ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ОЦЕНОК ПОКАЗАТЕЛЯ ХЕРСТА КЛАССИЧЕСКОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ, ВЫЧИСЛЯЕМЫХ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА R/S-АНАЛИЗА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Об особенностях оценок показателя Херста

классического броуновского движения, вычисляемых с помощью метода ^/8-анализа

С.В. Поршнев, Э.В. Соломаха, О.А. Пономарева

Аннотация— Изучены особенности оценок показателя Херста Н траекторий классического броуновского движения, вычисляемых с помощью метода й/^-анализа, где Я - размах накопленного отклонения выбранной фрагмента траектории, попадающего во временной

интервал [Ьтт, ¿тах ] (с математической точки зрения -

временного ряда (ВР)), £ - математическое ожидание фрагмента анализируемого ВР. В связи с тем, что при использовании метода й/£-анализа для вычисления оценок показателя Херста Н анализируемого ВР необходимо

задать значения параметров Ьтт, Ьтях , было высказано

предположение о возможном влиянии данных параметров на значение оценки показателя Херста Н. В ходе проверки высказанной гипотезы обнаружено, что оценка показателя Херста Н совпадает с точностью до погрешности вычислений с истинным значением показателя Херста классического броуновского движения, равного 0.5, только

для конкретных пар значений £"ттк, £"тахк, к = 1, 2,----

Продемонстрировано, что на плоскости (-¿тт, Ьтх ) пары

значении

L ■„,,, L ,

mm к, L max k располагаются вдоль прямой L = 7.202Lmm +1.560. При произвольном выборе

параметров метода й/^-анализа таком, что Lmm ^ L

n k'

Ключевые слова—Показатель Херста, R/S-анализ, броуновское движение, фрактальное броуновское движение.

I. Введение

Начало систематических исследований самоподобных случайных процессов, названных фрактальным броуновским движением (ФБД), было положено Б. Мандельбротом [1], где отмечено, что, по-видимому, впервые в неявном виде ФБД рассматривалось А.Н. Колмогоровым в 1940 г. [2]. Напомним, следуя [3], определения гауссовского случайного процесса, одномерного броуновского движения и ФБД. 1) Случайная величина X называется гауссовой или нормальной с математически ожиданием ц и дисперсией

с

если она распределена по закону: 1

Fx ( X ) = P ( X < X ) = -

■ J exP

С 1 (ъ 11

d

Апах ^ ^ тахк значение показателя Херста варьируется в диапазоне [0.25;1.12].

Обнаруженная особенность оценок показателя Херста Н методом й/£-анализа траекторий классического броуновского движения позволяет предположить наличие аналогичных особенностей оценок показателей Херста Н траекторий фрактального броуновского движения, и, при ее подтверждении, критического анализа многочисленных публикаций, авторы которых применяли метод Я/£-анализа.

Статья получена 15 августа 2020.

С.В. Поршнев, Уральский Федеральный Университет им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Российская Федерация (e-mail: s.v.porshnev@urfu.ru).

Э.В. Соломаха, Уральский Федеральный Университет им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Российская Федерация (e-mail: eduard.solomakha@urfu.ru)

О.А. Пономарева, Уральский Федеральный Университет им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Российская Федерация (e-mail o.a.ponomareva@urfu.ru).

Работа выполнена при финансовой поддержке постановления № 211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006

•\/2Пст

\ /

2) Случайный процесс Х(Г) называется гауссовским, если для каждого конечного набора моментов времени [11,12,...,гК} вектор {х , X (г2),..., X (*„)} имеет

гауссово распределение.

3) Одномерным броуновским движением называется гауссовский процесс Х(г) (или винеровским процессом) на интервале [а,Ь], обладающий следующими свойствами:

1. Х(0) = 0 и функция Х(г), почти всегда непрерывна.

2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина дх = X (г2) - X (^) имеет нормальное

распределение N(ц,а) с нулевым математическим

ожиданием и дисперсией а2 (г2 - ^), где г2 > г1, то есть

(г \2 Л

P (AX-

1

J exP

1

2 1 с ( t2 -11

(1)

>/2па2 (?2 - г1)

4) ФБД с параметром Н называется процесс X(г), обладающий следующими свойствами.

1. X(0) = 0 и функция X(г), почти всегда непрерывна.

2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина ду = x (г2)- x ) имеет нормальное

распределение N (ц, а) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2 (г2 - г1 )2Н, где г2 > ^, то есть

P (ax<

1 exp

4

Ah -1. Г

d4.

(2)

Отметим, что:

при н = 1/2 ФБД совпадает с одномерным броуновским движением;

из (1) следует, что дисперсия приращений броуновского движения подчиняется закону

В[X(*2)_х(г,)]= Е[(X(гг)_X(г,))2] = а21?2 _г,|;

из (2) следует, что дисперсия приращений ФБД подчиняется закону

В [ х (г2)_ х (г1 )] = Е [(х (г2)_ х (г1 ))2 ] —а2|г2 _ •

Описанные выше понятия одномерного броуновского движения и фрактального броуновского движения применяют в качестве математических моделей ВР, составленных из значений выбранных количественных показателей, значения которых определены (измерены) в известные дискретные моменты {г1;г2,...,гх} времени,

в большинстве случаев

г2 г, — г^ /2 —. * * — г к г к_1 — со~пзг •

При этом, априори, полагается, что значение показателя Н определяется состоянием системы, породившей изучаемый ВР.

На практике приходится решать задачу вычисления оценки значения параметра Н математической модели (2), называемого показателем Херста, по известному ВР х,, I — 1, К. Для этого традиционно используются

методы накопленной дисперсии [3]; метод Л/^-анализа [4]; метод основанный на использовании второй производной ВР; метод, основанный на использовании нерекурсивного фильтра, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами выбранного вейвлет-разложения (например, вейвлета <^ут1е1Б» 5-порядка); метод, основанный на анализе распределения энергии вейвлет-коэффициентов по уровням пакетной вейвлет-декомпозиции ВР (три последних метода, реализованы в пакете МЛТЬЛВ в функции йтеБгт, описание которой представлено в соответствующем разделе справки пакета МЛТЬЛВ).

Отметим, что сегодня, большинство исследователей применяют математические модели (1), (2) к ВР различной природы, следуя традиции, заложенной в монографии Э. Петерса [5], формально, не проводя проверку свойства гауссовости их приращений. Данное обстоятельство, вообще говоря, позволяет поставить полученные при этом оценки параметра Н и их дальнейшие интерпретации под сомнение. Отмеченный недостаток можно обнаружить, как в многочисленных эконометрических исследованиях (см., например, [6]), так и в многочисленных работах, посвященных анализу Интернет-трафика (см., например, [7] и др.).

Еще одна проблема интерпретации оценок показателя Н, связана с отсутствием исследований их точности, которая, как, априори, можно ожидать зависит от внутренних параметров метода, использованного для оценки показателя Херста Н. В этой связи исследование

данного вопроса является актуальным.

В статье изложены результаты исследования зависимости точности оценок показателей Херста H классического броуновского движения методом R/S-анализа, наиболее часто используемого в эконометрике, от использованных значений параметров данного метода. Выбор в качестве тестовой выборки данного типа броуновского движения обусловлен тем, что для него известно точное значения показателя Херста Н, равное 0.5. В то время как для случая ФБД (H е [0,1], H ф 0.5) может быть найдена только

интегральная оценка точности показателя Херста, определяемая как качеством используемого алгоритма генерации реализаций ФБД, так и точностью выбранного метода оценки показателя Херста H. Получена оценка точности.

II. Алгоритм R/S-анализа

Метод R/S-анализа, используемый для оценки показателя самоподобия временного ряда (ВР), получившего название показатель Херста (традиционно обозначаемый буквой H) был предложен в 1951 г. гидрогеологом Г. Херстом [2], более 40 лет занимавшимся анализом статистических данных годичных стоков реки Нил. Данный метод реализуется выполнением следующей последовательности действий.

Анализируемый ВР xk, k = 1, K, разделяют на N смежных интервалов длиной L: N = fix(K /L), где fix (•) - функция, отсекающая дробную часть числа.

На каждом из выбранных в п. 1 временных интервалов вычисляют средние значения ВР, совокупность которых далее будем называть ансамблем средних значений {Хя}, n = 1, N:

1 nL

xn =— У x,.

n J / i i

L i=1+(n-1)L

На каждом из выбранных в п. 1 временных интервалов вычисляют математическое ожидание фрагмента анализируемого ВР, попадающего в данный временной интервал:

ст =

£ (x- xn)

=1+( n-1)L

На каждом из выбранных в п. 1 интервалов вычисляют накопленные соответствующих фрагментов ВР:

nL

X = £ (X - x,).

i=1+(n-1)L

На каждом из выбранных в п. 1 интервалов вычисляют значение размаха накопленного отклонения:

[ R max ]n = max (X„)-min (X„).

На каждом из выбранных в п. 1 временных интервалов вычисляют отношения накопленных отклонений к математическому ожиданию данного фрагмента ВР:

временных отклонения

временных

[]„ =[Rmax Цa„ .

Вычисляют по ансамблю значений {[R/S] } среднее

значение отношения накопленных отклонений к математическому ожиданию соответствующего фрагмента ВР:

- 1 N

[ RS ]n=N X [ RS L

n=l

Увеличивают длину интервала L пока L < Lmax (Lmax < K/2) и повторяют пп. 1-8 алгоритма R/S-

анализа.

Вычисляют с помощью метода наименьших квадратов (МНК) угловой коэффициент прямой, аппроксимирующей зависимость [ RS = f (log2 (N)).

Программная реализация данного алгоритма на m-языке пакета MATLAB (функция RSA.m) приведена в Приложении 1.

III. Анализ зависимости точности оценивания

ПОКАЗАТЕЛЕЙ ХЕРСТА О Т ПАРАМЕТРОВ АЛГОРИТМА R/S-АНАЛИЗА

Рассмотрим результаты вычисления показателя Херста типичной траектории классического броуновского движения длиной, состоящей из значений 220 координат броуновской частицы, сгенерированного в соответствие с алгоритмом срединного смещения [3], представленной на рис. 1.

[ RS k = f (log2 ( N )),

[-std ([ RS ]n ) ,std ([ RS ]n )]

доверительного интервала представлены на рис. 2.

а также интервалы и границы 95% линейной регрессии

Рис. 2. Классическое броуновское движение: типичный график зависимости [ Rs = f (log2 (N))

Из рис. 2 видно, что интервал [-std ([ RS ]J ,std ([ RS ]J] при увеличении

длительности интервалов разбиения исходного ВР L (соответственно, уменьшении числа

интервалом N = fix (K/L)), также увеличивается.

Данный результат, позволил, в свою очередь, выдвинуть гипотезу о том, что точность оценки показателя Херста классического броуновского движения, вообще говоря, будет зависеть от диапазона изменения параметра алгоритма R/S-анализа L - длины отрезка [ т г ], где L - минимальное и L -

L mi^' ma^J min max

максимальное значения показателя L.

Для проверки данной гипотезы были вычислены оценки показателя Херста обсуждаемой траектории классического броуновского движения при различных значениях Lmin , Lmax , представленные в таблице 1.

Рис. 1. Типичная траектория классического броуновского движения

Соответствующий график зависимости

Таблица 1 -- Оценки значений показателей Херста H классического броуновского движения, вычисленные методом

R/S-анализа

10

12

10

Lmin Lmax H Lmin Lmax H Lmin 5 L max H

3 10 0.61317 5 10 0.72267 7 30 0.58261

3 20 0.51566 5 20 0.59180 7 40 0.53756

3 30 0.46779 5 30 0.53065 7 50 0.50560

3 40 0.43713 5 40 0.49246 7 60 0.48208

4 10 0.66953 6 20 0.62528 8 40 0.55766

4 20 0.55553 6 30 0.55771 8 50 0.52402

4 30 0.50092 6 40 0.51601 8 60 0.49862

4 40 0.46641 6 50 0.48660 8 70 0.47861

Из таблицы 1 видно, что, действительно, оценки показателей Херста Н классического броуновского

движения, вычисленные методом ЛЛ-анализа оказываются зависящими от длины отрезка [ Ьтт, Ьтх ].

Для удобства дальнейшего анализа данные табл. 1 были представлены в виде в виде графиков зависимостей н = Н (^) фиксированных значениях

А™ (рис. 3). Из рис. 3 видно, что для каждой из представленных на данном рисунке зависимостей существует единственное сочетание Ьтт, Атах , при которых график зависимости Н = Н (Атах ) пересекает прямую Н = 0.5 .

\

\ \ -

ъ -_ _ 6

Из рис. 4 видно, что обсуждаемые пары значений расположены на прямой

Lmx = 7.202^ +1.560. Для нахождения возможного диапазона оценок показателей Херста классического броуновского движения при произвольном выборе пар значений (L , L ) были вычислены зависимости H = H (L )

V mm' max / ** ** \ max /

для Lmin е [3,24], Lmax е[3;510], представленные на рис. 5.

Рис. 3. Графики зависимостей Н = Н (£тах): 1 -

Ьш1П = 3; 2 - ¿тт = 4; 3 - Ьтт = 5; 4 - ^ = 6

В связи с обнаруженной особенностью зависимости оценки показателя Херста Н классического броуновского движения, полученной с помощью метода

Л/^-анализа, были вычислены пары значений Атт, Атах, при которых погрешность обсуждаемой оценки

оказывается наименьшей. Рассмотрим расположение точек с координатами (т т ), к = 1~8

V тпк ' тахк I ' '

А < А . < ... < А , на плоскости (а а ) (рис. 4).

Ш1П1 Ш1П2 Ш1П§ г

Рис. 4. Визуализация пар значений (Ат1п , Ьшях ),

при которых погрешность оценки показателей Херста Н классического броуновского движения оказывается наименьшей.

Рис. 5. Графики зависимостей H = H (Lmax)

классического броуновского движения, N = 212:

L . = 3, 2 - L . = 10; 3 - L . = 17; 4 - L . = 24

min min ' min mm

Из рис. 5 видно, что в зависимости от соотношения между значениями L , L оценки значения

min' max ^

показателя Херста классического броуновского движения H варьируются в диапазоне [0.25;1.12].

Таким образом, точность оценки показателя Херста классического броуновского движения методом R/S-анализа оказывается критически зависимой от соотношения параметров данного метода Lmin, Lmax

IV. Заключение

Результаты проведенного исследования

подтверждают, априори, высказанную гипотезу о зависимости значений оценок показателя Херста классического броуновского движения H, вычисляемых с помощью R/S-анализа, от параметров данного метода

L ■ , L^ При этом оказывается, что в зависимости от

min max

соотношения между параметрами данного метода оценки значения показателя Херста классического броуновского движения H варьируются в диапазоне [0.25;1.12].

Описанная особенность оценок показателя Херста классического броуновского движения H, вычисляемых с помощью R/S-анализа, позволяет выдвинуть гипотезу о том, что подобные свойства будут присущи аналогичным оценкам ФБД. В случае подтверждения высказанной гипотезы потребуется проведение критического анализа результатов работ, в которых авторы использовали оценки показателей Херста тех или иных временных рядов для описания состояния

систем, породивших соответствующих изучаемые ВР.

V. Приложение 1

листинг файла RSA new.m

function IdTau. RS, Ni, h] = RSA new v(x.Lmin.Lmax.dL.Fl ag)

функция, возвращающая значения логарифма длительностей временных интервалов, по которым были получены оценки \textit{R/S}, оценки среднего значения \textit{R/S}, полученные по временным интервалам длительностью Tau(i), число интервалов, использованных для вычисления среднего значения нормированного размаха \textit{R/S} при данном Tau(i). значение показателя Херста, полученное по всем векторам dTau. RS Входные переменные

Flag - переменная, принимающая значения: 0 -включение режима визуализации исходных данных (lo g2(mean(Rs))), используемых для построения регрессии, диапазона равного 2*std(log2(mean(Rs))). результатов их линейной аппроксимации и доверительных 95% интервалов линейной регрессии. 1 -отключение режима визуализации

x - вектор, содержащий значения временного ряда Lmin - минимальная длина временного окна, используемого для вычисления оценки показателя

Херста

Ln^ - максимальная длина временного окна, используемого для вычисления оценки показателя Херста

Выходные переменные

dTau - вектор, содержащий значения логарифма длительностей временных интервалы, по которым были получены оценки \textit{R/S}

RS - вектор, содержащий оценки среднего значения \textit{R/S}, полученные по временным интервалам длительностью Tau(i).

i= Lmin:dL:Lmax - номер временного интервала Ni - вектор, содержащий число интервалов, использованных для вычисления среднего значения нормированного размаха \textit{R/S} при данном Tau(i)

H - значение показателя Херста, полученное по всем векторам dTau. RS

m=1; инициализация счетчика номера текущего окна for i=Lmin:dL:Lmax

k=1; инициализация счетчик членов временного ряд в текущем временном окне while (k+1 )*i<=length(x) Tmp=x((k-1)*i+1:k*i);

stdTmp=std(Tmp); вычисление в текущем временном окне математического ожидания анализируемого временного ряда

meanTmp=mean(Tmp);

cumsumTmp=cumsum(Tmp-meanTmp); вычисление в текущем временном окне накопленной суммы анализируемого временного ряда

R=max(cumsumTmp)-min(cumsumTmp); вычисление в текущем временном окне размаха анализируемого временного ряда

Rs(k)=\textit{R/S}tdTmp; вычисление в текущем временном окне нормированного размаха \textit{R/S} k=k+1; end

dTau(m)=log2(i); вычисление логарифма размера текущего окна

RS(m)=log2(mean(Rs)); вычисление логарифма среднего значения

нормированного размаха \textit{R/S}, вычисляемого по ансамблю средних значений на временных интервалах, длительностью i StdLog(m)=std(log2(Rs));

Ni(m)=k-1; фиксация числа интервалов, использованных для вычисления среднего значения нормированного размаха \textit{R/S} при данном Tau(i) m=m+1; end

вычисление углового коэффициента прямой методом наименьших квадратов [p S]=polyfit(dTau,RS,1); h=p(1);

if Flag== 1 визуализация исходных данных (log2(mean(Rs))), используемых для построения регрессии, диапазона равного 2*std(log2(mean(Rs))), результатов их линейной аппроксимации и доверительные 95% интервалы линейной регрессии

[fit delta] = polyval(p,dTau,S) ;визуализация зависимости log2(\textit{R/S})=f(log2(dTau)) plot(dTau,RS,'o'); hold on

errorbar(dTau,RS,StdLog,'o') plot(dTau, fit, 'r')

plot(dTau,fit-2*delta,'m--',dTau,fit+2*delta,'m--') end

Библиография

[1] B.B. Mandelbront & J.W. Van Ness. Fractional Brownian Motions, Fractional Noise and Applications // SIAM Review, Vol. 10, №2 4, 1968. P. 422-437.

[2] Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // Доклады Академии наук СССР, 1940. Т. 26, № 1, с. 115-118.

[3] R. Crownover, Introduction to Fractals and Chaos, Jones & Barlett Publishers, 1995. 306 с.

[4] H. E. Hurst, Long-term storage capacity of reservoirs // Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1951, Vol. 116, Issue 1, p. 770-799

[5] E. Peters, Chaos and Order in the Capital Markets: A New View of Cycles, Prices, and Market Volatility John Wiley & Sons, 1996. 288 с.

[6] Зиненко А.В. R/S-анализ на фондовом рынке // Бизнес-информатика. 2012. № 3(21). С. 24 -30.

[7] Шелухин О.И. Самоподобие и фракталы: телекоммуникационные приложения, О.И. Шелухин, А.В. Осин, С.М. Смольский, М: Физматлит, 2008. 368 c.

Peculiarities of estimating the Hurst exponent of classical Brownian motion, using the R/S

Analysis

S. Porshnev, E. Solomaha, O. Ponomareva

Abstract— The features of Hurst exponent H of the classical Brownian motion trajectory calculated by the R/S-analysis has been studied, where R is a range of a cumulative deviations of the chosen fragment of the trajectory within the time interval

IL ■ , Lm„„ I (from the mathematical aspect - time series

min' max j v *

(TS)), S is a mathematical expectation of the fragment of the analyzed TS. Due to the fact that while calculating the estimates of Hurst Exponent H of the analyzed TS using the R/S analysis, it is required to set up parameters values L , L the

n 1 1 min' max

i

assumption was made on the effect of these parameters on the estimate of Hurst Exponent H. During the confirmation of the suggested hypothesis it was found that the estimates of the Hurst exponent H coincided with the accuracy up to the calculations error with the original Hurst Exponent of the classical Brownian motion equal to 0.5, only for the particular

pairs of values L mink, L maxk , k = 1, 2,.... It is shown that on the plane ( L , L ) pairs of the values L , , L ,

1 \ min > ma^^ min k > max k

are located along the line Lmax = 7.202Lmin +1.560. When the arbitrary choice of the R/S method parameters ensures L ^ L , , k, L ^ L , , Hurst exponent

min mink > max maxk '

varies in the span [0.25; 1.12].

The observed characteristic feature of the estimates of Hurst Exponent H by the R/S analysis of the classical Brownian motion makes it possible to suggest similar features of the estimates of Hurst Exponent H by the R/S analysis of the Fractional Brownian motion, if the suggestion proves to be true, it will be necessary to conduct a critical analysis of the results of a great number of publications where the authors used an R/S method.

Key words— Hurst exponent, R/S Analysis, Brownian motion, fractal Brownian motion.

References

[1]B.B. Mandelbront & J.W. Van Ness. Fractional Brownian Motions, Fractional Noise and Applications // SIAM Review, Vol. 10, № 4, 1968. P. 422-437.

[2] Kolmogorov A.N. Spiral' Vinera i nekotorye drugie interesnye krivye v gil'bertovom prostranstve Doklady Akademii nauk SSSR, 1940. T. 26, № 1, c. 115-118. (in Russian)

[3]R. Crownover, Introduction to Fractals and Chaos, Jones & Barlett Publishers, 1995. 306 c.

[4] H. E. Hurst, Long-term storage capacity of reservoirs // Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1951, Vol. 116, Issue 1, p. 770799

[5]E. Peters, Chaos and Order in the Capital Markets: A New View of Cycles, Prices, and Market Volatility John Wiley & Sons, 1996. 288 c.

[6]Zinenko A.V. R/S-analiz na fondovom rynke / /Biznes-informatika, Zinenko A.V. R/S-analiz na fondovom rynke / /Biznes-informatika, 2012. № 3(21). C. 24 -30. (in Russian)

[7] SHeluhin O.I. Samopodobie i fraktaly: telekommunikacionnye prilozheniya, O.I. SHeluhin, A.V. Osin, S.M. Smol'skij, M: Fizmatlit, 2008. 368 c. (in Russian)