Статистична модель задачі розподілу ресурсів Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 004.451(86) Доц. О.О. Коваленко, канд. фiз.-мат наук -

Львiвський Д1НТУ ím. В. Чорновола

СТАТИСТИЧНА МОДЕЛЬ ЗАДАЧ1 РОЗПОД1ЛУ РЕСУРС1В

Розглянуто статистичну модель задачi розподiлу pecypciB, у якш математичне формулювання мае вигляд однощльово! задачi лiнiйного програмування. Цшьова фyнкцiя задачi залежить вiд деяких сталих цiн на виготовлену одиницю продукцп, яка реалiзyеться виробником на ринку у деякий момент часу. Оскшьки задача розпо-дiлy ресурсов обчислюе план роботи пiдприемства, то реалiзацiя цього плану здш-снюеться протягом деякого часового перiодy, у процес якого оптовi цiни реал^зацп продукцп можуть стати неактуальними на ринку товаровиробниюв.

Assist. prof. O.O. Kovalenko - L'viv state institute of the newest technologies

and management after V. Chornovola

The statistical model of the task of resources distribution

The statistical model of the task of resources distribution, in which mathematical formulation has the appearance of single-purpose task of the linear programming is considered. The objective function of task depends on some permanent prices on the made unit of products which will be realized a producer on a market in some moment of time. As a task of division of resources calculates the plan of work of enterprise, realization of this plan is carried out during some sentinel period in the process of which the wholesale prices of realization of products can become irrelevant on the market of commodity producers.

Класична задача про використання ресуршв [1] у дослщженш опера-цш мае таку математичну модель. Нехай на випуск п вид1в продукцп Л1; Л2, ..., Пп витрачаеться т вид1в сировини С1, С2,..., Ст. В1дом1 витрати atj ресур-Ыв i-го виду, обсяг bt ресурЫв i-го виду i величина прибутку Sj вщ реашзацп одинищ продукцп j-го виду. Необхщно так оргашзувати випуск продукцп, виходячи з наявних ресуршв, щоб одержати найбшьший прибуток. Вихщщ дат задачi запишемо у наступнш таблищ:

Табл. 1. Зведена таблиця коефщьептьв математично'1 модель

Види Види продукцп Запаси

ресурс1в Л1 П2 Л Пп ресуршв

С1 С2 an a21 a12 a22 ay a2j a1n a2n bi Ь2

2 añ at2 2 atn 22

с am1 am2 amj amn bm

Прибуток в1д одинищ продукцп S1 S2 Sj sn

Випуск продукцп x1 x2 xj xn

Обсяги випуску продукцп П1 Л2,..., Пп позначимо як х1, x2, ..., xn. Таким чином, керованi параметри математичноi моделi виробництва формашзу-ються у виглядi вектора X = (хь x2, ..., xn), а параметри, що характеризують стан виробництва, у виглядi векторiв В = (b1, b2, ..., bm) - характеристика ре-сурсних обмежень; S = (s1, s2, ..., sn) - характеристика прибутку вщ одиницi

Науковий вк'ник, 2008, вип. 18.1

продукцй кожного виду та матрицi A = [aij]mn - технологiчна матриця випус-ку продукцй з використання ресурЫв.

Побудуемо цiльовy фyнкцiю як формашзацш мети виробництва - от-римання максимального прибутку вщ виготовлення продукцй. Цiльова фун-кцiя, яку позначимо F(X, S), буде мати наступний вигляд:

F(X, S) = s1-x1 + s2-x2 + ... + sn-xn ^ max. (1)

Побудуемо область обмежень ресурсних обмежень Q, якш повиннi належати плани (вектори) Х. Ця область е множиною вeктоpiв Х, cкладовi якого xi, i = 1, 2, ..., n, повиннi задовольняти ресурсним обмеженням вектора В вщповщно з технолопею виробництва, що характеризуеться технолопч-ною матрицею виробництва продукци А. Область допустимих (можливих) платв виробництва Q е множиною вeктоpiв Х, cкладовi яких повиннi задовольняти cиcтeмi нepiвноcтeй:

' апxi + ai2x2 + ... + ainxn ^ b1 a21 x1 + a22x2 + - + a2nxn ^ b2 (2)

amix1 + am2x2 + ••• + amnxn ^ bm

Виходячи з eкономiчного змicтy модел^ об'еми Xj випуску продукцй П| можуть набувати лише нeвiд,емних значень:

Xi > 0, x2 > 0, ..., xn > 0. (3)

Таким чином, задача про використання ресурЫв у pозглянyтiй поста-новцi мае наступне математичне формулювання:

F(X, S) = s1-x1 + s2-x2 + ... + sn-xn ^ max

' anx1 + a12x2 + ... + a1nxn ^ b1 a21 x1 + a22x2 + ... + a2nxn ^ b2 ( 1)

(модель 1).

а 1 х1 + а 2х2 + ... + а х < Ь

__ ш1 1 т2 2 тп п — т

х\ > 0, х2 > 0, ..., хп > 0

Таке математичне формулювання мае вигляд одноцшьово! задачi ль нiйного програмування. Цiльовою функцiею е функщя (1), яка залежить вщ деяких сталих цiн на виготовлену одиницю деяко! продукцй, що реалiзуеться виробником на ринку у деякий момент часу. Оскшьки задача розподшу ре-сурсiв обчислюе план роботи тдприемства, то реалiзацiя цього плану здш-снюеться протягом деякого часового перюду, у процесi якого оптовi цiни реаль зацй продукцй, закладет у модель 1, можуть стати неактуальними на ринку.

На кожному пiдприемствi ведуть статистичну звiтнiсть свое! дiяльнос-тi, де наведено як дат з прибутковост цього тдприемства, так i об'еми реаль зацй кожно! продукцй. Такi данi можна навести у табл. 2, яка повинна слугу-вати основою для побудови функцй регресй, яка вказуе залежнiсть мiж при-бутком тдприемства як показником регресй i об'емами реалiзацil кожно! ви-роблено! продукцй, як чинниками регресй [2].

5. 1нформацшш технологи галузi

253

Цю статистику © можна записати у виглядi наступно! табл. 2, яку одержала внаслщок т спостережень за параметрами Р, П\, П2, ..., Пп деяко! шдприемства.

_Табл. 2. Зведена таблиця коефщieнтiв математичнен модел1_

Показник Р С зактори

П\ П2 Пп

К х\(\) (2) хг ; (п) хг ;

.2 х2(\) г (2) г (") Х2

.fm х (1) лт лт г (") лт

У багатьох випадках при аналiзi економжо-сощальних систем вплив на деякий параметр - показник системи здшснюють деюлька чинниюв, тобто необхщно розглядати кореляцiйну залежнiсть показника У вщ деяко! множи-ни чинниюв П\, П2,..., Пп

Р = ЛП\, П2,..., Пп) + Е, де: Е - стохастична складова кореляцшно! моделi. Найпростiшим виглядом залежност / е 11 лiнiйна специфжащя.

Р = Со + с\П\ + С2П2 + ... + спПп + Е. (3)

Або у матричному виглядi

р = ПхС + Е, (4)

де: П - матриця значень чинниюв П\, П2, ..., Пп; Р - матриця значень показника Р, отриманих у статистицi ©, С - вектор коефщенлв множинно! ль ншно! регреси (3).

Ц матрицi мають такий вигляд

Г f\ ]

Р = f2 , П=

V fm у

X

X

... X

(п)'

X'

(\) Х(2)

... X

(п)

•<■> т ...x(п)

т у

стовпець з одиниць включено у матрицю П для отримання вшьного члена при матричному множенню.

Вектор С е вектором невщомих коефщент1в економетрично! моделi (4), а вектор Е - вектором залишюв ще! економетрично! моделi, якi мають ви-падковий характер.

гС \

С =

V Сп J

Г „ \

Е =

р

V т

У покоординатному виглядi модель буде мати такий вигляд

Науковий вкчшк', 2008, вип. 18.1

f = Со + ед(1) + С2*/2) + ... + сл(и) + £Ù i = 1,2, ..., m. (5)

Для розрахунку оцшок коефщенлв багатофакторно1' лiнiйноï регре-сiйноï моделi

f = С0 + С1 x/1} + С2x/2) + ... + cnxi-n\ i = 1,2, ..., m, (6)

де

Y =

' У л

y2

V У m y

t-r

С =

V cn y

застосуемо метод найменших квадратiв, звiдки одержимо формулу для розрахунку параметрiв С у матричному виглядi

С = (XT-X)-1-XT-Y, (7)

T 1 т

де: (X -X)' - матриця, обернена до добутку матриць X ■X.

Рiвняння (6) використаемо у моделi 1 як цiльову функцiю i одержимо модель 2 задачi оптимального використання ресурЫв.

F(X, СС) = С0+ <31-x1 + С2 -x2 + ... + Сп •xn ^ max

' аиx1 + a12x2 + ... + a\nxn ^ b1 a21 x1 + a22x2 + - + a2nxn ^ b2 ( 2)

(модель 2).

, am1 x1 + a 2x2 + - + amnxn ^ bm

х1 > 0, x2 > 0, ..., xn > 0 Розв'язок такоï моделi буде обчислювати оптимальний план використання ресурЫв пiдприемства з врахуванням динамiки оптових щн на ринку, яка склалася пiд час реалiзацiï такоï продукци.

Л1тература

1. Вагнер Г. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1972.

2. Назаренко О.М. Основи економетрики.- К.: Центр навч. лгг-ри, 2005. - 392 с.

УДК 621.86.017.4 Проф. €.В. Харченко, д-р техн. наук - НУ "RbeiecbKa полтехшка"; ст. викл. С. Собковсм, магктр -Вармтсько-Мазурський умверситет вм. Ольштим, Польща; студ. Ю.€. Носов -

НУ "Львiвська nолiтехнiка", Украта

ДИНАМ1КА ШДШМАЛЬНОГО ПРИСТРОЮ З РОЗМ1ЩЕНИМ У КАРЕТЦ1 ПРИВОДОМ I ПРОТИВАГОЮ

Розглянуто результати математичного моделювання процеав пуску будiвель-ного тдшмального пристрою з приводом, змонтованим у каретщ. Аналiз динамiч-

5. Тнформацшш технологи галузi

255