CC BY
35
Для цитирования: Муселемов Х.М., Устарханов О.М., Юсупов А.К. Статистический анализ акселерограмм реальных сильных землетрясений. Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. 2017;44 (4):170-183 D0I:10.21822/2073-6185-2017-44-4-170-183
For citation: Muselemov Kh.M., Ustarkhanov O.M., Yusupov A.K. Statistical analysis of accelerograms of real strong earthquakes. Herald of Daghestan State Technical University. Technical Sciences. 2017; 44 (4): 170-183. (In Russ.) DOI: 10.21822/2073-6185-2017-44-4-170-183
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА
УДК 699.8
DOI: 10.21822/2073 -6185-2017-44-4-170-183
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АКСЕЛЕРОГРАММ РЕАЛЬНЫХ СИЛЬНЫХ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ
3 12
Муселемов Х.М. , Устарханов О.М. , Юсупов А.К.
1-3
- Дагестанский государственный технический университет,
1-3
- 367026,г. Махачкала, пр. Имама Шамиля, 70, Россия,
12 3
e-mail:[email protected], e-mail: abusupk @mail.ru, e-mail: [email protected]
Резюме: Цель. В статье отражены результаты статистического анализа реальных акселерограмм. С этой целью графики реальных акселерограмм увеличиваются по абсциссе и ординате, что позволяет производить соответствующие замеры и представлять записи ак-селографов в виде числовых таблиц. Для обработки таблиц строится математическая модель, которая позволяет выполнять статистические исследования реальных акселерограмм. Метод. Ускорение поверхности земли при землетрясении представляется в виде нестационарного случайного гауссовского процесса. В настоящее время такой подход считается общепризнанным и не вызывает сомнения. Нестационарный процесс, описывающий ускорение поверхности земли, моделируется в виде функции трех случайных параметров. При этом реальная акселерограмма, которая представлена в единственном экземпляре, моделируется случайной эргодической функцией. Результат. Приводятся акселерограммы сильных реальных землетрясений, и соответствующие им фрагменты таблиц. Подробно излагается алгоритм, позволяющий определять все параметры корреляционных функций и спектральных плотностей, соответствующих реальных землетрясений. Приведены результаты обсуждения особенностей построения алгоритма, который позволяет вычислять статистические характеристики землетрясения: доминантную частоту, среднеквадратическое отклонение, коэффициент корреляции, коэффициент, учитывающий не стационарность процесса землетрясения. Вычислены параметры корреляционных функций акселерограмм сильных землетрясений, которые произошли в городах Тафт (США) и Газли (Узбекистан). Результаты исследования представлены в виде графиков и таблиц. Вывод. Построенный авторами алгоритм позволяет выполнять статистические исследования сильных землетрясений, акселерограммы которых даются в единственном экземпляре, и вычислять параметры соответствующих корреляционных функций. Изложенный алгоритм может быть использован при статистическом анализе акселерограмм сильных землетрясений. Параметры корреляционных функций могут найти применение при исследовании сейсмостойкости зданий, как с пассивной, так и с активной сейсмозащитой.
Ключевые слова: акселерограмма, нестационарный процесс, случайные параметры, огибающая, доминантная частота
TECHNICAL SCIENCE BUILDING AND ARCHITECTURE
3 12
Khairulla M. Muselemov , Osman M. Ustarkhanov, Abusupyan K. Yusupov
1-3Daghestan State Technical University,
1-3
- 701. Shamilya Ave., Makhachkala 367026, Russia,
12 3
e-mail:[email protected], e-mail: abusupk @mail.ru, e-mail: [email protected]
STATISTICAL ANALYSIS OF ACCELEROGRAMS OF REAL STRONG
EARTHQUAKES
Abstract. Objectives The statistical analysis of real accelerograms is considered. For this purpose, graphs of real accelerograms are enlarged in abscissa and ordinate, allowing the appropriate measurements to be made and the accelerograph records to be presented in the form of numerical tables. To process these tables, a mathematical model is constructed that allows statistical studies of actual accelerograms to be carried out. Methods The acceleration of the Earth's surface during an earthquake is represented as a non-stationary random Gaussian process. The non-stationary process describing the acceleration of the Earth's surface is modelled as a function of three random parameters. In this case, the real accelerogram, which is presented in a single copy, is modelled by a random ergodic function. Results Accelerograms of strong real earthquakes and corresponding fragments of tables are given. An algorithm that allows all parameters of correlation functions and spectral densities to be determined corresponding to real earthquakes is described in detail. A constructed algorithm that allows the statistical parameters of an earthquake to be calculated, including the dominant frequency, the standard deviation, the correlation coefficient and a coefficient that takes into account the non-stationary nature of the earthquake process, is discussed. The parameters of the correlation functions of accelerograms of strong earthquakes that occurred in the cities of Taft (USA) and Gazli (Uzbekistan) are calculated. The results of the study are presented in the form of graphs and tables. Conclusion The algorithm constructed by the authors allows the statistical study of strong earthquakes, whose accelerograms are presented in a single copy, to be carried out and the corresponding correlation function parameters to be calculated. The proposed algorithm can be usedfor the statistical analysis of accelerograms of strong earthquakes.The parameters of correlation functions can find application in the investigation of seismic resistance of buildings, both with passive and active seismic protection.
Keywords: accelerogram, non-stationary process, random parameters, envelope curve, dominant frequency
Введение. Ускорение поверхности земли при землетрясении, как известно [4-6,12], представляет собой нестационарный случайные процесс.
В настоящее время модель нестационарного случайного процесса, которая применяется для описания ускорения поверхности земли, следует считать общепризнанной в мировой практике. Поскольку реальные акселерограммы для конкретного строительного участка (региона) удается записывать в единственном экземпляре, ее статистическая обработка затруднена. В практике проектирования сейсмостойких зданий применяются различные методы сейсмозащи-ты [1-3,8-9,11-12]. Поэтому приходится строить адекватные математические модели, которые позволяют построить корреляционные функции ускорения поверхности земли как нестационарного процесса. В настоящей статье даются алгоритм построения корреляционной функции и приведены примеры, соответствующие сильным реальным землетрясениям.
Постановка задачи. Требуется построить алгоритм, позволяющий получить корреляционную функцию ускорения поверхности земли как нестационарного случайного процесса. Для иллюстрации особенностей этого алгоритма следует рассмотреть реальные акселерограммы сильных землетрясений, которые произошли в городах Тафт и Газли (Каракыр). Привести аналитические выражения корреляционных функций и соответствующие их параметры. Ре-
зультаты представить в виде графиков и таблиц. Обсудить особенности статистического анализа акселерограмм, представленных единичными экземплярами. Сформулировать выводы. Методы исследования. Ускорение поверхности Земли обозначим через W (t):
W (t) = ^н (1)
Здесь W (t) - нестационарный случайный гауссовский процесс, определяемый статистической обработкой некоторого набора акселерограмм, записанных экспериментально приборами для данного района строительства при сильных землетрясениях.
На рис. 1. дается графическое представление ускорения поверхности Земли.
VC-t)
—
Рис.1. Графическое представление ускорения поверхности Земли Fig.1. Graphical representation of the acceleration of the Earth's surface
Обычно, ускорение (1) моделируют [12] так :
W(t) = ^Ko - A(t) - <^(t)
Здесь: t (0; К о - дисперсия ускорения W(t), ( рис.1);
A(t)
- огибающая функции (рис.1):
(2)
-st
A(t) = s • в • t • в
Располагая наибольшим значением стандарта
(3)
можно определить [12] все
входящие в (3) параметры: to
1
s
to - соответствует наибольшему значению
стандарта К0 , (рис. 1.) е« 2,72 - основание натуральных логарифмов.
Располагая доминантным периодом колебаний поверхности Земли Т , можно [12] определить все входящие в формулу (3) параметры.
Я. М. Айзенбергом предложены эмпирические формулы:
/— 150
0 = урГ - для ^ баллов;
75
.J K0 = -Т5 - для 8 баллов; -JT
I- 37.5
Л]К0 = — для 7 баллов.
(4)
Т
Эти формулы удовлетворительно согласуются с данными акселерограмм, особенно при Т > 0,6 с.
Доминантная частота колебаний поверхности Земли при землетрясении ^ = ^^
Т .
В формулах (4) баллы - по шкале ИФЗ (г. Москва); период измеряется в секундах, а
средний квадрат ускорения л K0 в
см с
В выражении (2)
p(t) - гауссовский стационарный случайный процесс с нормированной корреляционной функцией
Кр = Кр ( t - t') = e - р| t- t' 1 cos Q (t - t') , (5)
которой соответствует [3,13] спектральная плотность
V (ЯЛ = р 02 +р2 + Q2
р( ) * (Я2-р2-Q2)2 + (2Я-р)2 ' (6)
где
р = 0,5 Q , s = (0,03 - 0,15) Q . (7)
Стационарный процесс р ( t ) можно моделировать [7, 10, 13] тригонометрической функцией:
р (t) = p- cos 9 t + u- sin 9 t . (8)
Здесь: 9, p, u - случайные величины.
Нормальные случайные величины p и u некоррелированы и имеют единичную дисперсию. Это позволяет совместную плотность распределения вероятностей этих величин записать так:
1 - 2 - (p2+и2) f1(Р'u) = - е (9)
Плотность распределения случайной частоты 9 можно представить [14] в виде нормированной на положительной полуоси спектральной плотности:
/2(Я) = 2 - Vp(9) - е (Я) , (10)
где Sp(9) - дана функцией (6), единичная функция
e (G) =
1 при G > О,
О при G < О . (11)
Поскольку амплитуды и частоты некоррелированы, то совместную плотность 3-х случайных величин р, и, 9 можно представить произведением:
Fз (р, и, 9 ) = £ (р, и ) £ ( 9 ) или с учетом (9) и (10)
/з( p, uG) = 1 Sф(в) - e(G) - exp к
- 2( p2+u2)
(12)
где - определяется выражением (6) .
Таким образом, ускорение поверхности земли при землетрясении моделируется нестационарной случайной функцией 3-х случайных величин:
W(t) = В(р cos О t + u sin ^ t) -t- e - E 1 , (13)
где В = . (14)
На наш взгляд, имея реальные акселерограммы для сильного землетрясения (рис.1),
можно определить стандарт \/K0 , затем с помощью формул (6) и (12) представить совместную плотность всех 3-х случайных величин p, u, О.
После чего случайная функция (13) вполне определена.
Построение корреляционной функции. Эта функция строится на основе статистической обработки акселерограмм, записанных приборами при сильных землетрясениях. Сильное землетрясение, как известно, - явление довольно редкое. Поэтому статистическую обработку,
173
<
обычно, приходится делать, располагая одной, единственной, реальной акселерограммой, соответствующей конкретному району строительства или региона.
Приведем алгоритм, по которому можно построить корреляционную функцию (5). Как свидетельствуют статистика землетрясений и практический опыт, содержательные результаты при статистической обработке удается получить, если принять гипотезу о нормальности случайного процесса (1). Другими словами, предполагается, что функция (1) есть нестационарный гауссовский случайный процесс. Это предположение - общепринятое, и оно не вызывает сомнений.
Далее будем считать, что мы располагаем одной единственной экспериментальной акселерограммой, записанной для некоторого конкретного района строительства при сильном землетрясении.
Экспериментальную функцию (кривую) акселерограммы обозначим через W(t), аппроксимирующую функцию - через W(t) - (см. равенство (1) и рис. 1.)
Тогда должно быть выполнено следующее условие:
W(t) = W(t) . (15)
Подставляя в равенство (15) выражения (2) и (3), получаем
Л[Ке• t• e-£t .p(t)=J~(t), (16)
или, введя обозначение
z(t)=(s-е-t)-1 •е£'t•W~(t) , (17)
имеем (е - основание натуральных логарифмов)
z(t)=,,fK -V(t). (18)
Среднее значение функции (16) равно нулю: z = О.
Таким образом, мы перешли от равенства нестационарных функций (15) к равенству стационарных функций (17).
Случайная функция (16) является гауссовским стационарным процессом. Это позволяет нам вместо рассмотрения нестационарного процесса рассматривать стационарную функцию (16). Поскольку экспериментальная функция (кривая) W~(t), входящая в равенство (16), записана в промежутке времени (0 ^ Т0) и представлена в единственном экземпляре, то приходится считать процесс Z(t) - эргодическим. Следует учесть [6]: гауссовский случайный стационарный процесс Z(t) можно считать эргодическим, если его корреляционная функция удовлетворяет условию:
|lim (t-t ^z (t - t ') = 0,1 (19)
|То ^ J
Для реальных акселерограмм первое условие из (19) выполняется точно, а второе условие выполняется только приближенно: гипотеза об эргодичности процесса (16) не является
_ 1
грубой. В функцию (16) входит параметр s = ,
tо
где to - значение времени t, которому соответствует наибольшее значение экспериментальной кривой W(t).
Поскольку функции W(t) и W(t) должны быть идентичными, то смысл точки to можно выяснить по рис.1.
При оценке корреляционной функции условия (19) позволяют [13] усреднять процесс (16) не по реализациям, а по времени. С учетом этого запишем [13] выражение для вычисления корреляционной функции, получаемой на основе реальной акселерограммы:
m—- Д*^А>А+* •А)
174
Здесь: z(t) - функция (16); Д = 0,01 ^ 0,02 секунды - шаг суммирования;
i, j = i, 2,3,... (m - 0 ;
t - t' = T = i•Д ;
t = i • Д •
T0 = m • A - продолжительность землетрясения, в пределах которой
записана реальная кривая W~(t). Отсюда m
Tl Д
(21) (22)
Из выражения (20) при т = 0 можно получить дисперсию Ко = Кz (o) .
С другой стороны, из (18) имеем: Kz (г) =Ко-К^{т). При аппроксимации кривой (20) обычно пользуются функцией
KzТ)=Ко • е cosQr,
Здесь: т = t- t',
р - коэффициент, характеризующий корреляцию; Q - преобладающая (доминантная) частота; Ко - дисперсия процесса.
На рис. 2 и 3 приведены графики реальных акселерограмм сильных землетрясений. Taft (USA): время землетрясения 21 июля 1952 г.; магнитуда М=7.6;
глубина очага Д=18 км.
Рис. 2. Акселелограмма землетрясения в г.Tафт (США) Fig.2. Accelerogram of the earthquake in Taft (USA)
ti = i -A ; Д = 1,557 -10с.
Газли (Узбекистан): время землетрясения 17 мая 1976г.;
магнитуда М=7.3;
глубина очага Д=15 км.
Рис.3. Акселелограмма землетрясения в г. Газли (Узбекистан) Fig.3. Accelerogram of the earthquake in Gazli (Uzbekistan)
= I •Ад=1,636 -10 2 с
Чтобы была возможность делать замеры и представлять графические записи (рис.2 и 3) в виде чисел, мы увеличили акселерограммы в 4 раза по горизонтали и вертикали, составили соответствующие таблицы. При этом разбили абсциссы так, чтобы в пределах каждого периода
число дискретных точек было не менее пяти.
Таблицы 1 и 2 содержат 732 значения ускорения для города Тафт и 750 значений для города Газли. В статье мы приводим только небольшие их фрагменты.
Таблица 1.По городу Тафт Table 1. By city Taft
i k,
1 -6,6
2 -9,9
3 13,2
4 9,9
5 -6,6
6 -13,2
7 3,3
8 16,5
9 23,1
10 19,8
i k,
51 -23,1
52 0
53 -36,3
54 -29,7
55 26,4
56 26,4
57 33
58 39,6
59 56,1
60 -39,6
i k,
101 66
102 85,8
103 95,7
104 -260,7
105 -207,9
106 -165
107 -122,1
108 13,2
109 42,9
110 105,6
i k,
151 69,3
152 69,3
153 -161,7
154 -161,7
155 105,6
156 -99
157 -92,4
158 -46,2
159 66
160 85,8
i k,
1 0,00
2 -99,6
3 0,00
4 99,6
5 58,1
6 24,9
7 -107,9
8 -41,5
9 66,4
10 74,7
Таблица 2. По городу Газли
i k,
51 -132,8
52 -132,8
53 149,4
54 -91,3
55 207,5
56 149,4
57 190,9
58 0,00
59 -149,40
60 49,8
i k,
101 -74,70
102 -166,00
103 124,50
104 157,7
105 157,7
106 99,6
107 33,20
108 157,7
109 157,7
110 66,4
i k,
151 107,9
152 116,2
153 157,7
154 41,5
155 0,00
156 -83,00
157 -116,20
158 -215,8
159 298,8
160 49,80
Дискретные числовые значения ускорения W(t) представим формулой:
W(ti) = 10-3-g-k ,
где дискретные значения времени ti =i •Д ;
Д - шаг разбиения временной оси; i = 1.2.3....n g - ускорение свободного падения.
Значение ki определяются из табл.1 и 2.
Далее, чтобы было удобно вычислять, формулу (20) представим в следующем виде:
Kz (Ti ) = Kl (Ti ) • 10-6 •g2 ;
* (e • -2 n-i — —
Kz(Ti ) = (-•S Д) • z(j-Д + i-Д) (23)
n - г + 1 j=1 v 7
Здесь:
z( j- Д) = ( j- Д)-1 • es•j-Д -kj ;
z(j • Д + i • j) = ( j • Д + i • Д)-1 • e* (j-Д+г •Д) • j
i = 1.2.3....n ;j = 1.2.3....(n - 1); Ti = Д ;
Д - шаг разбиения временной оси; e = 2.7182 - основание натуральных логарифмов;
ki - определяются по приведенным выше табл.1 и 2 в зависимости от индекса i. Вычисленные по формуле (23) корреляционные функции представлены в табл.3 и 4 (соответствующие фрагменты) и на рис.4 и 5.
На графиках рис. 4 и 5 приведена функция Kz (Ti ) .
Для получения значений корреляционных функций необходимо пользоваться формулой:
Kz (Ti ) = K* (ti ) • 10-6 •g2 (24)
Обсуждение результатов. Проведем анализ графиков, построенных корреляционных функций по реальным акселерограммам.
По городу Taft (USA).
Определение дисперсии
При i = 0 формула (23) дает дисперсию. На графике (рис. 4) и в табл. (3) значения корреляционной функции начинаются с i = 1. Для того чтобы получить значение функции при i =
0 , продолжим график до пересечения с вертикальной осью. Такое пересечение происходит при
1 = 0 и ординате « 6500.
Это значит, что K(t0 ) = K0 = 6500 • 10-6 • g2 . Среднеквадратическое отклонение (стандарт) а= K ^/65 • 10-2 •g = 8.0740-2 •g = 0.0807 •g.
\/ко
Определение коэффициентар График корреляционной функции имеет первый (от начала координат) положительный максимум при i = 11.5 .
Этому значению соответствует
Т. = I • А = 11.5 • 1.557 • 10"2 с = 17,9 • 10"2 с .
Таблица 3. По городу Тафт Table 3. By city Taft
i к; (T) i к; (T) i к; (T)
1 5206.54 35 275.23 69 -619.39
2 1026.45 36 495.58 70 -296.11
3 -1036.87 37 268.28 71 333.23
4 -1847.71 38 -128.03 72 585.02
5 -978.65 39 -75.21 73 400.35
6 -136.93 40 2.62 74 203.61
7 -168.34 41 -137.31 75 66.91
8 -172.3 42 -214.98 76 19.96
9 -375.9 43 -103.84 77 -129.36
10 -260.7 44 -28.52 78 -295.83
11 419.88 45 -48.06 79 -215.45
12 665.96 46 205.1 80 -213.66
13 567.11 47 357.66 81 -41.76
14 -209.48 48 422.24 82 -75.07
15 -470.95 49 284 83 177.82
16 -616.47 50 55.33 84 424.9
17 -547.48 51 155.01 85 231.62
18 14.55 52 420.02 86 154.77
19 89.12 53 536.78 87 226.23
20 -64.21 54 432.46 88 56.99
21 -23.1 55 244.61 89 -37.92
22 158.57 56 -138.35 90 -112.24
23 239.22 57 -380.68 91 255.02
24 423.14 58 -190.82 92 792.09
25 270.1 59 321.11 93 922.07
26 184 60 524.33 94 695.23
27 -6.31 61 789.64 95 -56.2
28 -189.42 62 743.19 96 -406.28
29 -415.12 63 543.19 97 -665.73
30 -228.73 64 385.68 98 -326.62
31 -164.2 65 -11.87 99 423.12
32 -347.06 66 -297.01 100 381.97
33 -280.62 67 -622.24
34 -76.97 68 -612.87
USA(1-aa сотня)
Рис. 4. По городу Тафт Fig.4. By city Taft
_2
Значение корреляционной функции при I = 17,9 • 10_ " c равно
Kz(ii) = K0 = 65040_ • g2 (табл. 3, рис.4. корреляционной функции по r.Taft).
Далее, поделим все ординаты корреляционной функции на дисперсию K0 , то есть
пронормируем функцию. Тогда при i = 0 Kz (lj) = 1.
K 0
При T = 17,9 • 10-2 с Kz {Ti )
650,040-6 •g2
6500 40-6 •g2
10
Таблица 4. По городу Газли Table 4. By city Gazli
i к; (т,;) i к; (т,;) i к; (т,;)
1 35662.05 35 7758.07 69 398.84
2 -52086.9 36 11097.48 70 123.55
3 -50100.6 37 10614.74 71 2711.64
4 -10170.6 38 857.53 72 1668.66
5 29300.21 39 2072.35 73 3073.65
6 8448.21 40 -4360.06 74 1581.95
7 -27526.6 41 -4428.24 75 547.25
8 -30334.1 42 -10878 76 262.55
9 7160.22 43 14137.03 77 -3423.9
10 22307.82 44 8956.17 78 2419.14
11 8615.56 45 925.13 79 7705.34
12 -7207.9 46 -4207.15 80 11296.47
13 -772.76 47 1492.82 81 9049.06
14 5687.56 48 -3143.41 82 473.46
15 13661.8 49 8120.51 83 2447.95
16 595.01 50 5153.16 84 626.41
17 -8517.21 51 -1881.56 85 -5591.14
18 -15150.4 52 5730.82 86 -11192
19 -11290.3 53 -6196.8 87 -9683.46
20 6922.59 54 -7754.35 88 -638.85
21 7729.13 55 -8220.11 89 5622.32
22 9834.91 56 4524.67 90 4093.16
23 9231.94 57 7721.25 91 -2484.2
24 8520.96 58 3013.41 92 -1920.93
25 -7661.7 59 15226.49 93 12191.32
26 6220.25 60 7701.08 94 22103.14
27 1676.27 61 4628.53 95 7827.01
28 -3814.06 62 -253.11 96 -2679.66
29 -3213.07 63 -9071.91 97 -9117.48
30 2457.25 64 -7455.56 98 -7410.41
31 -8334.21 65 -2676.5 99 7147.82
32 -8104.49 66 2410.52 100 11429.71
33 744.03 67 9839.99
34 15556.16 68 3980.71
Рис.5. По городу Газли Fig.5. By city Gazli
Убывание корреляционной кривой обеспечивается параметром р , который входит в аппроксимирующую функцию (3). Определим величину аргумента «х» показательной функции е_х , при которой е_х = 0,1 . Отсюда х = 2,3 .
Так как x — p • t. (формула 3) , то
x 2,3
P — ——-9—
T 17,9-10 ~2 с
2 1 1
— 0,128 • 102 — — 12,8-
Таким образом, мы нашли стандарт Л(/К0 и коэффициент, характеризующий корреляцию р , которыми определяется аппроксимирующая функция (3).
Определение доминантной частоты
В формуле (3) остается неопределенной доминантная частота.
Найдем в первую очередь доминантный период. Из графика корреляционной кривой определим точки на оси, где кривая пересекает ось сверху-вниз: первое пересечение происходит в дискретной точке г = 2 ; второе пересечение оси сверху-вниз - в точке г = 13 , третье пересечение - в точке г = 26,5 ; четвертое - в точке г = 37.5 .
Таким образом, число всех дискретных точек на отрезке оси, где происходит три пересечения сверху-вниз, равно 35,5.
_2 _2
Соответствующее значение г = 35,5- Д = 35,5-1,557-10 с = 55,27-10 с
_2
То есть за время г = 55,27 -10 с происходят три полных колебания корреляционной финкции.
Теперь можно вычислить усредненный доминантный период
T —
55,27 -10"2 с
— 18,42 -10"2 с — 0,184 с.
Соответствующая доминантная частота
^ 2ж 6,28 1
0 =—=—--= 34.13 -
Т 0,184 с с .
Таким образом, мы располагаем всеми тремя параметрами К0 определяется аппроксимирующая корреляционная функция (3).
По городу Газли. О п р ед ел ение ди сп ер сии
Продолжая график до пересечения с вертикальной осью, находим при г = 0 К (0) = 60000.
Это значит, что К (0) = К0 = 60000 -10_6 - g2.
Среднеквадратическое отклонение (стандарт)
<х = Л[К0 = Л/б -10 1 - g * 2.45 -10 1 - g = 0.245 - g.
p , О , которыми
Определение коэффициента р График (рис. 5) корреляционной функции имеет первый (от начала координат) положительный максимум при г = 4,5. Этому значению соответствует
т — i • А — 4.5 • 1,636 • 10
-2
7,35 • 10-2 с
_2
Само значение корреляционной функции при Г = 7,35 -10_' с равно
К (г) * 29000 -10_6 - g2
(Рис. 5. и табл.4 корреляционной функции по г. Газли). Далее пронумеруем корреляционную функцию.
с
с
Тогда при Г,- = 0 (i = 0) KzlTi) = 1.
К о
2 • п ОС Кг (Т ) 29000-10-6 -е2
ПриТ = 7,35-10"2с (г = 7,35) =-^^ = 0,483 .
р г v к0 60000-10_6-е2
Убывание корреляционной кривой обеспечивается параметром Р , который входит в аппроксимирующую функцию (3).
Определим величину аргумента «х» показательной функции е-х = 0,483.
Отсюда х = 0,73. Так как х = р-т; (формула 3), то
р = - = 0,7\ = 0,099 -102 1 = 9,9^ тг 7,35-10 "2 с с с
О пр ед е лени е до мин антн ой частоты
Для вычисления доминантного периода из графика (рис. 5) корреляционной функции определим точки на оси, где кривая пересекает ось сверху-вниз: первое пересечение происходит в точке /=1; второе пересечение оси сверху-вниз - в точке г = 5,7 ; третье пересечение - в точке г = 11; четвертое сечение в точке г = 15.5 .
Таким образом, число всех дискретных точек на отрезке оси, где происходят три пересечения сверху-вниз, равно 14,5.
Соответствующее значение т = 14,5 - А = 14,5 -1,636 -10-2 с = 23,72 -10-2 с . Теперь можно вычислять усредненный доминантный период
Т = 23,72-10"с = 7,91-102с = 0,08 с . 3
Соответствующая доминантная частота
п = ^ = ^ = 78 1
Т 0,08 с с '
Таким образом, мы располагаем всеми тремя параметрами К0 , р , О, которыми определяется аппроксимирующая корреляционная функция (3).
ПохородуХаТ^жмеем:
- среднеквадратическое отклонение \\К0 = & = 0,081 - ё;
- доминантный период Т = 0.184 с ;
^ 2ж 2ж „ 1
- доминантная частота О = — =-= 34.13 ;
Т 0.184 с с
- коэффициент, характеризующий корреляцию: р = 1281 ;
- координата по времени наибольшего значения ускорения *0 = 3 с ;
- коэффициент, характеризующий нестационарность ускорения е = — = — ;
?0 3с
длительность землетрясения Т0 =114 с
- среднеквадратическое отклонение \fK0 = а = 0,245 " доминантный период T = 0.08 с ;
^ 2л 2л _ 1
- доминантная частота Q = — =-= 78.5 —
T 0.08 с с
- коэффициент, характеризующий корреляцию p = 9,91 ;
c
- координата по времени наибольшего значения ускорения : t0 = 7 с ;
- коэффициент, характеризующий нестационарность ускорения
11
t0 7 c
длительность землетрясения To — 12,5 с .
Вывод. Проведенное исследование позволяет сформулировать следующее:
1. Располагая четырьмя параметрами Л/к0 , р , Q, s , ускорение земной поверхности при землетрясении можно моделировать функцией (3).
2. При известных параметрах Ко, р, Q, е ускорение определяется функцией (13).
3. По изложенному выше алгоритму можно смоделировать ускорение поверхности Земли при землетрясении, располагая всего лишь одной, единственной, реальной акселерограммой, соответствующей данному району строительства.
4. Параметры корреляционных функций могут найти применение при исследовании сейсмостойкости зданий, как с пассивной, так и с активной сейсмозащитой [1518].
Библиографический список:
1. Айзенберг Я.М., Сооружения с выключающимися связями для сейсмических районов. Стройиздат, 1976. М. С 440.
2. Бабаков И.М. «Теория колебаний», «Наука»,1965. М. С 680.
3. Бейтмен Г. и Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. Том. I. «Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина». Наука, 1969. М. С 344.
4. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. Издательство литературы по строительству. 1965. М. С 310.
5. Болотин В.В. Применение теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. Издательство литературы по строительству, 1971. М. С 280.
6. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А., Поляков С.В. и др. Модели сейсмостойких сооружений. Наука, 1980. М. С 362.
7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Гостехиздат,1961. М. С 526.
8. Патент на изобретение №2200810 «Адаптивная сейсмозащита зданий и сооружений». Приоритет 06,04, 2001. ФИПС г. Москва.
9. Патент на изобретение 2256749 «Кинематические опоры сейсмостойких зданий и сооружений». Приоритет 18.08.2003. ФИПС г. Москва.
10. Пугачев В.С. Теория случайных функций. Физматгиз, 1960. М. С 798.
11. Поляков С.В., Килимник Л.Ш., Черкашин А.В., Современные методы сейсмозащиты зданий. Стройиздат, 1988. М. С 415.
12. Сейсмоизоляция и адаптивные системы. «Наука», 1983, М. С 384, под редакцией Айзенберга Я.М.
13. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. «Наука», 1968. М. С 560.
14. Юсупов А.К. «Резонанс в стохастических системах». Журнал «Известия Северо-Кавказского научного центра» (серия естественных наук), г. Ростов-на-Дону,1979, №1.С 43-48.
15. Catalogue on lead rubber bearings series LRB. «FIP Industriale S.P.A» 26.
16. Conde, F.F. Seismic structures / F.F. Conde // International Simposium FIP, Tbilisi, 1972, p.655-663. 27.
17. Hwang, J.S. (1996). An equivalent linear model of lead-rubber seismic isolation bearings /J.S. Hwang, L.M.Chiou// Journal of Engineering Structures. 1996, 18(7), 528-536.
18. Catalogue on lead rubber bearings series LRB. «FIP Industriale S.P.A».
References:
1. AizenbergYa.M. Sooruzheniya s vyklyuchayushchimisya svyazyami dlya seismicheskikh raionov. M.: Stroiizdat; 1976. S. 440. [Aizenberg Ya.M. Constructions with switched off connections for seismic regions. Moscow: Stroyizdat; 1976. P. 440. (In Russ.)]
2. Babakov I.M. Teoriya kolebanii. M.: Nauka; 1965. S. 680.[Babakov I.M. Theory of oscillations. M.: Nauka; 1965. P. 680. (In Russ.)]
3. Beitmen G., Erdein A. Tablitsy integral'nykh preobrazovanii. Tom. I. "Preobrazovanie Fur'e, Laplasa, Mellina". M.: Nauka; 1969. S. 344. [Beitmen G., Erdein A. Tables of integral transformations. Volume I. "Transformation of Fourier, Laplace, Mellin". M.: Nauka; 1969. P. 344. (In Russ.)]
4. Bolotin V.V. Statisticheskie metody v stroitel'noi mekhanike. M.: Izdatel'stvo literatury po stroitel'stvu; 1965. S. 310. [Bolotin V.V. Statistical methods in construction mechanics. М .: Publishing house of literature on construction; 1965. P. 310. (In Russ.)]
5. Bolotin V.V. Primenenie teorii veroyatnostei i teorii nadezhnosti v raschetakh sooruzhenii. M.: Izdatel'stvolitera-tury po stroitel'stvu; 1971. S. 280.[Bolotin V.V. The application of probability theory and reliability theory in the calculation of structures. М .: Publishing house of literature on construction; 1971. P. 280. (In Russ.)]
6. Gol'denblat I.I., Nikolaenko N.A., Polyakov S.V. i dr. Modeli seismostoikikh sooruzhenii. M.: Nauka; 1980. S. 362.[Gol'denblatI.I., NikolaenkoN.A., PolyakovS.V. etal.Models of seismic resistant structures. M.: Nauka; 1980. P. 362. (In Russ.)]
7. Gnedenko B.V. Kurs teoriiveroyatnostei. M.: Gostekhizdat; 1961. S. 526.[Gnedenko B.V. Courseofprobability-theory. M.: Gostekhizdat; 1961. P. 526.( In Russ.)]
8. Patent na izobretenie №2200810 «Adaptivnaya seismozashchita zdanii i sooruzhenii». Prioritet 06.04. 2001. FIPS g. Moskva. [Patent for invention №2200810 «Adaptive seismic protection of buildings and structures». Priority 06.04. 2001. FIPS Moscow. (In Russ.)]
9. Patent na izobretenie 2256749 «Kinematicheskie opory seismostoikikh zdanii i sooruzhenii». Prioritet 18. 08. 2003. FIPS g. Moskva. [Patent for invention 2256749 «Kinematic bearings of seismic resistant buildings and structures». Priority 18. 08. 2003. FIPS Moscow. (In Russ.)]
10. Pugachev V.S. Teoriya sluchainykh funktsii. M.: Fizmatgiz; 1960. S. 798. [Pugachev V.S. Theory of random functions. Moscow: Fizmatgiz; 1960. P. 798. (In Russ.)]
11. Polyakov S.V., KilimnikL.Sh., Cherkashin A.V. Sovremennye metody seismozashchity zdanii. M.: Stroiizdat; 1988. S. 415.[Polyakov S.V., KilimnikL.Sh., Cherkashin A.V. Modern methods of seismic protection of buildings. Moscow: Stroiizdat; 1988. P. 415. (In Russ.)]
12. Seismoizolyatsiya i adaptivnyesistemy (podredaktsieiYa.M.Aizenberga). M.: Nauka; 1983. S. 384. [Seismic isolation and adaptive systems (edited by Ya.M.Aizenberg). M.: Nauka; 1983. P. 384. (In Russ.)]
13. Sveshnikov A.A. Prikladnye metody teoriisluchainykh funktsii. M.: Nauka; 1968. S. 560.[Sveshnikov A.A. Applied methods of the theory of random functions. M.: Nauka; 1968. P. 560. (In Russ.)]
14. Yusupov A.K. Rezonans v stokhasticheskikh sistemakh. IzvestiyaSevero-Kavkazskogo nauchnogo tsentra (seriya estestvennykh nauk). 1979;1:43-48. [Yusupov A.K. Resonance in stochastic systems. Izvestiya of the North Caucasian Scientific Center of the Higher School (Series of natural sciences) 1979;1:43-48. (In Russ.)]
15. Catalogue on lead rubber bearings series LRB. «FIPIndustriale S.P.A» 26.
16. Conde F.F. Seismicstructures. InternationalSimposium FIP, Tbilisi. 1972. P. 655-663.
17. Hwang J.S., Chiou L.M. An equivalent linear model of lead-rubber seismic isolation bearings. Journal of Engineering Structures. 1996;18(7):528-536.
18. Catalogue on lead rubber bearings series LRB. «FIP Industriale S.P.A». Сведения об авторах:
Муселемов Хайрулла Магомедмурадович - кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры строительных конструкций и гидротехнических сооружений.
Устарханов Осман Магомедович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительных конструкций и гидротехнических сооружений.
Юсупов Абусупьян Курашевич - доктор технических наук, профессор кафедры строительных конструкций и гидротехнических сооружений. Information about the authors:
Khayrulla M. Muselemov - Cand. Sci. (Technical), Senior Lecturer, Department of Building Constructions and Hydraulic Structures.
Osman M. Ustarhanov - Dr. Sci. (Technical), Prof., Department of Building Constructions and Hydraulic Structures.
Abusupyan K. Yusupov - Dr. Sci. (Technical), Prof., Department of Building Constructions and Hydraulic
Structures.
Конфликт интересов.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Поступила в редакцию 20.08.2017. Принята в печать 16.10.2017.
Conflict of interest.
The authors declare no conflict of interest.
Received 20.08.2017.
Accepted for publication 16.10.2017.
