CC BY
34
2007
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 117
УДК 681.518.52
АНАЛИЗ БЕСФИЛЬТРОВОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ПРИ НАЛИЧИИ НОРМАЛЬНОГО БЕЛОГО ШУМА
А.А. ИВАНОВ, М.А. РЯЗАНОВА, И.И. КРОВЯКОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шахтариным Б.И.
В работе исследованы принципы функционирования системы фазовой автоподстройки при наличии помех. Приведены основные математические модели и аналитические зависимости, описывающие их поведение. Построена имитационная модель и разработаны программы, позволяющие снимать основные статистические характеристики. На основе сравнительного анализа результатов вычислений по формулам и результатов моделирования даны рекомендации по оценке точности расчётов.
Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно-измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой автоподстройки (ФАП). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов[1, 2].
В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Большой интерес последнее время вызывает поведение систем в условиях воздействия помех[3]. Анализ реакции на действие помех достаточно важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точность характеристики системы. При этом статистические моменты (математическое ожидание и дисперсия) фазовой и частотной ошибок слежения не дают полной информации о поведении ФАП. Поскольку ФАП - это нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния[4,5]. Особенностью ФАП по сравнению с рядом других систем (не фазовых) является существование множества устойчивых состояний равновесия, что ещё более усложняет картину при действии шумов.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ИМПУЛЬСНОЙ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ (ИФАП)
На рис. 1 представлена типовая функционально-структурная схема ИФАП. В качестве воздействия на входе ИФАП рассматривается аддитивная смесь полезного сигнала, широкополосного гауссова шума, а также ряда гармонических составляющих, определяющих детерминированное паразитное колебание
n
SBX (t ) = A (t) sin (wct + qc (t)) + Z Ai (t) sin (wct + qc (t)) + n (t) ,
i=1
где qc (t) - закон фазовой модуляции входного сигнала, A(t ) - амплитуда полезного сигнала, а wc - его частота. Так как шум проходит через входной фильтр вместе с сигналом, то его удобно записать в виде
n (t) = nc (t) cos (wct) + nS (t) sin (wct), где nc (t) и nS (t) - квадратурные составляющие шума[1].
Рис. 1. Типовая функционально-структурная схема ИФАП: ЛТ - линейный тракт (полосовой фильтр); УФИ - устройство формирования импульсов; ИФД - импульсно - фазовый детектор;
Ф - фильтр; УГ - управляемый генератор [1]
Колебание на выходе УГ имеет вид
ur (t) = АГ cos (coCt + вГ (t))
где АГ и вГ (t) - амплитуда колебаний и закон изменения фазы сигнала на выходе УГ соответственно. Сигнал на выходе ИФД представляет собой последовательность импульсов g (t) длительностью А и периодом повторения To, которые модулируется по амплитуде усреднённым за T и просуммированным за всё время работы произведением sBX (t) ur (t), т.е.
N (t) і Ґ kT0 >
(t) = Z T“ i SBX (T)ur (T) dt g (t - kT0 ) ,
u
Д
k=o T у kTo -Ти
где Ти - время интегрирования. Практически ИФД представляет собой интегратор со сбросом и фиксирующим устройством. В формуле N (I) означает целое количество импульсов к моменту времени I. Модель УГ имеет вид
йвг (t)
dt
■ ky uf (t )
где uf ^) - сигнал на выходе ФНЧ; кУ - крутизна характеристики УГ.
Рассмотрим подынтегральное выражение sВХ (г)иг (г). В [1] доказано, что если вг (t), вс (t), пс^), ns(t^ А^) - медленно меняющиеся функции по сравнению с колебанием 2юс , а 2р
Т >>-----, то при отсутствии гармонических помех
О
u
+
* Д (t) = Z (A(kTo )Аг sin(qc (kTo ) - qr (kTo )))g(t - kTo )
k=o
N ^ 1 kTo і kTo ^
+Z АГ C0S (qr (kTo )) ~ j nc (t) dt - АГ sin (qr (kTo )) — j ns (t) dt g (t - kTo ) . (1)
k=o у ІИ kTo -Tи ІИ kTo -Th J
Если предположить систему бесфильтровой, т.е. uf (t) = u д (t), а длительность импульса А бесконечно малой, то g (t - kTo) ® d(t - kTo), где d(t) - функция Дирака. В формуле (1) исчезает оператор суммирования, т.к. в момент времени t = kTo другие сигналы, т.е. d((z’ -k) To) при
i Ф k , не будут влиять на Uд (kTo), потому что d(t -t) равна нулю всюду, кроме t = t. Произ-
der (t) qr ((k + 1) T0 ) —вг (kT0 ) r
водную по фазе ----------- представим в виде --------------------------, обозначим также рассогла-
dt T0
сование х (kT ) = вс (kT0 ) — вГ (kT0). Получим выражение
вг ((k+1)t) qг (—t)
T
10
kyAr (COS (qr (kT0 )) nc (kT0 ) — sin (вг (kT0 )) ns (kT0 ))
+
+kyAAr sin (kT0)).
Сделаем замену вг (kT0 ) = вс (kT0) — x(kT), получим
ec ((k+1)T)—x((k+1)T>)—(вс (kT,)—x(kT„))
T
= kyAAr sin(x(kT0)) + kyAr n (kT0),
где n (kT0 ) = COs(qr (kT0 ))nc (kT0 ) — Sin (вГ (kT0 ))ns (kT0 ) .
После упрощения получим
x((k + 1)T0 ) — x(kT0 ) = qC ((k + 1)T0 ) — qC (kT0 ) — kyAArT0 sin(x(kT0 )) — kyArT0n (kT0 ).
o eC ((k+1)t0 )—eC (kT0) Q
В полезном сигнале —^^^ = b - расстройка частоты, измеренная за время
T
0
T0 , тогда
x(k +1—х(—^ = ¡ — kyAAr sin(x(k)) — kyAr~(k).
T0
Обозначим ky Ar = K, тогда уравнение примет вид
x(k +1= ¡ — K [A sin(x(k)) + n(k)]. (2)
T
0
Из формулы (2) видно, что изменение рассогласования по фазе *(к +1)—х(к) происходит
Т
10
вследствие частотной модуляции / сигнала и слежения за рассогласованием К [А Бт(х(к)) + ~(к)], причём К выполняет роль коэффициента усиления, а шум П(к) “мешает” слежению.
Таким образом, получена модель бесфильтровой ИФАП в виде разностного уравнения, которая при уменьшении А становится дискретной. В данном случае система будет обладать неудовлетворительными статистическими характеристиками, потому что у неё отсутствует устройство усреднения, т.е. фильтр. Однако при этом сильно упростилось разностное уравнение, которое может дать качественную оценку работы системы. При этом появляются предпосылки для исследования изначально дискретной ФАС, использующей цифровой фильтр, потому что анализ импульсной системы свёлся к анализу дискретной.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ РАССОГЛАСОВАНИЯ
Одной из основных характеристик системы является ПРВ рассогласования Ж (х).
В аналитических расчётах используется метод, согласно которому искомое распределение является решением уравнения ФПК, которое в стационарном режиме имеет вид
а Ж2(х) + Чу- К*Ж (х)]= 0 ,
ах ах
A2
где q - ОСШ, которое может быть рассчитано как q = —h(х) = ¡3-KAsin(х(k)) [2].
Sn
Несмотря на то, что уравнение и его решение получены для непрерывных систем, можно воспользоваться результатами, если принять шаг дискретизации по времени Т0 достаточно малым. Такое допущение имеет право на существование, потому что в работе рассматривается бесфильтровая ФАС, в которой текущее состояние системы определяется только предыдущим состоянием и входным воздействием.
Решить аналитически уравнение ФПК достаточно трудно, поэтому решение удобно представить в виде ряда Фурье
W (х) = — + Y [a c°s (пх) + bn sin (пх)], (3)
2 n=1
коэффициенты которого рассчитываются с помощью модифицированной функции Бесселя
4(q).
Для упрощения расчётов и проверки аналитических зависимостей приравняем в уравнении (2) параметры KT0 = 1, A = 1 и обозначим нормированную расстройку j3 = 0TO. Перепишем уравнение с учётом введённых обозначений
х (k +1) = х (k) + 3 - sin (х (k)) + П (k). (4)
Таким образом, уравнение записано относительно безразмерных величин.
Тогда при условии 3 = 0 получим
х(k +1) = х(k) - sin^(k)) + n(k).
При малых значениях ОСШ и отсутствии частотной расстройки справедливо равенство
W (х ) = — +1Y 1п (q) cos^^
2p I0 (q)
которое в пределе принимает форму
W (х )=------------------------------------eq со,,х'1. [2]
2P 0 (q)
Произведём параллельно моделирование и расчёт при заданных параметрах и q = 20 дБ.
На рис. 2 построены две ПРВ W (х), полученные моделированием (линия с прямоугольником) и аналитическим расчётом (линия с окружностью). Из графика видно, что в достаточно большой окрестности х = 0 кривые совпадают, т.е. формулы дают достоверный результат. При наличии частотной расстройки, т.е. при значениях 3 Ф 0, расчёты намного усложняются.
Принцип работы бесфильтровой системы в режиме частотной расстройки без шума заключается в следующем. Пусть в начальный момент времени начальные фазы полезного сигнала и УГ совпадают, тогда вс (0) = вг (0) = 0 . Детектор измеряет разницу фаз опорного колебания и
УГ и прибавляет её к фазе УГ. Разница вс (0)-вГ (0) = 0, поэтому sin(х(0)) = 0, и фаза УГ не изменяется, т.е. вг (T0) = 0. Фаза полезного сигнала изменится на вс (T0) - вс (0) = 3T0 и станет
вс (T0) = вс (0) + 3T0 = 3T0. В этом случае детектор определит разницу вс (T0) - вг (T0) = 3T0 и
произойдёт коррекция фазы УГ, т.е. вг (2T0 ) = sin (3T0), однако вс (2T0 ) = 23T0, и разница на выходе детектора составит вс (2T0) - вг (2T0) = 23T0 - sin (3T0).
Рис. 2. Зависимость W (х), полученная моделированием (линия с прямоугольником) и
расчётом (линия с окружностью)
Тогда вг (3T0) = sin (ßT0) + sin (2ßT0 - sin (ßT0)), а вс (3T0) - вг (3T0) = х(3Т0) = 3ßT0 -sin (ßT0) + sin (2ßT0 - sin (ßT0 ))J . Таким образом, процесс будет повторяться с каждым тактом, и при ßT0 < 1 за счёт чередования “+” и “-“ в формуле получим Limk-¥ {x(kT0)} = ßT0.
Все дальнейшие рассуждения проведены относительно уравнения (4).
ПРВ в переходном режиме рассчитывается по разностной схеме, согласно которой производные заменяются разностями, т. е.
dW (х, t ) = Wt+Az - W" dW (х, t ) = Wi+1 - Wi-1
--------—------------, а---------—-----------,
dt Ат Эх 2Ах
где параметры Ах и Ат задают точность вычислений по времени и фазе соответственно [2]. Рассмотрим W (х) в стационарном режиме, т.е. когда все переходные процессы закончились.
Для этого не будем последовательно решать разностную задачу по отысканию Lim (W") ,
V / t -¥
воспользуемся представленной ранее формулой разложения W ( х) в ряд (3). Вычисление коэффициентов напрямую представляет собой трудоёмкую задачу, однако для расчёта можно воспользоваться рекуррентными соотношениями, что заметно упрощает решение. Эти разностные уравнения имеют вид
а.
n+1
■а-і+ Ф, + — = 0
Ъп+1 - Ъп_1 - Ißап +
q
2пЪп
q
о
и решаются при начальных условиях а0 = —, Ь0 = 0 [2]. Для решения системы необходимо
знать а1 и Ъ1, вычисление которых удобно производить по приближённым формулам. При малых значениях ¡5 коэффициенты могут быть найдены как
а,
А (q)
pIo (q)
í
и Ъ1 =~ß
і-
і
Л
(Іо (q))
Построим ПРВ рассогласования при значении ¡3 = 0,1, исходя из приближённых формул, и сравним их с результатом моделирования.
Рис. 3. Зависимость Ж (х) при ¡3 = 0,1, полученная моделированием (сплошная линия) и расчётом при значениях: N = 10 (штриховая линия); N = 20 (штрих - пунктирная линия);
N = 30 (пунктирная линия)
На рис. 3 приведены искомые ПРВ, причём расчётные кривые получены по формуле (3) при количествах членов ряда N = 10 (штриховая линия), 20 (штрих - пунктирная линия) и 30 (пунктирная линия), а также моделированием (сплошная линия). Сравнение теории с моделированием показывает, что оценки расстройки по частоте ¡3 совпадают полностью, а оптимальным количеством членов ряда является N = 15...20, потому что при дальнейшем увеличении появляются ВЧ - составляющие, а при уменьшении его количества результат оказывается неточным.
Увеличим рассогласование по частоте до значения ¡3 = 0,8 и построим Ж (х).
Рис. 4. Зависимость Ж (х) при ¡3 = 0,8 , полученная моделированием (сплошная линия) и расчётом при значениях: N = 10 (штрих - пунктирная линия); N = 20 (штриховая линия);
N = 30 (пунктирная линия)
На рис. 4 построены ПРВ при заданных параметрах, полученные аналитически при количествах членов ряда N = 10 (штрих - пунктирная линия), 20 (штриховая линия) и 30 (пунктирная линия), а также моделированием (сплошная линия).
Из графика видно, что приближённая формула даёт оценку рассогласования по частоте ¡3, которая оказывается смещённой, т.е. аналитический расчёт по ней справедлив только при ¡3 = 0,1... 0,2. Такой вывод не противоречит теоретическим исследованиям, согласно которым
формула применяется только в случае малых значениях ¡3. Несмотря на ограничения, накладываемые на зависимости, они достаточно важны, т.к. на практике часто применяются такие системы, в которых необходимо равенство некоторых частот приёмника и передатчика. Например,
в системе модулятор-демодулятор - это промежуточная частота [5,6,7]. Точное равенство частот невозможно вследствие погрешностей изготовления, а также принципа формирования стабильной частоты (система с обратной связью, которая также работает по принципу рассогласования). Таким образом, всегда присутствует большое или малое рассогласование по частоте.
Существует ещё одно приближение для расчёта а1 и Ъ1, которое теоретически справедливо при малых значениях q. При этом
Р qa (q/2)
а а
аі =—, ьі ж
а а ■■
ж
[2].
1 + ц2 (0.5 + /32)
Построим ПРВ рассогласования при = 0,5 и ц = 10 дБ, исходя из приближённых формул, и сравним их с результатом моделирования.
Рис. 5. Зависимость Ж (х) при р = 0,5 и q = 10 дБ, полученная моделированием (сплошная
линия) и расчётом при значениях: N = 3 (пунктирная линия); N = 4 (штрих - пунктирная линия); N = 5 (штриховая линия)
На рис. 5 построена ПРВ при заданных параметрах, полученная аналитически при количествах членов ряда N = 3 (пунктирная линия), 4 (штрих - пунктирная линия) и 5 (штриховая линия), а также моделированием (сплошная линия).
Из графика видно, что приближённая формула не даёт удовлетворительного результат. При этом наиболее точное приближение получается при количествах членов ряда разложения N = 3...5. Небольшие значения q не представляют такого интереса, как высокие, поэтому не будем их рассматривать.
Построим ПРВ рассогласования при р = 0,5 и q = 20 дБ.
На рис. 6 построены ПРВ при заданных параметрах, полученные аналитически при количествах членов ряда N = 5 (пунктирная линия), 10 (штрих - пунктирная линия) и 15 (штриховая линия), а также моделированием (сплошная линия). В данном случае получается аналогичный результат, т.е. при оптимальном количестве членов ряда Фурье N »10 расчётные значения заметно отличаются от значений, полученных с помощью модели, хотя оценки расстройки по
частоте р близки.
АНАЛИЗ СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ
Одной из важнейших характеристик системы является её устойчивость во времени, т.е. способность осуществлять слежение без срывов в течение заданного промежутка времени [6]. Под срывом будем понимать момент времени, когда рассогласование по фазе х(к) достигает
величины х (к) = 2р .
Рис. 6. Зависимость Ж (х) при ¡3 = 0,5 и ц = 20 дБ, полученная моделированием (сплошная
линия) и расчётом при значениях: N = 5 (пунктирная линия); N = 10 (штрих - пунктирная линия); N = 15 (штриховая линия)
Рис. 7. Зависимость рассогласования х (к) от времени при q = 4
На рис. 7 представлена зависимость х (к), которая иллюстрирует типовой процесс срывов слежения при значении q = 4 . В момент срыва х (к) изменяется на 2ж .
РАСЧЁТ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ДО СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ
В общем случае среднее время до срыва синхронизации находится из решения уравнения Понтрягина[1,2]. Существует приближённая формула для расчёта времени до срыва, которая
справедлива при малых и больших значениях q и имеет вид
Ж 2«(^I-/?2 +Р агс81п(/?))
Га = I----Г- . ^ ■ (5)
V1 -/? аЬ (Ж?q)
Произведём моделирование срыва и сравним результаты. Для обработки результатов моделирования можно воспользоваться следующим методом. Модель необходимо перестроить так, чтобы при достижении границы |х(к )| = 2ж система автоматически сбрасывалась в х (к +1) = 0
и продолжала работу из этого состояния, при этом данные Тс (г) со счётчика реального времени поступают на хранение, затем счётчик сбрасывается и начинает считать дальше. Таким образом, по окончании моделирования в памяти будет набор случайных времён сброса Тс (г), где
г = 1...п, а п получается автоматически. Соответственно среднее время до срыва слежения
_ ¿Т (г)
Tc =
— i=1
n
На рис. 8 представлена зависимость среднего времени до срыва слежения Та от ОСШ q при ¡5 = 0, 0,2 и 0,5, полученная расчётом (штриховая линия) и моделированием (сплошная линия).
Рис. 8. Зависимость Тс от q при /? = 0, 0,2 и 0,5, полученная расчётом (штриховая линия) и
моделированием (сплошная линия)
Из графика на рис. 8 можно сделать вывод, что аналитическое выражение (5) можно использовать при расчёте Тс, однако необходимо сделать поправку коэффициента
q |V1 -у?2 + ß arcsin [ß 1| в экспоненте. Причём исходные зависимости дают точный результат
при малых q и больших ¡5.
РАСЧЁТ ВЕРОЯТНОСТИ СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ
Вероятность достижения границ интервала -2Ж...2Ж определяется как
р (г ) = 1 - 2 (г),
где 2 (г) - вероятность того, что границы не достигаются. Вероятность 2 (I) удовлетворяет неравенству
Q (t)= I q (x, t|x0 )dx,
(6)
-2 p
при этом q (x, t) является решением уравнения
^ q (х, t ) = Lq (x, t), at
d 1 Э2
а оператор L = — h(x)+-----------, в котором h(x) = sin(x)-/? [2]. В итоге получается система
Эх q Эх
уравнений, которая решается численными методами. Существует приближённая формула для
расчёта вероятности срыва
к
Те
P (kT0 ) = P (к ) = 1 - e в которой gc можно принять равной gc = 2p2q/02 (q) [2].
Для нахождения P (к) по результатам моделирования можно воспользоваться уже полученными ранее значениями Tc (i). Для этого сначала найдём T™x = max ^Tc (i) J при i = 1...n . Затем зафиксируем дискретный момент времени t = к и проанализируем все Tc (i) при i = 1...n , чтобы найти количество элементов, для которых выполняется неравенство к > Tc (i). Всего та-
n (к)
ких элементов будет n (к), тогда вероятность срыва в момент к равна P (к ) =----------. Получена
n
P (к) - вероятность срыва в один момент времени, всего таких времён будет t = 1...Tcmax, потому что при t > Tcmax срыв будет всегда, тогда
р(к )= ^д(, - к).
г=1 П
На рис. 9 представлена зависимость Р (к), полученная аналитически (штриховая линия) и моделированием (сплошная линия) при = 0 и значениях ОСШ q = 0,25, 0,5, 1, 2, 4.
Рис. 9. Зависимость Р (к) при = 0 и q = 0,25, 0,5, 1, 2, 4, полученная аналитически (штриховая линия) и моделированием (сплошная линия)
Из графика на рис. 9 видно, что семейство кривых достаточно точно может быть описано
к
зависимостью Р (к) = 1 - е Гс , однако Гс требует коррекции, потому что при q = 0,5 кривые при к > 10 повторяют друг друга, но при других q,особенно больших, они сильно расходятся. Проведём аналогичные рассуждения для случая, когда Ф 0.
Аналитический расчёт вероятности срыва при ¡5 Ф 0 представляет собой трудоёмкую задачу, поэтому на рис. 10 представлена зависимость Р (к), полученная моделированием при
¡5 = 0,5 и значениях ОСШ q = 2 (сплошная линия), 4 (штриховая линия) и 8 (штрих - пунктирная линия).
При этом срыв слежения более вероятен, чем при ¡5 = 0, потому что ПРВ рассогласования стала ближе к границе срыва х (к) = 2ж, что согласуется с выражением (6). Рассуждения проиллюстрированы на рис. 11. На графике изображена зависимость Ж (х), полученная моделированием при ¡5 = 0 (сплошная линия) и ¡5 = 0,5 (штриховая линия). Стрелкой показано расстояние до границы срыва.
т
Рис. 10. Зависимость Р (к) при /5 = 0,5 и значениях ц = 2 (сплошная линия), ц = 4 (штриховая
линия) и ц = 8 (штрих - пунктирная линия)
Рис. 11. Зависимость Ж (х) при ¡3 = 0 (сплошная линия) и ¡5 = 0,5 (штриховая линия)
Из графика на рис. 11 видно, что смещённая по частоте ПРВ находится ближе к границе, поэтому срыв слежения в ней более вероятен. Об этом также свидетельствует максимум кривой, т.е. у смещённой по частоте Ж (х) максимум немного ниже, чем у несмещённой. Это происходит из-за более частых срывов, которые увеличивают дисперсию и, соответственно, уменьшают высоту пика.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из сравнительного анализа статистических характеристик, полученных аналитическим расчётом и моделированием, можно сделать вывод, что качественно результаты совпадают, однако некоторые формулы имеют жёсткие рамки по применению и дают лишь приближённый результат. Таким образом, в целом модель подтверждает состоятельность математического аппарата и позволяет внести в него коррекции для повышения точности, тем самым делая его более гибким для инженерных расчётов.
Математическая модель схемы и расчёт характеристик произведён с помощью универсальной интегрированной СКМ МЛТЬЛБ 7.0, в частности системой визуального проектирования 81ши11пк 6.0.
ЛИТЕРАТУРА
1.Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998.
2.Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. М.: Радио и связь, 1999.
3.Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996.
4.Шахтарин Б.И., Казаков Л.Н., Свинцов А.В. и др. Дискретные системы фазовой синхронизации и методы их анализа. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.
5.Шахтарин Б.И., Стeшенко В.Б., Сизых В.В.и др. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу “Статистическая радиотехника”. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.
6.Roland E. Best. Phase locked loops: design, simulation, and application. 3-d Edition. McGrow-Hill, 1997.
7.Nakao M., Yamashita K. Comparative study on DPLL’s based on power density spectrum of phase error sequences // Electronics and communications in Japan, part 1 , V.73, No. 6, 1990.
ANALYSIS OF FILTERLESS DISCRETE SYSTEM OF PHASE LOCKED LOOP
AT PRESENCE OF NOISE
Ivanov A.A., Ryazanova M.A., Krovyakov I.I.
In work principles of functioning of system of phase auto tuning at presence of noise are investigated. The basic mathematical models and the analytical dependences describing their behaviour are derived. The imitating model is constructed and the programs allowing to analyze the basic statistical characteristics are developed. On the basis of the comparative analysis of results of calculations under formulas and results of modelling recommendations according to accuracy of calculations are given.
Сведения об авторах
Иванов Андрей Андреевич, 1985 г.р., студент 6 курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 2 научных работ, область научных интересов - статистическое моделирование нелинейных систем управления.
Рязанова Мария Алексеевна, окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана (2006), аспирантка МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 2 научных работ, область научных интересов - помехоустойчивость систем синхронизации.
Кровяков Иван Иванович, 1985 г.р., студент 6 курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 1 научной работы, область научных интересов - параметрические методы спектрального анализа.
