Статистический синтез и анализ гибридного алгоритма определения координат источника радиоизлучения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиолокационные системы

УДК 621.396.96

Статистический синтез и анализ гибридного алгоритма определения координат источника радиоизлучения

Паршин Ю.Н., Лыонг Ч.В. Аннотация: Разработан гибридный алгоритм TDOA+AOA определения координат объектов, несущих источники радиоизлучения, с использованием метода статистических оценок для получения оптимальной оценки координат объекта. Проведен сравнительный анализ эффективности оценок, полученных синтезироваными алгоритмами при различных априорных данных, а также эффективных оценок координат, обеспечивающих потенциальную точность измерения.

Ключевые слова: источник радиоизлучения, статистическая оценка, потенциальная точность, априорная информация.

Statistical synthesis and analysis of a hybrid algorithm for determining the coordinates of the sources of the radio emission

Parshin Y.N., Luong T.V.

Abstract: The development of the hybrid TDOA+AOA algorithm for determining the coordinates of the objects, which carry sources of the radio emission, using the statistical estimates to obtain the optimal estimate coordinates of the object. A comparative analysis of the efficiency estimates with the obtained algorithms when the prior data are different and effective evaluation of the coordinates of potential accuracy measurements.

Key words: radio source, statistical estimates, potential accuracy, priori information.

Введение

Для определения местоположения объекта, являющегося носителем источника радиоизлучения, в пассивной радиолокации используются методы, основанные на измерении разностей расстояний - гиперболический или TDOA (Time Difference of Arrival), разностей допле-ровских сдвигов частот - разностно-доплеровский или FDOA (Frequency Difference of Arrival), времени распространения радиосигналов - дальномерный или TOA (Time of Arrival), угла прихода - триангуляционный или AOA (Angle of Arrival). Каждый метод обладает своими преимуществами при определенных условиях измерений. Для достижения более высокой точности определения местоположения объекта используется комбинация двух или более из этих методов. Гибридный метод TDOA+АОА позволяет использовать достоинства методов TDOA и АОА такие, как высокая

точность измерения расстояния, уменьшение количества пунктов приема [1-5]. Недостатком известных работ является необходимость априорной информации о параметрах движения объекта для получения оптимальной оценки его координат. Для устранения этого недостатка используется предварительная оценка координат с последующим их уточнением на втором этапе обработки.

Целью работы является повышение точности оценивания координат объекта на основе методов статистических оценок при действии случайных ошибок измерений. Проведен анализ эффективности оценок и сравнение точности полученных оценок координат с потенциальной точностью, определяемой неравенством Крамера-Рао.

Постановка задачи

Пространственное расположение объекта и пунктов приема для реализации гибридного алгоритма ТООЛ +АОА отображено на рис.1. В начале координат (0,0,0) находится 1-й

пункт приема Т1; (x2i, у2г, г2г-) - координаты 2-го пункта приема Т2, движущегося относительно 1-го пункта приема Т1; (хш, уш, ) -координаты объекта М , движущегося относительно 1-го и 2-го пунктов приема. При движении пункта приема Т2 и объекта М в каждый момент времени ^ , i = 1,...,п , где п - число измерений, измеряются величины = гг — г0г -разность расстояний между объектом М и пунктами приема Т2 и Т1, а также

L =i

x2i + y2i + z2i - расстояние между пунк-

тами приема Т и Т2. В другие моменты времени , ] = 1,...,Н < п , с помощью неподвижного пункта приема Т1 определяются угловые координаты Д,гхобъекта.

На интервале времени (0, (п) траектория движения объекта М аппроксимируется полиномом К -й степени [1]

= + Z tPap , Умг = У0 + Z 1РЬР , p=1 p=1

K

ZMi = Z0 + Z tiCp ' P=1

(1)

где х0, у0, z0 - координаты объекта в начальный момент времени (0 = 0 ; ар, Ьр, ср - па-

раметры (скорость, ускорение и т.д.) движения объекта по осям х,у, z, соответственно.

Расстояние от объекта до 2-го пункта приема равно

Г = di + r0i =

= V(xMi - x2i )2 + (yMi - y2i )2 + (zMi - Z2i )'

(2)

I 2 ! 2 ! 2" где Г0г = V ХМ + Умг + ZMг - расстояние между

объектом и 1-м пунктом приема. Возводя обе

части уравнения (2) в квадрат, получим

Гг2 = ^ + Г02 + . (3)

После подстановки выражений для Ц, г, г0г в уравнение (3) получается ТБОЛ алгоритм определения координат [3-5]

Ц — й- = 2хгхмг + 2УгУмг + 2^Мг + 2йгГ0г . (4)

Алгоритм АОА определения координат имеет вид [3-5]:

tgb j =yjML Y

xMj

tge L = ^,

r00j

(5)

L = 1,..., h,

Объединяя уравнения (4), (5), получим систему уравнений для гибридного TDOA+АОА алгоритма:

L - =

= 2 Х2гХЫг + 2 У 2гУMi + 2 Z2iZM + 2dir0i О = Хм sin fa j - Ум COS ft j (6)

0 = xMjtg£ij - ZMj COsbi j

1 = 1,...,n; j = 1,...,h,

¡ 2 ! 2 ! 2 где r0i = V xMi + Уш + Z

Mi

■Z L

L=1

У0 + Z tíbj

j=1

к ^ 'ti

■Z tj

j=1

- нелинейная функция времени. Решение нелинейной системы уравнений (6) очень сложно, поэтому используем аппроксимацию функции г0г, используя разложение в степенной ряд Тейлора £ -го порядка по переменным в окрестности точки (х0, у0, z0) [5]:

2

2

2

+

+

» s , ^ э( j Vo, »

r0, » г0,|(*0,yo,zo) + z t, j j)t ~

j-1 7 * |(^o.yo.zo) (7)

s

: ro + Z t' j=1

, «,

. 2 2 2 1 д (j)ro,

где ro -ЛXo + yo + zo , a, =- oi

-ix

j

! д (1\

* |(Xo,yo.Zo)

коэффициенты разложения.

После подстановки координат объекта М (1) и приближенной функции г01 (7) в систему уравнений (6) получим систему линейных уравнений:

L; d: - 2 Xo

K

Xo + Z t

p-1

pap

(

+ 2 У 2

yo+Z fpbp

p-1

o -

o -

( K ( S Л

+ 2z2, zo + Z tpcp + 2d, ro + Z tpap

V p-1 V p - 1 У

( K > ( K >

xo + ZtPap sinb1 j- yo+Z tpbp cosb j

V p-1 у p -1 у

(8)

.+Ztp

p-1

Л ( K

tg£i j- zo + Z fPc

j

v

p-1

cos^i j

1 = 1,...,п; у = 1,..., И . Представим систему линейных уравнений (8) в матричном виде:

т=цХ , (9)

где X = (Хо, Уо, ^о, а^..., ак, ¿1,..., Ьк , с1,..., ск, г0,а1,...,а5)Т - неизвестный 3(К +1) + S +1 -вектор, в котором х0,у0,г0,а1,...,ак,Ь1,...,Ьк, с1,...,ск,г0 - информационные параметры, а^,.., ах^ - неинформационные параметры;

т = (¿2 -л2,...,Ь2п -^п2,0,0...,0,0)Т - измеряемый п + 2И - вектор;

g -

2 У2

2z^

2 X2iti

t : Sin b

i - 1,...,n ... ... sin b1 j - cosb j o

j -1,...,h.........

tge j o - cosb j tjtge j j -1,...,h.........

1 j

2 X2,tK 2 y2,t, ... 2 y2,tK 2 Z2,t,

tK sin b, - t, cos b1, ... - j cos b, o ®

.tKtge1 j

- tj cosb,

... 2z2,tK 2d, 2d,ti ... 2d,tf

- tK cos b1, o

... o

... o

известная матрица. Пространственная структура измерений, задаваемая расположением 1-го пункта измерений, траекториями движения 2-го пункта измерений и объекта, определяет измеряемые величины Х21 , У21 , z2i, di, Ь1 у, е у и выбирается таким образом, чтобы получить матрицу ц полного ранга.

Рассмотрим источники погрешностей измерения координат объекта гибридным методом ТБОЛ+ЛОЛ. Измеренное значение разности расстояния методом ТБОЛ [2,4] равно:

d;=dl , (10) где di - точная разность расстояния в точке 1 -го измерения; Х - случайная погрешность измерения разности расстояния, которая имеет нормальное распределение N(0, а^),

<ул - дисперсия ошибки измерения разности расстояния. Измеренные значения угловых координат методом ЛОЛ равны:

ь =& у+Х&, е = е у +Х, (11)

где & у, е1 у - точные угловые координаты в точке у -го измерения; Хь, Хе - случайные

погрешности измерения угловых координат, которые имеют нормальное распределение

o

o

o

o

o

o

+

X

N(0,0-2) и N(0,0,2); о2р, 0, - дисперсии

ошибок измерения азимута и угла места объекта, соответственно.

Методы статистических оценок

Применим методы статистических оценок

для оценивания вектора X по наблюдениям (9) при наличии случайных погрешностей ,Хр],Х, для получения оптимальной оценки координат объекта.

Метод наименьших квадратов (МНК). Для получения эффективной оценки координат объекта по наблюдениям (9) применим метод наименьших квадратов [1,4]:

ЛЛ*

X = argmin

m - gX

(12)

где X* = (x*, y*, z*, a*,..., a*K, b*,..., b

г*,а*,..,а5)Т - эффективная оценка на множестве { X }. В результате решения уравнения (12) получаем оценку параметров X :

X*=У 1 §Т т. (13)

Недостатком метода наименьших квадратов является отсутствие связи алгоритма (13) со статистическими свойствами случайных ошибок и ошибок при аппроксимации функции г0г, что не позволяет получить предельную эффективность.

Метод максимального правдоподобия (МП). После постановки измеренных значений разности расстояний (10) в (2) и угловых координат (11) в (5), получим систему уравнений:

Ч +4 = Гг — Г0г

уМ]

tg (Л j+X_ )=f-

xMj

tg (e L + Xe ) = ^

r00 L

i = 1,...n; j = 1,..., h,

l2 - d2 =

= 2 X2iXMi + 2 y2iyMi + 2 Z2iZMi +

+ 2dir0i + 2X*r0i + 2Xdidi + sin j j cos + cos j j sin = yMj

cos j j cos Xj - sin Л j sin Xb

tge j + Z

= (14)

^Mj

1 - ъе Me

Mj

'00 j

i = 1,...n; j = 1,...,h.

На практике погрешность измерения параметров в пассивной радиолокации достаточно мала: погрешности измерения разности расстояния Xm £ 0,03 км, угловых координат Xj , Хе £ 0,0035 радиан. Это позволяет в уравнении (14) использовать асимптотические соотношения: Xdi » 0, sin Xj » Xj , cos Xj »1, tgXe » Xtj. В результате система

уравнений (14) записывается в приближенном виде:

L2 - df » 2x2iXMi + Zy^Mi + 2Z2iZMi + 2dir0i +

+ 2Xdlr0r + 2Xdidi sin A j +Xff Cos A j » y_ML

XMj

i = 1,.

cos Л j -Xl sin j

1]

tge1 j + xe Z

Mj

1 -XS£1 j

, n; j = 1,..., h,

'00 j

откуда следует:

L] - df » 2x2iXMi + 2УяУм + 2Z2iZMi +

+ 2dir0i +Xdi (2f0i + 2 di)

0 » xmj sin A j - yMj Cos A j + X (r0j Cos e1 j) (15)

0 » XM,tge1 j - zm, cos j1 j +x

Cos j

'0 j

Cose

откуда следует:

г = 1,...,п; ] = 1,...,Н.

Для оценивания координат объекта по наблюдаемым данным, формируемым системой уравнений (15), предложены следующие варианты алгоритмов.

Алгоритм 1. Подставляя измеренные с некоторой ошибкой данные в асимптотическое уравнение (15), получим матричное уравнение:

2

X

* *

*

c

c

K

m » gX + e,

(16)

где: e = kd,(2r0, + 2d,(r0j cose1j),...

„ cosb j j

о j

cose,.

V 1 j

,...,i = 1,...,n; j = 1,...h

(п + 2И)-мерный вектор случайных ошибок измерения разностей расстояния и угловых координат. Тогда плотность распределения вероятности гауссовского случайного вектора m в случае X = 0 имеет вид [1,2,6,7]

w

m/

X = 0 а в случае X Ф 0

= C exp| -1 mTR 1m |,

w

tx 'j=с expV - 2 (m - gXf r-i (m - gX)l,

Отношение правдоподобия равно

l(x)=

w

m/

w

m/

X = ü

i

(17)

где C = [(2p)(n+2h)/2det(R)J" коэффициент;

R = M {)0T }= diag[s2 (ro, + d, )2,...,

\2

cos p1

- постоянный

(r0 j cose! j ^ ...,

f

'0 j

J1]

cose

V - - у

1 = 1,..., п; у = 1,..., И] - диагональная корреляционная матрица ошибок измерения. Оценка максимального правдоподобия определяется уравнением

X* = [цТ я-1ц]"У я-1т . (18)

Для расчета корреляционной матрицы Я случайных величин 8 в уравнении (18) использовались точные значения г01, Д у, е1 у,

что позволило получить предельную точность определения координат объекта. В практических приложениях указанные величины неизвестны и сами подлежат измерению. Поэтому алгоритм 1 можно принять как идеальное теоретическое решение, которое

нуждается в практической доработке для обеспечения практической реализуемости. Вместе с тем результаты оценивания, полученные алгоритмом 1, полезны при проведении сравнительного анализа эффективности других алгоритмов.

Алгоритм 2. Для получения практически реализуемого алгоритма вводятся априорные сведения о параметрах, влияющих на корреляционную матрицу R . Преобразуем систему уравнений (15), выразив r0j через координаты объекта:

L2 - di » 2X2iXMi + 2У2гУмг + 2z2iZM + + 2d/oi +Xdi (2roi + 2di)

0 » xM sin pj 1 - Ум cos pj 1 + + [ (xMj cos pj 1 + Ум sin A 1 ) (19)

0» wge i- zMjcos A i +

+ [e (xMj + zMjtgej 1cos pj 1)

1 = 1,..., n; 1 = 1,..., h,

Представим систему уравнений (19) в матричном виде:

m = gX + £AX1, (20)

где X1 = [X 1f; \ = diag[[,...,[,..., [,..., i = 1,..., n; 1 = 1,..., h] - диагональная матрица гауссовской ошибки измерения разности расстояния и угловых координат;

0 0 0 0 ... 0

i = 1,..., n.....................

cos A1 sin A1 0 ti cos A1... tf cos Aj-

A =

j = 1,...,h ...

1 0 e j =1,...,h ...

j j

0 0 ... 0 2 21 ...2tf 2d,

i i i

t} sinß1 f ...tf sinß1 f 0 ... 0 0 0 ... 0 0

0 e}t}... e]tf 0 0 ... 0 0

es = tge j cosÄ j.

T

K

t

0

0

Функция правдоподобия ^(т/х) гаус-

совского случайного вектора т аналогична функции, полученной при синтезе алгоритма 1, и отличается видом корреляционной матрицы

R

1 - ад (ад У - ад X[ AT - -

diag[

sdВ,,,...,sbв]},...,s2eв..,...,, - n;

j

'-1,. ., h],

где B - ARX A

2 2 xo, yo,

...,a2s,1

Я X = Х1 Х1 = 1

- корреляционная матрица вектора

Х1, получаемая на основе априорных сведений об оцениваемых параметрах. Алгоритм обработки получается заменой корреляционной матицы в (18) матрицей Я1

X* -[gT R-1g]-1gT R-1:

m .

(21)

Из уравнений (18) и (21) следует, что для получения оптимальной оценки координат объекта методом максимального правдоподобия в соответствии с алгоритмами 1, 2 необходимо вычислить корреляционную матрицу Я, которая, в свою очередь, зависит от искомых координат объектов. Для получения необходимых априорных сведений предлагается применять оценивание элементов вектора X, например, методом наименьших квадратов (13) по тем же самым наблюдаемым данным.

Алгоритм 3. Для упрощения алгоритма оценивания и уменьшения вычислительных затрат предлагается квазиоптимальный алгоритм 3, в котором при расчете Я полагается, что измеряемые величины х0, у0, z0, ар, Ьр, ср, р = 1,...,к являются случайными

числами с известными вторыми начальными моментами. Используя принцип максимальной неопределенности, полагаем, что элементы вектора X имеют равномерное распределение на априорном заданном интервале, например:

- расстояние х0, у0 е (0, Ятах) = 0 - 400 км,

- высота z0 е (0, Нтах) = 0 - 30 км,

- скоростьа1,¿1,С1 е (К™,^) = 30-330 м/с ,

- ускорение

а2, ¿2, С 2 е (Гтах,Гтт) =-2 - 3 ^ 2. Тогда величины вектора X равны

-2 ,.2 1 7.2, R

xo - yo -

z2-■

R

J Xo dxo

2

тах

max o

Hmax H 2

" 2 _ H max

H,

z,

o^o

тах 0

2.2 2 a1 - b1 - c1 -

2 V3 - V3

2 _ max min

V -V

max min V

J afda-

3(V - V )

max min

w .

222 a2 - b2 - C2 -

W - W

max min W

J а^а2 -

W3 - W3

max min 3(Wmax - Wmin )

2 _ 2 , 2 , 2 ro - xo + yo + zo .

Анализ эффективности алгоритмов

Для оценки эффективности полученных оце-

нок X* найдем границу Крамера-Рао [2]

D- >

X

д2 ln A(X)/

d(X

- Dn

(22)

где Б— - дисперсия ошибки измерения координат; Б0 - нижняя граница для дисперсии

ошибки измерения координат вектора X при решении системы уравнений (16). Из уравнения (17) получим

d(X)2

ln l(x)- -gT R-1g,

(23)

Из уравнений (22) и (23) получим границу Крамера-Рао

(24)

Do -(gTR-1g)-1.

Щ я ц)

где: о0х = ^(1,1), о0у = Б0(2,2), £г0 = ^(3,3) - границы Крамера-Рао для координат х, у, z .

1

3

1

1

2

При моделировании измерения координат объекта при наличии случайных погрешностей Х, Х//, Хе используем усреднение ошибки оценивания на интервале наблюдения

ДТ =1£ (хМ1 - хМ Б* =1 £ (уМ1-уМ1 П 1 =

, )2.

i=1

i=1

D7 =1 i (zMl - zM )2,

n =

(25)

i=1

где измеренные значения координат

* * *

хМ1, уш, гМ1 получаются путем подстановки оценок параметров х**, у**, z*, а**,..., аК,

6*,...,6*, с*,...,сК в выражения (1). Дисперсия ошибки измерения координат определяется путем статистического усреднения по множеству из N реализаций

- 1 N - 1 N

Б = Вср » — X Вср , Б = Вср » — X Вср , х х N^1 у у N^1

- 1 N

Dz = D7 » N i Dp •

(26)

i=1

Более высокая точность определения координат объекта получается в случае, когда матрица g имеет полный ранг. Как показано в работе [8], для этого достаточно выбрать траекторию движения пункта приема Т2 в виде окружности (км)

х1 = 0 + 20со8(2^р/п), у1 = 0 + п),

zi = 10, Гг = 1,...,п . (27)

Рассмотрены следующие варианты движения объекта М , определяемые степенью К полинома (1):

1) неподвижный объект, К = 0 ,

2) равномерное движение объекта, К = 1,

3) криволинейное, ускоренное движение объекта, К > 1.

1) Для неподвижного объекта параметр К = 0 , уравнение движения объекта (1) имеет вид

ХМ1 = х0 , уМ1 = у0 , ZMi = z0 .

При этом г01 = ^х2 + у2 + z(2 = г0, что соответствует £ = 0 , а аппроксимация (7) дает точ-

ное значение. Входящие в матричное уравнение (20) величины для неподвижного объекта равны:

X = (хо>Уо>zQ'ro) ;

2 У

2 zn

2d

2 x 2n 2 У2п 2 z2n 2dn

sin ßn - cosß11 0 0

sin ß1h - cosß1h 0 0

0 - cosß11 0

tgeih 0

A =

0 - cosAh 0 0 0 2 2d

0 0 0 2 2dn cosßn sin b11 0 0 0

cosßih sin ß1h 000 1 0 e1 0 0

1

0

0 0

На рис.2 приведены зависимости дисперсии погрешности оценивания координаты х методом МНК (13), методом МП алгоритм 1, алгоритм 2, алгоритм 3 и границы Крамера-Рао (24) от погрешности измерения разности расстояния 7й для К = 0 , £ = 0 . Координаты объекта М равны (30,30,20) км, погрешности измерения угловых координат 7/ = 0,2°, 7е = 0,1°. Движение пункта приема Т2 определяется соотношением (27), число измерений п = 20 , И = 10 .

2) В случае равномерного прямолинейного движения объекта К = 1, уравнение движения объекта (1) имеет вид

хМ1 = х0 + tlal, ум- = у0 + Фг, ZM1 = ^ + Щ .

Подставляя эти координаты объекта в систему уравнений (19), получим

g

e

h

L] - d, » 2X2, Xo + 2 J2,yo + 2 Z2iZo +

+ 2 X2,t,a1 + 2 y2,t,b1 + 2 Z2itiC1 +

+ 2diro + 2ditia1 +... + 2ditfas +

+ X К + 2« + ... + 2tfas + 2di ]

o » Xo sin b j - yo cos b j + + tja1 sin bj - tjb1 cos b j +

+ Xßj [xo cos b j + yo sin b j + + tja1 cos b1 j + tjb1 sin b1 j ]

o » xotge1 j - zocosb1 j + + tj-a1tgS1 j - tjc1cosb j +

+ xe [xo + zoej + tja1 + tjc1ej] i -1,...,n; j -1,...,h.

Рис. 2.

Входящие в матричное уравнение (20) величины равны

X = (Х0,У0,Zо,а1,¿1,С1,Г0,а,..а)Т ;

g -

2 X2i 2y2i i - 1,...,П ...

2 Z2i 2tiX2i

sin b1 j - cos b y o tj sin b

j aiii У1j

j -1,...,h . tgev o j -1,...,h .

-cosbj tjtgej

2^У2, 2tiZ2i 2dr 2dt ... 2dtf

- ^ cos b1 j o o o ... o

o -^ cosb1 j o o ... o

A -

o o o o

o o

i -1,...,n ..................

cosbj sinbj o tj cosb1 j tj sinb1 j o

j -1,...,h ............

1

o tj

o tej

j - 1,...,h

2 2ti ... 2tS 2di

o o ... o o

o o

o o

На рис.3-5 представлены некоторые результаты, полученные моделированием для к = 1. Погрешности измерения угловых координат равны а& = 0,20, ае = 0,1°. Движение пункта приема Т2 определяется соотношением (27), число измерений п = 20 , И = 10 . Координаты объекта М равны (км)

хМ1 = 30 + 0,7^., уМ1 = 30 + 0,3Г,,

zmi - 2o + o,1ti, tt -1,...,n

На рис.3 приведены зависимости дисперсии погрешности определения координаты Х методом МНК (13) от погрешности измерения разности расстояния ал при различных значениях порядка £ ряда разложения Тейлора (7). Из графиков на рис.3 следует, что оптимальное значение порядка полинома (7),

при котором достигается минимум Dx , равно S = i.

На рис.4 приведены зависимости дисперсии погрешности оценивания координаты х с помощью метода МП алгоритм 3 от погрешности измерения разности расстояния 7й при различных значениях порядка £ ряда разложения Тейлора (7). Из графиков на рис.4 следует, что оптимальное значение порядка полинома (7), при котором достигается минимум Б х , равно £ = 2 .

Q

МНК: --*" МП : —+- Алгоритм 1 МП : —х— Алгоритм 2 МП : -♦-Алгоритм 3 Гр. Крамера-Рао: —о—

/

/

/

/ ■

А г"

г::*

Рис. 5.

На рис.5 приведены зависимости дисперсии погрешности определения координаты х методом МНК (13), методом МП алгоритм 1, алгоритм 2, алгоритм 3 и границы Крамера-Рао (24) от погрешности измерения разности расстояния 7й в случае £ = 2 .

3) В случае равномерно ускоренного движение объекта K = 2 уравнение движения объекта M (1) имеет вид

XMi = x0 + + a2tf , УMi = Уо + Vi + b2tÍ , ZMi = Z0 + Citi + C2tf , (i = JA-,П ,

Используя эти значения координат, получим систему уравнений

L] - di » 2x2ixo + 2У^ + 2z2izo +

+ 2x2itiai + 2x2it1la2 + 2 Уцф1 +

+ 2 Уи*?ь2 + 2 + 2 z2it?c2 +

+ + 2da +... + 2ditSas +

+ Xdi [2 Го + 2tai +... + 2tsas + 2di ] ' » xo sin Pi j - Уоcos Pi j + tjai sin Pi j +

+1^ sin Pi J - tjbi cos Pi J - t2]b2 cos Pi J + + Xpj [Xo cos Pi J + Уо sin Pi J + ta cos Pi J +

+ tJa2 cos piJ + tJbi sin piJ + t7jb2 sin piJ ]

' » xot§£ij - zocos piJ + tJaitgeJ +

+12 aitgej - tjc\cospij -12c2 cosbiJ +

r 2 2

+ XuX + zn + ta + tai + tec + tec

0 1 ' ji i = i,...,n; j = i,...,h.

Входящие в матричное уравнение (2o) величины равны

g =

2 X2i 2y2i

2 zn

2 X2 iti

i = i,...,n ... ... ...

sin Pj j - COsPj j 0 tj sin Pj j

j =i,... , h ... ... ...

tgej 0 -cospij tjtgej

j =i,... , h ... ... ...

2tiX2i 2 tiУ2г 2tiУ2г 2tiZ2i

12 sin Pj j - tj Cos Pj j - 12 Cos Pj j 0 ®

tjtg (e j) o

cosPP

]

0

2tfz2l 2di 2d1t1 ... 2ditf

... 0

-12 cos b о

0 ... 0

A =

0 0 0 0 0

i = 1,..., n...... ... ...

cos fr j sin b j 0 tj cos fr j tj cos b j j = 1,...,h ...

10 j = 1,...,h ...

1 0 *j tj

0 0 0 0 2 2t1... 2t1 2d1

tt sinbi 12 sinbi 0 0 0 0 ... 0 0

0 t]e] t2je] 0 0

00

X = (х0,у0,20,а1,а2,Ь1,Ь2,с1,с2,т0,а1,...,а3)т .

На рис.6-8 приведены результаты анализа оценивания координат объекта при ускоренном движении К = 2, полученные моделированием при погрешности измерения угловых

координат ар = 0,20, ае = 0,10. Движение

пункта приема т2 определяется соотношением (27), число измерений п = 30, И = 10, координаты объекта М равны (км) хМ1 = 30 + 0,7/. + 0,01/2,

Ум, = 30 + 0,3/. + 0,01/2,

*М1 = 20 + 0,1/ 1 , /, = 1,...,п .

На рис.6 приведены зависимости дисперсии погрешности оценивания координаты х методом МНК (13) от погрешности измерения разности расстояния ай при различных значениях порядка £ ряда разложения Тейлора (7). Из графиков рис.6 следует, что оптимальное значение порядка полинома (7),

при котором достигается минимум Бх, равно £ = 2 .

и

fi

Р о.с

МП: -*- при S=2 МП: -о- при S=3

МП: - ♦—при S=4 МП: --■--при S=5 в г"' < \

i .......i....... > 1

! Е / > .........1

£......... к А А А .........

к' ж,'---" / ■ - А** .А---- 11'-** - г"

9

od, м

Рис. 7.

На рис.7 приведены зависимости дисперсии погрешности оценивания координаты х методом МП алгоритм 3 от погрешности измерения разности расстояния ай при различных значениях порядка £ ряда разложения Тейлора (7). Из графиков рис.7 следует, что оптимальное значение порядка полинома (7), при котором достигается минимум Бх, равно £ = 3.

На рис.8 приведены зависимости дисперсии погрешности оценивания координаты х методом МНК (13), методом МП алгоритм 1, алгоритм 2, алгоритм 3 и границы Крамера-Рао (24) от погрешности измерения разности расстояния ай в случае £ = 3.

0

0

0

0

МНК: --*-- МП : —+— Алгоритм 1 МП : —х— Алгоритм 2 МП : — ♦ — Алгоритм 3 Гр. Крамера-Рао: —о— if

< \

У

! у У /

л г С К-'4 ► ' :

С' 123456789

Gd, M

Рис. 8.

Выводы

Проведенный синтез и анализ эффективности различных вариантов гибридных алгоритмов оценивания координат маневрирующего объекта позволяют заключить, что для достижения минимальной ошибки определения параметров движения объекта необходимо выбирать оптимальное значение £ . Установлено, что для алгоритма МНК это значение меньше, чем для алгоритма максимального правдоподобия. Это объясняется более высокой эффективностью алгоритма МП при оценивании вектора X, что позволяет увеличить порядок £ полинома (7), аппроксимирующего гш, и повысить тем самым точность оценивания.

Точность определения координат объекта, полученная методом МП, выше, чем для МНК алгоритма. Алгоритм 1 дает наилучший результат по точности оценки по сравнению с алгоритмами 2, 3, но требует значительной априорной информации, что делает его практически нереализуемым. В случае неподвижного объекта и равномерного прямолинейного движения объекта дисперсия погрешности определения координат МП алгоритмом 1 близка к границе Крамера-Рао. Однако МП алгоритмы 1 и 2 имеют существенный недостаток - необходимость иметь априорную информацию о координатах объекта. Предлагается применять МНК алго-

ритм для получения априорной информации с последующим ее уточнением с помощью МП алгоритмов 1 и 2. Несмотря на то, что алгоритм 3 не является наиболее точным из рассмотренных вариантов, он использует минимальные априорные сведения.

В случае высокой маневренности объекта для повышения точности определения координат и приближения дисперсии погрешности оценивания к асимптотической границе Крамера-Рао нужно применять математические модели динамики и итерационные алгоритмы построения траектории движения объекта.

Литература

1. Кондратьев В.С., Котов А.Ф., Марков Л.Н. Многопозиционные радиотехнические системы. М.: Радио и связь, 1986. 264с.

2. Черняк В.С. Многопозиционная радиолокация. М.: Радио и связь, 1993. 416с.

3. Li Cong, Weihua Zhuang Hybrid TDOA/AOA Mobile User Location for Wideband CDMA Cellular Systems // IEEE Transactions on wireless communications, VOL 1. № 3, July 2002, pp. 439-447.

4. Du H.J., Lee P.Y. Simulation of Multi-Platform Geolocation using a Hybrid TDOA/AOA Method // Defence R&D Canada - Ottawa, TECHNICAL MEMORANDUM, DRDC Ottawa TM 2004-256, December 2004, pp.1-24.

5. Ali Broumandan, Tao Lin, John Nielsen, Gérard Lachapelle Practical Results of Hybrid AOA/TDOA Geo-Location Estimation in CDMA Wireless Networks // IEEE Vehicular Technology Conference, VTC Fall 2008, September 2008, Calgary, Alberta, Canada. pp. 1-5.

6. Бакулев П.А. Радиолокационные системы. М.: Радиотехника, 2004. 320 с.

7. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992, 304с.

8. Паршин Ю.Н., Лыонг Ч.В. Разработка гиперболического алгоритма определения координат источника радиоизлучения // Вестник РГРТУ. №1 (выпуск 43). Рязань, 2013. С.32-38.

References

1. Kandratiev V.S., Kantov A.F., Markov L.N. Mnogopozizionnye radiotehnicheskie sistemy. М.: Radio i svyaz, 1986, 264 p.

2. Chernhiak V.S. Mnogopozizionnaya radiolo-kaziya. М.: Radio i svyaz, 1993, 416 p.

3. Li Cong, Weihua Zhuang. Hybrid TDOA/AOA Mobile User Location for Wideband CDMA Cellular

Systems // IEEE Transactions on wireless communications, VOL 1. № 3, July 2002, pp. 439-447.

4. Du H.J. u Lee P.Y. Simulation of Multi-Platform Geolocation using a Hybrid TDOA/AOA Method // Defence R&D Canada - Ottawa, TECHNICAL MEMORANDUM, DRDC Ottawa TM 2004-256, December 2004, pp. 1-24.

5. Ali Broumandan, Tao Lin, John Nielsen, Gérard Lachapelle Practical Results of Hybrid AOA/TDOA Geo-Location Estimation in CDMA

Wireless Networks // IEEE Vehicular Technology Conference, VTC Fall 2008, September 2008, Calgary, Alberta, Canada. pp. 1-5.

6. Bakulev P.A. Radiolokazionnye sistemy. М.: Radiotechnika, 2004, 320 p.

7. Sosulin Y.G. Teoreticheskie osnovy radioloka-zii i radionavigazii. М.: Radio i svyaz, 1992, 304 p.

8. Parshin Y.N., Luong T.V. Vestnik RGRTU, №1 (Vypusk 43), Ryazan, 2013, pp. 32-38.

Поступила 19 февраля 2013 г.

Информация об авторах

Паршин Юрий Николаевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехнических устройств. Рязанский государственный радиотехнический университет.

E-mail: parshin.y.n@rsreu.ru.

Лыонг Чинь Ван - аспирант, кафедра радиотехнических устройств. Рязанский государственный радиотехнический университет.

E-mail: lgtrinh76@yahoo.com.

Адрес: 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Parshin Yuri Nikolaievich - the Doctor of Science, Full Professor, the head of the department of radio-technical device. Ryazan State Radio Engineering University.

Luong Trinh Van - graduate student, the department of radio-technical device. Ryazan State Radio Engineering University.

Address: 390005, Ryazan, Gagarina St., 59/1.