. Например, при Н = 0,5 фрактальная размерность равна 2 (1/0,5), а при Н = 0,8 фрактальная размерность равна 1,25 (1/0,8). Таким образом, фрактальную размерность по Мандельброту А (размерность пространства вероятностей - оценка толщины хвостов в функции плотности вероятности) рассчитывают по формуле:
А = 1/Н .
(5)
НАУКИ О ЗЕМЛЕ
Статистика херста (r/s-анализ) в исследовании климатических переменных Ташилова А.А.
Здесь фрактальная размерность А отличается от фрактальной размерности Б тем, что Б - есть фрактальная размерность временного следа, а А - есть фрактальная размерность пространства вероятностей. Другими словами, Б измеряет степень «зазубренности» временного ряда, а А - толщину хвостов в функции плотности вероятности («лептоэксцесс»).
В качестве примера на рисунке 1 приведены графики накопленных отклонений рядов средних сезонных температур и сумм осадков по данным м/станций Теберда и Нальчик за 1961-2018 гг. Параметр Н соответствует степени изрезанности:
1) при больших значениях Н ~ 1, D ^ 1 (топологичес-
кая размерность - график плавный, стремится к одномерной линии (рис. 1а, б), а при малых значениях Н ~ 0, D ^ 2 (топологическая размерность график имеет большую изрезанность и стремится заполнить двумерную плоскость (рис. 1в, г).
Из рисунка 1 видно, что в отличие от временных рядов метеопараметров, характеризующих режим осадков, где показатель Херста принимает значения от Н = 0,41 (анти-персистентный ряд), Н = 0,5 (стохастический ряд) до Н = 0,72 (персистентный ряд), во временных рядах температур отсутствуют стохастические и ан-ти-персистентные ряды (данные приведены в таблице 4 ниже).
В основе метода нормированного размаха (КЗ-анализ) лежит анализ размаха отклонения от среднего (наибольшего и наименьшего значения) К на изучаемом отрезке временного ряда Х1, ... ., Хп, нормированного среднеквадратичным отклонением 8, и его зависимость от периода изучаемого времени Т. На первом этапе проводится расчет среднего значения Хт ряда Х1, ... ., Хп(п - количество элементов ряда) и эмпирического стандартного отклонения ряда 8. Затем проводится нормализация ряда, путем вычитания из каждого значения среднего значения, и создание кумулятивного временного ряда, каждый член которого является суммой текущего значения и предыдущего. То есть анализируются не суммы самих данных, составляющих динамический ряд, а размах суммы отклонений этих данных от среднего арифметического, нормированный путем деле-
2,0
а) Н = 0,72; D = 1,28 (D ^ 1, стремится к линии): весенние средние температуры, Теберда .
1961 1968 1975 1982 1989 1996 2003 2010 2017 б) Н = 0,92; D=1,08 (D = 1, линия): летние средние температуры, Теберда .
в) Н = 0,55; О = 1,45 (D ^ 1,5, стремится заполнить плоскость): летняя сумма осадков, Нальчик . 200
1961 1968 1975 1982 1989 1996 2003 2010 2017 г) Н = 0,41; D =1,59 (D ^ 2, плоскость): годовая сумма осадков, Нальчик .
Рис. 1. Графики накопленных отклонений рядов температур и осадков.
Fig . 1. Graphs of accumulated deviations of temperature and precipitation series .
НАУкИ о зЕмлЕ
Статистика херста (r/s-анализ) в исследовании климатических переменных Ташилова А.А.
ния на стандартное отклонение. Размах Rn - разность между максимальным и минимальным уровнями накопленного отклонения Xn:
к
Rn = max (Xk - — Xn) (6)
где Xn - накопленное отклонение за n шагов (периодов); щп = J X 1=1 (хк ~ - эмпирическое стандартное отклонение, (7)
X
-- = — - эмпирическое среднее, (8)
jj
"о^" - нормированный размах накопленных сумм Xk, к < n, (9)
"я
jp- = (aTf. (10)
Логарифмируя обе части этого равенства, получим оценку показателя Херста Н:
Н = /Л— , (11)
lg (aT)
где Т - период наблюдений;
а - заданная константа (Херст эмпирически рассчитал
эту константу как а = 0,5).
Уравнение (11) показывает, что на разных отрезках времени нормированный размах (отношение диапазона к стандартному отклонению) имеет степенную зависимость от продолжительности времени, в этом случае индикатор Херста вычисляется по формуле (1) с использованием полного временного ряда.
Результаты и их обсуждение
1. Расчет индикатора Херста по формуле: с помощью
формул (6) - (11) был составлен алгоритм вычисления показателя Херста в среде Microsoft Excel, позволяющий рассчитывать его для различных вре-
менных рядов. Метод нормированного размаха был протестирован по данным метеостанции Терскол для средней летней температуры воздуха за 1961— 2018 гг., то есть для временного ряда данного метеопараметра длиной Т = 58 лет (табл. 1). Для этой цели вычислялось среднее арифметическое всего ряда в целом (х = 11,45 °С). Далее последовательно в столбцах вводились формулы для расчета отклонения текущего зна-
Таблица 1. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ИНДИКАТОРА Н ПО ФОРМУЛЕ В СРЕДЕ MICROSOFT EXCEL
Table 1. Algorithm for calculating the indicator H using a formula in Microsoft Excel
Годы x Дх 1Д max min
1961 11,30 11,45 -0,15 -0,15 0,59 -15,81
1962 12,20 11,45 0,75 0,59
1963 10,53 11,45 -0,92 -0,33
1964 10,33 11,45 -1,12 -1,45
1965 11,40 11,45 -0,05 -1,50
1966 11,80 11,45 0,35 -1,16
1967 9,40 11,45 -2,05 -3,21
1968 10,17 11,45 -1,29 -4,50
1969 11,30 11,45 -0,15 -4,65
2010 13,47 11,45 2,01 -7,57
2011 12,37 11,45 0,91 -6,66
2012 12,30 11,45 0,85 -5,81
2013 11,00 11,45 -0,45 -6,26
2014 12,47 11,45 1,01 -5,25
2015 12,73 11,45 1,28 -3,97
2016 12,33 11,45 0,88 -3,09
2017 13,07 11,45 1,61 -1,48
2018 12,93 11,45 1,48 0,00
чения X, от среднего х (А = x, - je), накопленного отклонения (2Аг), максимального накопленного отклонения (Max) за период времени Т = 58 лет, минимального накопленного отклонения (Min). Размах R находился как разница между максимальным и минимальным значениями R = Max, стандартное отклонение S за весь период и по формуле (11) вычислялся показатель Херста Н = 0,86. Проверкой правильности расчетов являлось получение суммарного нуля для накопленных отклонений в конце периода (2Аг) = 0,00.
R S R/S lg (R/S) lg (0,5Г) H
16,40 0,91 18,07 1,26 1,46 0,86
2. Графический способ: другой способ расчета индика-
тора Херста практически аналогичен рассмотренному способу выше, за исключением того, что существует еще один цикл, повторяющий вышеописанную процедуру. С помощью этого цикла осуществляется передвижение периода Tk , который не совпадает с началом временного ряда. Для n отрезков ряда длиной Tk лет (длина всего ряда T = n • Tk) используется алгоритм расчета по формуле (11). В результате получаем несколько показателей (R/S)k , логарифмы которых откладываются по оси ординат графика (рис. 2). По оси абсцисс откладываются логарифмированные временные отрезки lg (0,5 T)k.
Значение индикатора Херста Н определяется из графика зависимости от ^(0,5Тк) как наклон прямой линейной регрессии, построенной методом наименьших квадратов:
1§(В/5!)к = Ш + Н Ш5Гк) (12)
Для вычисления Н временного ряда средней летней температуры в Терсколе за 1961-2018 гг. графическим способом был использован вышеописанный алгоритм. В рассматриваемом временном ряде последовательно формируются начальные отрезки Ык = щ , щ , ... , пк, (к = 3, 6, 9, 18, 29 лет). На каждом отрезке вычисляется текущее среднее:
Таблица 2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ИНДИКАТОРА Н ПРИ РАЗБИЕНИИ НА ПОДПЕРИОДЫ ТК.
Table 2 . Algorithm for calculating the indicator H when dividing into
a) n = 19 интервалов по Tk = 3 года
Годы x, Xt Lx, 1Д max min
1961 11,30 11,34 -0,04 -0,04 0,82 -0,04
1962 12,20 11,34 0,86 0,82
1963 10,53 11,34 -0,81 0,00
1964 10,33 11,18 -0,84 -0,84 0,00 -0,84
1965 11,40 11,18 0,22 -0,62
Ъ = —— B=i Xi . (13)
В пределах каждого фиксированного отрезка вычисляется отклонение текущего от среднего значения и накопленное отклонение для его отрезков:
В=1 Ах, = Ах,- + (Xi - хк) (14)
Нормированный размах по каждой группе составил:
Rk = Max (Iii Ах,) - Min (х, - хк)..............(15)
Также по каждой группе рассчитывается стандартное отклонение Sk по стандартной формуле. Показатели нормированного размаха (R/S) при разбиении на n = 19 интервалов по Tk = 3 года (табл. 2а) и на n = 9 интервалов по Tk = 6 лет (табл. 2б) рассчитываются как (R/S) внутри каждого интервала, затем находится среднее значение нормированного размаха lg(R/S)k для каждого периода времени Tk.
Изложенная выше процедура повторяется, используя в качестве n все возможные собственные делители ряда: n = 6 по k = 9 лет (табл. 2б); n = 3 по k = 18 лет и, наконец, на последнем шаге осуществляется разбиение ряда на два подпериода n = 2 по k = 29 лет. Затем строится график в двойном логарифмическом масштабе с линейным трендом.
subperiods Tk .
Rk Sk (R/S). lg(R/S). feiR/sT* '9(0,57.)
"086 083 Ш 008 0176
0,84 0,76 1,11 0,05
Годы х, хк Дх,- ЕД тах тт
1966 11,80 11,18 0,62 0,00
1967 9,40 10,29 -0,89 -0,89 0,00 -1,01
1968 10,17 10,29 -0,12 -1,01
1969 11,30 10,29 1,01 0,00
2009 10,87 12,23 -1,37 -1,37 0,00 -1,37
2010 13,47 12,23 1,23 -0,14
2011 12,37 12,23 0,13 0,00
2012 12,30 11,92 0,38 0,38 0,38 -0,54
2013 11,00 11,92 -0,92 -0,54
2014 12,47 11,92 0,54 0,00
2015 12,73 12,71 0,02 0,02 0,02 -0,36
2016 12,33 12,71 -0,38 -0,36
2017 13,07 12,71 0,36 0,00
б) п = 9 интервалов по к = 6 лет
Годы х, Хк Дх ЕД тах тт
1961 11,30 11,26 0,04 0,04 0,98 -0,68
1962 12,20 11,26 0,94 0,98
1963 10,53 11,26 -0,73 0,25
1964 10,33 11,26 -0,93 -0,68
1965 11,40 11,26 0,14 -0,54
1966 11,80 11,26 0,54 0,00
1967 9,40 10,58 -1,18 -1,18 0,00 -1,59
1968 10,17 10,58 -0,41 -1,59
1969 11,30 10,58 0,72 -0,87
1970 10,20 10,58 -0,38 -1,25
1971 10,53 10,58 -0,04 -1,29
1972 11,87 10,58 1,29 0,00
Rk Sk (R/S)k lg(R/S)k
1,01 0,96 1,06 0,02
1,37 1,31 1,05 0,02
0,92 0,80 1,15 0,06
0,38 0,37 1,03 0,01
Rk Sk (R/S)k ig(R/s)k lg[R/S)„ 'g(°,5'k)
1,66 0,72 2,30 0,36 0,28 0,477
1,59 0,88 1,80 0,26
Далее аналогично для интервалов n = 6 (по 9 лет); 3 (по 18 лет); 2 (по 29 лет).
В уравнении линейной регрессии зависимой переменной выступает показатель lg(R/S), а факторным признаком - логарифм количества элементов к (лет) в группе n - lg(0,5Tk) (табл. 3, рис. 2).
Таблица 3. КООРДИНАТЫ ГРАФИКА В ДВОЙНОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ
МАСШТАБЕ
Table 3. Plot coordinates in double logarithmic scale
Tk, годы lg(R/S)k lg(0,5Tk)
3 0,08 0,176
6 0,28 0,477
9 0,43 0,653
18 0,58 0,954
29 0,79 1,161
Таблица 4 . ИНДИКАТОР ХЕРСТА Н ТРЕНДОВ СЕЗОННЫХ И ГОДОВЫХ ТЕМПЕРАТУР:
Table 4. Hurst indicator H of seasonal and annual temperature trends:
Климатические Показатель Херста, H
зоны, м/станции
зима весна
а) ' б) 1 в) а) ' б) | в)
1.Равнина 1.1. Причерноморье, Сочи 0,7 | 0,7 1 3,6 0,6 1 0,7 1 0,6
1.2. Степная зона Майкоп 0,6 I 0,7 1 3,6 0,6 1 0,6 1 0,8
Моздок 0,7 | 0,6 1 0,7 0,7 1 0,7 1 0,7
Прохладная 0,7 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,7 1 0,7
Ростов-на-Дону 0,6 1 0,5 1 0,6 0,6 1 0,7 1 0,6
Изобильный 0,7 1 0,7 1 0,7 0,6 1 0,6 1 0,8
Краснодар 0,7 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,7 1 0,8
1,0
0,8 y = 0,766x - 0,108
0,6 R2 = 0,987 ^^
0,4 J
0,2
0,0 ^^^ , , , /g(0,57)
0 0,3 0,6 0,9 1,5 1,5
Рис. 2. Линейная регрессия в двойном логарифмическом мас-
штабе (Н = 0,766) для летних температур, Терскол (19612018 гг.).
Fig. 2. Linear regression on a double logarithmic scale (H = 0,766) for summer temperatures, Terskol (1961-2018).
В таблице 4 приведены результаты расчетов индикатора Херста методом нормированного размаха для сезонной и годовой средней, максимальной и минимальной температур в различных климатических зонах юга России.
а) средних, б) максимальных, в) минимальных a) average, b) maximum, c) minimum
лето осень год
а) ' б) в) а) ' б) в) а) ' б) в)
0,8* 1 0,7 1 0,8 0,8 1 0,8 1 0,6 0,8 1 0,7 1 0,6
0,8 i 0,8 1 0,6 0,6 1 0,7 1 0,6 0,7 1 0,8 1 0,7
0,8 i 0,8 1 0,6 0,8 1 0,7 1 0,6 0,8 1 0,8 1 0,7
0,8 i 0,8 1 0,6 0,8 1 0,7 1 0,5 0,8 1 0,8 1 0,7
0,8 i 0,8 1 0,7 0,8 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,8 1 0,6
0,8 i 0,8 1 0,7 0,7 1 0,7 1 0,6 0,8 1 0,8 1 0,7
0,8 i 0,8 1 0,9 0,8 1 0,7 1 0,7 0,8 1 0,8 1 0,7
Климатические зоны, м/станции Показатель Херста, Н
зима весна
а) ' б) 1 в) а) б) в)
среднее 0,7 1 0,7 1 0,7 0,7 0,7 0,7
1.3. Прикаспий Изберг 0,7 1 0,6 1 3,6 0,8 0,8 0,7
Кизляр 0,7 1 0,6 1 0,7 0,7 0,6 0,8
Махачкала 0,6 1 0,6 1 0,7 0,6 0,7 0,5
Дербент 0,7 1 0,7 1 0,7 0,7 0,7 0,8
среднее 0,7 1 0,6 1 0,7 0,7 0,7 0,7
Шредгорная Буйнакск 0,8 1 0,6 1 0,8 0,7 0,5 0,8
Ставрополь 0,8 1 0,7 1 0,6 0,7 0,7 0,7
Черкесск 0,8 1 0,8 1 0,8 0,6 0,6 0,7
Нальчик 0,71 1 0,7 1 0,7 0,7 0,7 0,7
Кисловодск 0,7 1 0,8 1 0,5 0,6 0,6 0,6
Владикавказ 0,8 1 0,7 1 0,9 0,7 0,6 0,8
среднее 0,8 1 0,7 1 0,7 0,7 0,6 0,7
III. Горная, Ахты 0,8 1 0,7 1 0,7 0,6 0,6 0,6
Теберда 0,8 1 0,7 1 0,6 0,6 0,6 0,7
среднее 0,8 1 0,7 1 0,65 0,6 0,6 0,65
^.Высокогорная Терскол 0,7 н/д 1 н/д 0,5 н/д н/д
юг ЕТР, среднее 0,7 1 0,6 1 0,7 0,6 0,6 0,7
* Значения показателя Херста H > 0,8 отмечены жирным
Из таблицы 4 видно, что индикаторы устойчивости для трендов температуры характеризуют наибольшую устойчивость и долгосрочность изменения для временных рядов годовых и летних средних температур (Н = 0,80), а также осенних средних температур (Н = 0,73). Ряды годовых, летних (Н = 0,75) и осенних
лето осень год
а) ' б) в) а) ' б) в) а) ' б) в)
0,8 1 0,8 1 0,7 0,8 1 0,7 1 0,6 0,8 1 0,8 0,7
0,8 1 0,8 1 0,6 0,8 1 0,8 1 0,7 0,8 1 0,8 0,6
0,8 1 0,7 1 0,9 0,8 1 0,6 1 0,6 0,8 1 0,7 0,7
0,7 1 0,8 1 0,8 0,7 1 0,8 1 0,8 0,7 1 0,8 0,7
0,9 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,8 1 0,6 0,9 1 0,7 0,7
0,8 1 0,8 1 0,8 0,8 1 0,8 1 0,7 0,8 1 0,8 0,7
0,8 1 0,7 1 0,7 0,8 1 0,5 1 0,6 0,9 1 0,8 0,7
0,8 1 0,8 1 0,8 0,8 1 0,7 1 0,6 0,9 1 0,8 0,6
0,8 1 0,8 1 0,6 0,7 1 0,7 1 0,7 0,8 1 0,8 0,7
0,8 1 0,8 1 0,6 0,8 1 0,8 1 0,5 0,9 1 0,8 0,7
0,8 1 0,6 1 0,6 0,8 1 0,7 1 0,6 0,8 1 0,6 0,6
0,8 1 0,7 1 0,6 0,8 1 0,9 1 0,5 0,9 1 0,7 0,9
0,8 1 0,7 1 0,7 0,8 1 0,7 1 0,6 0,9 1 0,8 0,7
0,8 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,5 1 0,5 0,8 1 0,7 0,7
0,8 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,8 1 0,6 0,8 1 0,7 0,6
0,8 1 0,7 1 0,7 0,7 1 0,65 1 0,55 0,8 1 0,7 0,65
0,8 н/д н/д 0,6 н/д н/д 0,5 н/д н/д
0,8 1 0,8 1 0,7 0,7 1 0,7 1 0,6 0,8 1 0,8 0,7
максимальных температуры (Н = 0,70), а также весенних минимальных температур (Н = 0,72) также имели устойчивые тенденции.
Поскольку фрактальность связана с детерминизмом, можно предположить, что летнее потепление, наблюдаемое в последние десятилетия, является следствием скоординированного влияния ряда климатообразующих факторов.
Выводы
Показатель Херста Н представляет собой основной инструмент для определения устойчивости поведения системы и отвечает на вопрос, с какой наибольшей вероятностью будет поведение следующего значения исследуемого ряда в будущем - больше или меньше текущего.
Для различных метеопараметров отношение диапазона к стандартному отклонению (R/S) является степенной функцией от продолжительности времени Т. Фрактальный анализ рядов метеопараметров показал, что показатель H степенного закона всегда больше 0,5, колеблясь, в основном, для температуры около H = 0,8. Как следует из классификации показателя Херста, H = 0,5 является характеристикой всех идеальных случайных процессов. Наши результаты показали, что ряды температур, не являются идеальным пуассонов-ским процессом (без памяти), напротив, существует некоторая долгосрочная корреляция между последними событиями и начальными.
Значения показателя Херста для метеопараметров, характеризующих режим воздуха годовых температур (средняя температура, абсолютный максимум и минимум температур) в период 19612018 гг. превышают значение этого показателя для температуры, рассчитанного Г. Херстом в первой половине ХХ века (Н = 0,72) [2], что демонстрирует усилившуюся устойчивую тенденцию роста температур, особенно в летний период (Н = 0,8), и в году в целом (Н = 0,8). Таким образом, изменение этих метеопараметров как явление, несет двойственные характеристики случайности и регулярности, и чем больше H отклоняется от 0,5, тем больше регулярности проявляется во временных рядах, и наоборот.
Библиографический список
1. Исаев, А . А . Статистика в метеорологии и климатологии:
учебник / А . А . Исаев . Москва: Издательство МГУ, 1988 .
244 с .
2 . Вероятностные разделы математики / под ред . Ю . Д . Мак-
симова . СПб . : Иван Фёдоров, 2001. 592 с .
3 . Hurst, H . Long Term Storage Capacity of Reservoirs / Hurst,
H .; Transactions of the American Society of Civil Engineers,
1951. Vol . 116 . P. 770-799 .
4 . Мандельброт, Б . Фрактальная геометрия природы: учеб .
пособие / Б. Мандельброт; Институт компьютерных исследований . М ., 2002 . 666 с .
5 . Rubalcaba, J . J . O ., Fractal Analysis of Climatic Data: Annual
Precipitation Records in Spain / J . J . O . Rubalcaba // Theoretical and Applied Climatology, 1997 . Vol . 56 . P. 83-87 .
6 . Carvalho, L . M .V. Antipersistence in the global tempera-
ture anomaly field / L . M .V. Carvalho, A . A . Tsonis, C . Jones, H . R . Rocha, P. S . Polito // Nonlinear Processes in Geophysics, 2007 Vol 14 P 723-733
7 . Солнцев, Л . А . Фрактальный анализ векового хода средней
температуры воздуха в г Нижнем Новгороде / Л . А . Солнцев, Д . И . Иудин, М . С . Снегирева // Вестник Нижегородского университета им . Н . И . Лобачевского . Нижний Новгород, 2007 . № 4 . С . 88-91.
8 . Калуш Ю .А. , Логинов В .М . Показатель Херста и его
скрытые свойства // Сибирский журнал индустриальной математики - 2002 . Т. 5 . Вып . 4 . С . 29-37 .
9 . Кроновер, Р. М . Фракталы и хаос в динамических системах .
Основы теории: учеб . пособие / РМ . Кроновер . Москва: Постмаркет, 2000 . 352 с . 10 . Федер Е . Фракталы / пер . с англ . М .: Мир, 1991. 254 с .
References
1. Isaev, A . A . Statistics in meteorology and climatology: textbook / A . A . Isaev . Moscow: Moscow State University Publishing House,1988.244 p .
2 . Probabilistic sections of mathematics / Ed . Y. D . Maksimova .
SPb . : Ivan Fedorov, 2001. 592 p .
3 . Hurst, H . Long Term Storage Capacity of Reservoirs / Hurst,
H . ; Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1951. Vol . 116 . Р. 770-799 .
4 . Mandelbrot, B . Fractal geometry of nature: textbook . manual /
B . Mandelbrot; Institute for Computer Research, M ., 2002 . 666 p
5 . Rubalcaba, J . J . O ., Fractal Analysis of Climatic Data: Annual
Precipitation Records in Spain / J . J . O . Rubalcaba // Theoretical and Applied Climatology, 1997 . Vol . 56 . Р 83-87 .
6 . Carvalho, L . M .V. Antipersistence in the global temperature
anomaly field / L . M .V. Carvalho, A .A. Tsonis, C . Jones, H . R Rocha, P S Polito // Nonlinear Processes in Geophysics, 2007 Vol 14 Р 723-733
7 . Solntsev, L .A . Fractal analysis of the secular variation of the
average air temperature in the city of Nizhny Novgorod / L . А . Solntsev, D . I . ludin, M . S . Snegireva // Bulletin of the Nizhny Novgorod University. N . I. Lobachevsky. Nizhny Novgorod, 2007. No . 4 . P. 88-91.
8 . Kalush Yu . A ., Loginov VM Hurst exponent and its hidden
properties // Siberian Journal of Industrial Mathematics -2002. Vol . 5 . No . 4 . S . 29-37 .
9 . Kronover, R . M . Fractals and chaos in dynamical systems .
Fundamentals of theory: textbook . allowance / R . M . Kronover; Moscow: Postmarket, 2000 . 352p . 10 . Feder E . Fractals: Trans . from English . M .: Mir, 1991. 254 p .
Поступило в редакцию 15.10.2021, принята к публикации 12.11.2021
сведения об авторе
Ташилова Алла Амарбиевна, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник отдела физики облаков Федерального государственного бюджетного учреждения «Высокогорный геофизический институт» . Адрес: Россия, Кабардино-Балкарская республика, г Нальчик, пр . Ленина, д . 2 . Scopus ID:57191577384, Researcher ID: К-4321-2015, Телефон (928) 692-46-29, E-mail: tashilovaa@mail . ru
About the author
Tashilova Alla Amarbiyevna, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, senior research associate of department of physics of clouds of Federal state budgetary institution "High-Mountain Geophysical Institute", Address: Russia, Kabardino-Balkar Republic, Nalchik, Lenin Ave ., 2 . Scopus ID:57191577384 Researcher ID: K-4321-2015, Phone: (928) 692-46-29, E-mail: tashilovaa@mail ru
