CC BY
13
2003
Доклады БГУИР
январь- март
Том 1, № 1
УДК 681.511.4
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ ИМПУЛЬСНО-ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
М П. БАТУРА, А П. КУЗНЕЦОВ, Н А. КАПАНОВ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 14 января 2003
Материалы данной статьи посвящены вопросам статистического анализа нелинейных импульсных систем. Статья содержит три раздела. Первый раздел посвящен общим вопросам статистического анализа нелинейных систем приближенными методами, за основу авторами взят метод Галеркина приближенного расчета апостериорной функции распределения вероятностей. Второй раздел посвящен описанию математической модели системы импульсно-фазовой автоподстройки частоты, работающей на кратных частотах. Данная модель взята в качестве объекта анализа в силу того, что уравнения, описывающие динамику системы, в отличие от уравнений, описывающих динамику систем импульсно-фазовой автоподстройки частоты с триггерным фазосравнивающим устройством или с устройством, работающим по принципу выборки-запоминания, не являются трансцендентными, т. е. их анализ несколько упрощен. Третий раздел посвящен вычислению статистических характеристик методом Галер-кина для системы, математическая модель которой описана во втором разделе, а также приведены результаты численного расчета коэффициентов разложения в ряд функции ПРВ. Данные результаты могут также характеризовать скорость сходимости ряда.
Ключевые слова: статистический анализ, метод Галеркина, импульсно-фазовая автоподстройка частоты.
1. Метод Галеркина для приближенного расчета функции распределения вероятностей
Рассмотрим приближенный способ вычисления функции плотности распределения вероятностей (ПРВ) К(х) на основе метода Галеркина.
Пусть Щх)«^(х). Функция Жм(х) определяется в следующем виде:
N
к (х)=Е ^ N)<р„ (х), (1.1)
п=0
где {^п(х)}, п=0,1, ..., — полная система ортогональных на интервале (-п,п) функций.
Функция WN (х) должна удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма, поэтому должно быть справедливо равенство:
п
WN(х)—\Ч1 (х/г) )Кп(х)сЪ, (1.2)
-п
ад
где х е (-п, п), (х/ г) = ^ + 2пп/ г) — переходная ПРВ, приведенная к интервалу (-п, п).
—ад
Для произвольной функции _Дх) на этом основании можно записать соотношение:
п
I I (х)
-п
п
(х)- | д(х/2)Жм(х)сЪ
-п
N
ёх = 0.
По условию система {р„(х)} - полная, поэтому справедливо разложение:
I(х)= Е I Р (х). т = 0
Подставив этот ряд в (1.3), получим
п
Е 1т I Рт
т=о -п
I Рт (х)
п
WN(х)- I ч(х/1)ШАТ(х)сЪ
N
-п
ёх = 0.
Отсюда следует
п
-п
п
WN(х)- | q(x/z)WAT(х)сЪ
N
-п
р (х )ёх = 0 , m=0,1,
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Выберем коэффициенты сп(К) так, чтобы были равны нулю первые из интегралов (1.6). Такой подход соответствует нулевой проекции ортогональности невязки:
л
г(х) = WN(х)- Iq(x/z) WN(хё = 0
(1.7)
на подпространство первых (N+1) функций фт(х). Запишем (1.6) в виде
п п п
I wN00 I q(x/z)pm{^Лс^ = | wN(х)рт(х)ёх , т=°л...
- п -п -п
С учетом ортогональности функций фт(х) в правой части (1.8) имеем:
п
N
п
I WN (х )Рт (х )ёх = Е С„ (^ I Р„ (х)Рт (х )ёх = Утт (]Я)
-п
„ = 0
-п
(1.8)
(1.9)
п
где у = I р2 (х) ёх . тт
-п
Обозначим интеграл I q (x/z) рт (х) ёх = ¡т () = {д (), рт ), где рт) — скалярное -п
произведение функций q(x/z) и рт(х).
N
В результате слева в (1.8) получим сумму Е ат„с„ ^), где ат„ = (¡т (z ),Рт ()).
I
е
т— о
Таким образом, коэффициенты ет(К), т=1,2,...^ должны определяться из системы линейных алгебраических уравнений:
N С а ^
2 ^ Сп ^ ) = Ст ^), т = 0,1,...,N.
п=0
(1.10)
V Ут J
УС*)
и(М
ям
2. Математическая модель системы импульсно-фазовой автоподстройки частоты,
работающая на кратных частотах
Рассмотрим систему импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) при К2=1 (делитель в цепи обратной связи отсутствует). Синхронизация системы производится на частотах, кратных входной, причем коэффициент кратности выбирается либо внешними устройствами (например, дополнительный канал установки частоты), либо в силу собственных характеристик системы. Такое построение системы ИФАПЧ позволяет упростить схему, так как делитель цепи обратной связи является сложным цифровым устройством, а так же избавиться от шумов, вносимых делителем.
На рисунке представлены временные диаграммы работы такой системы
Пусть непрерывная линейная часть системы (НЛЧ) описывается уравнениями состояния вида
П
ф п+1
и,,
СГ
Ип
И п+1
1 п+1
Временные диаграммы работы системы импульсно-фазовой автоподстройки частоты: tn — момент появления п-го импульса сигнала у(() опорного генератора, Нп — амплитуда выборки на п-ном периоде дискретизации, ит — амплитуда синусоиды, Ч/п — начальный сдвиг фаз для п-го периода
^ = Ах () + В в(), Л
г (() = С х (() + Б в (().
Изменение вектора состояния х(0 на интервале времени t е [^п, имеет вид
п+1
х () = Ф( — гп )хп + \ф( — м)Вкпйи.
(2.2)
где Ф(^=ем — фундаментальная матрица состояния (матричный экспоненциал), хп=х(^п) — вектор состояния в момент времени tп .
Полагая в (2.2) 1=1п+1 и проведя операцию интегрирования, получаем разностное уравнение непрерывной линейной части системы:
= Ф(Т) хп + А 1 (Ф(Т) — Е )ВИп,
(2.3)
где Е— единичная диагональная матрица, А—1 — обратная матрица.
Набег фазы выходного сигнала co(t)=z(t)+g(f), где g(t) — частота расстройки управляемого генератора, на интервале [^ , будет определяться следующим выражением:
Р п = (()Л .
С учетом (2.1) и (2.3), выражение (2.4) принимает следующий вид: р п = СА— (Ф(Т) — Е) — СА^ТВИп + СА— фф(Т) — Е) В Ип + БИпТ + gnT.
(2.4)
(2.4)
п
х
Определим сдвиг фаз ^+1 как ¥п+1 = Т + Р п - , (2.5)
где j — отношение выходной частоты к входной в установившемся режиме. Уравнение импульсного модулятора имеет вид
к { Т , . (2.6)
п+1=ит ^
Предположим, что подстраиваемый генератор представляет собой линейный безынерционный элемент, с коэффициентом передачи К. Тогда значения выходной частоты для бесфильтровой ИФАПЧ в дискретные моменты времени определяются следующим выражением:
2п=Кьп+8п (2.7)
Набег фазы выходного сигнала с (0 на интервале [¿п , ¿п+1] будет определяться, как (pn=KhnT+gT. Тогда математическая модель, описывающая динамику системы при £=сопб1;, с учетом действия шума и (2.6) имеет вид:
Хп+1=Хп-Т'овт Хп+Тов+Пп, (2.8)
2п j £
где Т0=-КТит, в =---1---+ 1, хП= Г„, пП — центрированный дискретный
ктит кит
т т
гауссовский шум с дисперсией Б=а2.
3. Вычисление статистических характеристик систем фазового управления приближенным методом
Рассмотрим импульсную систему с фазовым управлением, работающую на кратных частотах. Математическая модель такой системы получена в разделе 2 и для бесфильтровой системы с учетом действия шума имеет вид (2.8).
Определим ПРВ сигнала рассогласования хП. Из выражения (2.8) следует, что сигнал рассогласования хП является марковским случайным процессом. Следовательно, его ПРВ удовлетворяет уравнению (1.2) и
7л12п
е
-(х-г +Т0$т г-Т0в )
^ , (3.1)
для ге [-п, п] в случае гауссова шума.
Возьмем в качестве системы ортогональных функций {фт(х)} систему тригонометрических функций {1, бшх, соБх, б1п2х, соб2х,...}. В этом случае
,„ / \ I соб тх, 1 = 2к, к = 1, да,
Т. (х ) = \ - т = \
1 I Б1п тх, 1 = 2к +1, к = 1, да;
— ,1 = 2к,к = 1, да, 2
((+1) • , ;-
^-— = 2к +1, к = 1,да ;
(3.2)
I 2п,т = 0 ,
У т = \ ф 0 (3.3)
[п, т Ф 0.
Вычислим скалярное произведение /т(г)=(д(г), на всей числовой оси значений
хе(-да, да), т.е.
1
lm (z )=¡ q(x/z )rm (x) dx. (3.4)
Тогда получим [2\
l = m
2 2 - m o
2
z cosm
z - Tn (sinz
,i = 2k, к = 1,<x>;
22 - m o
2
e z sinm
(3.5)
z - Tn (sinz -в)
,i = 2k + 1,k = 1,<x>.
0
Далее вычислим коэффициенты aij. Воспользуемся соотношениями из [55]: п Г 1 п
¡sin(zsin x) sin nx dx = [1 -(-1)n]J„, (3.6)
п Г 1 п
¡cos(zsin x) cos nxdx = [1 + (-1)) ]— Jn. (3.7)
av = <
Тогда имеем
п А[/т—п (тТ0) + Зп+п (тТ0)],/ = 2к +1,] = 2к,к_ = 7^,
п А[[п—п (пТ0 )— Jп+n (пТ0 = 2к + }, к = 1,ад,
п В[[п—п (пТ0 )+ ^п+п (пТ0 ^^^ = 2к,к = },ад, _
— п В[[п—п (пТ0 ) — Jm+n (пТ0 )] , * = 2к, j = 2к + 1,к = }, ад,
(3.8)
т2 ф 2/2 п}}20 2/2
где А = е со^пТ^Р ; В = е ^тшТ^Р ; Jk — функция Бесселя пер-
вого рода порядка к.
Очевидно, что
а ={ 0,п * 0, а =¡2 п AJm(пT0),i = 2к + 1,к = , 0п [2п ,п = 0; п0 [ 2 п А Зп(пТ0), * = 2к,к = 1,ад .
Из условия нормировки ПРВ определяем
п п
IWN (х)Сх = Iс0(^Сх = 2 пс0^) = 1. (3.10)
-п
Отсюда следует с0(Ж) = 1/2 п.
Запишем п—ю строку системы (1.10) в форме
Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. (3.11)
где п = 0,1,.. При п=0 приходим к тождеству. Поэтому система уравнений содержит N строк ( п=1,2,.. .,N1 и может быть представлена в матричном виде:
[ — А] =Р1, (3.12)
e
-п
где Е —единичная матрица размером ЫхЫ, А —матрица с элементами атп/ут=атп— т, п= 1,Ы;
4 = [ (К\...,€„ (К)) , = [в 1,в 2, "', в N ]Т ,
в т = (а т0/У т (( = а т0/2П ,
Точное значение ПРВ находится в форме предельного соотношения
W (х )= 11т WN (х ).
N ^ да Тогда
(3.13)
W(х) = Ё Сп ТП (х) = Т— + Ё АП Пх + ВП 51ППх ,
2п П=1
(3.14)
п=0
где с = 11т с (N).
п пх '
N ^ да
Быстрота сходимости характеризуется табл. 3.1-3.2. Расчет АП выполнялся при в=0 (В=0),
А= еа 22, а2=Т0(2-Т0)1р, р =1, Т0 =0, с = Ап (табл. 3.1) и Т0=уаг (табл. 3.2).
При расчете функций Бесселя JП (х) использовалось соотношение из [3]
л=|х\ ё(- 1)к
п=0
(х/2)2к к! (п + к)!'
(3.15)
Таблица 1. Расчетные значения масштабированных коэффициентов Ап
при числе слагаемых
Ап п
1 2 3 4 5 6 7
10Л! 1,5753 1,4113 1,4163 1,4163 1,4163 1,4163 1,4163
102А2 - 3,3144 3,2246 3,2246 3,2260 3,2260 3,2260
103А3 - - 4,7645 4,7131 4,7136 4,7136 4,7136
104А4 - - - 4,8976 4,8773 4,8775 4,8775
105А5 - - - - 3,7758 3,7703 3,7703
106Аб - - - - - 2,2486 2,2476
107А7 - - - - - - 1,0545
Таблица 2. Расчетные значения масштабированных коэффициентов Ап на интервале дискретизации
Ап Т0
0,5 0,1 0,05 0,01 0,001 0,0001
10А[ 1,4527 1,4163 1,4179 1,4202 1,4208 1,4209
102А2 2,7539 3,2260 3,3173 3,3935 3,4410 3,4127
103А3 2,4445 4,7136 5,1368 5,4855 5,5647 5,5726
104А4 1,0351 4,8775 5,8433 6,6699 6,8603 6,8795
105А5 0,2092 3,7703 5,1787 6,4807 6,7903 6,8216
2
STOCHASTIC ANALYSIS OF THE IMPULSE PHASE-LOCK LOOPS SYSTEMS
M.P. BATURA, A.P. KUZNETSOV, N.A. KAPANOV Abstract
The materials of given paper are devoted to questions of the statistical analysis of nonlinear pulse systems. The paper contains three units. The first unit is devoted to common questions of the statistical analysis of nonlinear systems via approached methods. As a basis authors take a Galerkin's method of approached account of distribution-function of probabilities. The second unit is devoted to the description of mathematical model of system of phase-impulse auto tuning of frequency working on multiple frequencies. The given model is taken as the object of the analysis as the equations which describe dynamics of system against the equations of systems, describing dynamics of system of phase-impulse auto tuning of frequency with trigger phase-comparison element or with an element working on selection and memorization principle are not transcendental , i.e. their analysis is a little simplified. The third unit is devoted to calculation of the statistical characteristics via Galerkin's method for a system, which mathematical model is described in the second unit, and also the results of numerical account of factors of series expansion of distribution-function of probabilities. The results can also characterize speed of convergence of series.
Литература
1. Кузнецов А.П., Батура М.П., Шилин Л.Ю. Анализ и параметрический синтез импульсных систем с фазовым управлением. Мн., 1993.
2. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я. Статистическая динамика нелинейных систем радиоавтоматики. Часть I. Анализ непрерывных и дискретных систем первого порядка. М., 1992.
3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962.
