СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СМИРНОВА В ИССЛЕДОВАНИЯХ УРОВНЯ ПОДГОТОВЛЕННОСТИ АБИТУРИЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.234.3

СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СМИРНОВА В ИССЛЕДОВАНИЯХ УРОВНЯ ПОДГОТОВЛЕННОСТИ АБИТУРИЕНТОВ

©2023 С. Н. Матюшина1, Е. Г. Столярова2

1 кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и прикладной математики

e-mail: snm0905@ gmail. com 2студентка ФГБОУ ВО «Курский государственный университет» e-mail: catling.2000@ mail. ru

Курский государственный университет

В статье с применением статистического критерия Смирнова проведён анализ уровня подготовленности абитуриентов, поступивших на один из факультетов высшего учебного заведения в 2020-2022 гг.

Ключевые слова: математическая статистика, критерий Смирнова, статистические критерии.

SMIRNOV'S STATISTICAL CRITERION IN STUDIES OF THE LEVEL OF PREPAREDNESS OF APPLICANTS

© 2023 S. N. Matyushina1, E. G. Stolyarova2

1 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Analysis and Applied Mathematics e-mail: snm0905@ gmail. com 2Student of the Kursk State University e-mail: catling.2000@mail.ru

Kursk State University

The article analyzes the level of preparedness of applicants who entered one of the faculties of a higher educational institution in 2020-2022 using the statistical criterion of Smirnov.

Keywords: mathematical statistics, Smirnov's criterion, statistical criteria.

Современные реформы в сфере образования требуют постоянного контроля динамики уровня знаний и умений абитуриентов, поступающих в высшие учебные заведения. Благодаря введению единой государственной аттестации и постоянному мониторингу системы заданий ЕГЭ по каждому предмету [3] в последнее десятилетие сформировалась система единого оценивания знаний выпускников средней школы независимо от региона обучения и года окончания средней школы. Общая система выпускных экзаменов максимально исключила субъективный фактор при поступлении в высшие учебные заведения. Проходные баллы вступительных кампаний в целом задают общую нижнюю планку уровня подготовки для поступающих абитуриентов. Таким образом, появляется возможность сравнения качества знаний первокурсников, поступивших по результатам вступительных кампаний разных лет.

Анализ степени подготовленности принятых на обучение в ВУЗ позволяет выделять приоритетные направления и своевременно корректировать количество бюджетных и внебюджетных мест на разные специальности. Наличие бюджетной формы обучения позволяет вузу отобрать наиболее способных и перспективных абитуриентов. Любые изменения числа бюджетных мест на различные направления, как правило, оказывают влияние на проходные баллы, а следовательно, и на уровень подготовки поступивших. Однако средняя оценка качества знаний, принятых на обучение в высшие учебные заведения, в целом определяется не только количеством студентов, набравших минимальный проходной балл, но и числом поступивших с высокими результатами единой государственной аттестации.

Цель данной работы заключается в статистическом исследовании уровня подготовленности абитуриентов, поступивших на один из факультетов регионального вуза в 2020, 2021 и 2022 г. В качестве совокупностей данных были использованы суммарные вступительные баллы абитуриентов. Анализ проводился с помощью непараметрического критерия Смирнова [1], позволяющего сравнить процентные соотношения количества абитуриентов разных уровней подготовки, принятых в вуз в указанные годы, и обоснованно подтвердить или отвергнуть гипотезу об отсутствии или наличии различий в уровне знаний принятых на обучение в ходе вступительных кампаний разных лет. Схема обработки статистических данных в работе наглядно проиллюстрирована с помощью диаграмм относительных частот.

В ходе исследования рассматривались три выборки:

х = (x1,x2,^,xn), у = (yi,y2,...,ym), Z = (z1,z2,^,zt),

составленные из суммарных балов вступительных экзаменов абитуриентов, поступивших на некоторый факультет регионального вуза в 2020, 2021 и 2022 г. соответственно. Объемы рассматриваемых выборок, обозначенные n, m и t, равны числу первокурсников, поступивших в рамках общего конкурса на факультет или на анализируемую специальность в указанные годы.

В качестве инструментария исследования был использован статистический критерий Смирнова, позволяющий путем попарного сравнения выборок проверить их на однородность, то есть установить являются ли различия в выборках статистически значимыми.

Схему проведенного исследования проиллюстрируем на примере совокупностей, составленных из вступительных баллов абитуриентов 2020 и 2021 г.

При попарном сравнении выборок х и у проверяемая нулевая гипотеза утверждает тождественное равенство:

H0: F(x) = G(x),

где F(x), G(x) - теоретические функции распределения случайных величин X и Y соответственно, частотные формы законов распределения которых реализованы в рассматриваемых выборках. Альтернативная гипотеза фиксирует неоднородность выборок:

H1: F(x) ф G(x) хотя бы при одном х (см. [5]).

Принятие нулевой гипотезы означает, что совокупности х и х различаются незначительно и можно считать, что учащиеся, принятые в вуз по результатам соответствующих вступительных кампаний, имеют приблизительно одинаковый уровень школьной подготовки. В случае отклонения нулевой гипотезы качество знаний поступивших первокурсников в рассматриваемые годы различается.

Областью значений выборочных совокупностей является отрезок [а; Ь],

где а = 109 - минимальный балл по трём экзаменам, позволяющий подавать документы в вуз;

Ь = 300 - максимально возможный балл по сумме трех экзаменов.

При использовании критерия Смирнова область выборочных значений разбивается на 5 непересекающихся промежутков. Статистика данного критерия имеет вид:

9У;0

п т )

-г^;-(1)

у;(*) > у;(у)

к=1

где Ук(^), Ук(у) - частота попадания в к-й промежуток значений выборок х и у соответственно [1]. Статистика (1) при справедливости гипотезы Н0 распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы 5 — 1 [4].

В исследовании результатов вступительных кампаний на рассматриваемый факультет отрезок возможных значений вступительных баллов [109; 300] был разделен на 5 = 3 части. Данные сравниваемых выборок х и у были сгруппированы по выделенным промежуткам. Абитуриенты с баллами из первого промежутка [109; 200] имеют подготовку ниже среднего уровня школьной подготовки поступивших. С баллами из второго (200; 230] и третьего промежутков (230; 300] - это учащиеся средним и высоким уровнем знаний соответственно. Таким образом, частотные распределения, представленные в таблице 1, в целом характеризуют процентное соотношение первокурсников по уровню знаний в указанные годы.

Таблица 1

Частотные распределения баллов абитуриентов, поступивших на факультет

в 2020-2022 гг.

Баллы Количество поступивших с баллами из указанного промежутка

2020 г. 2021 г. 2022 г.

Ув(х) Ув(х) с v¿(y) ^(у) т У^) £

[109; 200] 22 0,38 67 0,48 40 0,41

(200; 230] 21 0,36 34 0,25 31 0,31

(230; 300] 15 0,26 38 0,27 28 0,28

Количество поступивших с = 58 т = 139 Е = 99

Средний балл 211,55 204,74 211,78

Минимальный проходной балл 149 144 135

Для наглядности распределения относительных частот по данным таблицы 1 представлены на рисунке 1.

0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0,0000

■ 2020 год ^ 2021 год ■ 2022 год

Рис. 1. Диаграммы относительных частот вступительных баллов абитуриентов, принятых на специальности факультета в 2020, 2021 и 2022 гг.

[0,200] (200,230] (230,300]

Диаграммы частотных распределений наглядно иллюстрируют следующий интересный факт. При увеличении количества бюджетных мест в 2021 г. по сравнению с 2020 г. более чем в два раза, наблюдается, конечно, увеличение процента слабых студентов с баллами из промежутка [109; 200] (на 10%) и снижение доли студентов среднего уровня подготовленности с баллами из (200; 230] (на 11%), но при этом доля учащихся с высокими баллами, принятых на факультет, все-таки увеличивается. Это свидетельствует о росте популярности данного факультета среди абитуриентов с высоким уровнем знаний.

Далее, используя формулу (1), вычисляем наблюдаемое значение статистик Смирнова Нн для частотных распределений таблицы 1. Например, для выборок 2020 и 2021 г. имеем:

НнО,у) = n • m

г 9vk(*)

гn

v;(y)

m ,

VkM +V;(y)

58•139

о

k=l

fVkM

9 58

VkMY

139 Y

VkM > V;(y)

2,69.

Аналогичные вычисления были выполнены и для сравнения вступительных баллов 2022 г. с 2020 и 2021 г.

Из таблиц процентных точек хи-квадрат распределения с уровнем значимости а=0,05 и числом степеней свободы 5 = 2 находим значение критической точки х^, = 6,0 [2].

Полученные значения статистик Смирнова и выводы по проверке гипотезы однородности Н0 представлены в таблице 2.

Таблица 2

Значения статистики критерия Смирнова, вычисленная по выборкам баллов

абитуриентов, поступивших на факультет в 2020-2 022 гг.

Годы, по которым сравнивается уровень подготовки Хн Хкр Гипотеза однородности

2020, 2021 2,69 6,0 Принята

2021, 2022 1,41 Принята

2020,2022 0,41 Принята

Если Нн < х^р, то гипотеза однородности Н0 принимается и, следовательно, отсутствуют существенные различия в уровне подготовки по вступительным дисциплинам принятых на факультет абитуриентов рассматриваемых лет. Если же нНабл ^ хНр., то гипотеза однородности отвергается и имеет место статистически значимое различие в уровне подготовки принятых на обучение в указанные годы.

Таким образом, статистические исследования показали, что при увеличении в 2021 г. количества бюджетных мест более чем в два раза уровень подготовки поступивших на факультет в целом не изменился, что свидетельствует о росте популярности данного факультета и притоке в период вступительной кампании 2021 г. абитуриентов с высокими вступительными баллами.

Далее по представленной схеме был выполнен сравнительный анализ аналогичных выборок по разным специальностям данного факультета. Разбиение области допустимых значений производилось на три промежутка.

Обозначим с, т^, - число бюджетных мест на г-е направление в 2020, 2021 и 2022 г. соответственно, I = 1,2,3,4. Частотные распределения по сгруппированным данным четырех направлений факультета представлены в таблицах 3, 5, 7 и 9.

Таблица 3

Частотные распределения баллов абитуриентов, поступивших на направление №1 в 2020-2022 гг._

Баллы Количество поступивших с баллами из указанного промежутка на направление №1

2020 г. 2021 г. 2022 г.

Ув(х) Ув(х) с v¿Cy) ^(у) т У^) у^) £

[109; 200] 1 0,07 28 0,7 11 0,48

(200; 230] 10 0,72 8 0,2 8 0,35

(230; 300] 3 0,21 4 0,1 4 0,17

Количество поступивших на напр. 1 С = 14 тх = 40 ^ = 23

Средний балл 224,29 194,53 205,74

Проходной балл 195 161 138

Распределения относительных частот по данным таблицы 3 представлены на рисунке 2.

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

: ■

[109; 200] (200; 230] (230; 300]

■ 2020 год Л 2021 год ■ 2022 год

Рис. 2. Диаграммы относительных частот вступительных баллов абитуриентов, принятых на направление №1 в 2020, 2021 и 2022 гг.

По диаграмме относительных частот видно, что благодаря увеличению почти в три раза в 2021 г. набора на бюджет на первое направление поступили те абитуриенты, которые раньше не проходили по конкурсу. Несмотря на то что доля поступивших выпускников средних школ с низкими баллами стала значительно больше по сравнению с 2020 г., средний балл принятых на обучение в вуз по этой специальности, в 2021 снизился только на 15%. Такое незначительное снижение среднего балла по сравнению с процентом увеличения бюджетных мест обусловлено тем, что средняя подготовка поступивших остается достаточно высокой. Уменьшение количества бюджетных мест в 2022 г. на данное направление (почти на 50% по сравнению с 2021 г.) увеличило долю поступивших со средним и высоким уровнем знаний.

Полученные значения статистик Смирнова и выводы по проверке гипотезы однородности Н0 представлены в таблице 4.

Таблица 4

Значения статистики критерия Смирнова, вычисленная по выборкам баллов _абитуриентов, поступивших на направление №1_

Годы, по которым сравнивается уровень подготовки Хн. Хкр. Гипотеза однородности

2020, 2021 17,04 6,0 Отклонена

2021, 2022 2,99 Принята

2020, 2022 7,03 Отклонена

По результатам сравнительного анализа установлено, что наборы абитуриентов, принятых на обучение по направлению №1 в 2021 и 2022 г., имеют близкие уровни подготовки. Таким образом, за последние 2 года по направлению №1 наблюдается стабильность в уровне знаний поступивших, а возрастание среднего балла в 2022 по сравнению с 2021 (с 194,53 в 2021 до 205,74 в 2022) свидетельствует о том, что популярность этой специальности за последний год увеличилась среди выпускников школ с более высокими показателями единой государственной аттестации.

Дальнейшие исследования для направлений 2-4 были выполнены по аналогичной схеме.

Таблица 5

Частотные распределения баллов абитуриентов, поступивших на направление №2 в 2020-2022 гг._

Баллы Количество поступивших с баллами из указанного промежутка на направление №2

2020 г. 2021 г. 2022 г.

Vj(x) Vi(x) C Vi СУ) Vi(y) m Vi(Z) Vi(z) t

[109; 200] 1 0,07 9 0,24 6 0,2

(200; 230] 2 0,14 8 0,22 7 0,23

(230; 300] 11 0,79 20 0,54 17 0,57

Количество поступивших на напр. 2 с2 = 14 m2 = 37 t2 = 30

Средний балл 239,14 227,38 231,73

Проходной балл 194 189 179

Распределения относительных частот по данным таблицы 5 представлены на

рисунке 3.

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

I

[109; 200] (200; 230] (230; 300]

■ 2020 год V12021 год ■ 2022 год

Рис. 3. Диаграммы относительных частот вступительных баллов абитуриентов, принятых на направление №2 в 2020, 2021 и 2022 гг.

Значения статистик Смирнова и выводы по проверке гипотезы однородности Н0 представлены в таблице 6.

Таблица 6

Значения статистики критерия Смирнова, вычисленная по выборкам баллов

абитуриентов, поступивших на направление №2 в 202 0-2022 гг.

Годы, по которым сравнивается уровень подготовки Хи. Хкр. Гипотеза однородности

2020, 2021 2,87 6,0 Принята

2021, 2022 0,15 Принята

2020,2022 2,12 Принята

По результатам проведенного исследования можно сделать вывод, что направление №2 сохраняет свою популярность среди абитуриентов с высокими вступительными баллами и увеличение количества бюджетных мест существенно не повлияло на уровень подготовки первокурсников, поступивших на эту специальность.

Таблица 7

Частотные распределения баллов абитуриентов, поступивших на направление №3 в 2020-2022 гг._

Баллы Количество поступивших с баллами из указанного промежутка на направление №3

2020 г. 2021 г. 2022 г.

Ув(х) ^(х) с v¿Cy) ^(у) т У^)

[109; 200] 10 0,53 0 0 7 0,27

(200; 230] 8 0,42 15 0,58 12 0,46

(230; 300] 1 0,05 11 0,42 7 0,27

Количество поступивших на напр. 3 п3 = 19 ш3 = 26 Ез =26

Средний балл 197 229,19 218,42

Проходной балл 149 207 185

Распределения относительных частот по данным таблицы 7 представлены на рисунке 4.

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

■ 2020 год О 2021 год ■ 2022 год

Рис. 4. Диаграммы относительных частот вступительных баллов абитуриентов, принятых на направление №3 в 2020, 2021 и 2022 гг.

Полученные значения статистик Смирнова и выводы по проверке гипотезы однородности Н0 представлены в таблице 8.

[109; 200] (200; 230] (230; 300]

Таблица 8

Значения статистики критерия Смирнова, вычисленная по выборкам баллов _абитуриентов, поступивших на направление №3_

Годы, по которым сравнивается уровень подготовки Хн Хкр Гипотеза однородности

2020, 2021 19,98 6,0 Отклонена

2021, 2022 8,24 Отклонена

2020,2022 4,99 Принята

Результаты исследования показали, что увеличение на 37% количества бюджетных мест на эту специальность в 2021 г. (с 19 в 2020 до 26 в 2021 г.) не только не снизило проходной и средний балл первокурсников этого набора, а наоборот: проходной балл в 2021 г. по сравнению с 2020 увеличился почти на 39% (со 149 баллов в 2020 году до 207 в 2021), а средний балл вырос более чем на 16% (с 197 до 229,19). Такая ситуация свидетельствует о необычайном росте популярности данного направления в 2021 г. среди выпускников с хорошей школьной подготовкой. Однако уровень знаний по вступительным дисциплинам учащихся, принятых в вуз на данную специальность в 2022 г. при сохранении числа бюджетных мест 2021 г., все-таки близок к уровню 2020 г..

Таблица 9

Частотные распределения баллов абитуриентов, поступивших на направление №4 в 2020-2022 гг._

Баллы Количество поступивших с баллами из указанного промежутка на направление №4

2020 г. 2021 г. 2022 г.

Vi(x) Vi(x) п Vj(y) Vj(y) т. V((Z) Vi(z) E

[109; 200] 10 0,91 30 0,84 16 0,8

(200; 230] 1 0,09 3 0,08 4 0,2

(230; 300] 0 0 3 0,08 0 0

Количество поступивших на напр. 4 п4 = 11 т4 = 36 t4 = 20

Средний балл 185,36 175,17 180,15

Проходной балл 174 144 135

Распределения относительных частот по данным таблицы 9 представлены на рисунке 5.

0,5

Iii ____

0 чллл:

[109; 200] (200; 230] (230; 300]

■ 2020 год ^ 2021 год ■ 2022 год

Рис. 5. Диаграммы относительных частот вступительных баллов абитуриентов, принятых на направление №4 в 2020, 2021 и 2022 гг.

1

По диаграмме относительных частот видно, что направление №4 преимущественно привлекает абитуриентов с низкими вступительными баллами независимо от количества бюджетных мест.

Полученные значения статистик Смирнова и выводы по проверке гипотезы однородности Н0 представлены в таблице 10.

Таблица 10

Значения статистики критерия Смирнова, вычисленная по выборкам баллов _абитуриентов, поступивших на направление №4_

Годы, по которым сравнивается уровень подготовки Хн. Нкр. Гипотеза однородности

2020, 2021 0,9 6,0 Принята

2021, 2022 3,04 Принята

2020,2022 0,63 Принята

По результатам исследования установлено, что за последние три года приемные кампании по направлению №4 являются стабильными по уровню знаний принятых на обучение абитуриентов. Однако эта специальность мало привлекает выпускников школ со средними и высокими вступительными баллами. Такая ситуация частично объясняется проблемами, связанными с региональной школьной подготовкой по профильным дисциплинам этого направления

Таким образом, по результатам проведённых исследований установлено, что из четырёх сравниваемых направлений только для двух из них гипотеза однородности была принята за все сравниваемые вступительные кампании 2020-2022 гг., это направления №2 и №4. Увеличение количества бюджетных мест в целом не повлияло на качество знаний учащихся, принятых на обучение по этим специальностям.

Увеличение количества бюджетных мест почти на 200% для направления №1 в 2021 г. несколько снизило уровень знаний первокурсников, поступивших в этот год на данную специальность. Но с уменьшением числа бюджетных мест в 2022 г. на направление №1 увеличился поток абитуриентов со средним и высоким уровнем вступительных баллов.

В целом увеличение наборов обучающихся, как правило, несколько понижает проходной балл, а следовательно, и уровень средней подготовки поступивших. Однако на одно из направлений (направление №3) при увеличении количества бюджетных мест в 2021 г. на 37% уровень подготовки абитуриентов не снизился, а увеличился по сравнению с 2020 г., а сохранение количества бюджетных мест в 2022 г. позволило сохранить хороший уровень знаний учащихся, поступивших на это направление. Такое увеличение уровня подготовки первокурсников свидетельствует о значительном росте популярности данной специальности и необходимости дальнейшего расширения возможностей для поступления на бюджетные места по этому направлению.

Статистические исследования показали, что при увеличении количества бюджетных мест в 2021 г. по сравнению с 2020 г. более чем в два раза уровень подготовки поступивших на факультет в целом не изменился. Также факультет сохранил этот уровень и в 2022 г. Стоит отметить, что поток абитуриентов с высокими вступительными баллами увеличивается с каждым годом, что свидетельствует о росте популярности данного факультета и проанализированных направлений обучения.

Библиографический список

1. Айвазян, С. А. Теория вероятностей и прикладная статистика, Том 1 / С. А. Айвазян, Б. Ц. Мхитарян. - Москва : ЮНИТИ-ДАТА, 2001. - 656 с.

2. Большев, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. - Москва : Наука, 1983. - 416 с.

3. Казакова, И. Н. Анализ результатов единого государственного экзамена по учебным предметам на территории Московской области в 2022 году: сборник методических материалов / И. Н. Казакова, А. Н. Павлов, Т. В. Леднева и др. - Москва: АСОУ, 2022. - 408 с.

4. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. - Москва: Мир, 1975. - 648 с.

5. Лагутин, М. Б. Наглядная математическая статистика / М. Б. Лагутин. -Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 472 с.