Статистический контроль многопараметрического технологического процесса с учётом погрешностей измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.248:681.5 і

В. А. САФИН, В. Н. КЛЯЧКИН

СТАТИСТИЧЕСКИМ КОНТРОЛЬ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА С УЧЁТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрены особенности построения многомерной контрольной карты Хотеллинга с учётом погрешностей измерений контролируемых показателей.

Ключевые слова: статистический контроль, технологический процесс, карта Хотеллинга, погрешность измерений, уровень значимости, средняя длина серий.

Одним из важных элементов обеспечения качества на всех стадиях выпуска продукции является применение статистических методов. Наиболее распространённый метод - использование контрольных карт для управления технологическим процессом [1]. Часто контролируется множество коррелированных показателей качества процесса, при этом используются многомерные карты - это, в первую очередь, карты Хотеллинга и карты многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних [2].

При применении контрольных карт существенное влияние на эффективность принимаемых решений могут оказывать погрешности измерений - случайные и систематические.

Предположим, что при контроле р показателей многопараметрического процесса Х\,Х2,

Хр имеют место аддитивные постоянные систематические погрешности измерений, заданные

.ц ¿'¿к Т

вектором С = (С] С-1 ... Ср) . Тогда результаты наблюдений /»-мерного реального контролируемого показателя X ~ (Цо - вектор целе-

вых средних, Е - ковариационная матрица) получим в виде Xе = Х+ С, при этом

Xе ~ + С, Е).

Проанализируем, как это отразится на результатах контроля, если мониторинг процесса ведётся с применением карты Хотеллинга: для каждой ’/-й мгновенной выборки (/ = 1, ..., т) рассчитывается статистика

Т} = »( X,- щ)т5"'( X, - цо). (1)

Здесь Л1 - оценка ковариационной матрицы Е; п -объём выборки; Цо - вектор целевых средних; Х1 -вектор средних в /-й выборке (оценка вектора ц).

Значение статистики Хотеллинга с учётом систематической погрешности

Г„2 = и(( X, + С) - Цо/.Г1« X, + С) - Цо) (2) может существенно отличаться от фактического значения Т,~, и это должно быть учтено при анализе стабильности технологического процесса.

Чувствительность контрольной карты к нарушениям процесса оценивается с помощью средней длины серий - количества выборок, взятых от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения. Для карты Хотеллинга средняя длина серий может быть найдена по формуле

ад=—^------------ . (з)

т

кр

I

о

Сафин В. А., Клячкин В. Н., 2010

л

где X - параметр нецентральное™; Ткр определяет положение границы контрольной карты; а плотность нецентрального распределения Хотеллинга [3].

Параметр нецентральности в общем случае определяется по формуле

А,2 = я(ц- ,Ыо) ‘ Е-1 (ц- цо); (4)

с учётом систематической погрешности

?,с2= п(А + С)т Е-1(Д + С), (5)

где Ау= 1-1, - Цо/, а Су = с]а1 (с,- относительная систематическая погрешность по у-му показателю -в долях от соответствующего стандартного отклонения).

На рис. 1 показаны кривые зависимости средней длины серий карты Хотеллинга в зависимости от параметра нецентральности. Показатели некореллированы, объём мгновенной выборки - 5. Систематическая погрешность принята только по одному из показателей. Кривая

l m

aj

я

Рис. 1

Рис. 2

1 - С] = 0 (погрешности нет), кривая 2 — С\ — 0,25 (погрешность в четверть соответствующего стандартного отклонения) и кривая 3 - С\ = 0,5.

Анализируя построенные кривые, видим, что с увеличением систематической погрешности чувствительность контрольной карты Хотеллин-га увеличивается: кривые 2 и 3 находятся ниже кривой 1, а значит, что для выявления нарушения процесса требуется взять меньше выборок. Но при более внимательном рассмотрении видно, что при этом изменилась вероятность ложной тревоги. Например, при С\ = 0,25 средняя длина серий составляет чуть более 100, что соответствует вероятности ложной тревоги, равной 0,01! Однако рекомендуется контроль осуществлять при а = 0,005. Отсюда вытекает задача корректировки карты Хотеллинга таким образом, чтобы фактический уровень значимости соответствовал заранее заданному значению а (как правило, при многомерном контроле принимают а - 0,005). Из формулы для расчёта средней длины серий L(0,Oij) = На необходимо найти такое значение Oq для расчёта положения контрольных границ карты Хотеллинга, которое бы обеспечило заданную вероятность ложной тревоги 11а. Задача может быть решена численно.

Предположим теперь, что при контроле показателей качества имеет место аддитивная случайная погрешность, определяемая матрицей

V =

а

v\

P\p^vPvp

Pv vp® v\

C7

vp

(6)

где а,./ характеризует случайную погрешность по у-му показателю. Тогда результаты наблюдений /^-мерного реального контролируемого показателя Xе ~ N„(/4), Е + V).

Значение статистики Хотеллинга с учётом случайной погрешности примет вид

т2 = и( X, - Л)т(5 + Г)-'( X, - м>) (7)

и, как и при наличии систематической погрешности, может существенно отличаться от фактического значения Т}.

Введём относительную случайную погрешность дисперсии:

2 J2 / 2

Г] =

(8)

тогда матрица

'Z+V=

Рр\°р°\fl+üfl+'O ...

•(9)

На рис. 2 изображена зависимость средней длины серий от параметра нецентральное™ при различных значениях случайной погрешности.

Также отчетливо видно, что при увеличении случайной погрешности средняя длина серий увеличивается. Заметим, что случайная погрешность измерений не приводит к изменению уровня значимости.

' При одновременном наличии и случайной, и систематической погрешностей измерений надо учесть изменение уровня значимости, связанное с систематической погрешностью: среднюю длину серий при отсутствии нарушений процесса следует привести к стандартному значению 200.

В частности, по рис. 1 необходимо подобрать такой уровень значимости, чтобы, например, кривая 2, построенная с учётом погрешности измерений (с! = 0,25), обеспечивала ложную тревогу один раз на 200 выборок. Если принять уровень значимости, равный ао~ 0,0024 (значение получено подбором в системе МаЛсас!), то средняя длина серий при отсутствии нарушений (А, = 0) будет равна 200.

12

10

8

0

Карта Хотеллинга с учётом и без учёта погрешностей измерений

5 6 7 8 9 10

Рис. 3

Для вычисления откорректированного уровня значимости а0 можно воспользоваться алгорит-

чимости может лежать в пределах от 0 до 0,005 (учёт систематической погрешности, как показано, требует снижения этого показателя [4]). Для принятого уровня значимости определяется средняя длина серий Ь(0). Процесс продолжается до тех пор, пока средняя длина серий не окажется равной 200.

Для построения контрольной карты Хотеллинга с учётом и систематической, и случайной погрешностей изменений найдём статистику

Та2 = п(( X, + С) - Цо)т (5 +У)-'((*, + С) - ц«), (10)

при этом положение контрольной границы определяется формулой

2 р{т-Х){п-1) _ 1ч /114

Тк р=------------- Р\_а0(Р,тп-т- р +1), (11)

тп-т - р + \

где а0 - найденное по предлагаемому алгоритму откорректированное значение уровня значимости.

На рис. 3 приведён пример построения карты Хотеллинга с учётом погрешностей измерений -показаны две контрольные границы, и по два значения статистики Хотеллинга - с учётом и без учёта погрешностей измерений. Карта построена при двух контролируемых показателях с систематической погрешностью С\ = 0,25 и случайной погрешностью Г\ = 0,25 при найденном выше откорректированном уровне значимости (Хо - 0,0024 (штриховая линия - без учёта по-

грешностей, сплошная - с учётом погрешностей).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Миттаг, X. Статистические методы обеспечения качества / X. Миттаг, X. Ринне; пер. с нем. - М. : Машиностроение, 1995. - 616 с.

2. Клячкин, В. Н. Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии / В. Н. Клячкин. - М. : Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2009. - 302 с.

3. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - М. : Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910 с.

4. Клячкин, В. Н. Идентификация параметров контрольной карты Хотеллинга с учётом погрешностей измерений / В. Н. Клячкин, В. А. Сафин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 5. - С. 864.

Сафин Вадим Алиевич, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика»

УлГТУ.

Клячкин Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГТУ.