CC BY
9
УДК 539.375:51.72
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ АНСАМБЛЯ КЛАСТЕРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ 3D-ВЕРОЯТНОСТНЫМ КЛЕТОЧНЫМ АВТОМАТОМ
1АЛЕКСЕЕВ Д.В., 2КАЗУНИНА Г.А., 2ЧЕРЕДНИЧЕНКО А.В.
кемеровский институт (филиал) Российского экономического университета им. Г.В.Плеханова 650992, г. Кемерово, Кузнецкий пр., 39
Кузбасский государственный технический университет им. Т.Ф.Горбачева, 650000, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28
АННОТАЦИЯ. Построен новый трехмерный вероятностный клеточный автомат для моделирования накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах и эволюции их кластерной структуры. Проведено сравнительное исследование характеристик временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений» для двухмерной и трехмерной моделей. Установлено, что для трехмерной модели в зависимости от значения вероятности прорастания периметра кластера повреждений наблюдается два качественно различных режима накопления повреждений.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: кластеры элементарных повреждений, вероятностный клеточный автомат, накопление повреждений.
ВВЕДЕНИЕ
Прогнозирование перехода к разрушению гетерогенных материалов является важной научной задачей. В качестве неразрушающих методов контроля широко используются методы импульсной эмиссии (акустической, электромагнитной) [1, 2, 3]. При этом главной является задача выявления тех параметров импульсной эмиссии, которые можно интерпретировать как предвестники разрушения материала. Так в работах [1, 2] за основу прогнозирования макроскопического разрушения по данным акустической эмиссии положена двухстадийная модель разрушения твердых тел, которая базируется на кинетических представлениях о прочности. В работах [2, 3] для прогнозирования перехода к разрушению используются изменения спектрально-временных характеристик электромагнитного излучения материала. С точки зрения прогнозирования разрушения главный интерес представляет пространственное распределение элементарных повреждений и их кластерная структура, тогда как характеристики импульсной эмиссии дают о ней только косвенную информацию [1 - 3]. Для выявления критериев разрушения важно сопоставление наблюдаемых в физическом эксперименте характеристик потоков импульсной эмиссии, которые несут информацию о возникновении новых микротрещин (элементарных повреждений) и прорастании трещин, с кинетическими характеристиками ансамбля кластеров, образованных дефектами структуры на различных иерархических уровнях.
Поскольку одновременное наблюдение накопления повреждений и образуемой ими кластерной структуры в динамике на современном уровне развития технологии не возможно, представляется актуальным проведение подобного исследования методами компьютерного моделирования, например [4]. В пользу такого подхода свидетельствует наличие общих закономерностей на стадии, предшествующей разрушению материала [5 - 8]. Кроме того, по данным акустической эмиссии [9] микротрещины, например, в горных породах образуются преимущественно на мезоскопическом уровне, и их средний размер находится в пределах (1,4 - 28,4) -10-6м. Поэтому процесс перехода разрушения на макроскопический уровень принципиально может быть описан без обращения к подробностям динамики отдельных элементарных актов, а опираясь только на геометрические характеристики рассматриваемой
структуры. Простейшими моделями такого рода являются перколяционные модели, в рамках которых переход к макроскопическому разрушению описывается как геометрический фазовый переход. Поскольку случайный процесс накопления повреждений в твердых материалах на стадии хрупкого разрушения является стохастическим, нелинейным и необратимым, подходящей математической моделью для описания этого процесса является модель вероятностного клеточного автомата. Так в работах [7, 8] построена двухмерная модель накопления повреждений и показано, что перед разрушением формируются степенные распределения дефектов по размерам, наличие которых является одним из признаков состояния самоорганизованной критичности. В работах [10 - 14] разработана физическая концепция, математическая модель и комплекс программ для одновременного исследования кинетического процесса накопления повреждений и пространственно-временной эволюции их кластерной структуры в хрупких материалах при помощи нового двухмерного вероятностного клеточного автомата. Проведенные модельные эксперименты позволили выявить параметры процесса накопления повреждений, характерные для неравновесных систем, склонных к катастрофам. Предложен новый качественный критерий перехода материала на стадию, непосредственно предшествующую разрушению, основанный на изломе нормированного размаха Херста [14] и переходе выборочной временной корреляционной функции в отрицательную область [10, 13]. В действительности развитие повреждений происходит в трехмерной среде, и поэтому требуется дополнительное исследование правомерности применения результатов двухмерного моделирования к трехмерным решеткам. Настоящая работа является продолжением работ [10 - 14] на трехмерное моделирование процесса накопления повреждений. В работе приводится сопоставление кинетических кривых, автокорреляционных функций процессов накопления элементарных повреждений и кластеров элементарных повреждений, получаемых моделированием 2D- и 3D-вероятностными клеточными автоматами при различных параметрах моделирования, а также проведено сопоставление автокорреляционных функций процесса накопления элементарных повреждений с аналогичными характеристиками потоков импульсов электромагнитной и световой эмиссии, наблюдаемыми экспериментально.
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Для моделирования кинетического процесса накопления повреждений используется решеточная модель, описывающая конфигурацию элементарных повреждений на целочисленной трехмерной кубической решетке. Как и в двухмерном случае, работа вероятностного клеточного автомата контролируется набором трех вероятностей, которые моделируют влияние механического напряжения на образование элементарных повреждений на узлах решетки. Вероятность образования элементарного повреждения рос определяется механическими напряжениями, усредненными на пространственных масштабах много больших размера элементарного повреждения, и определяемыми условиями нагружения материала. Вероятность «прорастания» периметра элементарного повреждения рр определяется концентрацией напряжения вблизи элементарного повреждения. Также задается вероятность слияния кластеров, сблизившихся на критическое состояние ртег.
Выбор этих вероятностей определяет сценарий моделирования.
Для статического и внешнего динамического сценариев моделирования вероятности прорастания кластеров по периметру и слияния не зависят от времени, а вероятности образования новых элементарных повреждений зависят рос (х) = рос (Т)ехр(^ст(х, I)/ Ш) от
механических напряжений согласно формуле Журкова, где сомножитель рос (Т) определяется энергетическим барьером образования элементарного повреждения.
Динамический внутренний сценарий учитывает зависимость вероятностей прорастания периметра кластера от его размера - среднеквадратичного радиуса Я2, через концентрацию напряжений вблизи границы кластера:
Psp = Psp (T)eXP
Г
уо
rV R2
kr4i
Здесь I-1/2а'^Я22 - модельная оценка концентрации напряжения, где I - характерный размер элементарного повреждения, опирается на аналогичную зависимость, полученную для внутренних трещин в виде круговых и эллиптических дисков в бесконечной среде [10].
Конечной стадией эволюции кластерной структуры считается конфигурация, в которой образуется кластер, соединяющий противоположные грани куба. Образование соединяющего кластера интерпретируется как разрушение системы, а число циклов, необходимых для образования соединяющего кластера, отождествляется со временем разрушения. Эволюция кластерной структуры осуществляется дискретными временными шагами (циклами), в каждом из которых продвигаются на один шаг три случайных процесса: образование одиночных элементарных повреждений, проращивание периметров кластеров повреждений, слияние кластеров, сблизившихся на критическое расстояние. Каждый цикл завершается уничтожением кластерной структуры, сформировавшейся на предыдущем шаге, формированием новой кластерной структуры и автоматическим обновлением всех характеристик кластеров. В результате каждый цикл дает по одной точке в выборки временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений», по которым вычисляются такие характеристики как функции распределения кластеров по размерам, временные корреляционные функции и т.д. Конфигурация кластерной структуры на решетке в конкретный момент времени задается числом кластеров и характеристиками отдельных кластеров. В качестве последних выступают масса кластера (число элементарных повреждений, образующих кластер), его среднеквадратичный радиус, размахи кластера по координатным осям, по которым определяется наличие соединяющих кластеров.
Мы используем следующее определение среднеквадратичного радиуса кластера произвольной формы:
1
Mass (n,m,k)
1
f л У г л У (л Y
R2 = 1/4У (n2 + m2 +k2)--— У n--— У m--— У k
л ///»nn л y^-fnn л ^пп Mass
n
VMass (n,m,k) J
1
m
\Mass (n,m,k) J
1
V
(n,m,k) j
Такое определение полностью согласуется с непрерывным случаем, в котором среднеквадратичный радиус полностью заполненного прямоугольного кластера
ОООО О
R = (N + M + L)/12, что дает R = 1/4 для кластера из одной ячейки. Здесь M, N, L - размахи кластера по координатным осям, Mass - масса (число ячеек) кластера.
Моделирование проводилось на кубической решетке 100 х100 х100. При этом для однородного статического сценария моделирования постоянные вероятности имели следующие значения poc = 0,001; psp = 0,001; pmer = 0,001, а для внутреннего
динамического сценария poc = 0,0001; psp = 0,18; pmer = 0,2. Полученные характеристики
случайных процессов усреднялись по 10 реализациям. Пример визуализации соединяющего кластера приведен на рис. 1.
Конфигурация кластеров повреждений имеет фрактальную структуру, которая характеризуется универсальной степенной зависимостью между числом элементарных повреждений в кластере (массой кластера) и его среднеквадратичным радиусом
M(R) = 33Rd, где 2,305 < D < 2,336(рис. 2).
Рис. 1. Вид соединяющего кластера повреждений для динамического внутреннего сценария моделирования
1012 1«(К)3 4 5 Рис. 2. Связь массы и размера кластеров
Предельная средняя плотность элементарных повреждений, при которой происходит образование соединяющего кластера, составила dfin = 0,27 ± 0,02 для однородного
статического сценария и dpn = 0,08 ± 0,02 для внутреннего динамического сценария, что
в 1,2 ^ 3 меньше порога перколяции на кубической решетке, составляющего dpn = 0,311.
Для сравнения временных рядов числа кластеров в различных сценариях данные представлены в нормированных координатах: отношение числа кластеров к максимальному числу кластеров, и отношение числа циклов к числу циклов до образования соединяющего кластера.
На рис. 3 представлено сопоставление кинетических кривых числа кластеров элементарных повреждений для двухмерного и трехмерного случаев моделирования при сопоставимых параметрах моделирования. Как видно из рисунка, накопление числа кластеров на начальной стадии процесса разрушения в случае трехмерной модели происходит более медленно как для однородного статического, так и для динамического внутреннего сценариев моделирования. Кроме того, для трехмерной модели отсутствует протяженный линейный участок на временах Т/Т^п > 0,55, характерный для двухмерного
случая [10].
0.8
0.6
X
(С
Е
0.4
0.2
ч \ _ ' \
/, ♦ Чч-\\
У» /.♦V \ч \
/'«¡г /
0.2
0.4
0.6
0.8
Т/ТАп
Рис. 3. Кинетическая зависимость числа кластеров элементарных повреждений для различных сценариев моделирования:
1 - однородный статический (2D); 2 - внутренний динамический (2D); 3 - однородный статический (3D); 4 - внутренний динамический (3D)
График кинетической зависимости числа кластеров надежно аппроксимируется по методу наименьших квадратов квадратичной функцией вплоть до появления соединяющего
кластера и разрушения системы: N / Nmax = -2,79 • (T / Tfin )2 + 3,36 • (T / Tfin ) с коэффициентом
)2
fin
детерминации R2 = 0,99 для однородного статического сценария и N / Nmax = -1,91 • (T / Tfn )2 + 2,80 • (T / Tfn ) с коэффициентом детерминации R2 = 0,99 для внутреннего динамического сценария. Максимумы числа кластеров для трехмерного случая смещены в сторону больших значений и достигаются при T / T^n « 0,60 для однородного
статического, и при T / Tfin « 0,73 для динамического внутреннего сценария.
Как видно из рис. 4, б; 5, б; 6, б, во временном ряду «число кластеров» имеют место долговременные корреляции, которые соответствуют виду кинетических кривых и имеют универсальный колебательный характер.
Поведение временного ряда «число элементарных повреждений» существенно зависит от выбора параметров моделирования. Для динамического внутреннего сценария кинетика накопления элементарных повреждений в трехмерной модели существенно зависит от значения вероятности прорастания периметра кластеров повреждений p. Так, для случая
psp < 0,2 временной ряд «число элементарных повреждений», обнаруживая рост на первых
шагах эволюции, флуктуирует вблизи практически не подверженного тренду среднего значения.
Число кластеров повреждений значительно превосходит число вновь возникающих элементарных повреждений (рис. 4, а). Во временном ряду «число элементарных повреждений» имеют место долговременные корреляции (рис. 4, b) с выходом корреляционной функции в отрицательную область.
Рис. 4. Кинические зависимости (а) и автокорреляционные функции (Ь) временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров повреждений» при р!р = 0,18:
1 - суммарная кривая вновь возникающих элементарных повреждений; 2 - кластеры; 3 - вновь возникающие одиночные повреждения; 4 - периметры
При значениях рр = 0,2 число вновь возникающих элементарных повреждений и
число кластеров повреждений совпадают по порядку величины (рис. 5, а). Процесс образования соединяющего кластера ускоряется примерно в три раза. Процессы, формирующие временной ряд «число элементарных повреждений», становятся более синхронными как между собой, так и с процессом формирования кластеров повреждений, что проявляется в поведении корреляционных функций (рис. 5, Ъ).
а)
Рис. 5. Кинические зависимости (а) и автокорреляционные функции (Ь) временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров повреждений»при рр = 0,2 :
1 - суммарная кривая вновь возникающих элементарных повреждений; 2 - кластеры; 3 - вновь возникающие одиночные повреждения; 4 - периметры
Для значений вероятности прорастания периметров кластеров рр > 0,2 процесс
объединения элементарных повреждений и возникновения соединяющего кластера настолько ускоряется, что число вновь возникающих элементарных повреждений в несколько раз превышает число кластеров элементарных повреждений (рис. 6, а). Процессы, формирующие временной ряд «число элементарных повреждений», и процесс формирования кластеров становятся полностью синхронными. Корреляционные функции практически совпадают, что говорит о возникновении сильных долговременных корреляций их (рис. 6, Ъ).
Рис. 6. Кинические зависимости (а) и автокорреляционные функции (Ь) временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров повреждений» при рр = 0,22 :
1 - суммарная кривая вновь возникающих элементарных повреждений; 2 - кластеры; 3 - вновь возникающие одиночные повреждения; 4 - периметры
При этом поведение автокорреляционных функций числа импульсов эмиссии (как световой, так и электромагнитной) качественно совпадает с поведением автокорреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» для режима рр < 0,2 (рис. 7).
Рис. 7. Автокорреляционные функции временного ряда « число элементарных повреждений»:
1 - кварцевый диорит, электромагнитная эмиссия; 2 - кварцевый диорит, фотонная эмиссия;
3 - внутренний динамический сценарий (р!р < 0,2);
4 - внутренний динамический сценарий (р!р > 0,2)
ВЫВОДЫ
Построена и реализована трехмерная модель накопления элементарных повреждений в хрупких гетерогенных материалах при помощи вероятностного клеточного автомата. Установлено, что в зависимости от значения вероятности прорастания периметра кластера повреждений для трехмерной модели наблюдается два качественно различных режима процесса накопления повреждений. Для значений р,,р > 0,2 процесс перехода к необратимому разрушению существенно ускоряется и становится сильно коррелированным по сравнению с режимом при р^ < 0,2. При этом рассчитанное по данным эксперимента
поведение автокорреляционных функций числа импульсов эмиссии (как световой, так и электромагнитной) качественно совпадает с поведением автокорреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» для режима р < 0,2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Куксенко В.С. Диагностика и прогнозирование разрушения крупномасштабных объектов // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, № 5. С. 788-792.
2. Веттегрень В.И., Куксенко В.С., Томилин Н.Г., Крючков М.А. Статистика микротрещин в нагруженных материалах (граниты) // Физика твердого тела. 2004. Т. 46, № 10. С. 1793-1796.
3. Курленя М.В., Вострецов А.П., Кулаков Г.И., Яковицкая Г.Е. Регистрация и обработка сигналов электромагнитного излучения горных пород. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. 232 с.
4. Томилин Н.Г., Дасмаскинская Е.Е., Куксенко В.С. Формирование очага разрушения при деформировании гетерогенных материалов (гранита) // Физика твердого тела. 1994. Т. 36, № 10. С. 3101-3112.
5. Ботвина Л.Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности. М. : Наука, 2008. 334 с.
6. Гиляров В.Л. Кинетическая концепция прочности и самоорганизованная критичность в процессе разрушения материалов // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, № 5. С. 808-811.
7. Гиляров В.Л., Варкентин М.С., Корсуков В.Е., Корсукова М.М., Куксенко В.С. Формирование степенных распределений дефектов по размерам в процессе разрушения материалов // Физика твердого тела. 2010. Т. 52, №. 7. С. 1311-1315.
8. Гиляров В.Л. Моделирование роста трещин в процессе разрушения гетерогенных материалов // Физика твердого тела. 2011. Т. 53, №. 4. С. 707-710.
9. Цай Б.Н. Физические аспекты механизма разрушения горных пород // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2004. № 1. С. 72-78.
10. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах: моделирование вероятностным клеточным автоматом // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2006. № 1. С. 49-60.
11. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом // Физика твердого тела. 2006. Т. 48, № 2. С. 255-261.
12. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11, № 2. С. 191-195.
13. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Моделирование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11, № 3. С. 283-288.
14. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Модельное исследование кинетики накопления повреждений методом нормированного размаха Херста // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2006. № 4. С. 69-74.
15. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. : Эдиториал УРСС, 2002. 358 с.
16. Казунина Г.А., Мальшин А.А. Исследование кинетики накопления повреждений в нагруженных материалах по импульсной электромагнитной и фотонной эмиссии // Известия ВУЗов. Физика. 2009. Т. 52, № 6. С. 45-48.
SIMULATION OF EVOLUTION DAMAGE CLUSTERS STRUCTURE IN LOADED MATERIALS WITH 3D-PROBABILISTIC CELLULAR AUTOMATON
:Alekseev D.V., 2Kazunina G.A., 2Cherednichenko A.V.
Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russia 2Kuzbass State Technical University, Kemerovo, Russia
SUMMARY. A new three-dimensional probabilistic cellular automaton to simulate the accumulation of elementary damage in loaded materials and evolution of cluster structure. A comparative study of the characteristics of time series "number of elementary damages" and "number of clusters of elementary damages" for two-dimensional and three-dimensional models. Found that for the three-dimensional model based on the value of probability of germination damage perimeter cluster there are two qualitatively different modes of damage accumulation.
KEYWORDS: the damage clusters, probabilistic cellular automaton, damage accumulation.
Алексеев Дмитрий Валентинович, доктор технических наук, профессор Кемеровского института (филиала) РЭУ им. Плеханова, тел. 8(384)275-75-00, е-mail: dmitriyalekseev@live.ru
Казунина Галина Алексеевна, доктор технических наук, профессор кафедры математики КузГТУ им. Т.Ф. Горбачева, тел. 8(384)239-63-19, е-mail: gt-kga@yandex.ru
Чередниченко Алла Валериевна, аспирант кафедры математики КузГТУ им. Т. Ф. Горбачева, е-mail: allacherednichenk@ramЪler. т
