Статистические распределения кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539. 375+ 622.235

Г.А. Казунина, Л.В.Баринова

СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КЛАСТЕРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ

Одной из важных проблем физики разрушения является прогнозирование ресурса долговечности нагруженных материалов по характеристикам акустической и электромагнитной импульсной эмиссии [1-3].

Решение этой проблемы сталкивается со следующей принципиальной трудностью. Случайный процесс импульсной эмиссии несет информацию о кинетическом процессе накопления элементарных повреждений, фиксирует образование новых или «прорастание» уже имеющихся элементарных повреждений. Однако, характеристики случайного процесса импульсной эмиссии не несут непосредственной информации о пространственном распределении элементарных повреждений, их группировке в кластеры и характеристиках этих кластеров. В то же время именно пространственное распределение элементарных повреждений представляет главный интерес для прогнозирования разрушения.

Кластерная структура элементарных повреждений в нагруженных материалах по степени изученности существенно отстает от исследования процесса накопления элементарных повреждений, что обусловлено следующей причиной.

Непосредственное наблюдение кластерной структуры элементарных повреждений доступно лишь при помощи таких сложных и трудоемких методов, как спектроскопия грубого рассеяния света (на прозрачных материалах) и при помощи рассеяния рентгеновских лучей для непрозрачных материалов, что практически невозможно реализовать в динамике.

Поскольку экспериментальное исследование одновремен-

ного наблюдения накопления повреждений и образуемой ими кластерной структуры на настоящем уровне развития технологии не представляется возможным, своевременным и актуальным является проведение подобного исследования при помощи методов компьютерного моделирования, которое предоставляет доступную и одновременно уникальную возможность исследования кинетического процесса накопления элементарных повреждений и эволюции их кластерной структуры как единого процесса пространственно-временной эволюции

распределенной динамической системы.

Настоящая работа посвящена исследованию статистических распределений кластеров элементарных повреждений, полученных при помощи вероятностного клеточного автомата, описанного в [4, 5]. Реализация использованных алгоритмов частично представлена в [6].

Моделируемая система представляет собой решетку -набор ячеек с целочисленными координатами, каждая из которых может находиться в поврежденном или неповрежденном состоянии. Влияние механического напряжения на образование элементарных повреждений в узлах решетки моделируется при помощи следующих вероятностей.

1. Вероятность образования элементарного повреждения

Р осс( Х)~

=Росо(Т) -ехр(уа(х)/кТ) определяется «плавными», усредненными на пространственных масштабах, существенно превышающих размер отдельного элементарного повреждения, механическими напряжениями, которые задаются кон-

кретными условиями нагружения материала. Сомножитель Росс(Т) = ио-ехр(~и/кТ) определяется энергетическим барьером образования элементарного повреждения.

2.Вероятность «прораста-

ния» элементарного повреждения

определяется локальной концентрацией механического напряжения вблизи границ имеющегося элементарного повреждения( кластера ) и зависит от его среднеквадратичного — 2

радиуса. Здесь Щ - среднеквадратичный размер радиуса из одного элементарного повреждения, а Р^(Т) - начальное значение вероятности прорастания.

3. Вероятность объединения кластеров, сблизившихся на критическое расстояние Ра™-

Элементарные повреждения, локализующиеся на соседних узлах решетки, объединяются в кластеры по некоторому правилу, определяемому только геометрией решетки.

Текущая конфигурация элементарных повреждений образует фрактальную кластерную структуру, которая характеризуется числом кластеров и характеристиками каждого кластера: числом элементарных

повреждений в кластере («масса кластера»), среднеквадратичным радиусом кластера Я, раз-махами Ы,Ы кластера по вертикали и горизонтали. Среднеквадратичный радиус кластера произвольной формы определяется путем суммирования по всем его ячейкам, если координаты узла решетки задаются парой целых чисел (п,т):

R2 = - + -

1

б Mass

£(n2 + m2 ) -

1

( n,m ) 2 (

Mass

£ n

( n,m )

1

Mass

£ m

( n,m )

Такое определение полностью согласуется с непрерывным случаем, когда среднеквадратичный радиус кластера из

одной квадратной ячейки с еди-— 2

ничной стороной Я = 1/6 и позволяет упростить обработку результатов моделирования в логарифмических координатах.

Временная эволюция кластерной структуры элементарных повреждений осуществляется при помощи дискретных временных шагов (циклов), в ходе которых происходят переходы узлов решетки из неповрежденного в поврежденное состояние. Конечной стадией эволюции кластерной структуры элементарных повреждений является конфигурация, в которой образуется соединяющий кластер. Образование соединяющего кластера интерпретируется как разрушение блока, а время образования соединяющего кластера ( число циклов ) отождествляется с временем разрушения.

Ниже представлены результаты исследования статистических распределений характеристик кластерной структуры для однородного статического сценария накопления элементарных повреждений, определяемого следующими вероятностями переходов: Росс=0.001, Р$рг=0.2, Рахх=0.2 . Плотность элементарных повреждений (концентрация дефектов), при которой происходит разрушение системы составила

Р/іп = 0,29 с точностью < 10 %.

Моделирование проводи-

лось на решетке размером 256x256. Каждая зависимость характеристик кластеров получена по нескольким реализациям.

Пример визуализации кластерной структуры, профильт-

рованной по размерам кластеров представлен на рис.1.

Для исследуемого режима моделирования наблюдаемая кинетическая зависимость общего числа кластеров имеет типичный вид асимметричного колокола [7], когда первоначальное накопление кластеров по квадратичному закону до значений переходит в линейное убывание вплоть до появления соединяющего кластера. Для удобства сравнения все зависимости представлены в нормированных координатах. По оси абсцисс отложено отношение числа циклов к полному числу циклов до появления соединяющего кластера : Т/Т^гп (относительное время).

Наиболее удобно статистические распределения кластеров можно проследить по эмпирическим функциям распреде-

Рис.1. Кластеры со среднеквадратичным размером 12<\Я\<32 нарешет-ке256х256

ления, построенным по следующим правилам [8]:

РМ(Я) = суммарное число кластеров, размер которых не превосходит Я,

Рм(Я) = суммарная масса кластеров, размер которых не превосходит Я.

Рис.2а. Функция распределения числа (верхняя кривая) и массы кластеров по размерам: Т/Т-рп=0.3

R/Rmax

Рис. 2б. Функция распределения числа (верхняя кривая) и массы кластеров по размерам: Т/Т^,п=0.9

2

Относительное время

Рис. 3 Зависимость логарифма средней массы кластеров повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-^п)

Относительное время

Рис. 4. Зависимость логарифма стандартного отклонения распределения масс кластеров повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-цп).

Пример таких функций распределения для типичной серии моделирования приведен на рис. 2а для значений относительного времени Т/Т^п=0.3 и на рис.2б для Т/Тап=0.9.

При построении функций распределения использованы нормированные координаты: «Масса/полная масса - Радиус/ максимальный радиус». По приведенным функциям распределения прослеживается общая качественная тенденция изменения кластерной структуры по мере роста концентрации дефектов и приближения к разрушению. Если для Т/Тап=0.3 имеет место протяженный ква-зинепрерывный участок, который можно интерпретировать как автомодельность в формировании кластерной структуры,

то для Т/Та„=0.9 квазинепре-рывный участок резко сужается. Функция распределения становится ступенчатой, что свиде-

моделируемой системе кластеров промежуточного радиуса.

Получены числовые характеристики распределения кластеров по массам и радиусам, которые имеют следующие особенности. По мере приближения к разрушению средняя масса кластера повреждений М экспоненциально растет,

увеличиваясь примерно в 8 раз. Временная зависимость логарифма средней массы кластера (рис.3) является статистически значимой линейной зависимостью (коэффициент детерминации Я2=0.98).

Однако максимальное наблюдаемое значение средней массы кластера в абсолютных единицах М ~40 единиц в сотни раз меньше массы возникающего соединяющего кластера, которая составляет примерно 10000 единиц массы. Среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение) для массы кластера оМ по мере приближения к разрушению также возрастает по экспоненте, увеличиваясь примерно в 40 раз. Временная зависимость логарифма стандартного отклонения массы кластера также является статистически значимой линейной зависимостью (Я2=0.99), как показано на рис.4.

Соответственно вариация распределения масс кластеров

Относительное время

Рис. 5. Зависимость вариации распределения масс кластеров повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-цп)

тельствует об исчезновении в

Относительное время

Рис. 6. Зависимость асимметрии распределения масс кластеров повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т^п)

300

я 250

200 -

150

& 100

50 -

і

$

л □ Й® ао

50'

Серия1

Серия2

СерияЗ

0,2 0,4 0,6 0,8

Относительное время

1

1,2

Рис. 7. Зависимость эксцесса распределений масс кластеров повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-^п).

Относительное время

Рис. 8. . Зависимость среднего радиуса кластера повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-^п)

Т/ТГ1П > ~0.7 наблюдается

Ум =

°м

возрастает при этом

М

от значения УМ=1 до значения УМ^5.5 (рис. 5).Заметим, что

для относительного времен и

увеличение скорости роста вариации.

Характеристики распределения масс кластеров, определяемые моментами более высо-

0

0

ких порядков, такие как асимметрия Ах (рис.6) и эксцесс Ех (рис.7) также возрастают по мере эволюции системы. Распределение становится все более асимметричным и островершинным. При этом для относительного времен и Т/Т-рп > ~0.7 наблюдается резкое увеличение как асимметрии, так и эксцесса.

Средний радиус кластера линейно растет по мере приближения к разрушению (рис.8). При этом зависимость является статистически значимой (Я?=0.995) и адекватной, что подтверждается сравнением остаточной дисперсии и дисперсии случайности

Стандартное отклонение радиуса кластера стЯ растет при этом по экспоненте, увеличиваясь примерно в 9 раз. Логарифм стандартного отклонения радиуса кластера линейно растет со временем (рис.9).

Одновременно вариация

радиуса кластера уЯ =

Я Я

возрастает по мере приближения к разрушению от значения УЯ~0.7 примерно в 4 раза

(рис.10).

Асимметрия и эксцесс распределения кластеров по радиусам возрастают с приближением к разрушению примерно в 3,5 и 8 раз соответственно (рис. 12, 13). Как и для распределения масс кластеров для относительного времени Т/Та„ > ~0.7 наблюдается резкое увеличение как асимметрии, так и эксцесса распределения. При этом максимальное значение среднего радиуса в абсолютных единицах Я «2,4 значительно меньше радиуса соединяющего кластера, составляющего примерно Я~90.

Полученные числовые характеристики распределения кластеров, а также их временная зависимость показывают, что закон распределения кластеров повреждений по массам и размерам является сложным, изменяющимся по мере прибли-

Рис. 9. Зависимость логарифма стандартного отклонения радиуса кластера повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-цп)

Относительное время

Рис. 10. Зависимость вариации радиуса кластера повреждений от числа циклов до разрушения (относительного времени Т/Т-цп ).

Относительное время

Рис. 11. Зависимость асимметрии распределения радиусов кластеров повреждений от числа циклов до разрушения (относительного

времени Т/Т-^п).

2

жения к разрушению. На начальном этапе эволюции системы закон распределения кластеров повреждений как по массам, так и по радиусам близок к показательному закону. Об этом свидетельствует значение вариации распределений, близкое к единице и значение коэффициента асимметрии, близкое к двум. Однако в ходе эволюции системы вид распределений изменяется. Существенной отличительной чертой распределений кластеров как по радиусам, так и по массам является наличие все более растягивающихся по мере приближения к разрушению хвостов распределений. Это свидетельствует о том, что кластеры больших размеров появляются с малой вероятностью, но именно такие кластеры определяют поведение системы. При этом появляются интервалы радиуса, на которых кластеры отсутствуют. С приближением к разрушению длина этих интервалов возрастает. Это говорит об отсутствии в системе кластеров некоторых относительно больших размеров.

Поведение распределений кластеров по массам и размерам, а также временная эволюция их числовых характеристик, в частности сильный рост дисперсии и вариации распределений, появление на фоне кластеров типичных размеров нескольких крупных кластеров вплоть до соединяющего кластера, а также перемежаемость (появление интервалов изменения радиуса, которые не приводят к приращению массы) свидетельствуют о том, что моделируемая система демонстрирует поведение неравновесной системы, склонной к катастрофам [9,10].

Отличительной чертой таких систем являются степенные законы распределений вероятностей с плотностью вида:

р(х) и х-(1+а),

где показатель а лежит в диапазоне от нуля до единицы.

Статистика величин, описываемых такими распределе-

ниями, характеризуется тем, что крупные события, приходящиеся на хвост распределения, происходят не настолько редко, чтобы ими можно было пренебречь. Природа степенных законов распределения связана с сильной взаимозависимостью происходящих событий, когда

возмущение лавинообразно нарастает. Оценка параметра подобия а~0.7, полученная с точностью 10 % по угловому коэффициенту наклона логарифма плотности вероятности (рис. 13) близка к значению, характерному для закона Гутенберга-

Эксцесс распределения радиусов кластеров

80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 -0 -

Ц

м

50

Серияі

Серия2

СерияЗ

0,2

0,4 0,6 0,8

Относительное время

Рис. 12. Зависимость эксцесса распределения радиусов кластеров повреждений от числа циклов до разрушения(относительного времени

Щт )

Рис.13. Плотность вероятности распределения масс кластеров повреждений в дважды логарифмических координатах для значений Т/Т^іп=0.3 (ряд 1) , Т/Тлп=0.9 (ряд 2)

0

1,2

Рихтера зависимости количества землетрясений от их энергии [ 12].

Отметим, что относительное время Т/Тап~0.7 (концентрация дефектов ри 0,7р£п),

при котором происходит переход от квазинепрерывной функ-

ции распределения к ступенчатой соответствует времени появления особенностей на временных зависимостях вариации, асимметрии и эксцесса распределений. Это позволяет сделать предположение о том, что данная концентрация деСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

фектов соответствует необратимому переходу к разрушению системы.

Авторы благодарят профессора Д.В. Алексеева за полезные обсуждения в ходе выполнения работы.

1. Томилин Н.Г., Дамаскинская Е.Е., Куксенко В. С. Формирование очага разрушения при деформировании гетерогенных материалов ( гранита ) // ФТТ.- 1994.-т.36 - , № 10. -с. 3101 - 3112.

2.Курленя М.В., Вострецов А.П., Кулаков Г.И., Яковицкая Г.Е. Регистрация и обработка сигналов электромагнитного излучения горных пород.- Новосибирск: Издательство СО РАН - . 2000. - 219с.

3.Алексеев Д.В., Егоров П.В. Персистентность накопления трещин при нагружении горных пород и концентрационный критерий разрушения // Докл. АН , 1993. - т.333.-№ 5.-с.45 - 49.

4. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Вероятностный клеточный автомат для моделирования накоплений элементарных повреждений в нагруженных материалах.// Материалы конференции « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли ».- Новосибирск . - 2003.

5. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Вероятностный клеточный автомат для моделирования кинетики кластеров на двумерной решетке // Моделирование неравновесных систем.-Материалы VII Всеросс. семинара.- Красноярск: 2004. C.6 - 7.

6. Алексеев Д.В. Компьютерное моделирование физических задач в Microsoft Visual Basic 6.0 . М.: СОЛОН - Пресс - 2004.- 528 с.

7. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Кинетика перколяционных кластеров на квадратной решетке // Моделирование неравновесных систем. -Материалы VII Всеросс. семинара.- Красноярск: 2004. C.4 - 5.

8. Казунина Г.А. Автомодельность функций распределения кластеров на квадратной решетке // Моделирование неравновесных систем. Материалы VII Всеросс. семинара. - Красноярск: 2004. C.71-72.

9. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы.- Ижевск: НИЦ « Регулярная и хаотическая динамика », 2001.- 528с.

10. Подлазов А.В. Самоорганизованная критичность и анализы риска // Изв. ВУЗов «Прикладная нелинейная динамика ». 2001, т.9, №1. C.49. 88

□ Авторы статьи:

Казунина Баринова

Галина Алексеевна Любовь Валерьевна

- канд. физ.- мат. наук, доц. каф. - асс. каф. высшей математики

высшей математики