CC BY
8V. N. Dibie
Sаint-Petersburg state university of telecommunications n. a. prof. M. A. Bonch-Bruevich
Priority model of demands service of contemporary contact center
Results of simulation of operator subsystem of IP-contact center (IPCC) with a priority discipline organization of calls service are given. The method of IPCC probability-time characteristics calculating is considered.
IP-contact center, query, modeling, probabilistic-time characteristics
Статья поступила в редакцию 7 апреля 2010 г.
УДК 621.37
М. И. Богачев
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"
К вопросу об использовании долговременной зависимости при прогнозировании выбросов в системах метеорологического и гидрологического мониторинга*
Рассмотрена задача прогнозирования выбросов метеорологических и гидрологических показателей с точки зрения возможности использования присущих им долговременной зависимости и фрактальных свойств. Показано, что, в силу циклической природы указанных показателей и наличия кратковременных трендов, в большинстве случаев при краткосрочном прогнозировании информация о кратковременной динамике процесса за время, предшествующее возникновению выброса, является более информативной, нежели прогноз на основе долговременной зависимости. При этом информация о долговременной предыстории может быть полезна при долгосрочном прогнозировании, а также для уточнения априорной вероятности в алгоритмах краткосрочного прогнозирования.
Прогнозирование, метеорология, гидрология, долговременная зависимость, распознавание предиктора
Как было показано рядом исследователей, динамика основных показателей, отражающих климатические факторы в зоне соприкосновения сред, носит хаотический характер [1], характеризуется положительными значениями энтропии Колмогорова [2], [3], бифуркациями (значительными расхождениями траектории при незначительном изменении начальных условий) [4], [5] и, как следствие, может быть спрогнозирована при помощи детерминистических моделей лишь на ограниченное время при ограниченной точности задания начальных условий [6], [7]. Следовательно, для более точного прогнозирования аномальных значений динамических показателей в системах климатического прогнозирования на краткосрочную и среднесрочную перспективу необходим переход к статистическим моделям, отражающим вариативность факторов. В этой связи могут быть интересны свойства долговременной зависимости метеорологических и гидрологических показателей [8]—[12].
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (гос. контракт № П1114 от 26.08.2009).
© Богачев М. И., 2010 45
К основным динамическим показателям в метеорологии и гидрологии, подлежащим мониторингу и непосредственно связанным с риском возникновения чрезвычайных ситуаций (ЧС) природного характера, следует отнести, в частности, такие, как температура воздуха, количество осадков и уровень воды в реках. Мониторинг указанных показателей является важной составляющей наблюдения за метеорологической и гидрологической обстановкой в системах предупреждения возникновения ЧС. Реализация алгоритмов оценки вероятности появления аномальных значений основных наблюдаемых показателей в рамках подобных систем позволяет осуществлять прогнозирование неблагоприятных климатических условий и, таким образом, заблаговременно принимать меры к минимизации последствий природных ЧС. Статистические свойства долговременной зависимости (ДВЗ) указанных показателей, а также возможности их математического моделирования подробно рассмотрены в работах [8], [13], [14]. В частности показано, что флуктуационная составляющая* колебаний температуры, количества осадков и потока воды в реках на длительных временных масштабах характеризуется ДВЗ со степенным характером убывания автокорреляционной функции С (^) ~ , где показатель степени у для стационарного режима взаимно однозначно связан с показателем Хёрста: у = 2 - 2Н. Что касается кратковременной динамики, то здесь авторы отмечают ряд различий. Температурные колебания характеризуются выраженной кратковременной зависимостью (до нескольких суток), зачастую классифицируемой наблюдателем как краткосрочный тренд (Н « 1.0___1.3, что лежит за порогом стационарности Н = 1.0), в то время как на средне- и долгосрочных временных масштабах типичны значения Н « 0.6_0.7 за исключением наблюдений в зоне морских акваторий и островных территорий, где достигались значения Н « 0.8 [8], [13]. Дальнейший анализ показал, что температурные флуктуации достаточно точно описываются линейными моделями с единственным показателем Хёрста [13], в то время как для описания колебания уровня осадков и потока воды в реках относительно соответствующих сезонных периодич-ностей требуется применение нелинейных мультифрактальных моделей, в которых вместо единственного показателя Хёрста Н используется распределение обобщенных показателей Хёрста Н (q) [14]. При этом линейная зависимость характеризуется Н = Н ( 2)« 0.5_ 0.6
для колебаний уровня осадков и Н(2) « 0.8_0.9 для колебаний потока воды в реках [14]. Оба указанных типа данных также характеризуются присутствием краткосрочных трендов.
В работе [14] для моделирования ДВЗ флуктуаций уровня осадков и потока воды в реках было предложено использовать модель биномиального мультипликативного каскада [15], также иногда называемую аЪ-моделью. Алгоритм синтеза реализаций достаточно прост и носит итерационный характер. На входе алгоритм располагает начальной реализацией х|0), параметрами а и Ъ и вероятностью перехода р. В результате первой итерации
* Под флуктуационной составляющей в данном контексте понимаются флуктуации относительно регулярных сезонных изменений, которые достаточно хорошо описываются детерминистической периодической моделью. В работах [8], [13], [14] для описания такого периодического процесса использовались статистические характеристики не выше второго порядка: для выделения флуктуационной составляющей из посуточных значений вычиталось среднее значение, оцененное по данной реализации за данные сутки каждого года, а затем полученные значения делились на среднеквадратическое отклонение для данной реализации за данные сутки каждого года.
46
а ( х1(1)= х{0)а)
с вероятностью p начальная реализация домножается на параметр а ^ = X( а} и к ней
добавляется вторая реализация, сформированная по формуле x21) = X(0)¿. С вероятностью
р = 1 - p реализации после первой итерации получают значения x(1) = X(0)b и x21) = X(0)а.
На каждой последующей п -й итерации x2n-l = x(п 1)а и ) = x(п 1)Ь с вероятностью p,
и x2П-1 = Xп-1)Ь и x2П^ = x(п-1)а с вероятностью р = 1 - р, причем длина формируемой реализации после каждой итерации удваивается. Так, если в качестве начального приближения принять Xl0) = 1, то на первой итерации с вероятностью р x11) = Xl0)а = а и
x21) = Xl0)b = Ь, а с вероятностью р = 1 - р X!1'* = X!0)Ь = Ь и x21) = Xl0)a = а. После п ите-
(п) ктп-k
раций получим возможные значения реализации X| = а Ь , где распределение значений к определяется из биномиального закона при заданном р (на практике наиболее часто используется р = 0.5). Недостаток подобной модели - квантованность по уровню значений конечной реализации. Важным достоинством, позволяющим в ряде случаев мириться с этим недостатком, является известное аналитическое решение для распределения
обобщенных показателей Хёрста [16] Н ( q) = (1/ q) - [ь (ад + ^ )/1п2].
При формировании модельной реализации вначале оценивались три значения обобщенных показателей Хёрста Н (1), Н (2) и Н (5) с использованием широко распространенного метода флуктуационного анализа с исключением тренда (ФАИТ) [15]. Затем на основании значений Н (1) и Н (5) выбирались оптимальные значения параметров а и Ь. Наконец, на завершающем этапе нужное значение Н (2) достигалось путем операции, известной как "сдвиг мультифрактального спектра", подробно описанной в работе [14]*.
Корректность аппроксимации статистических флуктуационных характеристик аЬ-мо-делью проверялась с помощью упомянутого ранее ФАИТ для трех значений момента q = 1, 2, 5. Репрезентативные выборки** из результатов ФАИТ для данных температурных наблюдений приведены на рис. 1 (а - район верхнего течения р. Камы, б - Казань, в - Екатеринбург, г - Сыктывкар). Видно, что даже с учетом краткосрочного тренда характеристики достаточно хорошо аппроксимируются логарифмическими функциями F (^) ~ 1п ^ (показаны сплошными линиями), что обусловлено значением Н, близким к 0.5 (значение для последовательности из независимых отсчетов), при этом наклон аппроксимирующих кривых практически не зависит от значения момента q, что подтверждает монофрактальный характер данных с превалирующей линейной зависимостью и согласуется с данными работ [8], [13].
ЛН/9
Операция состоит в преобразовании Фурье исходной последовательности, умножении результата на f ' (ЛН = Н'- Н; Н' - требуемый показатель Хёрста; Н - показатель Хёрста для исходной последовательности) и вычислении обратного преобразования Фурье.
* Всего было проанализировано более 30 реализаций каждого из приведенных типов данных, зарегистриро-
ванных в различных районах земного шара, каждая длительностью не менее 20 лет, в период с 1881 по 2009 гг., при этом были получены качественно сопоставимые результаты.
*
Результаты аналогичного анализа данных о количестве осадков (рис. 2, а - Иркутск, б - Казань, в - Нижний Новгород, г - Санкт-Петербург) показывают, что в одних случаях (б, в) монофрактальная модель с единственным параметром Н по-прежнему уместна, в других же (а, г) наклоны флуктуационных функций существенно различны и требуется применение мультифрактальной модели. Для рис. 2, а эти параметры составили а = 0.62, б = 0.76, АН = 0.48, для рис. 2, г -а = 0.6, Ъ = 0.77, АН = 0.45. Результаты ФАИТ для модельных аппроксимаций с указанными параметрами даны на рис. 2 сплошными линиями.
Результаты анализа потока воды в реках (рис. 3, а - Дунай, б - Некар, в - Гаула, г -Везер) во всех случаях указывают на необходимость применения мультифрактальной мо-
F
а
F
б
F
в
F
г
Рис. 1
F
а
F
б
F
в
F
г
Рис. 2
а
б
в
г
Рис. 3
дели, параметры которой представлены в таблице. Результаты ФАИТ для модельных реализаций с этими параметрами даны на рис. 3 сплошными линиями.
Прогнозирование выбросов с использованием информации о долговременной зависимости связано с оценкой вероятности WQ (t, Аt) одно- или многократного пре-
Река Н (2) а Ъ АН
Дунай 0.86 0.45 0.64 -0.11
Некар 0.85 0.43 0.65 -0.11
Гаула 0.61 0.51 0.77 -0.36
Везер 0.8 0.44 0.68 -0.16
вышения значением случайного процесса
фиксированного порога Q в течение интервала Аt начиная с текущего момента, которая может быть выражена через плотность распределения интервалов PQ (t) между превышениями порога Q:
WQ (t, Аt) = \ Рд (г) dr | Рд (г) dr « Рд - Сд (t)],
где t - время, прошедшее с момента предыдущего превышения порога; Сд (t) = | Рд (г) dr -
функция распределения интервалов времени между превышениями порога [17]. Эффективность указанного подхода исследовалась при прогнозировании модельных реализаций моно- и мультифрактальных процессов, в том числе в присутствии шумов [18]. Вопрос об эффективности данного подхода в присутствии остаточных цикличностей и краткосрочных трендов, типичных для данных метеорологических и гидрологических наблюдений, остается открытым.
На рис. 4-6 приведены результаты оценки дополнительных функций распределения
ССд (г ) = 1 — Сд (г) интервалов между выбросами свыше заданных порогов д, соответствующих средним интервалам Яд = 10 (черные кривые) и 70 (серые) для тех же репрезентативных реализаций, что и на рис. 1-3. Штриховыми кривыми 2 даны (Сд (г) для модельной аппроксимации, предложенной по результатам ФАИТ. Штриховые прямые 1, приведенные для сравнения, соответствуют экспоненциальному распределению, характерному для пуассоновского потока событий. Из рис. 4 следует, что для температурных колебаний во всех представленных случаях удовлетворительное качество аппроксимации дости-
Сд (г) ~ ехр(—г у эф ),
гается растянутым экспоненциальным распределением Сд '
У эф
= 0.65.
с 10
Q\
-1
10
-2
10 10
с
\
1 \ 70 I \!
2
5
10
а
15
№
с, 10
Q\
-1
10
-2
10 10
10 б
10
в
с, 10
Q\
-1
10
-2
10
10
,—31— .—4
г
Рис. 4
10
10
10
= 70
1 \ « 10
- \ \2 ^
б
1 N Т\
С,
11
10
10
10
г
^ =10
7 11
б
10
10
10
С
10
10
Q
-2 -31-
10
-4
г
Рис. 5
10
^ = 70
10
-2
10 10
0 15 30 45 60 г^ а
с 10-
10
-2
10 10"
-3
^ = 70
-1 2
\ | 10 Т!^** 1 1 1
0 15 30 45 60 Г^ б
^ =10 70
30 45
в
с 10-
10
-2
10
10
г
Рис. 6
Данный результат соответствует Н = 1 - у/2 = 0.675, что хорошо согласуется с ре-зульта- тами линейного анализа [13], где в качестве наивероятнейших значений указываются Н « « 0.6...0.7. При анализе данных уровня осадков применялись аналогичные аппроксимации (рис. 5, а - уэф = 0.9, б - уэф = 0.72, в - уэф = 0.6, г - уэф = 0.95). Видно,
что при аппроксимации монофрактальной моделью распределение интервалов для модельных реализаций оказывается значительно уже истинного (рис. 5, б, в), в то время как в случае аппроксимации аЬ-моделью, напротив, оказывается значительно шире истинного (рис.
5, а, г). Наконец, при анализе потока воды в реках получены еще более широкие распределения, причем в данном случае распределения интервалов для модельных реализаций удовлетворительно аппроксимируют истинные распределения по результатам наблюдений (рис.
6, а - уэф = 0.5, б - уэф = 0.45, в - уэф = 0.56, г - уэф = 0.43 ), по крайней мере, для мини-50
0
3
7
а
а
в
мального значения Яд = 10. Спадающие характеристики для Яд = 70 можно отнести за
счет малого объема выборки. Следует также отметить, что при анализе рис. 5, 6 не отмечается типичного для мультифрактальных данных эффекта, когда распределения интервалов для больших значений Яд значимо шире, чем для меньших. По результатам анализа
можно заключить, что вклад нелинейной зависимости в интервальные статистики в большинстве рассмотренных случаев выражен слабо.
На рис. 7-9 приведены рабочие характеристики прогнозирования рассмотренных показателей (зависимости вероятности правильного прогнозирования выброса D от вероятности ложного прогноза а) Яд = 70, Аt = 1 с использованием метода интервальных
статистик (кривые 1) и метода распознавания характерного предиктора (кривые 2), под-
Б 0.75 0.5 0.25
0 0.25 0.5 0.75 а
Б
0.75 0.5 0.25
0 0.25 0.5 0.75
б
Б
0.75 0.5 0.25
0 0.25 0.5 0.75
в
Б
0.75 0.5 0.25
0
0.25 0.5 0.75
г
Рис. 7
Б 0.75 0.5 0.25
0
Б 0.75 0.5 0.25
0
Б 0.75 0.5 0.25
0
Б 0.75 0.5 0.25
0.25 0.5 0.75 а
0.25 0.5 0.75
б
0.25 0.5 0.75
в
а
0 0.25 0.5 0.75
г
Рис. 8
а
Б 0.75 0.5 0.25
0
Б 0.75 0.5 0.25
0
Б 0.75 0.5 0.25
Б 0.75 0.5 0.25
0
0.25 0.5 0.75 а
а
0.25 0.5 0.75 а
б
0.25 0.5 0.75 а
в
-7
0.25 0.5 0.75
г
Рис. 9
а
а
а
а
а
а
а
робно описанных в работах [17], [18]. Для обучения во втором методе использовались модельные реализации, сформированные с параметрами, установленными для каждого случая по результатам ФАИТ. На рис. 7 сплошными линиями представлены рабочие характеристики для прогнозирования аномально высоких температур, штрихпунктирными - для аномально низких температур. Штриховые линии D = а соответствуют случаю, когда зависимость отсчетов процесса отсутствует либо неизвестна наблюдателю.
На рис. 8, 9 даны характеристики только для аномально больших значений. При анализе аномально низких значений были получены качественно сопоставимые результаты.
Согласно полученным результатам для краткосрочного прогнозирования рассмотренных метеорологических и гидрологических показателей анализ непосредственных предикторов выбросов является более информативным, нежели анализ долговременной зависимости, что может объясняться остаточной циклической природой указанных показателей. Этот артефакт не может быть полностью устранен на уровне статистических характеристик второго порядка или учетом кратковременных трендов. При очень малых значениях вероятности ложной тревоги алгоритм на основе интервальных статистик незначительно выигрывает при анализе потока воды в реках. При этом информация о долговременной предыстории может быть полезна при долгосрочном прогнозировании, а также для уточнения априорной вероятности в алгоритмах краткосрочного прогнозирования, в особенности при требованиях низкой вероятности ложной тревоги.
Список литературы
1. Bretherton C. S., Battisti D. S. An interpretation of the results from atmospheric general circulation models forced by the time history of the observed sea surface temperature distribution // Geophys. res. lett. 2000. Vol. 27, № 6. P. 767-770.
2. Kifer Y. Averaging and climate models // Progress in probability. 2001. Vol. 49. P. 171-187.
3. Tiwari R. K. Detecting chaos from geophysical time series // Application of fractals in earth sciences; ed. by V. P. Dimri. Rotterdam: Kluwer, 2000. P. 195-213.
4. Ganopolski A., Rahmstorf S. Rapid changes of glacial climate simulated in a coupled climate model // Nature. 2001. Vol. 409. P. 153-158.
5. Broer H., Simo C., Vitolo R. Bifurcations and strange attractors in the Lorenz-84 climate model with seasonal forcing // Nonlinearity. 2002. Vol. 15. P. 1205-1267.
6. Rodwell M. J., Rowell D. P., Folland C. K. Oceanic forcing of the wintertime North Atlantic Oscillation and European climate // Nature. 1999. Vol. 398. P. 320-323.
7. Predictability of multiyear to decadal variations in the North Atlantic Oscillation and associated Northern Hemisphere climate variations: 1959-1993 / V. M. Mehta, M. J. Suarez, J. Manganello, T. L. Delworth // Geophys. rev. lett. 2000. Vol. 27. P. 121-124.
8. Indication of a universal persistence law governing atmospheric variability / E. Koscielny-Bunde, A. Bunde, S. Havlin et al. // Phys. rev. lett. 1998. Vol. 81. P. 729-732.
9. Beltrami H. Earth's long-term memory // Science. 2002. Vol. 297. P. 206-207.
10. The challenge of long-term climate change / K. Hasselmann, M. Latif, G. Hooss et al. // Science. 2003. Vol. 302. P. 1923-1925.
11. Blender R., Fraedrich K. Long time memory in global warming simulations // Geophys. res. lett. 2003. Vol. 30. P. 1769-1772.
12. Long-term memory: A natural mechanism for the clustering of extreme events and anomalous residual times in climate records / A. Bunde, J. F. Eichner, J. W. Kantelhardt, S. Havlin // Phys. rev. lett. 2005. Vol. 94. P. 048701 (1-4).
13. Power-law persistence and trends in the atmosphere: A detailed study of long temperature records / J. F. Eichner, E. Koscielny-Bunde, A. Bunde et al. // Phys. rev. lett. 2003. Vol. 68. P. 046133 (1-5).
14. Long-term persistence and multifractality of river runoff records: Detrended fluctuation studies / E. Koscielny-Bunde, J. W. Kantelhardt, P. Braun et al. // J. hydrol. 2006. Vol. 322. P. 120-137.
15. Mandelbrot B. B. Fractals: form, chance and dimension. San Francisco: Freeman, 1977. 528 p.
16. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series / J. W. Kantelhardt, S. A. Zschiegner, E. Koscielny-Bunde et al. // Physica A. 2002.Vol. 316. P. 87-114.
17. Богачев М. И. К вопросу о прогнозируемости выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами при использовании информации о линейной и нелинейной составляющих долговременной зависимости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5. С. 31-40.
18. Богачев М. И. Сравнительный анализ помехоустойчивости методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами при использовании информации о кратковременной и долговременной зависимостях // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1. С. 11-21.
M. I. Bogachev
Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
On the long-range dependence usability for prediction in meteorological and hydrological monitoring systems
Usability of long-range dependence of meteorological and hydrological indices in prediction of anomalies is considered. It is shown that due to the cyclic behaviour and presence of short-term trends short-range precursors of anomalies are more informative for their predictions in the overwhelming majority of records. Long-range history may be still useful in long-range prediction and to estimate the a priory probability to improve the short-range prediction algorithms.
Predicting, meteorology, hydrology, long-range dependence, precursor recognition
Статья поступила в редакцию 07 июля 2010 г.
