CC BY
147
Л.О. КИРИЧЕНКО, канд техн наук, доц ХНУРЭ (г. Харьков
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОЦЕНОК ПОКАЗАТЕЛЯ ХЕРСТА
Проведен численный анализ статистических характеристик оценок показателя Херста для самоподобныжременныфядоэ полученныхразличнымшетодами Показано что оценки имеют нормальноераслределендесредние значения которого значительносмещены относительно оцениваемогалараметраСредниезначения'1 средниеквадратическиетклоненияоценокзависят отзначениялараметрж методаоцениванияИл.: 1.Табл: З.Библиогр: 12назв
Ключевыесловапоказател|Херстдоценкапоказател£(ерстдсамоподобныЛременноРряд.
Постановкап роблемьи анализ литературы Задачи современной нелинейной физики радиоэлектроники теории управление обработки изображений требуют разработки и применения новых математических моделей методов и алгоритмического обеспечения анализа данных В настоя щевремясталообщепризнанныц/нтомногиестохастическидароцессы в природеи т ехнике обладаютдолгосрочнойзависимостьки ф рактальной структурой Наиболее адекватным математическим аппаратом для исследованиэдинамики и структуры таких рядов является фрактальный анализ особоезначен некоторого состоите том, что он учитываетповедение систем ьне только в периодизмеренийно и его предысторию
СтохастическиСлроцессХ(0 являетсютатистическизамоподобныдоесли процесса нХ(аО обладаетемиже статистическимикаракгеристикамвторого порядкд что и Х(Г). Долгосрочная зависимость означает медленное (гиперболической убывание во времени автокорреляционнойфункции случайного процесса Параметр Н, называемый параметром Херстд представляесобой меру самоподобия« ли меру длительностщолгосрочной зависимости стохастического процесса Значение Н = 0,5 указывает на отсутствиедолгосрочнойзависимостиЧем ближе значение?-/ к 1, тем выше степеньустойчивосткдолгосрочнойвависимости
При значениях0,5</7< 1 временноСряддемонстрируеперсистентное (трендоустойчивф поведение Т.е, если ряд возрастает (убывае} в предыдущий!ериод то с вероятностыртем большей чем показател(Херста больше0,5, он будет сохранятьэту тенденциютакоеже времяв будущем Значением = 0,5указываеиа независимост^отсутствиекакой-либопамятио прошло^ значенийвременногфяда ЧемближеН к 0,5,темболеезашумлен ряд и т ем менее выражене го тренд Диапазон 0 <Н < 0,5 соответствует антиперсистентнылрядам еслисистемадемонстрируероств предыдущий период то с вероятностыртем большей чем показател|ХерстаменьшеО,5, в следующемюриоданачнетсязпад
Таким образом очевиднр что оценивание показателя Херста по экспериментальньнуцанным играет важнейшую рольв изучениип роцессор обладающихсвойствами самоподобия Для оценки параметраХерста по временномуряду существуетмножествометодор достаточнсл олный обзор которых представлен в [1,2]. Все рассмотренные методы обладают определеннымшедостаткамиВ частности все оценки показателяХерста являются: мещеннымислучайнымивеличинами(см., например[3 - 5]). В некоторых работахрассмотренвопросо законе распределенияценокН и показано численноили аналитически что они являютсянормальнымицля конкретного метода или конкретных значений! оказателяХерста [3, 5, 6]. Однако внастоящеаремяпрактическинетобзорногсисследования'де были бы обобщеньрезультатьоцениванияюказателЖерсга/-/ разнымиметодами и дан сравнительныйанализстатистически>свойствоценок Представленная работая вляетсяпопыткой такого исследованищля наиболеепопулярных методовоценивания
Целью данной работыявляетсявычислениепоказателяХерста/-/ по модельным фрактальным временным рядам и сравнительный анализ статистическиххарактеристикоценок полученныхразличнымиметодамиВ работеисследованьследующиеметодыопределениэтараметр&ерста Я/Б-анал из (метод нормированного размах^ [3,6,7], изменение во времени дисперсии агрегированногоряда [4, 7], расчете помощью вейвлетанализа [5, 8, 9] и определение ндексафрактальностк[10]. В качествемодельного случайного процессу обладающего^ рактальнымювойствами был выбран процесофрактальногброуновскогсдвижения
Метод нормированногсразмаха При исследовани|Л?/8-статистики
М/ \
временногоряда х(0 длинойт о пределяетсяэтношение ——, где Я?(т) -
3(/)
размах кумулятивного ряда хсит(#Д), 5(т) - среднее квадратическое отклоненив1Сходногоряда
Для самоподобногспроцессаэто отношениепри большихзначенияхг обладаеследующейсарактеристикой
н/3_ тахр^М))- т1п(хсцт(М))
(1)
где с- некотораяюстояннажеличина
Г рафик зависимости от т в логарифмическоммасштабёо удет
представлять собой прямую линию* аппроксимированную методом наименьших« вадратов Оценка показателе вычисляетсжак тангенс угла
наклонапрямойзависимостИод^|у от log(t).
Метод изменениздисперсшагрегированнопряда Под агрегациейпо шкалевремениз параметром^ понимаетсяпереход< такому процессу
■| кт
что =— е xi ■ Для афегированных временных серий х(т)
^i=km т+1
самоподобногопроцессадисперсия! ри больших значениям подчиняется следующейформуле
Уаг(х{т])~]/Щ^-. (3)
пг
В этом случаепараметрсамоподобия/7 = 1 - — можно определит^если
сгенерироватьагрегированныйпроцесс на разных уровнях агрегациит и вычислитьдисперсикдля каждого уровня Г рафикзависимости1од(\/аг(х(т))) от log(m) будетпредсгавлятвобойпрямуюлиниюс наклоном равным-р
Метод с использованиекдискретноговейвлечпреобразованияВ
этомслучаеоценкупоказателяКерстаможнонайтипоскоростиростасредних
значенийшадратоа/юдулегёейвлетеоэффициентов
1 WW, ,2
■ т Здесь cf - коэффициенты ортогонального дискретного вейвлет
преобразованижыборочногосамоподобноговременногорядд к - номер уровнядетальностивейвлефазложенияЛ/(/ф -числовейвлетеоэффициентов науровнедетальностЛ. Тогдд выполняется
W(k)~4H+\ (5)
где sk - характерный временной масштаб уровня детальности. Таким образом значениекоэффициентанаклонап рямой графиказависимостИ/И(/с) от sk в логарифмическомасштабедаетоценкудлявеличины2/-/ + 1.
Метод расчетаиндексафрактальностюременногсряда В данном методевводитсфавномерноразбиенижременногфядана ингерваль^м. i]
и рассматриваетсяиинимальное по площади покрытие графика ряда прямоугольниками: основание^ и высотойД(б), котораяравняеторазности между максимальный! минимальнымзначениямфядана интервале^, i]-
ГГ)
Длявеличины\/(с1) = е A(d) при d® 0 выполняетсжоотношение
/=1
y(d)~d"m, (6)
где р = D- 1.
Показателе называетсяпндексомфрактальности связано показателем Херста соотношение^ = 1 -|j. Для численногоопределений/ необходимо построить зависимость log V(d) от logd и о пределитци к ак тангенс угла наклонапрямой
ФрактальнойроуновскоявижениеВ качествеслучайногопроцессд обладающегсфрактал ьнымювойствами часто рассматриваетсфрактал ьное броуновскоедвижение(ФБД), котороенашлоширокоеприменение физике химии, биологии экономикеи теориисетевогографика
Гауссовский процесс X(t) называется фрактальным броуновским движением: параметром/-/, О <Н< 1,еслиприращенияэтучайногопроцесса DX(t) = X(t +1) - X(t) имеютгауссовскофаспределенквида
1 x й т2 Щ
P(DX < x) = ' Чт Ехд<- —mffe, (7)
V2ps0t .f fi 2sgt
где s о - коэффициендиффузии
ФБД с параметром/-/= 0,5 совпадаете классическим броуновским движением ПриращенияФБД называютсуфрактальнымауссовскимшумом, ДИСПерСИЖОТОрОГОПОДЧИНЯеТС5СООТНОШеНИК)0[Х(/- t) - X(tj\ = sfit2H.
СуществуетнесколькометодовпостроенияФБД для случаядискретного времени Одним из наиболее используемых на практике является метод последовательногослучайного сложения Фосса Метод включает в себя следующит ошаговый алгоритм [3]. Исходные значениякоординатХ^,) в моменты времен^,- = 0, 1/2, 1 равны нулю. На первом шагек значениям координатХ^), X (¿f, X(3jl прибавляются лучайныечиелд выбранныеиз
нормальногфаспределениа нулевымереднип/и начальнойцисперсией^.,2. Средние значения времени на каждом интервале рассматриваются^ дополнительныузлы на оси времен^ значенижоординате них оцениваются интерполяциейНаследующемиагеко всемкоордината^О, (/,- = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1) прибавляются лучайныечислас нулевым средним значением
s 2
уменьшеннойдисперсиейЗп = —wtt■ Нал-ом шагеалгоритмамы получаем
4 2 ¿н
значения реализации ФБД для 1+2! значений времениДисперсия
2 ЭГ., Эл
слагаемых}-го поколенияравна = -ф^- = ^2Нп . Процесс предложенный
Фоссом приводит к обобщенному броуновскому движению при любом разрешении
ПринципиальнсдругимподходомявляетсяюстроениеФБД с помощью биортогональны>вейвлетоЕ[11]. В этом случаепостроениереализаций&БД осуществляется с помощью дискретного вейвлетреобразован^я где детализирующиевейвлежоэффициентына каждом уровне детальности являются независимыми нормально распределенными случайными величинами а аппроксимирующие вейвлетеоэффициенты получены с помощью фрактальногопроцесса авторегрессиии скользящего среднего РАЮМА. Первоначальнопредложенный алгоритм в котором искомая реализациясодержаласлишком много высокочастотных компонент был усовершенствовав 2003 г. [12]. Программнафеализацищанногоалгоритма доступнав математическомакетеМаШЬаЬ.начинаяс 7 версии
Результаты исследований В работе представлены результаты численного экспериментэ в ходе которого моделировалосьфрактальное броуновское движение с заданным показателем Н двумя описанными методами Значений-/ для модельногсряда изменялисьво всем возможном диапазон^) <Н< 1.Дляполученногсвременногфядарассчитываласвценка
Н вышеописанным1ллетодами/^/3-а<апиза(/^г8), дисперсииагрегированного
ряда (А/), с помощьюдискретноговейвлетлреобразовани5$/4и/) и индекса
фрактальностк(/т(т^. Для каждого значенияпоказател5Н были получены выборкиегооценоки исследованиях статистическиесарактеристики
На рисунке показаназависимостьсреднихзначенийоценки показателя Херста от его истинного значения Вычислениесредних значений/-/ было проведенодля модельных}) рактальны>рядов различнойдлины Численное моделированивоказалрчтосмещенишезависитот длинывременногфяда Сплошная прямая соответствуетзаданным значениям Н. Очевиднр что оценки полученныекаждымиз методорявляютсждвинутымкв зависимости от действительногсвначенияпоказателяХерста Средниезначенияоценок достаточно хорошо можно аппроксимировать прямыми линиями
Ат=ктН+Ьт, где коэффициент^ т и Ь т можно легко определитщля
каждоговыбранногсметодат
В работеисследованаависимостьсреднихк вадратическиютклонений оценок показателяХерста от заданных значений/-/ и длины модельного фрактальногсряда для каждого метода В табл 1 представленьвначения среднихквадратических)тклоненийоценокпоказател$Херстд которыебыли получены для рядов данных длиной 1024 значения Значения Н для модельногфядаизменялисюо всемвозможномциапазонеО <Н< 1.
Рис Зависимоствредниюначениймденокот действ «тел ьнылначений Н
Таблица^
СредниеквадратическиетклоненияэценокН
Методоценивания ДиапазонЗ^ Зависимосгвт Н
Я/5енализ 0,03Л 5^ 3 0,08 Воз раста еъместес Н
Изменениедисперсии » 0,06 Независитот Н
Индексфракгальности 0,02 и 5^ и 0,08 Воз раста евместес Н
Вейвлетанапиз »0,06 Независитот Н
Табл 2 иллюстрируе,т как уменьшаются средние квадратические отклонение п олученныепри расчете А при увеличениедпины ряда Длина ряда показаннаш верхнейстрокетаблицу изменяласкак Т, где 7 £ к £11. В данномслучаемодельныйюказател(Херста Н= 0,8
Таблице2
Зависимоспереднихквадратическихгткпонений Н от длиныряда
128 256 512 1024 2048
^Ниг 0,19 0,14 0,10 0,08 0,05
^Н/в 0,13 0,10 0,08 0,06 0,05
$Нти 0,11 0,09 0,08 0,07 0,05
Эн* 0,09 0,07 0,06 0,05 0,04
В работебылиисследованьааконыраспределенивценок /4 . Для всех рассмотренных методов была выдвинута гипотеза о нормальном распределенигеыборочных значений оценок с параметрами N{14,8^). Практическидлявсехвыборочныхданныхгипотезабылапринятас уровнем значимости = 0,05по несколькил/критериямсогласия
Одним из интересны* но слабоизученных вопросов оценивания параметрЖерстд являетсжопросо корреляционнойсвязимежду оценкам^ полученными разными методами Численный анализ корреляционной зависимости между оценками параметра Херста показа^ что для всех рассмотренныхслучаер кроме корреляции с оценками полученными с помощью вейвлетпреобразован^явыборочныекоэффициенты орреляции оказались значимыми В табл 3 представлены диапазоны значений выборочногскоэффициентаорреляции
ТаблицйЗ
Выборочныйкоэффициенторреляцикмеждуоценками/-/
Методь| которымиполученыоценки Выборочныйгаэффициент корреляции*
RS-анализ и изменениедисперсии 0,3 J г J 0,7
/?8-аналиэ1 индексфрактапьности -0,6J г J -0,3
Изм. дисперсиш индексфрактальности - 0,7 J г J - 0,3
Вейвлетанализ'1 другие методы Являетсяюзначимым
ВыводыОбобща5результатьнисленногоисследованцяможно сделать вывод что оценки показателяХерстд которые получены рассмотренными методами являютсянормальнораспределеннымвлучайнымивеличинами Средниезначенияоценокзначительноодвинутыотносительнооцениваемого параметраХерста Сдвиг среднего значения зависит от действительного значений-/ и методаоценивани? эту зависимостьможно аппроксимировать прямой Средние квадратические отклонения оценок также зависят от истинногозначенияпараметраКерстаоцениваемогвременногфяда иметода оценивания! уменьшаются: ростомдлиныряда Таким образом длякаждого метода можно найти доверительныеинтервалы оцениваемого значения показателяХерста Исходя из результатовкорреляционногоанализр для увеличенияточности оценкиН н адо использоватьсреднееа рифметическое исправленныхнесмещенныхоценок п олученных несколькими методами однимиз моторыхжелательндцолженбытьметодвейвлетреобразования
Списокл итературьИ. WillingerW Bibliographical guide to self-similar traffic and performance modeling for modern high-speed network in "Stohastic networks: theory and applica§tfriMW//nger,
M.S. Taqqu, A.A. Erramilli: Editors F.P. Kelly, S. Zachary, I. ZiedmBxford: Claredon Press (Oxford University Press), 1996. - 384 Clegg R.G.A practical guide to measuring the hurst parameter / R.G. Cleg&l Computing science technical report. - 200CIS-GS-TR-916. -P. 125-1383. ФедерЕ.
Фракталы /Е. Федер - М.: Мир, 1991. - 254. 4 . ШелухинО.И. Самоподоби® фракталы / О.И. Шелухин, А.В Осин С.М. СмольскиШ Под ред О.И. Шелухина - М.: ФИЗМАТЛИТ 2008.
- 368с. 5. Abry P. Wavelet analysis of long-range dependent traffft Abry, D. Veitch/I IEEE/ACM Transactions Information Theory. - 1998№-1 (44). -P. 2-15.6. ПетерсЭ. Фрактальныйанализ финансовыхрынков Применениегеориихаосав инвестициям экономике/ Э. Петерс - М.: Интернеттрейдинс 2004. - 304;. 7. СтолпингВ. Современные компьютерные сети IB Стопинге- С.Пб.: Питер 2003. - 784:. 8. МаллаС. Вэйвлетьво бработкесигналов/
С. Малла - М.: Мир, 2005. - 671 с9. Abry P. Self-similarity and long-range dependence through the wavelet lens/ P. Abry, P. Flandrin, M.S. Taqqu, D. Ve/M)Theory and applications of long-range dependence: Bir&user, 2003. -P. 527-556.10. ДубовикоёА.М. Размерностьминимального покрытиям локальный анализ фрактальныхвременныхрядов / М.М. ДубовикорА.В. Крянед Н.ВСтарченкс/1 Вестник РУДН. - 2004. -Т. 3. -№ 1. -С. 81-95.11. Abry P. The wavelet-based synthesis for the fractional Brownian motion proposed by F. Sellan and Y. Meyer: Remarks and fast implementation P.Abry, F. Sellaril Appl. and Comp. Harmonic Anal. - 1996. - V. 3 (4p.-377-383.
12. Bardet J.-M.Generators of long-range dependence processes: a survey,"Theory and applications of long-range dependence"JL-M. Bardet, G. Lang, G. Oppenheim, A. Philippe, S. Stoev, M.S. Taqqu // Theory and applications of long-range dependence: Biddr, 2003. -P. 579-623.
УДК 519.2
Порівняльний аналіз статистичних властивостей оцінок показника Херста / Кіріченко Л.О. II Вісник НТУ "ХПІ". Тематичними пуск Інформатика моделювання-Харків:
НТУ "ХПІ".-2010.-№21.-С. 88 -95.
Проведеношсе льнийана ліз статистичниххарактеристикоцінок показника Херста для самоподібних часових рядщ отриманих різними методами Показано що оцінки мають норма льни ¡розподіл середнізначенняякого значнозміщені щодооцінюваногопараметраЗсув залежить від дійсного значення параметра й методу оцінювання цю залежність можна апроксимуватипрямою Середніквадратическижідхиленняоцінок також залежатшід значення параметра« методуоцінюванняіл.: І.Табл: З.Библиогр: 12назв
КлючовісловапоказникХерстд оцінка показникаХерстд самоподібнийнасовийряд.
UDC 519.2
Comparative analysis of the statistical properties of Hurst parameter estimators / Kirichenko L.O. //Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 201(№r21. - P. 88 - 95.
The aim of this paper is estimation of Hurst parameter by different methods and comparative analysis of the statistical properties of estimators. Based on the results of numerical experiment, we can conclude that all estimating Hurst have a normal distribution, the mean is significantly shifted on the estimated parameter. The shift of mean depends on the value of Hurst parameter and the method of estimation. The standard deviations of the estimators also depend on the value of Hurst parameter and the method of estimation. Figs: 1. Tabs: 3. Refs: 12 titles.
Key wordsHurst parameter, estimator of Hurst parameter, self-similar time series.
Поступилавредакцик27.10.2009
