Статистическая динамика системы синхронизации при воздействии комбинированных помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396.66

Б. И. Шахтарин, Т. Г. Асланов

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КОМБИНИРОВАННЫХ ПОМЕХ

Рассмотрены статистические характеристики фазовой автоподстройки при комбинированном воздействии (при наличии на входе аддитивной суммы сигнала, гармонической помехи и шума). Проведен сравнительный анализ двух подходов к вычислению плотности распределения вероятности сигнала рассогласования фазовой автоподстройки

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: помеха, фазовая синхронизация, отношения сигнал/шум и помеха/сигнал.

Последние десятилетия характеризуются широким применением систем синхронизации. Наибольшее распространение они нашли в радиосвязи и радионавигации, а также в следящих системах.

Все эти системы работают в условиях воздействия помех [1-3].

Дальнейшее совершенствование систем синхронизации за счет улучшения конструктивных и технологических решений имеет предел, обусловленный воздействием флуктуаций и помех естественного и искусственного происхождения.

Помехоустойчивости систем синхронизации посвящено много работ, в частности [1-5].

Проанализируем статистическую динамику системы синхронизации при воздействии на нее фазовой автоподстройки (ФАП) комбинированных (шумовых и гармонических) сигналов и выполним сравнительный анализ результатов исследования, представленных в работах [4] и [5].

Плотность распределения вероятностей сигнала рассогласования ФАП первого порядка по методу [4]. В работе [4] рассмотрена безынерционная ФАП при шумовом воздействии. В этом случае стохастическое дифференциальное уравнение ФАП для сигнала ошибки описывает скалярный марковский случайный процесс.

При учете кроме шумовой еще и гармонической помехи [4] уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова относительно плотности распределения вероятностей (ПРВ) Ж(х, ¿) сигнала рассогласования имеет вид [4]

dW д

[w (х, t)[J0 (x )sin x -ß]}

1 д 2W

(1)

dt дх

где /3 = f3-sJx (xi ); xi — амплитуда первой гармоники предполагаемого решения исходного дифференциального уравнения ФАП при отсутствии шума; r — отношение сигнал/шум (ОСШ); Jo(xi) и Ji(xi) — функции Бесселя соответственно нулевого и первого порядка; Р — нормированная начальная частотная расстройка между частотой управляемого генератора и частотой входного сигнала; е — отношение помеха/сигнал.

Предположим, что имеет место стационарный режим работы ФАП. Тогда W (x, t) = W (x), dW¡dt = 0 и с учетом уравнения (1) получим

dW + ph (x)W (x) = Go, (2)

dx

где h (x) = J0 (xi) sin x -/; / = /- sJi (xi); G0-const; p = rJ0(xi). (3) Решением дифференциального уравнения (1) является [4]

W (x ) =

pcos x

e

2nRz

(-i)n _

I0 (p) + —( cosnx-nsinnx)ln (p)

n=i n + V

(4)

при этом Rs определяется соотношением

shnv

\i, (P)|2=shnv

nv

102 (p)+ V ¿ .(-i)ni" (p)

_ 2—2 n" n2 +V2

nv

Rz, (5)

где V = ¡г; /¿У(р) — модифицированная функция Бесселя мнимого порядка.

При Р = е = 0 из выражения (4) следует формула Тихонова Ш (х ) = / с°8 V [2Я1о(г )].

При е = 0 и Р ф 0 получим формулы для расчета ФАП с синусоидальной нелинейностью без учета гармонической помехи [1]. Наконец, при е ф 0 и Р ф 0 можно установить формальную аналогию между выражением (4) и соотношениями [1] для расчета обычной ФАП с синусоидальной нелинейностью, если ввести приведенную расстройку по частоте ¡5 = ¡-sJ1(x1) и ОСШ р = г/0(х1).

Тогда ПРВ сигнала рассогласования будет зависеть как от ОСШ г, так и от амплитуды первой гармоники х1 = е / С [4], где d = АО / О (АО — отстройка по частоте сигнала и гармонической помехи; О — полоса синхронизации ФАП).

Плотность распределения вероятностей сигнала рассогласования по методу [5]. В работе [5] при комбинированном воздействии на ФАП получена ПРВ сигнала рассогласования ФАП второго порядка, которая в случае первого порядка принимает вид

W (x ) =

1

х+2ж

\liv(rMo)\

_ßvx+rMq cos(x+P0) | ß-[vy+rM0 cos(y+P0)]]y (6)

Здесь v = ßr; P0 = arctg

Л

; Mq =yj A2 + A22; Ai = Jo(^) +

V ' ч У

+ х-^ътщ; А2 — е/1(х1)со%щ, где у — фазовый угол первой гармоники.

Тогда

Po = arctg

' АЛ

V Ai У

sJ1(c1)cos^ J0 (c1) + s J1 (c1 )sin щ

M0 = ^A12 + A22 = JX1))2 + 2sJ0(x1)J1(x1)sin^ + (sJ1(x1)) . (7)

Формула (1) может быть преобразована:

x'+2^

W, (x') =

Iv(rMo ))

- evx'+rMo cos x I g-(vy'+rMo cos У'))' (g)

где у' — у + Р0; х' = х + Р0.

Последнюю формулу путем преобразования [1] можно выразить в виде ряда (3) при у — у, р — гМ0 :

W (z ) =

pcos z

ад / л\П

10(p) + 2vZ 2 -2 (vcosnz"nsinnz)I1«(p)

n=1 « +v

(9)

где z = x .

Если в формуле (7) пренебречь вторым и третьим слагаемыми под знаком квадратного корня, то получим гМ0 — г/0( х1) — р, как и в

предыдущем случае (см. уравнение (3)).

На рис. 1 приведены ПРВ сигнала рассогласования ФАП, рассчитанные по формуле (4). Видно, что при разнонаправленном рассогласовании и Р дисперсия больше, чем при сонаправленном. Кривая 1 соответствует АР = 2, кривая 2 — АР = -2.

□ 100 200 300 400 500 600 700 300 Э00 1000 Рис. 1. Расчет ПРВ по методу [4] при г = 2, а = 1, р = 0,5

ПРВ сигнала рассогласования ФАП, представленные на рис. 2 и 3, получены при использовании формулы (3) — кривая 1, формулы (6) — кривая 2, формулы Тихонова — кривая 3.

0.7 0.6

-Л 0 71

Рис. 2. Расчет ПРВ по методам [4] и [5] при г = 2, а = 1, р = 0, Ар = 2

0.7 0.6

Рис. 3. Расчет ПРВ по методам [4] и [5] при г = 2, а = 1, р = 0,5, Ар = 2

На рис. 4-6 показаны ПРВ сигнала рассогласования ФАП, рассчитанные по формуле (3) — кривая 1, по формуле (6) — кривая 2.

0.5-1-1-1-1-1-1-1-1-г

0_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

-Л 0 7Г

Рис. 4. Расчет ПРВ по методам [4] и [5] при г = 2, а = 1, р = 0,5, Ар = -2

0.45

п_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

-Ж 0 Л

Рис. 5. Расчет ПРВ по методам [4] и [5] при г = 2, а = 2, р = 0,5, Ар = -2

0.71-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

0.6 -

п_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

-л о л

Рис. 6. Расчет ПРВ по методам [4] и [5] при г = 2, а = 2, р = 0,5, Ар = 2

Заключение. Вычисление ПРВ по методам [4] и [5] проведено для определения их качественного согласования. Несущественные количественные расхождения оценок обусловлены приближенным характером расчетов по методу [4]. В то же время подход [4] является

более простым, не требующим вычисления фазового угла у первой гармоники.

Следует также отметить, что при разнонаправленном рассогласовании ß и Aß дисперсия ПРВ увеличивается по сравнению со случаем сонаправленных ß и Aß.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шахтарин Б. И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. - М.: ИПРЖР, 1996. - 252 с.

2. Meyr H., Ascheid G. Synchronization in digital communications. Vol. 1: Phase-frequency-locked loops, and amplitude control. - N.Y.: Wiley, 1990. - 510 p.

3. Stephens D. R Phase-locked-loops for Wireless communications. Digital, analog and implementations. - 2nded. - N.Y.: Kluwer. 2002. - 421 p.

4. Шахтарин Б. И. Статистическая динамика систем синхронизации. - М.: Радио и связь, 1998. - 488 с.

5. Kar si M. F., Lindsey W. C. Effects of CW interference on phase-locked loop performance // IEEE Trans. 2000. - Vol. 48. - No. 5. - Р. 886-896.

Статья поступила в редакцию 19.10.2011