Контрольная карта Хотеллинга с предупреждающей границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

заданной нелинейным разностным стохастическим уравнением. Используя предлагаемую методику, можно найти и двумерную плотность распределения вероятностей ®{хк,Хк-\)> а значит, определить динамические

свойства случайной последовательности х{к). Здесь, при разложении

(о{Хк>Хк-\) в двумерный ряд Эджворта, необходимо использовать не

кумулянты, а кумулянтные функции.

Предложенный способ позволяет определить стационарную плотность распределения вероятностей при любых значениях коэффициента

корреляции случайной последовательности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Цветов М.А. Рекуррентные алгоритмы моделирования негауссовских помех // Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем: Тез. докл. Всероссийской НПК . Ульяновск, 1998. С. 15. 1

2. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь. 1985. 312 с.

Цветов Михаил Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры САПР, закончил Горьковский государственный университет по специальности «Радиофизика». Область научных интересов -моделирование и обработка случайных прог^ессов.

9

УДК 519.2+658.562.3

в.н.клячкин

КОНТРОЛЬНАЯ КАРТА ХОТЕЛЛИНГА С ПРЕДУПРЕЖДАЮЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ

Рассмотрен один из статистических инструментов диагностики технологического процесса с множеством коррелированных между собой показателей качества изготавливаемого изделия, которым является многомерная контрольная карта Хотеллинга. Для повышения чувствительности этой карты к смещению среднего уровня процесса предлагается наряду с контрольной границей (границей регулирования) использовать предупреждающую границу. Попадание двух точек подряд за эту границу свидетельствует о нарушении процесса. Приводится метод расчёта предупреждающей границы. Ч

ВВЕДЕНИЕ 'I

I

11ри статистическом контроле р показателей качества технологического процесса X = (Хи Х2, ... , Хр\ имеющих совместное нормальное

56

Вестник УлГТУ 4/2001

|чм1|н< ||Ч|1'|мк\ может быть использована контрольная карта Хотеллинга М Чип кпждой /-Й мгновенной выборки = 1, т) рассчитывается

/у 'Г | —

• ♦ »ии Iим! Хотеллинга Г, = и( X, - ро) ( X, - |1о), где п - объём им и., мши! выборки, - вектор измеренных средних значений ними»»нш I» качества в мгновенных выборках, р0 - вектор целевых средних,

ш |Гм1|Ючпия оценка ковариационной матрицы Е.

||»ИН|оимые значения статистики откладываются на контрольной карте. I (.»им и. кое значение статистики Хотеллинга на заданном уровне ■РДО1М4Н N1 ц, определяющее положение границы регулирования ИСЬ •« м. | » и,поп карты, находится с использованием таблицы квантилей

л

I |1мщ|'М1доления иСЬ = Ткр" = [ргп(п-1)/(тп-т-р+1)]Г\.а(р, тп-т-I)

11|мм|сн*с протекает нормально (статистически управляем), если

К * • г .- • •

II • лушс, когда ковариационная матрица Е известна, то

8 Ткр2 = х21-«(р), где Х2\-М - квантиль распределения

• м I-пидрпт порядка 1-а с числом степеней свободы р.

I -||нм Хотеллинга достаточно эффективна для обнаружения «мчин'ПМШх смещений среднего уровня технологического процесса

• им им итиующих в одномерной ситуации отклонению среднего уровня м|м и с I » п па два - три стандартных отклонения), однако небольшие смещения Н|"Н|1Ч)са часто могут быть проигнорированы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Модифицируем карту таким образом, чтобы повысить её •г, г- шитсльность к небольшим смещениям. В обычной карте Хотеллинга нПч.и'п. возможных значений контролируемой статистики разбита на два

л

»»»»'(множества: при Г, < ' ' / 'Гкр - область А, в шорой процесс

• » щи шчески управляем, и

ЦСЬ - область С, в ••шорой происходит

им рушение процесса.

И модифицированной Щ|||не Хотеллинга и I» о д 13 м

пополнительно

• •Iм дуй рождающую границу I 117.; область возможных •и 11 ч е! I и й контролируемой

Т2

Л

ись

и\У1

Рис. 1. Положение границ на контрольной карте

И.ч шик УлГТУ 4/2001

57

статистики разбивается при этом на три непересекающихся подмножества (рис.1): при Т} < 1ЛУЬ - область А, в которой процесс статистическ управляем, при 1Л¥Ь <Т,2 < 11СЬ - область IV, в которой процесс находится и «переходном» состоянии (в зависимости от того, как определяете положение предупреждающей границы, нахождение нескольких точек в этой области может свидетельствовать о нарушении процесса), и Т{ > 1]СЬ область С, в которой происходит нарушение процесса.

Предупреждающие границы различного типа используются и для контрольных карт Шухарта в одномерной ситуации, наприме «двухеигмовые» границы, разделение области значений статистики на тр подмножества при анализе неслучайных структур [3], карты арифметически средних с предупреждающими границами.

Определим положение предупреждающей границы 1ЛУЬ таким образом, чтобы попадание двух точек подряд в область ¡V свидетельствовало с» наличии заранее заданного опасного смещения среднего уровня .технологического процесса.

Если смещения нет, средняя длина серий должна соответствовать заданному уровню значимости и быть достаточно большой величиной. При наличии смещения заданного уровня средняя длина серий Ь определяем скорость реагирования карты на нарушение процесса и должна быть по возможности достаточно малой. При этом сигнал о необходимости додналадки процесса должен подаваться в одном из двух случаев: попадание контролируемой статистики в область С, или последовательное попадание] двух точек подряд в область ¡V\

РАСЧЁТ ПОЛОЖЕНИЯ ПРЕДУПРЕЖДАЮЩЕЙ ГРАНИЦЫ

Рассмотрим процесс контроля как цепь Маркова с тремя возможными состояниями: в состоянии ^ контрольная точка находится в области А; и состоянии ¿2 - контролируемая точка попала в область IV, а предшествующая ей находилась в области А, в состоянии происходи! нарушение процесса: или контролируемая точка попала в область С, или дно

точки подряд оказались в зоне IVII Пусть рА - вероятность попадания статистики Хотеллинга в область I, р1у _ вероятность её попадания в область Ж, тогда вероятность попадания \\ область С равна 1 - рА - р\у- Через р обозначим вектор вероятностен

состояний размерности <3*1>. ■

Переходная матрица Р размерности <3*3> строится с учётом тою обстоятельства, что состояние - поглощающее: из него невозможен переход ни в одно другое состояние. Из состояния возможен переход и любое состояние, включая и Из состояния возможен только переход и 51 и ¿з. Ненулевые элементы переходной матрицы Рп = Р21 = Ра I Р12 »1

Р13 = = 1 -РА~Р\У\ Р23 = 1 -РА \ Рзз = 1- |

58

Вестник УлГТУ 4/2001

Инигм поглощающую цепь Маркова, состоящую из одного

• ........... Л'з и двух невозвратных состояний и Обозначим блок

«• |ини' 1 и • 2*2> переходной матрицы, соответствующий вероятностям между невозвратными состояниями, через Р*, а соответствующий ♦и* пни 1 при исроятностей системы размерности <2*1> через р*.

Инициируемся основными зависимостями для поглощающих цепей Ц»мнн| | Среднее время пребывания в невозвратном состоянии у 11*1Ни имшедшего из невозвратного состояния /, определяется

.....«ними матрицы А = (Е - Р«)"1, а общее время, которое объект,

мм»- -ними н 1 / го состояния, проводит во всех невозвратных состояниях до

и-.......и и поглощающее состояние, определяется как компоненты вектора

*1 » Цг единичная матрица (в нашем случае размерности <2*2>), • ' юр столбец, состоящий из единиц.

♦ г чини длима серий в терминологии теории цепей Маркова - это I* ммч« м|ь ми первого достижения поглощающего состояния при выходе из

♦ < << -||>ук1ГО состояния, то есть Ь = р*1 а = р*1 (Е - Р*)"1 1.

Цмиикшця значения элементов матриц, получим зависимость для

и»« 1 редкой длины серий карты Хотеллинга с предупреждающей МНИн II / (М р\у)!\\- Ра (1+ риг)]. Из этой формулы и определяется |1М»*»ни. предупреждающей границы Ц№Ь с учётом, что вероятность рА

• »"мин . штнетикн Хотеллинга в область А нормального хода процесса

Г|/, 11\У1;) = Р(и]¥Ь). Вероятность р]У попадания статистики "«.....пни переходную область

/;„/ \\VWL < Г,2 < иСЬ) = Р(иС1) - ЩЛЩ,

х

ад=\/(х)с!х

о

♦ ••••■ним (и Центрального хи-квадрат распределения (рассматривается Шминф* М1|ны Хотеллинга при известной ковариационной матрице).

......ним контрольных границ 1]СЬ и 1Л¥Ь выберем такими, чтобы

»ми'нт, • I ними ми уровень значимости а при отсутствии смещения (А, = 0) • нщнмпзировать среднюю длину серий Ь.

ВЫВОДЫ

II ♦••Пи I нршюдсны найденные минимальные значения Ь средней длины <м мгмтружеппя смещения среднего уровня процесса, а также Р<*< »• и» ичмно значения границы регулирования иСЬ и

1мнк'11 границы иИ^Ь в зависимости от количества показателей р и параметра нецентральности X при шцин* ч пи-ми»!! тревоги для случая отсутствия смещения а = 0.002,

.1 IV /1/2001

59

0.005 и 0.01. Расчёты проведены в пакете МаЙ1са& Другие значения могут быть найдены интерполяцией.

Таблица 1. Положение границ и средняя ___предупреждающей границей

длина серий карты Хотеллинга с

10

а__

иа

ШУЬ

х=о

0.5

_ц>

1-5. 2.0 2.5 3.0

0.002 14.58 6.56 500 250 68.2 20.3 7.8

_3.9__

2.4

0.005 12.39 5.70 200 110 35.5 12.4 5.5

ЗЛ_

2.0

0.010 10.73

5.04 100 59.3 21.9

8.7 4.2

2.5

1.8

0.002

17.43

8.37

500

287

"89.8

27.5

10.3

49_

2.9

0.005 14.89 7.44 200 124

45.1

16.2 6.9 3.7 2.3

0.010 13.30 6.65 100 65.8 27.0 11.0 5.2 3.0 2.0

0.002 0.005

22.33 11.61 500 330 125 41.3 15.2 6.8 3.7

19.48 10.52 200 139 59.7 22.9 9.7 4.9 2.9

0.010 16.93 9.82 100

72.7 34.5

14.8 6.9 3.8 2.4

0.002 31.64 18.98 500 378 " 182

71.2

27.3 11.6 " 5.8

0.005 28.40" 17.61 200 157 82.9 36.6 16.0 7.7 4.3

0.010 26.43 16.39 100 80.5 45.9 "22.3 10.8 5.7 3.4

по горизонтальной оси - значения параметра нецентральности X, по вертикальной - 1п Ь

На рис.2 показаны графики средних длин серий для обычной карты Хотеллинга и для карты с предупреждающими границами для двух и десяти показателей. Сравнивая карты, видим, что использование предупредительных границ повышает чувствительность карты в диапазоне наиболее важных с практической точки зрения смещений X = 1...2 в зависимости от величины смещения и количества контролируемых показателей от 10 до 23%.

Вестник УлГТУ 4/2001

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I Sh im. и.пину Д Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.

I Й м-1 и ни И,11 < 'ривпительный анализ моделей многомерного статистического I I||И1 и 1фн|м<п //11лдсжкость и качество: Труды международного симпозиума. Пенза,

h и I IUI) Л02

• 111м« |» И М 1и 1.0 pa's о контрольных картах и вокруг них // Надежность и контроль

м , IUVN №12, С.3-13.

• I • •• им Д , < полл Д. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970. 272 с.

> .......г |i И Ннсдсние в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. T.l. М.: Мир,

ИИ t.'Hn '«

• I i ............

тчьип Нлш)имир Николаевич, кандидат технических наук, доцент,

.....и мтиштсмромпельный факультет Ульяновского политехнического

им, ntnnwhi Старший научный сотрудник кафедры «Прикладная 1М'н»чмi'of^/м/ и информатика» УлГТУ. Имеет статьи в области контроля

* I'm ........ ii(H)i\)iciiocmut регрессионного анализа.

II. Iпик УлГТУ 4/2001

61