Статистический анализ и прогнозирование динамики случайных процессов в телекоммуникационных сетях с использованием мультифрактальных моделей трафика Текст научной статьи по специальности «Математика»

Системы телекоммуникации, устройства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 621.37

М. И. Богачев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Статистический анализ и прогнозирование динамики случайных процессов в телекоммуникационных сетях с использованием мультифрактальных моделей трафика

Рассмотрено прогнозирование превышения заданного порогового значения случайным процессом, характеризующим значения трафика в телекоммуникационной сети. На основе результатов флуктуационного анализа выполнена аппроксимация исходящего трафика НТТР-сервера мультифрактальной моделью. Показано, что на основании аппроксимации плотности вероятности распределения интервалов между превышениями случайным процессом заданного порогового значения, полученной для мультифрактальной модели, удается достичь более высокого качества краткосрочного прогнозирования, чем при использовании эмпирически оцененных на основании конечной выборки распределений. Обсуждены возможности долгосрочного прогнозирования случайных процессов в телекоммуникационных сетях на основании монофрактальных моделей.

Прогнозирование динамики, долговременная зависимость, монофрактальные модели, мультифрактальные модели, телекоммуникационные сети

Актуальной задачей в системах массового обслуживания, к которым относятся большие телекоммуникационные сети (ТКС), является прогнозирование динамики процессов, характеризующих загрузку как системы в целом, так и ее отдельных структурных элементов, например, трафика в канале связи, интенсивности поступления запросов от абонентов и т. п. Результаты краткосрочного прогнозирования в отдельных узлах и в каналах могут быть использованы для своевременного распределения оперативных ресурсов для буферизации, а в более сложных сетях также и для оперативного распределения ресурсов в рамках сети в целом, например коррекцией маршрутизации в обход наиболее загруженных узлов и каналов. Результаты долгосрочного прогнозирования полезны для своевременной активизации резервных ресурсов в больших сетях. Сочетание подобных мероприятий снижает вероятности перегрузки отдельных узлов и каналов сети, а следовательно, и отказа в обслуживании абонентов.

Во многих случаях решение задачи подобного прогнозирования можно упростить сведением ее к прогнозированию динамики случайного потока, характеризующего события, связанные с превышением некоторого фиксированного порога Q (пропускной способности канала, максимального числа запросов, которые может обработать сервер в единицу времени и др.). Основной характеристикой данного потока событий является распределение значений временных интервалов между отдельными событиями, характеризуемое обычно плотностью вероятности интервалов PQ (г).

34 © Богачев М. И., 2008

Важной характеристикой при прогнозировании является оценка вероятности Ж (х; Ах) одно- или многократного превышения значением случайного процесса фиксированного порога Q в течение интервала Лх, начиная с текущего момента, которая может быть выражена через плотность распределения интервалов PQ (г) между превышениями порога Q:

где х - время, прошедшее с момента предыдущего превышения порога. Кроме того, можно повысить качество прогнозирования, учитывая дополнительно информацию о предыдущих интервалах между превышениями порога (в простейшем случае об интервале, предшествующем текущему) и перейдя от безусловной плотности PQ(г) к условным

К сожалению, возможность прямой оценки условных плотностей вероятности

са. Для повышения качества прогнозирования целесообразно получить оценки плотности вероятности для процесса, соответствующего некоторой математической модели анализируемого процесса, обладающей аналогичными свойствами в части статистики превышения порогов Q, по крайней мере, для интересующего диапазона значений Q и временных масштабов прогнозирования.

Литературные данные указывают на фрактальный (в общем) [1] и мультифракталь-ный (в частности) [2] характер некоторых процессов, характеризующих функционирование больших ТКС, в том числе трафика. Понятие мультифрактальности тесно связано с понятиями кратковременной зависимости (КВЗ) и долговременной зависимости (ДВЗ). Следует отметить, что наличие такого рода зависимостей не ограничивается ТКС, а показано и для целого ряда как иных случайных процессов в технических системах, так и процессов естественного происхождения. В частности, показано наличие ДВЗ некоторых физиологических процессов [3]. Математические модели процессов с ДВЗ на протяжении ряда лет успешно применяются и в экономическом моделировании [4], климатическом прогнозировании [5], некоторых других областях [6].

Далее кратко рассмотрены отдельные методы фрактального анализа случайных процессов, использованные в настоящей статье для прогнозирования динамики трафика в ТКС.

Классическим признаком присутствия ДВЗ в стационарном случайном процессе £ (^) является бесконечное характеристическое время корреляции Тк, при котором инте-

(1)

плотностям вероятности PQ (г |г0), где г0 - значение предыдущего интервала.

PQ (г Го) ограничивается доступным объемом выборки из реализации случайного процес

грал от автокорреляционной функции (АКФ)

t

среднее значение процесса) расходится: Тк t = да [7].

Для широкого класса фрактальных ДВЗ-процессов применяется степенная аппроксимация АКФ C (т) ~ t-y , где у - параметр, определяющий скорость затухания АКФ. При этом в качестве основной характеристики ДВЗ для таких процессов используется показатель Херста H, взаимно-однозначно связанный с параметром у выражением H = 1 -у/2 [7]. Для оценки показателя Херста ДВЗ-процесса используется несколько различных методик, среди которых одной из наиболее распространенных является флуктуационный анализ (Fluctuation analysis - FA) [8].

При анализе долговременных реализаций реальных процессов, в том числе наблюдаемых в ТКС, условие стационарности часто не выполняется. Например при анализе трафика, имеют место выраженный суточный тренд, снижение активности пользователей в нерабочие дни, сезонная зависимость и т. п. Для анализа подобных процессов были предложены модификации флуктуационного анализа, допускающие присутствие некоторых видов не-стационарностей в изучаемом процессе. Прежде всего, следует отметить метод флуктуаци-онного анализа с исключением тренда (Detrended fluctuation analysis - DFA) [8], [9].

Для упрощения анализа на ЭВМ перейдем от рассмотрения случайного процесса S (t) к рассмотрению дискретного временного ряда Sj . При применении дискретного варианта метода DFA1 на первом этапе вычисляется профиль (кумулятивная сумма) элемен-

N3 = сегментов равной длительности, состоящих из з отсчетов каждый (]•[ - опера-

тор взятия целой части). Для решения проблемы некратности длины записи и размера окна часто используется аппроксимация в два прохода, выполняемых в разных направлениях, начиная с первого и с последнего отсчетов соответственно. Таким образом удается использовать все данные временного ряда.

На следующем этапе из данных удаляется тренд за счет вычисления полиномиальной аппроксимации Pv (к) временного фрагмента процесса £ в каждом из окон (V указывает номер окна), после чего вычисляется флуктуационная функция как отклонение значений процесса от аппроксимирующего полинома для различных размеров окна з:

Порядком аппроксимирующего полинома определяется порядок метода, например метод DFA0, предполагает вычитание только постоянного значения, DFA1 - линейного тренда (рис. 1, а), DFA2 - квадратичного тренда (рис. 1, б) и т. д. Результирующая флук-туационная функция вычисляется усреднением по всем окнам V:

k _

тов анализируемого временного ряда Si: Yk = ^ Si - S , который затем подразделяется на

i=1

1 Метод DFA также может быть обобщен на случай анализа функций непрерывного времени.

36

Yk, P

Yk, P2

2s

3s

4s

б

Рис. 1

/ \ TT

Для фрактального ДВЗ-процесса F (s) ~ s . Некоррелированному процессу соответствует H = 0.5, область 0 < H < 0.5 соответствует отрицательной корреляции, а область 0.5 < H < 1 - положительной. При этом можно показать, что для процесса со степенным затуханием АКФ для показателя Херста выполняется соотношение 3smm : Vs > smm;

H = a ^ 0.5; a = const. Напротив, для КВЗ-процессов 3smax : Vs > smax; H = 0.5.

Для характеристик КВЗ и ДВЗ в терминах моментов более высоких порядков, а также дробных моментов, в работе [10] было предложено обобщение DFA - метод MF-DFA (Multifractal Detrended Fluctuation Analysis), в рамках которого вычисляется семейство флуктуационных функций порядков q

I 1 2 „ п

(s> = 1W. ^F 2 (^ s)]

Fq ( s ) =

q/2

iV q

s v=1

Аналогично, для фрактального ДВЗ-процесса можно записать 3smin : Vs > sm

Fq ( s )

(q)

где H (q) называют обобщенным показателем Херста для случайного про-

цесса Si. Процесс, для которого H (q) = H = const, называют монофрактальным; при наличии зависимости H от момента q процесс называют мультифрактальным.

Присутствие нестационарностей, связанных в первую очередь с регулярным суточным трендом, затруднило непосредственное описание трафика в ТКС мультифрактальной моделью, поэтому до анализа реальных данных проводилась их предварительная обработка, связанная с исключением суточного тренда.

Для оценки возможностей приложения изложенного математического аппарата к описанию трафика в больших ТКС был проведен анализ последовательности значений суммарного исходящего трафика HTTP-сервера. Значения трафика измерялись поминутно на основании регистрации в течение полугода (с 01 июля по 31 декабря 2006 г.) за исключением двух суток, в течение которых сервер был отключен по техническим причинам. Для исключения суточного тренда оценены средние значения для каждой к-й минуты суток:

- 1 N

Sk = — ^ sjk , где skk - значения трафика за к-ю минуту i-х суток; N = 182 - число про-N i=1

анализированных суток. Полученные средние значения вычитались из значений трафика:

k

0

s

а

0.01

_L

102

Рис. 2

104

5, мин

Fq(5)/Fo^ís 5^ = 5^ - . Затем процесс анализировался

с помощью метода МБ-ОБА (флуктуацион-ные функции для значений q = 1, 2 и 5 приведены на рис. 2). Из распределения обобщенных показателей Херста можно сделать вывод об асимптотически монофрактальном характере ДВЗ. В то же время, для 5 < 500 мин флуктуационный анализ показал выраженный мультифрактальный характер КВЗ.

Присутствие в случайном процессе КВЗ (и в особенности ДВЗ) значительно влияет на статистику интервалов между превышениями процессом заданного порога Q. Описанные классы процессов не рассмотрены в обзорах по классической статистике интервалов, в частности в работах [11 ]—[ 13]. В этой связи уместно обратиться к недавно полученным результатам в отношении статистики интервалов между превышениями фиксированных порогов Q для моно- и мультифрактальных процессов [14], [15].

Для моделирования мультифрактальных процессов может быть использован метод мультипликативного каскада, заключающийся в итеративном умножении значений реализации, начиная с х(0) = 1, каждый раз на два различных множителя тг, представляющих

выборку из совокупности независимых одинаково распределенных случайных величин с

удвоением объема выборки на каждой итерации, для которого на п-й итерации процесса

Х( п) _ Х( п-1)( п) . Х( П _ А п-1)( п) Х21 -1 _ Х1 т21 -1' Х21 _ Х1 т21 .

На рис. 3 приведены оценки флуктуационных функций F (я), на основании которых могут быть получены оценки распределений обобщенных показателей Херста для реализаций, сформированных при помощи алгоритма мультипликативного каскада, с применением независимых гауссовских множителей с различными параметрами распределения т и ат . Можно показать, что распределение обобщенных показателей Херста для трафика НТТР-сервера после исключения суточного тренда в интервале 5 < 500 мин (см. рис. 2)

Fq ( s ) m = 0,

F0^ CTm = 1

10

fflStl

0.1

0.001 1

о о « « »о о

А

q

+0.5 □1 о2 Д5

10

104

5, мин

Fq (s) _ „ q m = 0,

F0^

10

0.1

CTm = 0.5

q

+0.5 □1 o2 Д5

J_

2

10 10 s, мин Рис. 3

Fq (s) _ Л ч m = 1,

F0^Ts

10 -

0.1

CTm = 0.1

10

104

q

+0.5 □ 1 o2 Д5

5, мин

0

0

0

2 3

Аппроксимация приведена только для значений аргумента 5 > 10 , поскольку метод МБ-ОБА может вно-

сить искажения при малых значениях 5 .

38

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2

может быть удовлетворительно аппроксимировано аналогичным распределением для мультипликативного каскада с нулевым средним значением множителей (см. левое поле рис. 3).

Поскольку распределение показателей Херста для случайного процесса представляет собой разложение обобщенной флуктуационной функции по совокупности моментов (причем для стационарного случая существует взаимно-однозначная связь между флук-туационными и корреляционными моментами), оно несет значительную информацию о структуре взаимозависимости отсчетов случайного процесса. Указанная информация определяет статистику интервалов между превышениями фиксированного порога Q случайным процессом. В связи с этим представляется уместным для решения задачи краткосрочного прогнозирования аппроксимировать условные плотности вероятностей распределения интервалов для реального процесса (трафика HTTP-сервера) аналогичными характеристиками для рассмотренной математической модели случайного процесса (мультипликативного каскада). Поскольку постоянные времени процессов, рассматриваемых при краткосрочном прогнозировании, значительно меньше постоянных времени для исключенной нестационарности (суточного тренда), ее наличием при краткосрочном прогнозировании в первом приближении можно пренебречь.

В рамках задачи долгосрочного прогнозирования возможна аналогичная аппроксимация распределениями, полученными для монофрактальной модели, с учетом асимптотически монофрактального характера зависимости трафика HTTP-сервера (см. рис. 2), которые можно получить статистическим моделированием с использованием сдвига распределения обобщенных показателей Херста, подробно рассмотренному в работах [9], [10], [16], [17].

На рис. 4 приведены зависимости оценок безусловных плотностей вероятности Pq (r)

для случайных процессов при значениях среднего интервала между выбросами Rq = 10 и

500. Зависимости на рис. 4, а получены для случайного процесса с независимыми отсчетами, на рис. 4, б - для монофрактального процесса с H = 0.8, на рис. 4, в - для мультифрак-тального процесса, полученного методом мультипликативного каскада с нулевыми средним значением и единичной дисперсией нормально распределенных множителей, а на рис. 4, г -для аналогичного мультифрактального процесса, но при нормальном распределении множителей с параметрами m = 1, а = 0.5. При формировании рис. 4 значения вероятности промасштабированы умножением на величину Rq с требуемым по условиям нормировки

одновременном делением на эту же величину значений аргумента. При таком представлении результаты распределения вероятностей для случайных процессов с независимыми отсчетами (рис. 4, а) и для монофрактальных процессов (рис. 4, б) (как показано в [14]) не зависят от величины Rq . Следовательно, форма плотности распределения вероятности для

этих типов процессов постоянна, а масштабные изменения, связанные с изменением величины порога Q, могут быть однозначно выражены через параметр Rq . Указанное свойство

позволяет, в частности, при известной плотности распределения интервалов для малых значений Q экстраполировать полученные результаты на большие значения, для прямой оценки которых доступная статистика может оказаться недостаточной, используя единственный

в г

Рис. 4

параметр Яд (в предположении сохранения монофрактальной структуры анализируемого

временного ряда в широком масштабном диапазоне) [14].

Для монофрактального процесса с Н = 0.8 в [14] предложена эмпирическая аппроксимация. Для г > Яд приближенно выполняется соотношение

1п [ Рд ( Г )] ~ ( Г/Яд , (2)

где у соответствует показателю степенной АКФ случайного процесса (рис. 4, б). Для г < Яд выполняется соотношение

р<2 ( г ) ~ (Г/Яд )"1_У, (3)

Качество данной аппроксимации удовлетворительно для практических целей по крайней мере для 0.5 < Н < 0.8, и при этом она теоретически непротиворечива при Н ^ 1, когда у —> 0 и плотность вероятности принимает степенной характер.

Для мультифрактального процесса, полученного методом мультипликативного каскада с нулевым средним значением множителей, уместна аппроксимация степенной функцией [15]

Рд (Г ) ~ ( Г/Яд )-8(е ) , (4)

где 5 (д) - параметр аппроксимирующей функции, зависящий от значения порога д (рис. 4, в). Эта аппроксимация качественно сохраняется в широком диапазоне значений г < 30Яд

при использовании параметров т = 1; а = 0.5 (рис. 4, г). Для Н ^ 1 (предельного случая рассмотренной модели при а << т) (на рис. 4 не приведен) наблюдаются существенные

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2

отклонения от указанного поведения при r >> Rq . Так, при m = 1; а = 0.1 степенной характер плотности распределения вероятностей характерен для значений аргумента r < 10Rq . Появление более ранних отклонений от степенной зависимости при том же объеме статистики по всей видимости связано с ограничениями сходимости моделей при параметрах, близких к предельным, и до конца не изучено.

Параметр 5 (Q) для мультифрактальных процессов определяет наклон аппроксимирующих прямых на рис. 4, в, г [15]. Взаимосвязь между 5 (Q) и Rq зависит от выбранных

параметров мультифрактальной модели. Однако для фиксированных параметров зависимость 5 (Q) может быть получена методом статистического моделирования.

Проведена оценка условных плотностей вероятности Pq (r|r)) распределения длительности интервалов в зависимости от величины предшествующего интервала Г0. Для получения достаточной статистики применялось сегментирование значений Г0. На первом этапе все возможные значения Г0 разбивались в соответствии с медианой безусловного распределения Pq (r). Значения Г0, лежащие выше медианы, разбивались на два сегмента

с одинаковым числом значений в каждом, и эта процедура повторялась для сегмента, содержащего наибольшие значения, до тех пор, пока не возникали сегменты, содержащие только одно значение r0 . Полученные сегменты нумеровались последовательно по мере роста значений так, что каждый последующий сегмент содержал вдвое меньший объем статистики, чем предыдущий. На рис. 5 приведены плотности распределения интервалов,

следующих за интервалами г0, попадающими в первый (контурные маркеры) и четвертый (залитые маркеры) сегменты. Форма представления данных, виды случайных процессов и значения RQ на рис. 5, а-г аналогичны таковым на рис. 4, а-г. Из зависимостей рис. 5

следует, что универсальность распределения с учетом масштабирования относительно RQ

сохраняется и для этих зависимостей.

Для мультифрактальной модели с учетом соотношения (4) можно записать выражение (1) в виде

х+Дх

I PQ ( г ) dr

W (х; ¿х) = ■-- [5 (Q) -1] (Дх/х) = [8 Ш) -1] ^,

(5)

J PQ (г ) dr

справедливом для значений 5 ^) < 2 .

Следует отметить, что при значениях Q, соответствующих RQ < 10, для использованной модели мультипликативного каскада 5 ^) > 2, что ограничивает возможность

применения данного решения для прогнозирования превышения мультифрактальным случайным процессом малых значений порогов. Дополнительно учесть информацию о значении предыдущего интервала между выбросами можно за счет перехода к условным вероятностям W (х; Ах|го), построенным на основе PQ (г|го).

На рис. 6, а пунктирными линиями приведены оценки W (х; Дх|го) для мультифрактальной модели, полученные методом статистического моделирования при значениях го, лежащих в пределах первого сегмента, а на рис. 6, б - аналогичные характеристики для четвертого сегмента. Для сопоставления прямыми линиями показана аппроксимация (5). Из рисунка видно, что для значений Г), лежащих в пределах первого сегмента, т. е. не превышающих медиану безусловного распределения интервалов,

W (х; Лх|г0 ) « W (х; Ах), Лх « х < 10RQ . (6)

При практической проверке алгоритма прогнозирования динамики случайного процесса на примере динамики трафика НТТР-сервера с помощью оценки W (х; Лх|го) сравни-

W

0.1

0.01

0.001

Ах = 1

W

0.1

0.01

0.001

Ах = 1

10

100

10

100

Рис. 6

х

1

1

х

х

б

а

S ( n ) - S

0

500 а

W ( n, х|го ) 0.1 0.01 0.001

W ( n, х|^0 ) 0.1 0.01 0.001

0

500

Рис. 7

вались результаты, полученные при использовании эмпирических оценок Pq (r|r0) для

первых четырех сегментов значений r0, и аналогичные характеристики, полученные на основе мультифрактальной модели (мультипликативного каскада), причем для первого сегмента при х > 3Дх была использована аппроксимация (5) с учетом свойства (6). Представленные далее результаты соответствуют Ах = 1 мин. На рис. 7, а показана выборка HTTP-тра-фика, а на рис. 7, б, в приведены результаты вероятностного прогнозирования появления превышения порога Q, соответствующего значению Rq = 30, проведенного по истечении

каждой минуты для последующей минуты. Рис. 7, б отражает результаты прогнозирования, полученные с использованием эмпирических распределений, а рис. 7, в - результаты, полученные на основе мультифрактальной модели. Эмпирические оценки Pq (т\то) для HTTP-

трафика при значениях го из первых двух сегментов приведены на рис. 8.

Для сравнения качества полученных оценок вероятности использовался анализ ROC (Receiver operator characteristic), основанный на оценке статистики правильных и ложных прогнозов при изменяемом пороге вероятности, превышение которого свидетельствует о завершении прогноза события. В качестве статистики правильных и ложных прогнозов использовались оценки чувствительности Ч (отношения числа правильно спрогнозированных событий к общему числу произошедших событий) и специфичности С (отношения числа правильно неспрогнозированных событий к общему числу непроизошедших событий), набор которых для изменяемого порога привел к кривым, приведенным на рис. 9 . При этом критерием качества работы метода, инвариантным к величине порога, являлись

n

n

з 5

Зависимости на рис. 9 получены для объема выборки N > 2.6 • 10 .

RQPQ (rko)

10

-4

rq = 10

rQpQ (rlr0)

о Первый сегмент □ Второй сегмент

10

—2

10

-4

rq = 70

о Первый сегмент

□ Второй сегмент _|_

r¡RQ

10

-2

r/RQ

Рис. 8

площади под полученными кривыми. Из рис. 9 видно, что ЯОС-кривая для оценки Ж (х; Ах Го), полученной с использованием аппроксимации характеристик Рд (г|г0) для

мультифрактальной модели (сплошная линия), для всех значений порога лежит выше, чем аналогичная характеристика, полученная с использованием эмпирически оцененных

Рд (г Го) для реальных данных (штриховая линия). Площадь, ограничиваемая двумя кривыми, характеризует получаемый в результате моделирования выигрыш.

Аналогичным образом можно решать задачу более долгосрочного прогнозирования.

Поскольку при ^ > 104 мин (значение, соответствующее постоянной времени недельного тренда) исследуемый процесс практически сходился к монофрактальному, в данном случае более уместно применение аппроксимаций (2) и (3). Однако решение задачи прогнозирования усложнялось необходимостью включения дополнительного этапа, связанного с учетом исключенной при моделировании суточной нестационарности, и даже после этого оно оставалось ограниченным из-за частичной потери информации о локально нестационарной динамике процесса с иными, чем суточная, постоянными времени, исключенной при ББЛ-анализе.

Полученные результаты указывают на возможность оценки вероятности превышения случайными процессами в больших ТКС фиксированных порогов 0 с использованием информации о времени предшествующих превышений. Это позволяет осуществлять прогнозирование возможных событий, связанных с превышением пропускной способности отдельных элементов ТКС, переполнением очередей при буферизации, а при использовании резервирования снизить вероятность возникающих вследствие подобной перегрузки отказов в обслуживании абонентов. При этом эффективным является описание изучаемых процессов математическими моделями, в качестве критерия соответствия которых изучаемому процессу может служить распределение обобщенных показателей Херста. Сущность выигрыша при подобном подходе аналогична получаемому при применении авторегрессионных методов спектрального оценивания, когда в силу конечности выборки не удается получить качественные оценки при использовании классических

методов. В рассмотренном случае результа-

С,

0.8 -

0.6

Модельная

Эмпирическая _|_

0.25

0.5 Рис. 9

0.75

Ч

1

1

1

1

тивность кратковременного прогнозирования удалось повысить за счет использования характеристик условной плотности распределения интервалов Pq (r|r0), полученных на основе мультифрактальной модели, примененной для описания кратковременной динамики трафика HTTP-сервера.

Библиографический список

1. Шелухин О. И., Тенякшев А. М., Осин А. В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. М.: Радиотехника, 2003. 576 с.

2. A multifractal wavelet model with application to network traffic / R. H. Riedi, M. S. Crouse, V. J. Ribeiro et al. // IEEE Trans. Inf. Theor. 1999. Vol. IT-45, № 4. P. 992-1018.

3. Multifractality in human heartbeat dynamics / P. Ch. Ivanov, M. G. Rosenblum, L. A. Amaral et al.// Nature.

1999. Vol. 399. P. 461-465.

4. Bouchaud J.-P., Potters M., Meyer M. Apparent multifractality in financial time series // Eur. Phys. J. B.

2000. Vol. 13. P. 595-599.

5. Storch H. V., Zwiers F.W. Statistical analysis in climate research. Cambridge: Cambridge university press,

2001. 448 p.

6. The science of disasters / Ed. by A. Bunde, J. Kropp, H. J. Schellnhuber. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2002. 453 p.

7. Feder J., Fractals. New-York: Plenum Press, 1988. 283 p.

8. Mosaic organization of DNA nucleotides / C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, S. Havlin et al. // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 1685-1689.

9. Detecting long-range correlations with detrended fluctuation analysis // J. W. Kantelhardt, E. Koscielny-Bunde, H.-H. A. Rego et al. // Physica A. Vol. 2001. 295. P. 441-454.

10. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series // J. W. Kantelhardt, S. A. Zschiegner, E. Koscielny-Bunde et al. // Physica A. 2002. Vol. 316. P. 87-114.

11. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. 392 с.

12. Тихонов В. И., Хименко В. Н. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987. 304 с.

13. Extreme value theory and applications / Ed. by J. Galambos, J. Lechner, E. Simin. Dordrecht: Kluwer, 1994. 348 p.

14. On the statistics of return intervals in long-term correlated records // J. F. Eichner, J. W. Kantelhardt, A. Bunde et al. // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. 011128/1-9.

15. Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. Effect of nonlinear correlations on the statistics of return intervals in multifractal data sets // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 240601-240604.

16. Method for generating long-range correlations for large systems / H. A. Makse, S. Havlin, M. Schwartz et al. // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 5445-5449.

17. Schreiber T., Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 635-638.

M. I. Bogachev

Saint-Petersburg state electrotechnical university 'LETI'

Statistical analysis and dynamical predictions of random processes in telecommunication networks based on multifractal traffic models

Prediction of a fixed threshold exceeding by a random process characterizing traffic in telecommunication network in observed. Based on the results of fluctuation analysis, approximation of HTTP server outgoing traffic by a multifractal model was performed. It was shown that on the basis of the multifractal model, a better approximation for the probability density functions of the return intervals between events above a fixed threshold was obtained, in comparison with one based on empirical estimation. This finally resulted in an improvement in short-term prediction of such threshold exceeding events. Further ideas concerning the possibilities of long-term prediction in the same processes on the basis of monofractal models are proposed.

Dynamical predictions, long-term dependence, monofractal models, multifractal models, telecommunication networks

Статья поступила в редакцию 22 октября 2007 г.