Анализ систем синхронизации численными методами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621-37

Б. И. Шахтарин, Т. Г. Асланов

АНАЛИЗ СИСТЕМ СИНХРОНИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Предложены разностные схемы для уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и уравнений Понтрягина, позволяющие численно находить статистические характеристики систем синхронизации в переходном режиме при различных дискриминационных характеристиках фазового детектора и при ненулевой частотной расстройке между частотами управляемого генератора и сигнала, что невозможно выполнить с помощью известных аналитических процедур. Приведена процедура оценки сходимости функционального ряда для указанной плотности распределения вероятностей в стационарном режиме, которая служит для оценки точности численного метода. Показано, что предлагаемые процедуры численного решения не требуют значительных затрат машинного времени и могут быть реализованы на стандартных ПЭВМ.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: система синхронизации, фазовый детектор, управляемый генератор, разностная схема плотностей распределения вероятностей, уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, уравнения Понтрягина, вероятность срыва слежения.

Внедрение спутниковых радионавигационных [1, 2] и радиосвязных систем [3], а также появление ортогональных систем с частотным уплотнением типа OFDM [4, 5] породили повышенный интерес к системам синхронизации, к их точности и помехозащищенности [6-8].

В настоящее время практически исчерпаны возможности аналитических методов анализа систем синхронизации первого и второго порядков [8, 9], а также получены результаты на основе приближенных методов исследования. В силу важности систем синхронизации внедряются численные методы их исследования [10].

Вопросам использования численных методов при анализе систем синхронизации и посвящена настоящая статья. Материалы статьи дополняют известные методы исследования систем синхронизации при комбинированном воздействии (при аддитивной смеси сигнала, гармонической помехе и шуме).

Проанализируем решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) в стационарном режиме в форме функционального ряда, предложенного Б.И. Шахтариным. Оценим сходимость этого ряда. Приведем численное решение уравнения ФПК в нестационарном режиме, разностную схему уравнения ФПК, справедливую при произвольной (но периодической) дискриминационной характеристике фазового детектора и произвольной расстройке частот сигнала и

управляемого генератора. Выполним сравнение с плотностью распределения вероятностей (ПРВ) стационарного режима.

При аналогичных условиях предложим разностную схему для нахождения вероятности срыва слежения и сравнения с приближенной формулой, в которой среднее время до срыва определяется также на основе разностной схемы уравнения Понтрягина. В последнем случае предлагаемая разностная схема позволяет вычислять не только среднее время до срыва слежения, но и начальный момент п-го порядка времени до срыва слежения, т.е. численно решать обобщенное уравнение Понтрягина.

Малое машинное время реализации программ численного решения позволяет использовать ПЭВМ и делает предлагаемые схемы достаточно перспективными.

Анализ ПРВ сигнала рассогласования в стационарном режиме. Рассмотрим решения уравнений ФПК вида [11, 12]

дГ1,,„г, 1 д (ж,*)

где ж — фазовое рассогласование колебаний сигнала и управляемого генератора в системе синхронизации; W(ж) — ПРВ сигнала рассогласования; Н(ж) = д(ж) — в (в — относительное значение частотного рассогласования указанных колебаний; д(ж) — дискриминационная характеристика фазового детектора, д(ж + 2п) = д(ж), д (ж) < 1); г — отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе системы синхронизации.

До сих пор не найдено аналитическое решение уравнения ФПК (1) в общем случае, поэтому большинство исследований было направленно на анализ стационарного решения уравнения (1), как точного

дW

[11, 12], так и приближенного [8, 13] при = 0.

Точное решение в стационарном режиме было получено В.И. Тихоновым [11] и Р.Л. Стратоновичем [12] и определяется формулой Тихонова-Стратоновича

х+2п

W (ж) = А (и, г) еих+г с°8х у е-иу+г с°8уЛу, (2)

х

где

п х+2п

А-1 (и, г) = у е-их+гс°8х у е-иу-гс°8уЛуЛж = 4п2е-пи 11т (г)|2 ;

—п х

(г) — модифицированная функция Бесселя мнимого порядка,

и = вг.

Позднее на основе формулы (2) Б.И. Шахтариным была получена формула для W(ж) в виде функционального ряда [14, 15]

W (ж) =

2пДЕ

где

1 e'r cos x

ж I2 (г)

I0 (г)+2и N (—1)n^-- (и cos пж—n sin пж)

22

n2 + и2

n=1

, (3)

= /2 (г) + 2и2^ (-1)" ; (4)

-2 + и2

п=1

/п (г) — модифицированная функция Бесселя --го порядка. Отсюда при и = 0 (в = 0) запишем формулу Тихонова:

W (ж) = [2п/ (г)]-1 егс°8

Из сравнения формул (2) и (3) следует очевидное преимущество (3), тем более что ряд (3), как будет показано далее, быстро сходится. Оценим сходимость ряда (3). Введем остаточные суммы

/п (г)оо -ж

ж

PlN (Ж)= £ ( —1)

П2 + U2

n=N +1

и

оо

TD f \ t 1 \n In (г) П sin пж

P2N (ж) = ( —1)

П2 + U2

n=N +1

рядов

oo

D/A V^ i л \n In (r)cosnx pi(ж) = 1)

n2 + u2

n=1

и

oo

P (ж) = £( —1)

In (r) n sin пж

-2 + и2

п=1

где N — число членов ряда, обеспечивающих заданную точность согласно неравенству Р^ < е, г = 1, 2.

Воспользуемся неравенством Коши [16]

( Г 1 |г|2

/п (г) < (-) -е«-ч.

Учитывая монотонное убывание функции /п (г) при - ^ то, получаем при - > N +1 неравенство

1 (гг2 1 / п N

1л„ к щ(г) е — (2 - 7

Используя неравенство

Г 1 1

J (n2 + и2) dn < N'

n

получаем оценку остаточного члена ряда, не зависящую от и

1 / г ^ N + 1

N + 1)!

, _ , 1 / r \ 1 _

р n < - _ e4(N+2) .

|P1nN (N + 1)! \2/ e ■

Аналогичным образом определяем оценку для остаточного члена

Ряда р2 (х): 1 / г ^ N+1

NN! \2/

В результате численного эксперимента установлено, что если взять точность ^ = 10-4, то с учетом полученных оценок при г = 1; 3; 5; 7; 12; 17 число слагаемых ряда должно быть соответственно N = 4; 7; 10; 15; 22; 26.

Результаты численного расчета ПРВ в МайаЪ показаны на рис. 1

Графики Ш(х) получены при числе слагаемых, приведенных ранее. Отсюда очевидно малое время расчета.

Отметим, что при расчете ПРВ Ш(х) по формуле (2) необходимо иметь значения |(г)|2.

Как показано в работе [15], справедливо равенство

\Т ( о

| /%и (Г)| = -.

пи

Причем оценка сходимости ряда Я^ аналогична приведенному ранее результату расчета функции ^^ (г)|2 (рис. 2).

Рис. 1. Результаты численного расчета ПРВ (кривые 1-6 соответственно при

ОСШ г = 1; 3; 5; 7; 12; 17): а - в = 0; б - в = 0,4

Рис. 2. Зависимость квадрата модуля бесселевой функции от аргумента

Кружки на рис. 2. соответствуют значениям г = V (в = 1). В точке

эЬ пи

; штриховыми линиями

г = 0 справедливо равенство (г)|2 = обозначены значения [15]

(г)|2 =

пи

2пгу/1 — ß2'

где y = 2г ( у 1 — ß2 + ß arcsin

Анализ ПРВ ^(ж) в переходном режиме. Уравнение (1) в переходном режиме может быть решено только численно. Для этого предложим его разностную схему.

Заменим производные, входящие в уравнение (1), конечными разностями:

+Дт - и/т ^ (ж, ¿) Wiт+1 - Wiт_1

dW (ж, t) _W+^T — W

dt

Ar

дж

2Аж

д2W fot) _ Wi+i — 2WiT + Wi-i

дж2

Аж2

где Аж = 2п/№; г = 1, N + 1; т = шДт; т = 0,1,2 .... В результате получим разностную задачу

WiT

+Ат = AiWi-i + BiWT + СгWi+i, т = 1, N + 1; (5) WoT = Wm; W^+2 = WiT;

Ai =

Ат Ат

hi 2Аж+гаж2 ;

Bi = 1+АтЛ,'—2

Ат ;

г Аж2'

Ат

C = hi^-г-+

Ат

2Аж гАж2

hi = sin ж^ — ß; hi = cos ж^; жi = —п + (i — 1) Аж.

Y

Рис. 3. Кривые ПРВ при г = 2:

а — при в = 0 кривые 1, 2, 3, 4 в моменты времени т = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 соответственно; кривая 5 — для стационарного процесса; б — при в = 0,6 кривые 1, 2, 3, 4, 5 в моменты времени т = 0,25; 0,5; 0,75; 1,5; 2,0 соответственно, кривая 6 — для стационарного процесса

Для аппроксимации начального условия можно положить Ш (х )=0 при г = М; Ш(хм) = 1/Дх, где М — номер узла, ближайшего к начальному значению х0.

Не останавливаясь на подробном исследовании устойчивости приведенной явной разностной схемы, отметим, что при г <5; N = 200; Дт = 0,0005 решение разностной задачи устойчиво и практически не изменяется при увеличении N и уменьшении Дт.

Результаты расчетов по приведенной разностной схеме при Ш0(х) = 5(х — х0), х0 = 0; в = 0; 0,6 показаны на рис. 3.

Следует отметить, что при нулевой расстройке (в = 0) аналитический и численный (по приведенной разностной схеме) методы дают одинаковые результаты.

Анализ вероятности срыва слежения в системе синхронизации. Вероятность срыва слежения Р(х0 , Ь) за время Ь может быть найдена двумя путями: решением первого уравнения Понтрягина [13]

дР (хо,Ь) = гН , ) дР (хо,Ь) + д2Р (хо,Ь)

дЬ дх0 дх0

(при начальных и граничных условиях Р (х0, 0) = 0; Р (—п,Ь) = = Р (п, Ь) = 1) и при предварительном решении уравнения ФПК [13]

dP(x,t |x0) 1 д2P (x, t |x0) д

дЬ г дх2 дх

с начальным условием Р (х, Ь |х0) = 5 (х — х0) и

Р(—п,Ь |х0) = Р(п,Ь |х0) = 0.

h (x) P (x, t |x0)

(6)

В последнем случае вероятность выхода за границу интервала (—п, п) (вероятность срыва) определяется выражением

P (x0,t) = 1 — j P (x, t |xo )dx.

—n

Для численного решения задачи (6) можно использовать неявную разностную схему

др_ рт+Ат — рт; = Pt++IAt — P—+At . at = AT ' "dX = 2дХ '

d2P = Í5ÍT++1AT — 2P;+AT + P—+Ат dx2 Ax2

Эта схема приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

= ДРгТ_+Ат — £грт+Ат + Сгрт++Ат, i = 1, N + 1; (7)

рт+Ат _ рт+Ат _ /Л.

P o = pn = . = 1 h, _ =2 1 A = ГАХ2 — 2AX; B = ГАх2 + ДТ — h;

C=+2AÍX ; D=P-/Ат;

h, = sin x, — в; h, = cos x,; x, = —n + (i — 1) Ax; P¿t = P (x,,t |x0), Ax = 2n/N.

Начальное условие аппроксимируется следующим образом:

рт 0 при г = ^, г = 0,М 1/Аж при г = ,

где — номер ближайшего к ж0 узла ж». Система линейных алгебраических уравнений решается методом прогонки.

На рис.4 представлены зависимости для Р(т) = Р(ж0,т), определенные по (7) для значений ж0 = 0; г = 1, 2, 3, 4, а также результаты расчетов по приближенной формуле

Р(т) = 1 - ехр[-т/7с], (8)

где 7С определяется решением второго уравнения Понтрягина.

Анализ начальных моментов времени до срыва слежения.

Среднее время до срыва слежения определяем, решая второе уравнение Понтрягина

^^ - (ж) ^ + г = 0 Те (-п)= Те (п) = 0, (9)

п

Рис. 4. Вероятности срыва слежения (кривые 1, 2, 3, 4 для г = 1, 2, 3, 4 соответственно; кривые 5 рассчитаны по приближенной формуле)

где 7с (х) = ^Тс — нормированное значение среднего времени Тс до срыва синхронизации, ^ — полоса синхронизации.

Решения этого уравнения могут быть найдены в виде [13]

2п2г |!%у (г)|2 2п _ (1Л)

7с =-г-= -5-th . (10)

ОППУ в

Более общим, чем уравнение (8), является уравнение Понтрягина относительно моментов времени до срыва слежения Тп _ Е (Тп):

^ 7п (х) 7 / \ ^7п (х) . / \ А /114

--гк (х) ——--+ иг^п (х) = 0; (11)

7п(х-)= 7п(х+) = 0; 70 = 1,

где х- и х+ — границы координаты х = х(£) при начальном условии х(£0) = х0, выход за которые сопровождается срывом слежения.

Для численного определения величины 7п можно непосредственно решать краевую задачу для уравнения Понтрягина (10) при г = ¿7п /¿х.

Разбивая отрезок [х-,х+] на N интервалов длиной А = (х+ -х-)^ точками х^ = х- + (г — 1)А, г = 1,...,N + 1, полагая 7п = 7п (хг) и заменяя производные конечными разностями, получаем

(У+1 — у + ) (У+1 — У-1) \/п /п 1 /п / _ А ^ 'п_/п / + _ 0

А2 ( 2Д ( ' (12)

1 = yn-1

n in

7П = Yn =0; i = 2,3,...,2N.

Данное разностное уравнение аппроксимирует уравнение Понтрягина с точностью О (А2) при A = sin x¿ + в; F = ПГ7П_.

Разностное уравнение с граничными условиями 7П = yN_ решается методом прогонки.

На рис.5 приведен график среднего времени yc(x) до срыва слежения при r = 1, r = 2, r = 4 на интервале от —п до п.

Рис. 5. График среднего времени до срыва слежения (кривые 1,2,3 соответствуют ОСШ г = 1, 2, 4)

Выводы. Показано использование предложенных разностных схем для уравнения ФПК и второго уравнения Понтрягина, что позволяет при малых затратах машинного времени с помощью ПЭВМ достаточно быстро вычислять статистические характеристики систем синхронизации: ПРВ Ш(х) в переходном режиме, вероятность срыва слежения, а так же среднее значение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Власов И. Б. Глобальные навигационные спутниковые системы. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 182 с.

2. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред. А.И.Перова, В.Н.Харисова. - М.: Радиотехник, 2005. - 688 с.

3. ШахтаринБ. И., Сизых В. В., С и д о р к и н а Ю. А. и др. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации. - М.: Горячая линия-Телееош, 2011. -278 с.

4. Van Nee. R., P г a s s a d R. OFDM in wireless multimedia communications. -London: Artech House, 2011. - 260 p.

5. B a h a i A. R. S., S a 11 z b e г g B. R., E г g e n M. Malti-carrier digital communications theory and applications of OFDM. 2nd ed. - N.Y.: Springer, 2004. -411 p.

6. Meyr H., A s c h e i d G. Synchronization in digital communications. Vol. 1. Phase-frequency — locked loops, and amplitude control. - N.Y.: J.Wiley, 1990. -510 p.

7. Stephens D. R. Phase-locked loops for Wireless communications. Digital, analog and implementations. 2nd ed. - N.Y.: Moscow: Kluwer Ac.publ., 2002. -421 p.

8. Ш а х т а р и н Б. И. Статистическая динамика систем синхронизации. - М.: Радио и связь, 1998. - 488 с.

9. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Бакаева и М.В. Капранова. - М.: Сов. радио, 1978. - 600 с.

10. Сизых В. В. Анализ статистической динамики аналоговой ФАП на основе численного решения уравнения ФПК. Глава 8, кн. 3. - С. 174-248.

11. Тихонов В. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой автоподстройки частоты // Автоматика и телемеханика. - 1959. - № 9. - С. 1188-1196.

12. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике - М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

13. Шахтарин Б. И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. - М.: ИПРЖР, 1996. - 252 с.

14. Т и х о н о в В. И., Шахтарин Б. И. Статистические характеристики фазовой автоподстройки частоты // Автоматика и телемеханика. - 1965. - № 9. -C. 1563-1572.

15. Ш а х т а р и н Б. И. Анализ асимптотических значений статических характеристик ФАПЧ // Радиотехника и электроника. - 1968. - № 2. - С. 246-258.

16. В а т с о н Д ж. Н. Теория бесселевых функций: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1949. -Т. 1.- 798 с.; Т. 2.-220 с.

Статья поступила в редакцию 25.03.2011

Борис Ильич Шахтарин родился в 1933 г., окончил в 1958 г. / \ Ленинградскую Военно-воздушную инженерную академию

' ', им. А.Ф. Можайского и в 1968 г. ЛГУ Д-р техн. наук, профес-

сор МГТУ им. Н.Э. Баумана. Лауреат Государственной премии СССР, заслуженный деятель науки и техники РФ. Автор более 250 научных работ, в том числе 20 книг, в области анализа и синтеза систем обработки сигналов. i B.I. Shakhtarin (b. 1933) graduated from the Leningrad Air Force

1 Engineering Academy n.a. A. F. Mozhaysky in 1958 and from

Leningrad State University in 1968. D. Sc. (Eng.), professor of the Bauman Moscow State Technical University. USSR State Prize winner, RF Honoured Worker of science and technology. Author of more than 250 publications, among them 20 books, in the field of analysis and synthesis of signal processing systems.

Тагирбек Гайдарбекович Асланов родился в 1988 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2011 г. Аспирант кафедры "Автономные информационные и управляющие системы". Автор 14 научных работ в области систем управления, синхронизации и сейсмологии.

T.G. Aslanov (b. 1988) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2011. Post-graduate of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 14 publications in the field of systems of control. synchronization and seismology.