CC BY
70
научное издание мгту им. н. э. баумана
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Срыв слежения в дискретной системе фазовой автоподстройки
# 10, октябрь 2012
Б01: 10.7463/1012.0478399
Ковальчук А. А.
УДК: 621.396.662
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана nastia kov-k@rambler.ru
Введение
Системы фазовой автоподстройки (ФАП) находят широкое применение в различных областях техники: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция сигналов с частотной и фазовой модуляцией, измерение частоты и фазы сигналов и т.д.
Для анализа дискретных ФАП применяются интегральное уравнение Колмогорова-Чепмена и уравнение среднего времени до срыва синхронизации [1-3]. В указанных работах найдены плотности распределения вероятности (ПРВ) координат, в меньшей степени исследованы характеристики срыва слежения, причем рассмотрены непрерывные системы, и не проводится анализ дискретных ФАП.
В данной статье приводится анализ срыва синхронизации дискретных ФАП 1-го и 2-го порядков различными методами.
1. Постановка задачи
Срыв слежения в непрерывной ФАП, которая описывается системой стохастических ДУ 2-го порядка, представляет собой до настоящего времени в общем случае нерешенную задачу. Корректно эта задача должна быть решена как краевая задача для уравнения Понтрягина [4]. Пусть М - диффузионный оператор Понтрягина. Т - среднее время до срыва слежения, дБ - граница области О фазового пространства. Срыв слежения происходит тогда и только тогда, если изображающая точка выходит за границу дБ области О фазового пространства. При этом среднее время до срыва удовлетворяет краевой задаче
MT = -1 в области D; Т = 0 на границе дО . (1)
Однако трудность заключается в правильном выборе краевых условий, чего корректно до сих пор не сделано. Поэтому приходится прибегать к более простым методам вычисления времени до срыва слежения.
Можно, в частности, использовать приближенные формулу Крамepca и формулу Журавлева для ФАП с интегрирующим фильтром (ИФ), а также формулу [5] для ФАП с пропорционально-интегрирующим фильтром (ПИФ). Имеются приближенные выражения для среднего времени до срыва, которые получили Таусворт [6] и Линдсей. Кроме того, для приближенного вычисления среднего времени до срыва слежения могут быть использованы метод усреднения и другие асимптотические методы.
Анализ срыва слежения в непрерывных системах автоматического регулирования второго порядка рассмотрен в ряде работ [6, 7 и др.]. Некоторые неудобства при сопоставлении результатов представляет различная нормировка среднего времени Тс до срыва синхронизации, так, например, Шухман [7] нормирует по шумовой полосе (Ус\ = ВТС ), Таусворт [6] и Линдсей - по удвоенной шумовой полосе (ус\ = ВТС = WLTc ), в
статье отдается предпочтение нормировке уС1 = ВТС при у(х) = sin(х), переходящую в
нормировку по полосе синхронизации в системе 1-го порядка [8]. В данной статье вначале рассматриваются приближенные соотношения для среднего времени до срыва слежения, а затем решается краевая задача.
2. Приближенные методы анализа
Метод Таусворта (метод аппроксимации условного среднего значения Е (X / X) ).
Данный метод используется как для аппроксимации коэффициентов сноса и диффузии в уравнении Понтрягина [6], так и для аппроксимации решения этого уравнения. Рассмотрим вначале первый способ решения задачи: в [6] показано, что в случае ФАП 2-го порядка можно использовать дифференциальное уравнение (ДУ) Понтрягина в форме [6]
Решение Т(х0), как и в системе 1-го порядка, должно удовлетворять граничным условиям (1)
0,5Ь( х0)Т" (х0) + а( х0)Т' (х0) +1 = 0.
(2)
Здесь оператор Понтрягина
а ( Х0 ) - коэффициент сноса; Ь ( Х0 ) - коэффициент диффузии;
Т (Х0-) = Т (Х0+) = 0.
(3)
Запишем ДУ (2) в форме [6]
T"(Хо ) + g (Хо )T'(Хо ) + g2 (Хо ) = 0,
(4)
где gi ( Хо ) = 2a ( Хо )/b ( Хо ) ; g 2 ( Хо ) = 2/b ( Хо )• В [7] по методу Таусворта получено обобщенное ДУ Понтрягина. Это ДУ при наличии вырожденного ПИФ (ВПИФ) имеет вид
T"(Хо ) + gl (Хо )гп (Хо ) + ng2 (Хо )Tn-1 = о, Т
(5)
где Тп = E (тп ), а граничные условия аналогичны (3)
Т (х-) = Т (х0+) = 0.
При вычислении T (Xо ) и Тп (Xо ) целесообразно в общем случае численно решать краевую
задачу (1) методом прогонки. Разбивая отрезок
xi = Хо +(i —1 )д; i = 1, N +1
Х ; Х
на N участков длиной д= (x + — x ) / N точками полагая Тп = Tn (X ) и заменяя производные конечными
разностями, при х = Хо — s; х + = Хо + s; о < s < 2п имеем [8]
(rpi+1
Tn — 2Tn
+ T—1 )/д2—A (Tn+1 — Tn—1 ) /
2д+F = о,
(6)
где ' = 2,N; А1 = g1 (х'); ^ = ng2Tln-l, граничные условия Т^ = Т„+1 = 0.
Для системы 1-го порядка ДУ (2), (4) являются точными, для системы 2-го порядка приближенными за счет приближенного вычисления коэффициентов сноса и диффузии. Найдем решение ДУ (4). Запишем (4) в форме ДУ 1-го порядка [8]
dz/dx + p(x)z = q(x),
где z = dT/dx; р(х) = 2a(x)/b(x); q(x) = -2/b(x).
Решением этого ДУ служит
z ( x ) = eG1 ( x )
C1 + J q ( u ) е"rG1 (u )d
о
u
где 01 (х) = _|<§1 (ы)йы. Отсюда г (0) = йТ / йх\х = С1. 0
Общее решение ДУ (4) имеет вид
л л
Т ( X ) = С | / ( ы ) йы + | ¥ ( ы ) йы + С2, (7)
X
X/
0
ы
ы )= / (ы Ц ( V
0
где /(ы) = е°х(ы); ¥(ы) = /(ы)|ц(V)е Постоянная С2 определяется из
граничного условия Т (X ) = 0 :
0 0 С2 = С11 /(ы)йы + | ¥(ы)йы.
X X
в результате получаем решение ДУ Понтрягина
X X
. X )
Т(X)= | ¥(ы)йы +| /(ы)йы. (8)
X X
Постоянная С находится из второго граничного условия Т (X +) = 0 :
X X
С1 = -а| ¥(ы)йы; а~1 =| /(ы)йы.
X- X-
В результате окончательно находим решение ДУ (4), удовлетворяющее граничным условиям (3)
а_1Т(X)= | ¥(ы)йы | /(ы)йы - | /(ы)йы | ¥(ы)йы. Символическая форма ДУ ФАП имеет вид [6]
X = О0 - АК¥(р)[sinX + п(г) / А],
Замечаем, что полоса синхронизации О = АК. Согласно методу Таусворта
<2 (Xo) = 4/ (К2¥2Н0); <1 (Xo) = 4аТ / (К2¥2N) = еТ<2 (Xo),
где F = Flim F(s); N0 - односторонний энергетический спектр белого шума
s ^го
n (t); eT = E ( jc0/ x0).
Для системы 1-го порядка
g2 = 4/ (K2 Nо) = r / (4 B); gY = -Г 4 AK / (K2 N)
sin xo =-r sin xo, (9)
где г = А2 /(NВ); В = АК/4 = О/4.
Пусть фильтр низких частот представляет собой ВПИФ ( С0 = 0 ), тогда
¥ ( £ ) = (1 + т2 б ) / (т) = а +1/ т1б,
где а = т2/ т1; т1 =Тф.
Односторонняя шумовая полоса В линеаризованной ФАП имеет вид [8]
Q 1 + а2Q Тф Q 1 + a2а-2 _ со 1 + 4£2!2
B
4 co + аО.Тф 4 co + аао2 4 2^
где 2^ = соао + а / ао = ао (co + Äo); Äo = аао ; l = Äo / (co + Äo).
Отсюда, если Co = 0 (l = 1), получаем шумовую полосу ФАП с ВПИФ
B = (со/4)(1 + 4£2) /2£ 2£ = аа~1 = ео.
(1о)
При наличии ПИФ F = а,
g 2 = 4/ (K2 F 2 No ) = (p/4B )[l +1/ (4^2l)
При l = 1 находим коэффициент g2 для ФАП с ВПИФ
g 2 =(p/4B )(1 + 1/ео2 )2,
(11)
где ее = 4^2.
Найдем величину gj (Хо ). Согласно [6]
eT = - AKF sin (x0) + B (x0) = -aQ sin x0 + B (x0),
где B (x0) = axx0 + a3 xQ +....
Если ограничиться линейным членом разложения, то можно получить выражение [6]
а1 = AKF-d2 (0) / 4B = aQ -l2 (0)/4B, где находим d(0)= lim {s(AKF(s)/s)/[1 + AKF(s)/s]}. Отсюда при
F(s) = (l + аТфs) / (l + Тфs) находим d(0) = aQ = 2%co0l. Тогда
a1 = 2Cl [l - 4^2l (1 -1)] / (l + 4^2l2).
Коэффициент
g1 = g1 (x ) = A sin x + B0 x, где Aq = p(l +1 / (4^2l)); B0 = p[1 - 4^2l(1 -1)] / (4^2l). Если ПИФ вырожденный (l = 1), то
g! (x) = -p(1 + 1/ si)sin x + (p/ si)x = -pgo (x). (12)
С учетом приведенных значений коэффициентов уравнения Понтрягина имеем
p(x) = g1 (x); g1 (-x) = g1 (x); q(x) = -g2 = const.
x
Следовательно, G1 (x) = -J g1 (u ) du является функцией четной. Отсюда следует,
0
что функция F (u) в (8) и (9) является нечетной функцией. В дальнейшем рассматриваются
границы x = -s, x + = s, симметричные относительно начала координат, поэтому постоянная С = 0. В этом частном случае по (9) находим среднее время достижения порога [8]:
u
J q ( v ) e"G1 (v )dv
T(x)= J F(u)du = J eG1 (u)
- s - s
Учтем равенство
s 0 s
J F (u) du = J F (u) du + J F (u) du = 0
-s -s 0
Тогда получаем
du.
(J o
T (x) = -J F (u) du = g2 J e
G1 (u)
u
J e~G(v )dv
du.
Полагая I = 1 и используя выражение (11), (12) для коэффициентов gl и ^, находим среднее время достижения порога в системе 2-го порядка с ВПИФ
Y (х ) = 4 BTX (х ) = р
f 1 11 1 + -2 2 S J eG1 (u ) u J e"01 (u )dv J du,
V ^0 J х _ 0 _
Л Л
где G1 ( х ) = -J p ( u ) du = pJ g0 ( u ) du = p
1+7,
fc0
G (х)
х
2s2
G (х) = J sin udu = 1 - cos х.
0
При выполнении условия C = dT] (х) / dх|х о = 0 получаем
' 1 1
Yi (s ) = 4 BTi (* ) = p
f1 1 1 2 s u
P J eG (u) J J e_G1(v )dv J
V ^0 0 _ 0 _
du,
(13)
2
При £д ^ да по (13) находится точное значение среднего времени достижения порога в системе 1-го порядка при нулевой начальной расстройке [8, формула (1.85)]. Значение Уу (s) можно найти, используя разностную схему ДУ Понтрягина (6).
Вычисленная таким образом зависимость Уу (s) изображена на рис. 1 а при I = 1, ¡^ = 1 = 4) и рис. 1 б при отношении помеха/сигнал Б§ ^ да и различных
значениях р. Сравнивая рис. 1 а и рис. 1 б, замечаем, что при больших значениях отношения сигнал/шум (ОСШ) р
У\ (п)~У1 (2п) (рис. 1 а), ух (п)« 0,5^1 (2п) (рис. 1 б),
в последнем случае, как и для системы 1-го порядка [8]. На рис. 1 а, б: 1- р=8, 2- р=4, 3-р = 2, 4- р=1, 5- р=0,5, 6- р=0,1; на рис. 1 а: 7 - р=20.
а) / = 1, £ = 1 (si =4) б)
Рис. 1. Среднее время достижения порога в системе 1 порядка при нулевой начальной расстройке
2
При больших значениях р независимо от величины £q справедлива приближенная формула для моментов времени Tn = Tcn до срыва слежения [8]
T = nTiTn-1. (14)
Справедливость этой формулы доказана в [8] для ФАП 1-го порядка. С ростом р при
Б2 = const значения Бу = Tc / <Jc, асимметрии S^ и эксцесса E%t попадают в интервал, определяемый для системы 1-го порядка [8]:
1 <Б <-71? «1,2247; 1,9597 < SkT < 2; 5,8285 < ExT < 6.
При аппроксимации решения уравнения Понтрягина Таусворт получил формулу [6, формула (18)]
л 2
Гс 2 = 2 BTc =р Б0±1 Ло, (15)
2 б0 + a
где
ф0 ф0 2п y
Л о = D J J e (ф, y) dqdy + (1 - D) J J e (ф, y) dфdy;
-2n y фо ф0
2п 2п
D = J e(p,y)dy / J e(0,y)dy; e(p,y) = exp\_ph(p)-ph(y)];
P0 -2п
p = p(s00 +1) / (s0 + a); s0 = a / a; h(x) = ux + cosx + vx2 / 2;
u = sinp0 - vp0; v = [(1 - a)cosp0] / (l + sgcospo). 2
При больших a0 и малых S0 формула (15) дает большую погрешность.
Асимптотические методы. Для ФАП с ИФ при малой постоянной времени фильтра или, что эквивалентно, при большом значении величины a0 можно воспользоваться приближенным соотношением
ус =( 2п / в) thnv, (16)
причем величина вс может быть вычислена по формуле Журавлева. В результате получаем
Yc = Yc0 (1 + a02cos x), (17)
где Yc0 =(2п/ вс0 )thnv; cos x = J cos xW (x) dx = na1 ([8]); W(x) - ПРВ системы 1-го
-n
порядка.
На рис. 2 зависимость (17) изображена сплошными линиями при a0 = 2, 5, здесь же крестиками обозначены значения Yc, вычисленные по формуле (17), когда величина рассчитывалась методом матричной прогонки; штриховыми линиями на рис. 2 изображена зависимость Yc = Yc (r) для системы 1-го порядка [8]
70 (r) + ¿Ц^
П=1 n + V
2П
thnv = — Rythnv, (18)
в E
2n Гс = в где v = Pr.
При наличии ПИФ справедлива система стохастических ДУ, из первого уравнения которой при a Ф 0 <2q ^ 0 получаем ДУ
dx = (в- sin x) dr -yj2/ pdú)T, (19)
т.е. ДУ ФАП 1-го порядка, отличающееся параметром т и р .
При а0 —> 0 В — аО / 4; у0 — 1; р — 4 А2 / NаО = г / а; т — ^^, тогда среднее значение частотного рассогласования
(dx / dT) = вс / а = вс = в-( sin x) ,
где (sin x) - среднее значение величины sin x при усреднении с весом ПРВ Wi(x), которая
отличается от W(x) системы 1-го порядка значением p: W¡(x) получается из W(x) заменой r на p = r / а и v = pP. Следовательно, все формулы, справедливые для системы 1-го порядка, оказываются асимптотическими для системы 2-го порядка с ПИФ при О) ^ 0. Формула для среднего времени до срыва слежения принимает вид
2П ~
Y с = 4 BTc = aQTc =у R^thnpp,
где Re= / o2 (p) + 2 (pe)2 .
n=1 n2 +(pe)
Эта зависимость в форме Yc =
4 BTc = f (p, в) (B = aQ / 4) изображена на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость среднего времени от ОСШ для дискретной ФАП 2-го порядка с невырожденным ФАП асимптотическим методом 1- = 0; 2- = 0,2; 3- ^ = 0,4; 4- ^ = 0,6; 5- ^ = 0,8
По (13) можно получить асимптотические формулы, справедливые при малых и больших значениях р.
При р ^ 1, используя приближенные равенства e u ' ~ 1, находим
2
Y (s) = 4BTc = р(1 +1/б02) s2 / 2. (20)
При бБ ^ ^ Yi (s) ^ Yi (s) для системы 1-го порядка [8]; у\ (s) = рs2 / 2. Тогда приближенная формула для среднего времени до срыва слежения принимает вид
2
Y1 = 4BTc = Y1 (2п) = 2п2р(1 + 1/Бо2) . (21)
/(/>) 10" 10й
105
ю4
103
too
10
0 2 4 6 S юр
Рис. 3. Зависимость среднего времени от ОСШ для дискретной ФАП 1-го порядка асимптотическим методом: 1- Бо = 0,2; 2- Бо = 0,4; 3- Бо = 0,6; 4- Бо = 0,8.
2
Значения Yc , рассчитанные по этой формуле, при р =0,1 и соответственно Бо = 2; 4;
10; 1000 равны 4,4413 (3,3759); 3,0842 (2,6731); 2.3884 (2,2575); 1,9778 (1,9865) (в скобках
указаны точные значения). Таким образом, точность приближенной формулы растет с -
2
ростом Бо .
Пусть р^ 1, тогда подынтегральные функции в (13) имеют острые максимумы: во
внутреннем интеграле в точке Хо1, во внешнем - в точке Х02 ~ s = П, причем Хо1 и Х02
находятся из уравнения g! (x) = 0 или
(l +1/ sS) sin x - x / sS = 0.
Следовательно, xoi =0, а xo2 можно вычислить, используя приближенное равенство sin x « п - x,
x<
02
(l + 1/S02) / (l + 2 /s,2)"
п < п.
Имея в виду острый максимум в точке Х = Х01 = 0, воспользуемся отрезком ряда
G1 (x)« G1 (0) + G'(0)x + G"(0)x2 / 2 = pg0x2 / 2 = px2 / 2,
тогда приближенно можно вычислить внутренний интеграл в (13)
и и
| ^(у и «1| е-у2/2^ = = П2р.
0 -и
Остается вычислить внешний интеграл в (13), используя разложение во втором остром максимуме
(Х)« (Х02 ) + Х02 )(Х - Х02 ) + Х02 )(Х - Х02 )2 / 2 = = ( Х02 )-р go( Х02 )|( Х - Х02 )2/2 = ( Х02 )-( Х - Х02 )2А;
А = 1/ р|&0 (Х02 )|; |&0 (Х02 )| = (1 + 1/ 4 )^^ + 1/ ^02.
В результате находим приближенное значение внешнего интеграла (13)
5 Х02 да 2
|^(и^и « | (и^с1и = (Х02) 1 | е(Х-Х°2) /2А ¿Х «
0 0
G ( x02 )
e
V
п
2Р &0 (Х02 )Г
Таким образом, приближенная формула для среднего времени до срыва слежения для ФАП с ВПИФ с учетом (13) и равенства ус = у^ (2п) « 2^1 (Х02 ) принимает вид
ус = 4BTC =п
(l + 1/S02 )2^ |g0( x02 )
Gl( x02 )
(22)
где G1 (x02 ) = p (1 + 1/ s02 ) G1 (x02 ) - x02 / 2S
Рис. 4 Зависимость среднего времени от ОСШ для дискретной ФАП с ВПИФ асимптотическим методом: 1- 80 = 0.2; 2- 80 = 0.4; 3- 80 = 0.6; 4- 80 = 0.8.
2
Отсюда при 80 — да следует известное приближенное равенство (14). Запишем полученное соотношение в виде произведения
Ус ^¿Ус,
(23)
где ^ „ =
(1 + 1/802 )2 /^0Ы
в°1(х02 )-2р; ус = 7тв2р.
Сравним результаты вычислений ус по формуле (4.23) и точные данные (указаны в 2
скобках). При 80 =2; 4; 10 соответственно получаем: при р = 2 - 47,2 (74,2); 70,8 (37,9); 110 (138); при р = 5 - 1,59-103 (2,28-103); 5,88-103 (7,32-103); 2,08-104 (2,33-104). Как видно,
относительная погрешность превышает 36% и 30% соответственно при р = 2, р = 5 и
2
уменьшается с ростом 80 . Для сравнения отметим, что погрешность (4.14) составляет 21 %, 17%, 5% соответственно при р = 1, 2 и 5.
В качестве оценки времени до срыва слежения может быть использована формула
Ус = 1/(Гп+ + Гп"),
где уп± - частота достижения уровня ±п фазовым случайным процессом. При в = 0 получаем
Гс = Гс/ а; Гс = пе
2г
(24)
Это же равенство находится по формуле Крамерса при а0 ^ 0 и в = 0.
3. Срыв слежения в системе с интегрирующим фильтром
На рис. 5 изображены графики зависимости среднего времени до срыва слежения от параметров системы при r=1; 2 и в = 0. Кривые 1 и 2 соответствуют первой формуле Крамерса.
Метод Крамерса (малая расстройка в и значительная величина ОСШ r). При вычислении среднего времени в системе с ИФ воспользуемся формулой Крамерса. При
g (x) = sin x формула Крамерса для нормированной величины среднего времени Yc = QTC принимает вид
Ус = QTc = кгУе 0 =
(25)
где
Ку =а02
^а04/4 +a02Vl-в2 +а02/2
Yc0 =
п
Vl—в2chnv
exp
2r ¡y¡ l -в2 + в arcsin р
; v = вг
(26)
Кривые 3 и 4 соответствуют второй формуле Крамерса
Ус =Уск = Ку1Ус 0 =
2
(27)
где Ky1 = 1/ 4гао; Yc о = П
В крайних точках параметра О) численным методом получены следующие результаты: при r=1 Yc = 44, если ао = 1, и Yc = 671, если ао = 0,1; при r=2 Yc = 272,
если О) = 1, и ус = 2613, если а = 0,1.
Рис. 5. Зависимости среднего времени от срыва слежения от параметров системы численным методом при в = 0, 1, 2 - соответствует 1-ой формуле Крамерса, 3, 4 - 2-ой формуле Крамерса; 1, 3 - г=1; 2, 4 - г=2.
На рис. 5 замечаем, что при малых о^ результаты ближе ко 2-ой формуле Крамерса, а при умеренных ОСо результаты численного метода совпадают с данными, полученными по 1 -ой формуле Крамерса, и при о^ ^ да среднее время до срыва стремится к асимптоте, характеризующей систему 1-го порядка. Кроме того, замечаем, что с уменьшением Оо сближаются средние времена достижения порогов п и 2п .
Заключение
Таким образом, в результате проведенного анализа были получены сравнительные характеристики среднего времени до срыва синхронизации приближенными методами в зависимости от значений отношения сигнал/шум и отношения помеха/сигнал. Представлены полученные результаты для ФАП 1-го и 2-го порядков. Получены характеристики для ФАП с ПИФ и ВПИФ.
Список литературы
1. Chie C.M. Mathematical analogies between first-order digital and analog phase-locked loops // IEEE Trans. 1978. Vol. COM-26, № 6. P. 860-865. DOI: 10.1109/TCOM.1978.1094148
2. Weinberg A., Liu B. Discrete time analysis of nonuniform sampling first- and second- order phase-locked loops // IEEE Trans. 1972. Vol. COM-22, № 2. P. 123-137. DOI: 10.1109/TCOM.1974.1092168
3. Битюцкий В.И., Сердюков П.Н. Оценка времени до срыва синхронизма в импульсной системе ФАПЧ // Радиотехника. 1973. № 8. С. 95-97.
4. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. 525 с.
5. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. 488 с.
6. Tausworthe R.C. Cycle slipping in phase-locked loops // IEEE Trans. on Communications. 1967. Vol. COM-15, № 3. P. 417-421.
7. Schuchman L. Time to cycle slip in first and second order phase locked loop // Inter. Comm. Conf. San-Francisco. 1970. P. 341-349.
8. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996. 252 с.
scientific periodical of the raijman ms tu
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-040S
electronic scientific and technical journal
Cycle skip in discrete phase-lock system # 10, October 2012 DOI: 10.7463/1012.0478399 Kovalchuk A.A.
Russia, Bauman Moscow State Technical University
nastia kov-k@rambler.ru
The cycle skip phenomenon can have a significant impact on performance of phase-lock systems, it results in a sharp increase in frequency errors. The author analyzes the mean time till the skip of discrete phase-lock systems when interference in several ways is present. To study phaselock systems the approximate Kramers formula and Zhuravlev formula for phase-lock systems with the integrating filter. The author compares characteristics of the average time for phase-lock systems of the 1st and 2nd order.
Publications with keywords:average time, tracking failure, approximate methods, the Kramers formula, the discrete system
Publications with words:average time, tracking failure, approximate methods, the Kramers formula, the discrete system
References
1. Chie C.M. Mathematical analogies between first-order digital and analog phase-locked loops. IEEE Trans. on Communications, 1978, vol. COM-26, no. 6, pp. 860-865. DOI: 10.1109/TCOM.1978.1094148
2. Weinberg A., Liu B. Discrete time analysis of nonuniform sampling first- and second- order phase-locked loops. IEEE Trans. on Communications, 1974, vol. COM-22, no. 2, pp. 123-137. DOI: 10.1109/TCQM.1974.1092168
3. Bitiutskii V.I., Serdiukov P.N. Otsenka vremeni do sryva sinkhronizma v impul'snoi sisteme FAPCh [Estimate of the time to stalling of synchronism in pulsed PLL]. Radiotekhnika, 1973, no. 8, pp. 95-97.
4. Tikhonov V.I., Mironov M.A. Markovskieprotsessy [Markov processes]. Moscow, Sovetskoe radio, 1977. 525 p.
5. Shakhtarin B.I. Statisticheskaia dinamika system sinkhronizatsii [Statistical dynamics of the systems of synchronization]. Moscow, Radio i sviaz', 1998. 488 p.
6. Tausworthe R.C. Cycle slipping in phase-locked loops. IEEE Trans. on Communications, 1967, vol. COM-15, no. 3, pp. 417-421.
7. Schuchman L. Time to cycle slip in first and second order phase locked loop. Inter. Comm. Conf. San-Francisco, 1970, pp. 341-349.
8. Shakhtarin B.I. Analiz sistem sinkhronizatsiipri nalichiipomekh [Analysis of the systems of synchronization at presence of noise]. Moscow, IPRZhR Publ., 1996. 252 p.
