CC BY
61
2013
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 189
УДК 621.396
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СИГНАЛА ОШИБКИ В НЕПРЕРЫВНОЙ И ДИСКРЕТНОЙ ФАП ПРИ НАЛИЧИИ ПРИЦЕЛЬНОЙ ПОМЕХИ
Б.И. ШАХТАРИН, Т.Г. АСЛАНОВ
В данной статье рассмотрены методы расчета плотности распределения вероятности (ПРВ) сигнала ошибки в непрерывных и дискретных системах синхронизации при наличии комбинированной помехи. Приводится уравнение, определяющее ПРВ для непрерывной фазовой автоподстройки (ФАП) и его решение, при наличии прицельной помехи. При этих же условиях показано получение ПРВ сигнала ошибки приближенным методом Галеркина в случае дискретной фазовой автоподстройки.
Ключевые слова: фазовая автоподстройка, дифференциальное уравнение, отношения сигнал/шум.
1. Вычисление статистических характеристик дискретной ФАП при наличии прицельной помехи методом Галеркина
Рассмотрим приближенное вычисление ПРВ W(x) на основе метода Галеркина [1; 2]. Пусть W(x)» WN (x); WN (x) = ^ сл (N)ya (x).
Функция Wn (x) должна удовлетворять интегральному уравнению Колмогорова - Чепмена,
поэтому в данном случае будет справедливо равенство WN (x)- £ q1 (x^)WN (z)dz = 0, где
xe (-p,p); q1 ^z) = X¥=-¥ q(x + 2pn|z) переходная ПРВ, приведенная к интервалу (-п, п). Запишем вид переходной ПРВ, приведенной к интервалу (-p; p).
q(x | z) = [exp(- [x - z + T0 h1 (z)] V2s 2 ^(V^s) (1)
где A( z ) = (1 + e) sin (z)-p. (2)
Для произвольной функции f(x) на этом основании можно записать соотношение
£ f(x)[Wn(x)-£q1 (x| z)Wn(z)dx]dx = 0. (3)
По условию система {yn(x)} (n=0,1,2...) - полная, поэтому справедливо следующее разложение f (x) = *Y7m=0 fmУm (x), подставив этот ряд в (3), получим
im=0 fm í_> m (x)[Wn (x)-£ (x| z)Wn (z)dx\ix = 0.
р
Отсюда следует
ПК(х)-£Я(х| т(х)ёх = 0; т = 0,1... (4)
Выберем коэффициенты сn(N так, чтобы были равны нулю первые из интегралов (1). Такой
подход соответствует нулевой проекции невязки вы (х) = Шы (х)- [ я1 (х | z)ЖN(z)dz, на подпро-
-
странство (N+1) функций ^т(х). Запишем (4) в виде
Ц (^£ Я1 (х 1 ^ т (х)^ = £ ^N (z)Vт (х¥х т = 0,1....
С учетом ортогональности функций ут(х) в правой части получаем
т (х¥х = ЕП=0 Сп МЦу п (х)у т (х¥х = У тСт М Где Ут = £ УI (хУх.
Обозначим интеграл Г я1 (х | z)yт (х)ёх = 1т (z) = (я, ут), где (я, ут) - скалярное произведе-
-
ние функций Я^х^) и ут(х).
В результате получаем сумму ^л=0 amncn N, amn = (4 (4 VB (z))
Таким образом, коэффициенты cm(N) (m = 1, n) должны определяться из решения системы линейных уравнений
IN=0(amnlgm)cn(N)= Cm(N); m = 0^N (5)
ГЖ amn = (lm (4 V n (4).
Так же, как и в случае отсутствия помехи в качестве системы ортогональных функций возьмём систему тригонометрических функций {ym (x)} = {1;sin(x);cos(x);sin(2x);cos(2 x)...};
ÍVm (л)} = {l; sin(x) cos(x); sin (2 x); cos(2 x)...};
, ч [cos(mx) при i четном; [2— при m = 0;
Vi (x) = \ . ( ) gm = <¡ _ (6)
[ sin(mx) при i нечетном; [л при m Ф 0.
Найдем выражение для вычисления aj, где i, j - номера столбцов и строк в матрице. Введем обозначения m = {i/2 при i четном; (i +1)/2 при i нечетном}.
Вычислим lm(z). По определению lm(z) = j q(x | z)ym(x)dx. При i чётном lm(z) примет вид
lm(z) = q(X1 z) cos(mx)dx (7)
После введения замены t = [x - z + 70A (z)] и подстановки (1) и (2) в (7) получаем
-i -ms2
lm(z) = j"Ppjlpse2s2 cos[m(t + z- T0 (1 + e)sin z + T0p)]dt = e 2 cosm(z- T0 (1 + e)sin z + T0p).(8)
При i нечётном lm(z) примет вид lm(z) = j q(x | z)sin(mx)dx. По аналогии получаем оконча-
2 /
тельный результат lm(z)= e_ms '2sinm(z- T0(1 + e)sinz + 70b).
Вычислим коэффициенты aij. Рассмотрим случай, когда i и j чётные.
Подставим в выражение (5) выражения (8) и (6) и воспользуемся соотношениями [3] j— sin(zsin (x))sin nxdx = j— cos(zsin (x))cos nxdx = 1 -(- 1)n — Jn (z),
•ю »0 2
тогда a j = —-1e"mv/2 cos^) J^ n (mT0 (1 + e)) + ((m - n)/\m - n|)m-n| J^ ^ (mT0 (1 + e)).
По аналогии вычисляются коэффициенты при других значениях i и j. Запишем окончательный вариант
—Л[Jm-n(mT0(1 + e))+ Jm+n(mT0 (1 + e))] при i, j четных; —A[Jm-n(mT0 (1 + e)) - Jm+n(mT0 (1 + e))] при i, j нечетных; —A2 [Jm-n(mT0 (1 + e))+ Jm+n(mT0(1 + e))] при i нечетном, j четном;
—A [Jm-n(mT0 (1 + e)) - Jm-n(mT0 (1 + e))] при i четном, j нечетном.
2 2/ 2 2/ Здесь A = e~m s cos(mTb); A2 = e~m s '2 sin(mT0P); J¡(z) - функция Бесселя первого рода
порядка k.
0 при n Ф 0; [2—AJm (mT0) при i четном;
2— при n = 0; m0 [2—AJm (mT0) при i нечетном.
aj
Очевидно, что a0n = < ' am0
Из условия нормировки ПРВ определяем [р (х)сХ = Г с0 (Ы)с1х = 2яс0 (Ы) = 1. Отсюда следует с0(Л/)=1/2л. Запишем т-ю строку ст системы в форме [4] Ст(^ = (ат1 УтЫЮ+... +(атм /УтУмМ+Кт/Ут)СоМ где т = При т = 0
приходим к тождеству, поэтому система уравнений содержит N строк ( m = 0, N ) и может быть представлена в матричном виде [i - A]CN = ßN, где I - единичная матрица размером Nx N; A -матрица с элементами amn/gm = amn/p, m, n = 1, N; C*N - вектор; C*N = [q(N), c2(N),..., cN(N)]T;
ßN -вектор; ßN = [ßi, ß2,..., ß n Y; ßm = (amo/Ym k (N) = ^o/2p2. Точное значение ПРВ находим в форме предельного соотношения W(x)' = limN®¥ WN(x), W(x)' = limN®¥ WN(x), тогда W(x)' = limnWn(x), тогда, если обозначить cn = limncn(N).
W (x) = ^N=0 cn (N)Wn (x). (9)
2. Анализ ПРВ сигнала рассогласования в непрерывном режиме
Если принять воздействующий на ФАП сигнал в виде s(t) = A sin (a^t + 0j), а помеху в общем случае в виде un (í) = eA sin [(a + AW) t +0( t ) + 0j ], где s - это ОПС; А - среднеквадратическое значение напряжения полезного сигнала; AW - разность частот сигнала и помехи; 0(f) - разность фаз сигнала и помехи. Воспользуемся стохастическим уравнением [5]
N
KAPX F (Р)
sin x + ^ e2- sin (x + DW¿t + A0¿) + — пш (t)
1=1 A
(10)
где b = Wq/KA - относительная расстройка по частоте эталонного колебания и сигнала с выхода УГ; e2- = A^/A; AW2- = W2- -Wq; A02- = 02- -0q; i = 1, N, Wq и 0q - начальные расстройки по частоте и фазе между эталонным колебанием и сигналом на выходе УГ; W2- и 02- начальные расстройки по частоте и фазе 2-й составляющей относительно частоты и фазы на входе УГ; пш (t) - БГШ, имеющий двустороннюю спектральную плотность Nq/2 (Вт/Гц).
Используя уравнение (10), придем к следующему стохастическому ДУ [6] x (t) = р - KF (p) [ A sin x + eA sin (AW t + x + A0 (t)) + пш (t)].
В случае прицельной помехи AW = 0, а также полагая Р = 0 , получим стохастическое ДУ ФАП первого порядка х '(t ) = - K [ A sin x +eA sin (x + 0(t)) + пш (t)].
Это ДУ можно привести к виду [6]
x'(t) = -a(t) Ksin[x+y(t)]- КПш (t), (11)
где a (í) = A^[1 + e cos 0( t)] 2 + [e sin 0( t) ]2, (12)
y( t) = arctg [e sin 0(f) / (1 + e cos 0( t))]. (13)
Следует отметить, что изменение во времени сигнала рассогласования x в режиме слежения определяется двумя возмущающими факторами: пш (t) и 0(t), причем 0(t) является медленно меняющейся функцией по сравнению с широкополосным гауссовским шумом пш (t). Вследствие этого новые переменные a(t) и y(t) также будут медленно изменяться по сравнению с пш (t) и в результате можно пренебречь производной dy¡ dt по сравнению с dx/ dt.
Для того, чтобы получить ПРВ W(x), в (11) необходимо заменить a(t) и y(t) на их мгновенные значения, так как a(t) и y(t) изменяются значительно медленнее по сравнению с x.
Используя стандартный переход от (11) к уравнению ФПК и решая это уравнение, получим условную ПРВ W(X е, y)' W(e, y), а после интегрирования по всем значениям a и y получим
совместную ПРВ W(X e, y), в результате получим искомую ПРВ W(x).
Совместная ПРВ W(e, y) при a и y, определяемых по (12), (13), может быть найдена, если известна ПРВ случайной величины 0.
Используя [7], получим совместную ПРВ W(e,y) в виде W(a,y) = ad(B-eA)/2pB, где
B = -у/a2 + A2 -2aAcosy, A(1 -e)< a< A(1 + e); arcsin(-e)<y< arcsin(e), и, кроме того, W( e, y) = 0 в другой области.
Для удобства целесообразно в ПРВ произвести замену a' = a/ A. Тогда
W(a',y) = —a— 8(C-e), где C = \J 1 + a'2 -2^ cosy , при этом диапазон преобразуем к виду ^ ' 2pC
1 -e< a, < 1 + e.
На основе ДУ (11), переходя к уравнению ФПК и решая его, приходим к аналогу формулы Тихонова [4] W(Xa',y) = evcos(X+y) /2pIo (v); -p< x< p, где Io (v) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, а параметр v - это ОСШ, определяемое равенством v = 4 a/ KN0. Заменяя величину v на произведение a'г, где г = 4A/KNo - ОСШ в отсутствии помехи,
получим W (Xa', y) = era'cos( X+y) /2pI0 (a).
Используя ранее полученные соотношения, получим искомую ПРВ в виде W(x) = J J W(Xa,,y) W(a',y)da'dy.
y a'
Используя фильтрующее свойство дельта - функции, получим
2
1 ¿. т ^
w ( x)=-^ Z J
4p2 n =1 y1
еГ cos( X+y) cos y + (-1)nf (y)
Io (г co 5y + (-1)nf (y) )
f (y)
dy, (14)
где f(y) = ^cos2y-(1 -e2), yj = arcsin(-e); y2
^ arcsin e.
На рис. 1 приведены ПРВ сигнала рассогласования ФАП. Кривые 1, 2, 3 рассчитаны по формуле (9) и кривые 4, 5, 6 по формуле (14) при Г0=0.5. Кривые (1) и (4) получены при р=10, (2) и (5) при р=13, (3) и (6) при р=16. Рис. 1а получен при 8=0.5, 1б - при 8=0.7, 1в - при 8=0.9.
а б
Рис. 1. ПРВ сигнала рассогласования при s=const
в
Таким образом, результаты сравнительного анализа ПРВ сигнала ошибки для непрерывных и дискретных ФАП при прицельной помехе показывают при постоянном значении 8 незначительные расхождения дискретной и непрерывной ПРВ при малых значениях ОСШ, в то же время при больших значениях воздействие прицельной помехи сказывается сильнее на дискретную систему фазовой автоподстройки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
2. Chie C.M. Mathematical analogies between first-order digital and analog phase-locked loop in white Gaussian noise // IEEE Trans. 1978. Vol. COM-26, № 6. - P. 860-865.
3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1962.
4. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. - М.: ИПРЖР, 1996.
5. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. - М.: Радио и связь, 1998.
6. Sarcar B.C. Phase error dynamics of a first order phase-locked loop in the presence of co-channel tone interference and additive noise // IEEE Trans. M., 1990. V. COM-38. № 7. PP. 962-965.
7. Sarcar B.C. On the joint statistics of amplitude and phase of a signal with co-channel interference // Proc. IEEE. M., 1988. V. 76. N 3. PP. 298-299.
DENSITY OF DISTRIBUTION OF PROBABILITIES OF THE SIGNAL OF THE MISTAKE IN CONTINUOUS AND DISCRETE PLL IN THE PRESENCE OF THE AIM HINDRANCE
Shakhtarin B.I., Aslanov T.G.
In this article methods of calculation of the density of distribution of probability (DDP) of a signal of a mistake in continuous and discrete systems of synchronization in the presence of a hindrance are considered. The equation defining DDP for a continuous phase-locked loop (PLL) and its decision, in the presence of an aim hindrance is given. Under the same conditions receiving DDP of a signal of a mistake by Galerkin's approximate method in a case of a discrete PLL is shown.
Key words: phase-locked loop, differential equation, SNR.
Сведения об авторах
Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую Военно-воздушную инженерную академию им. А.Ф. Можайского (1958) и ЛГУ (1968), заслуженный деятель науки и техники РФ, лауреат государственной премии, доктор технических наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 200 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов, фазовые системы синхронизации.
Асланов Тагирбек Гайдарбекович, 1988 г.р., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана (2011), аспирант МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 20 научных работ, область научных интересов - системы синхронизации, сейсмологии, радиолокации.
