CC BY
9
УДК 539.375:51.72
ЭВОЛЮЦИЯ АНСАМБЛЯ КЛАСТЕРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
АЛЕКСЕЕВ Д.В., КАЗУНИНА ГА.
Кузбасский государственный технический университет, 650000, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28
АННОТАЦИЯ. Исследована эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений при моделировании кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом. Установлено, что на промежуточной стадии эволюции ансамбля кластеров поведение функции распределения носит автомодельный характер. По временным зависимостям числовых характеристик функций распределения показано, что эволюция ансамбля кластеров обнаруживает поведение, характерное для неравновесных систем, склонных к катастрофам.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: кластеры элементарных повреждений, вероятностный клеточный автомат.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важных проблем, возникающих при исследовании кинетики разрушения по характеристикам акустической и электромагнитной импульсной эмиссии, является поиск характеристик этих процессов, которые можно рассматривать как предвестники разрушения [1-4]. С точки зрения прогнозирования разрушения главный интерес представляет пространственное распределение элементарных повреждений и их кластерная структура, тогда как характеристики импульсной эмиссии дают о ней только косвенную информацию [1-3]. В последнее время для исследования кинетического процесса эволюции ансамбля повреждений широко используются методы компьютерного моделирования [5-8]. Настоящая работа посвящена исследованию статистических распределений кластеров элементарных повреждений, полученных при помощи вероятностного клеточного автомата [9, 10], основанного на объектных реализациях алгоритмов многократной маркировки кластеров Хошена - Копельмана и роста кластеров по алгоритму Хаммерсли - Лиса -Александровица, описанных в [11, 12].
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Временная эволюция кластерной структуры ансамбля элементарных повреждений осуществляется при помощи дискретных временных шагов (циклов), в ходе которых происходят переходы ячеек решетки из неповрежденного в поврежденное состояние. Конечной стадией эволюции кластерной структуры элементарных повреждений является конфигурация, в которой образуется соединяющий кластер. Образование соединяющего кластера интерпретируется как разрушение блока, а время образования соединяющего кластера (число циклов) отождествляется со временем разрушения Т^1П. Выходными
данными моделирования являются временные ряды случайных процессов числа элементарных повреждений и числа образованных ими кластеров. Текущая конфигурация элементарных повреждений образует фрактальную кластерную структуру, определяемую числом кластеров и их характеристиками: числом элементарных повреждений в кластере
(«массой» кластера) М, среднеквадратичным радиусом кластера л] г и его размахами по вертикали У и горизонтали X, локальной плотностью (сплошностью) кластера М (X2 + У2)
р = ^--, которая определяется таким образом, чтобы ее значение для сплошных
г2 12 ХУ
прямоугольных кластеров равнялось единице. Моделирование проводилось на решетке размером 256 х 256. Все зависимости характеристик ансамбля кластеров усреднялась по десяти реализациям, а для удобства сравнения данных в ходе эволюции системы использовались нормированные координаты: «число циклов»/«число циклов в момент появления соединяющего кластера» Т / Т^п.
Ниже представлено сравнение статистических распределений кластерной структуры для однородного статического и динамического внутреннего сценариев моделирования [9, 10]. Однородный статический сценарий определяется постоянными вероятностями образования нового элементарного повреждения, прорастания периметров кластеров и слияния кластеров, сблизившихся на критическое расстояние. Динамический внутренний сценарий характеризуется увеличением вероятности прорастания периметра кластера с ростом его размера. Для однородного статического сценария образование соединяющего кластера происходит при концентрации элементарных повреждений dfin = 0,29 ± 0,03, а для внутреннего динамического сценария, - при несколько большей концентрации dfin = 0,38 ± 0,03 и за меньшее число циклов. При этом соединяющий кластер имеет большую
локальную плотность.
Наиболее полная информация о кластерной структуре элементарных повреждений и ее динамике в процессе эволюции системы содержится в функциях распределения массы кластеров по среднеквадратичному радиусу и числа кластеров по их локальной плотности [9, 10]. Функция распределения числа кластеров по локальной плотности определяется как число кластеров, локальная плотность которых не превосходит заданной величины, при этом число кластеров нормируется на полное число кластеров в данной реализации. Функции распределения массы кластеров по размерам определяется как суммарная масса кластеров, размер которых не превосходит данного радиуса. При этом радиус нормируется на максимальный радиус в данной реализации, а масса кластеров - на полную массу.
На рис. 1, 2 приведены функции распределения для однородного статического сценария моделирования. Как видно из рис. 1, функция распределения числа кластеров по сплошности имеет протяженный квазинепрерывный участок, который остается практически неизменным при всех значениях времени по мере приближения к разрушению системы. Такое поведение функции распределения указывает на автомодельность (подобие) кластерной структуры. При этом доля мелких кластеров, которым соответствует значение локальной плотности, близкое к единице, на всем протяжении процесса порядка 50 %. В то же время, как видно из рис. 2, автомодельное поведение функции распределения массы кластеров по размеру наблюдается лишь на промежуточной стадии эволюции, на временах 0,5 < Т/ Т/т < 0,8.
По приведенным функциям распределения прослеживается общая качественная тенденция изменения кластерной структуры по мере роста концентрации дефектов: на временах, превышающих значение Т/ Т^п « 0,75, функция распределения массы кластеров по
размеру перестает быть квазинепрерывной и принимает ярко выраженный ступенчатый характер. С дальнейшим приближением к моменту образования соединяющего кластера ширина ступеней растет, а число ступеней уменьшается, что свидетельствует о «вымирании» кластеров промежуточных размеров. При этом ширина ступеней функции является случайной величиной, среднее значение которой растет по мере приближения к моменту образования соединяющего кластера, масса которого составляет порядка 30 % от полной массы кластеров и превосходит среднюю массу кластеров на несколько порядков. При этом по мере приближения к моменту образования соединяющего кластера экспоненциально возрастают как среднее значение массы кластеров <М >, так и среднеквадратичное отклонение и(М), сопровождаемое экспоненциальным ростом отношения и(М)/ < М >, что свидетельствует о неустойчивости системы.
1,0
0,8
АУ
0,6
15 о
0,4
0,2
♦ 1 ▲ 2
□ 3
0,0 Г^ТПГНПППППйО0$»»фФ*—,-
0,0
0,2
0,4 0,6
Локальная плотность
0,8
1,0
1 - Т / ТГт = 0,4; 2 - Т / ТГт = 0,7; 3 - Т / Т^ = 0,9. Рис. 1. Временная эволюция функции распределения числа кластеров по локальной плотности
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
R/Rmax
1 - Т / ТГт = 0,3; 2 - Т / ТГт = 0,5; 3 - Т / Т^ = 0,67 ; 4 - Т / Т^ = 0,76 ; 5 - Т / Т^ = 0,9; 6 - Т / Т^ = 0,96. Рис.2. Временная эволюция функции распределения массы кластеров по размерам
Как отмечено выше, среднее значение массы кластеров на несколько порядков меньше массы соединяющего кластера и не дает представления о величине больших кластеров, которые могут появиться в системе. В работе [13] для описания распределений, имеющих сильные выбросы на хвосте, соответствующем большим значениям случайной величины, вводится новая статистическая характеристика - масштаб, определяемая как отношение второго и первого моментов распределения случайной величины «размер события» Z , описываемой плотностью вероятности рг) :
| Р г ) г{2 *
Ма(2 ) =
| р 2 )
2
Масштаб определяет характерный размер крупного события, игнорируя мелкие, и показывает, события какого размера можно ожидать в системе. Для компактных (некритических) распределений масштаб совпадает по порядку величины с математическим ожиданием, а для распределений с тяжелыми хвостами он значительно превосходит среднее значение. Такое поведение масштаба характерно для сложных систем, склонных к катастрофам, в которых имеют место два характерных размера, для типичных и для крупных событий, сильно различающихся по порядку величины. В качестве числовой характеристики склонности системы к катастрофам в [13] предложена так называемая степень критичности, определяемая как отношение масштаба к среднему: С(Z) = Ма(Z)/< Z >, которая для систем, склонных к катастрофам принимает значения С(2) >> 1.
60 1
50 -
□ 2
40 -
л □
г
V
¡Г 30 -
"те"
г
20- □ ♦
□ ♦
10 - ♦
□ ♦
□а. ♦ ♦
0 -I-1-1-1-1-1-1-1-
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
ТШт
1 - однородный статический; 2 - динамический внутренний.
Рис. 3. Временные зависимости степени критичности распределения масс кластеров для различных сценариев моделирования
Поведение степени критичности для распределения массы кластеров по размеру в моделируемом процессе эволюции ансамбля кластеров элементарных повреждений приведено на рис. 3. В ходе эволюции системы степень критичности растет примерно в 20 раз для однородного статического сценария моделирования и примерно в 50 раз для динамического внутреннего сценария моделирования. При этом на временах, превышающих Т/ Т,„«0,75 , скорость роста степени критичности существенно увеличивается.
Таким образом, моделируемая эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений демонстрирует поведение типичное для сложных неравновесных систем, склонных к катастрофам, - сильный рост степени критичности и появление на фоне кластеров типичных размеров нескольких крупных, поглощающих кластеры промежуточных размеров. При этом в момент времени Т / Т^и «0,75, когда квазинепрерывная функция
распределения массы кластеров по размерам превращается в ступенчатую, совпадает с моментом увеличения скорости роста степени критичности распределений. Это позволяет сделать вывод о том, что именно на этой стадии эволюции происходит резкое усиление процесса поглощения кластеров малых размеров несколькими крупными кластерами, с дальнейшим образованием соединяющего кластера.
ВЫВОДЫ
Показано, что для исследования эволюции ансамбля кластеров элементарных повреждений целесообразно использовать два взаимодополняющих вида функций распределения кластеров: по среднеквадратичному радиусу и по локальной плотности.
♦ 1
□ 2
□ ♦ □ «□ «□ 0,3 0,4 0,5
♦
0,6 ТШт
♦ ♦
0,7
0,8
0,9
2
На основе исследования временных зависимостей числовых характеристик распределений - масштаба и степени критичности установлено, что эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений обнаруживает черты, характерные для поведения неравновесных систем, склонных к катастрофам.
Качественное изменение функций распределения, наблюдаемое на временах T / Tfin « 0,75 и интерпретируемое как переход на стадию эволюции, предшествующую
образованию соединяющего кластера, согласуются с выводами [9, 10], полученными на основе анализа кинетических кривых числа кластеров и корреляционных функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Томилин Н.Г., Дамаскинская Е.Е., Куксенко В.С. Формирование очага разрушения при деформировании
гетерогенных материалов (гранита) // ФТТ. 1994. Т. 36, № 10. С. 3101-3112.
2. Курленя М.В., Вострецов А.П., Кулаков Г.И., Яковицкая Г.Е. Регистрация и обработка сигналов
электромагнитного излучения горных пород. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. 232 с.
3. Веттегрень В.И., Куксенко В.С., Томилин Н.Г., Крючков М.А. Статистика микротрещин в нагруженных
материалах (граниты) // ФТТ. 2004. Т. 46, № 10. С.1793-1796.
4. Алексеев Д.В., Егоров П.В. Персистентность накопления трещин при нагружении горных пород и
концентрационный критерий разрушения // Докл. АН. 1993. Т. 333, № 6. С. 779-780.
5. Мартынюк П.А., Шер Е.Н., Башеев Г.В. Численное моделирование кинетического процесса накопления и
слияния микротрещин // ФТПРПИ. 1997. № 6. С. 50-59.
6. Nisiuma S., Miyazima S. Dynamic scaling for crack growth in a medium containing many initial defects // Physica
A. 2000. V. 278, № 3-4. Р. 295-303.
7. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 2. М. : Мир, 1990. 400 с.
8. Гиляров В.Л. Кинетическая концепция прочности и самоорганизованная критичность в процессе разрушения
материалов // ФТТ. 2005. Т. 47, № 5. С. 808-811.
9. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным
автоматом // ФТТ. 2006. Т. 48, № 2. С. 255-261.
10. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах: моделирование вероятностным клеточным автоматом // ФТПРПИ. 2006. № 1. С. 49-60.
11. Алексеев Д.В. Компьютерное моделирование физических задач в Microsoft Visual Basic. М. : Солон-Пресс, 2004. 508 с.
12. Алексеев Д.В. Компьютерное моделирование на Microsoft Visual Basic.Net с примерами из физики, хаотической динамики и фрактальных кластеров. М. : Солон-Пресс, 2008. 567 с.
13. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. : УРСС, 2002. 358 с.
EVOLUTION OF DAMAGE CLUSTER STRUCTURE IN LOADED MATERIALS
Alekseev D.V., Kazunina G.A.
Kuzbass state technical university, Kemerovo, Russia
SUMMARY. By means of simulation the kinetic of percolation damage clusters with probabilistic cellular automaton it was shown, that most full information of behavior of clusters is contained in cumulative distribution curve. The automodel character of clusters distribution by local solidity is kept along the whole length of process. The automodel character of the mass clusters distribution by radius was assigned at intermediate stage of evolution. Research of time dependence of the number characteristics of distribution shows, that the evolution structure of damage clusters discovers behavior close to the non-equilibrium systems tending bring out catastrophes.
KEYWORDS: the damage clusters, the probabilistic cellular automaton.
Алексеев Дмитрий Валентинович, доктор технических наук, профессор КГТУ, е-mail: adv. kvm@kuzstu. ru
Казунина Галина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент КГТУ, тел. (3842) 58-06-86, е-mail: kga. math@kuzstu. ru, gt-kga@yandex. ru
