CC BY
32
УДК 621
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ РАЗМЕРОВ К ПАРАМЕТРАМ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1 2 © 2016 А. И. Барботько , А. А. Барботько
1канд. техн. наук, профессор ВАК, профессор кафедры безопасности жизнедеятельности в техносфере e-mail Anivanbar@yandex. ru
Курский государственный университет
2 канд. мед. наук, ассистент кафедры гистологии
Курский государственный медицинский институт
Статья посвящена проблемам оценки вероятностных отклонений размеров в принятом массиве данных и развитию основ автоматизации умственного труда специалистов управления. Рассматриваются вопросы подбора ВАК ,теоретической модели нормального распределения, числа интервалов , их протяженности, определения вероятности попадания размеров в заданные интервалы. Даются технологические рекомендации реализации статистических методов преобразования экспериментальных данных с использованием колоколообразных кривых.
Ключевые слова: функция нормального распределения; основные параметры функции; среднеарифметическое выборки отклонений, среднеквадратическая ошибка; виды отклонений: размерное и безразмерное; колоколообразные графики нормального распределения при изменении двух параметров распределения; общая площадь под кривой распределения; базовые точки на кривой распределения.
Методология решения задачи преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения строится на основе сопоставления данных экспериментальных исследований с моделью нормального распределения и последующим использованием математической функции этой модели для определения вероятности попадания заданного значения в соответствующий интервал изменения исследуемой величины.
Встречаются и обратные задачи, когда сначала проводится прогнозирование частот нормального распределения по принятым интервалам,а затем полученное прогнозное решение сравнивается с реальными характеристиками полученного в эксперименте распределения.
В исследовании представлено:
1) сравнение теоретических кривых распределения отклонений размеров;
2) подбор вида теоретической модели нормального распределения отклонений размеров:
а) определение параметров С и а модели нормального распределения по известным данным экспериментального исследования;
б) определение вероятности попадания размеров в интервалы, кратные а.
3) технологическое планирование этапов исследования:
а) определение о и X;
б) уточнение принимаемых решений по опорным соотношениям;
4) таблица статистики общего преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения отклонений размеров.
5) выводы и технологические рекомендации.
Сначала обратимся к особенностям степенной функции математической модели нормального распределения, приобретающего при графическом построении вид колоколообразной кривой, и проведем сравнение кривых распределения.
1. Сравнение теоретических кривых распределения отклонений размеров
Положение характерных точек на кривой нормального распределения описывается в общем случае степенной функцией следующего вида:
1 Л
Ф(х) =
О,
2
или
<Р(!) = ^ . (1)
В этой формуле:
а0 - функциональное средне квадратическое отклонение размерной переменной случайной величины относительно параметра X,
= V -Ц-Г, мм, (2)
1 - безразмерная шкала вектора х;.
t = (3)
х; - размерная переменная случайная величина, середина статистического интервала,
X - среднее значение (математическое ожидание) величины х;, среднее арифметическое значение для объема выборки п,
Б = а0 - приближенное среднеквадратическое отклонение случайной величины от X, мм.
Таким образом, модель (1) содержит два основных управляющих параметра: X -среднее значение (математическое ожидание) величины х; для объема выборки п и а0 -функциональное средне квадратическое отклонение размерной переменной случайной величины относительно параметра X. Причем влияние а0 значительнее, сложнее параметра X. Этот параметр присутствует в формуле (1) дважды.
Рассмотрим пример.
Пусть дан массив из 15 отклонений от размеров диаметра вала при токарной обработке: например, массив - 0,14 ... 0,00 мм. Тогда среднее арифметическое массива (середина) X = -0,07 мм. Проведем преобразование оси абсцисс, на которой будем отражать текущие значения х; . Приняв текущее значение х; равным X — а0, получим:
_ \Х-а0-Х\ _ л _ _ !0 Соответственно, для х! = X — 2 • а0 и х^ = X — 3 • а0 имеем 125 = -2 и 136 = -3.
Таким образом, векторная протяженность х; на оси абсцисс может быть представлена некоторыми интервальными комплексами (например, комплексами ^ или другими мерными отрезками . За точку отсчета отрезков может быть принято значение X или начало оси х; .
В таблице 1 проведем сравнение значений частот распределения^ для трех видов моделей нормального распределения: 1) о = 0,01, 2) о = 0,02, 3) а=0,028.
Таблица 1
Системология нормального распределения (по формуле 1) для шести интервалов
о или трех 1 (от 0 до+-3 )
Границы интервала 1 а = 0,01, 6ст = 0,06 ст = 0,02, 6ст = 0,012 ст = 0,028, 6ст = 0,0168
7 = — ст 9! Р% 7 = — ст <Рт Р% <Рт Р%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 X - 3ст0 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 X - 2 ст0 -2 0,054 5,4 5,4 5,4 2,7 2,7 2,7 1,9 1,9
3 X - °о -1 0,242 24,2 29,6 29,6 12,1 14,8 14,8 8,6 10,5
4 X 0 0,398 39,8 69,4 69,4 19,9 34,4 34,7 14,2 24,7
5 х + Сто 1 0,242 24,2 93,6 93,6 12,1 46,8 46,8 8,6 33,3
6 X + 2 ст0 2 0,054 5,4 99,0 99 2,7 49,5 49,5 1,9 35
7 X + 3 ст0 3 0 0 99 99 0 49, 49,5 0 35
Таким образом, в приведенных трех видах нормального распределения при а = 0,01; а = 0,02; а = 0,028 :
1) площади под кривыми равны между собой: 99*0,01 ;49,5*0,02;35,2*0,028;
2) параметры распределения определяются с ориентацией на границы интервалов о и 1;
3) с увеличением о в 2,8 раза (с 0,01 до 0,028) теоретическая сумма частот уменьшается тоже в 2,8 раза (с 99 до 35,2);
4) значения о и X = -0,07 мм приняты из условия однократного повторения 15 размеров.
Графики кривых нормального распределения при а = 0,01 и а = 0,02
представлены на рисунке 1.
Рис. 1. Графики нормального распределения: на основе табличной функции в шести интервалах а » S и t ( а » S = 0,01 ,семь ординат по шкале 1 : -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ); на основе табличной функции в шести интервалах а » S и t ( а » S = 0,02, семь ординат по шкале 1 : -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3)
2. Подбор вида теоретической модели нормального распределения отклонений размеров
При изучении отклонений размера в ходе какой-либо технологической операции наблюдается в том числе и многократное его повторение. Это вызывает сложности описания распределения отклонений размера. Для управления этим процессом на статистическом уровне весь массив данных разделяют на ряд последовательных интервалов К с ценой интервала С.
При этом оценивают: 1) частоту попаданий отклонений в каждый из интервалов и 2) схожесть этого ломаного графика с характерной для этого случая кривой нормального распределения.
Положение характерных точек на кривой нормального распределения в этом случае может быть описано степенной функцией (1) с учетом общего массива отклонений размеров, то есть КС, где N - это сумма всех отклонений размера в исследуемом массиве.
Обозначим частоты такой экспериментальной модели нормального распределения в отличие от теоретической через Г1 . Их можно найти из следующего соотношения, приняв за функцию распределения математическую модель нормального распределения (1):
= £ = •е (4)
где ^ - частоты теоретической модели,
С - размах, размер интервала опытного массива, С= ёо;
С = (1-5)Ц [Солонин 1972], Ц - цена шкалы измерительного прибора,
КС - площадь под кривой экспериментальной зависимости изменения частот параметра х.
N - суммарное значение экспериментальных частот распределения.
2.1. Определение параметров исследования С и а модели нормального распределения по известным данным экспериментального исследования
Пусть на статистическом этапе для массива результатов экспериментов - 0,14 .0,00 при количестве частот распределения (экспериментов) N=100 определено количество интервалов, равное 7, с С=0,02 [Солонин 1972: 65] и построен график (рис 2, линия 1) ломаных линий изменения частот по интервалам протяженностью С.
Для построения математически отображаемого (и поэтому монотонного) графика нормального распределения предварительно необходимо установить значения X и а(5). Пусть для нашего случая X = -0,72 и а = б = 0,028.
То есть среднее арифметическое значение отклонений не равно простой середине ряда: - 0,14 .0,0, а дисперсия а немного больше принятого значения С=0,02, т.е. а ф С, а = 1,4С.
Результаты сравнительных расчетов статистических частот и частот нормального распределения по формуле (4) представленные в таблице 2.
Таблица 2
Частоты распределения экспериментального исследования (Х=—0,72 и а=я=0,028, количество экспериментальных частот #=100, _протяженность интервалов С=0,02)_
Системология статистических измерений Системология нормального распределения для интервалов Х!
Интервалы X,- V Л1ср Г 1М / = пег! /' РЕ*
от до т1 - 7 п
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0,14 -0,12 -0,13 3 2,07 0,05 1,7 3,4 0,034 0,034
-0,12 -0,10 -0,11 16 1,35 0,16 5,8 11,5 0,115 0,149
-0,10 -0,08 -0,09 22 0,64 0,33 11,7 23,5 0,235 0,384
-0,08 -0,06 -0,07 25 0,072 0,40 14,3 28,55 0,285 0,569
-0,06 -0,04 -0,05 19 0,785 0,29 10,7 21,45 0,214 0,883
-0,04 -0,02 -0,03 13 1,50 0,13 4,6 9,2 0,09 0,973
-0,02 0,00 -0,01 2 2,20 0,04 1,3 2,6 0,03 1,00
100 50 100 1
* В таблице значения частот даны для середины каждого из 7 интервалов. Значения 1 рассчитывались по формуле (3). По результатам таблицы 2 построены четыре вида графиков, приведенных на рисунке 2.
М'
30 28 26 24 22 20 18
Ъ
И
12 Ю 8 6 4 2
X
и
у
1
N гз
/ / • \
у / / 5 \ с х
/ { / \ ч
/ / 1 ч \
/ \ <
/ / \ \
а б в Г о, V - ж —
С*
й>
-2в
§
-За
8
«У
I
>2Ь
§ <5г
I
«5Г
к
Рис. 2. Графики распределений
1. График 1 отражает распределение 100 экспериментальных размеров по 7 интервалам С= 0,02 (семь точек на графике, семь ординат в середине каждого из интервалов по шкале х). Общая площадь под статистической кривой равна
Яс = • 0.14) = 100 • 0.02 = 2 = N0.
2. Опорный график 2 нормального распределения (например, для случая X = -0,72 ) на основе табличной функции. Отражает теоретическое распределение частот в 6 интервалах а « 5 = 0,028 ( семь ординат по шкале t : -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3). Общая протяженность интервалов 6 * 0,028 = 0,168. Табличные значения частот для семи параметров t равны: 0,0044/0,028; 0,0540/0,028; 0,2420/0,028; 0,3989/0,028; 0,2420/0,028; 0,0540/0,0284; 0,0044/0,028. На графике 2 эти частоты показаны для точек а, б, в, г, д, е, ж. Соответственно, 0,15; 1,9; 8,6; 14,2; 8,6; 1,9; 0,15. В таблице 2 этих значений нет. Сумма частот N=35,5. Произведение Ы2*0,028 =1.
3. Опорный график 3 нормального распределения на основе табличной функции для 7 экспериментальных интервалов со значением С=0,02 (семь ординат на середине каждого из интервалов по шкале х). Размеры частот для середины интервалов в этом случае отражены в графе!а. Их суммаN3 равна 50. Площадь под кривой, равная N3C, как и для кривой 2, равна 1.
4. График 4 приведенного нормального распределения в 7 интервалах со значением С=0.02 на основе табличной функции (в таблице 2 это графа 2Т ) получен методом умножения ординат графика 3 на ЫС, при этом NC=100*0,02 =2. Значения частот приведены в графе ф'. Сумма частот N4равна 100.
График 4 становится графиком 3 приNC=50*0,02=1.
Подобный же график 4 можно получить, опираясь на график 2. Построение необходимо проводить на 6 интервалах, протяженностью каждого равной а « 5 = 0,028. В этом случае частоты в точках а, б, в, г, д, е, ж будут равны соответственно 0,3; 3,8; 17,2; 28,4; 17,2; 3,8; 0,3 (в таблице 2 эти данные не приведены). Сумма частот N2=71. Произведение N2*0,028 =71*0,028=2.
Таким образом, на рисунке 2 представлены 4 вида отображения графической информации, представляющей интерес для технологического управления операциями:
1) эксперимнтальной зависимости частот распределения отклонений размеров от продолжительности интервалов изменения размеров при заданном значении суммы частот распределения N (нарис. 2 кривая 1: N=100; С=0,02; NC=2);
2) основной математической (1) зависимости частот распределения отклонений размеров от продолжительности интервалов изменения размеров в виде среднеквадратического отклонения в условиях нормального распределения для
_ !
заданных значений X и 5. (С= 5. сумма, 1Т равна единице, сумма, 1а = равна N или
сумме частотN2, произведение частот N2 на 5равно единице);
3) опорной математической (4) зависимости частот распределения отклонений размеров от продолжительности интервалов изменения размеров с учетом общей площади под сравнимаемой статистической кривой (Ы С ) в условиях
!
нормального распределения (1а = , f = пс!а, при этом С<Б; N С при N=50 ;100 и С=0,01;0,02 равно 0,5; 1,0 или 1,0 ;2.0).Эти случаи на рисунке 2 представлены кривыми 3 и 4.
Полученные в таблице 2 данные позволяют проводить определение вероятности (как показателя надежности) попадания заданной величины отклонения в тот или иной интервал для случаев нормального распределения. Вероятность определяется как величина частости попадания в заданный интервал.
Например, используя данные таблицы 2 (графа 10), имеем:
Вероятность попадания в диапазон отклонений между серединами двух соседних интервалов -0,13 ...-0,11 для условий исследуемого процесса составляет от 3,4% до1 4,9%, или 11,5% .
Вероятность (как показатель надежности) попадания размеров в зону трех интервалов, в центре которой находится Х= -0,72 (т.е. от -0,09 до -0,05), составляет от 38,4% до 88,3%. Очевидно, попадание в центр интервала составит 60-65%, что несколько превышает известные данные в 0,5, то есть 50%. Это требует дополнительной проверки и использования других методов исследования, так как в ряде источников указывается, что вероятность попадания размеров в зону X точно соответствует значению 0,5 (50%).
2.2. Определение вероятности попадания отклонений размеров в интервалы, кратные о
Верхние и нижние предельные отклонения на машиностроительный размер (допуска на размер ) зачастую проставляются в долях среднеквадратической величины о. Поэтому весьма актуальной является задача определения вероятности попадания для случаев нормального распределения размеров в интервалы размеров, кратные а. Приведем пример. Воспользуемся исходными данными, приведенными в [Барботько 2014]. Исследуется массив 25 размеров от 17,89 до 18,05, который распределен на 8 интервалов; о = 0,04, С=0,02. N=25.
Расчеты теоретических частот по формуле (4) для уровней от нуля до о, 2 о и 3 а дают следующие результаты: 5 (частота для X); 3 (частота для а); 0,675 (частота для 2а) и 0,055 (частота для 3 а). В итоге сумма частот, по которым строится кривая нормального распределения, равна N=12,46 и площади под экспериментальной кривой и кривой нормального распределения равны между собой. А именно: N0=25*0,02 и N0=12,46*0,04. При расчете частостей попадания размеров в каждый из интервалов о получаем следующие результаты: 0,0046, 0,054, 0,249, 0,40, 0,249, 0,054, 0,0046 . Или в процентах: 0,1-5-24,9-40-24,9-5-0,1. Определим с нарастанием вероятности попадания в суммарные интервалы: 0,1-5,1-30-70-94.9-99,9-100. Таким образом, вероятность попадания погрешностей размеров в интервал от -3 о до -2а равна для случая нормального распределения 5%. А вероятность попадания в интервал от X до + о равна 24,9 %. Вероятность попадания в интервал от нуля до X + о равна 94,9 % .
3. Технологическое планирование этапов исследования
Отметим некоторые особенности планирования и математической обработки данных экспериментальных исследований по статистике отклонений размеров .
Известно, что если в ходе исследования функциональные погрешности отсутствуют или имеют пренебрежительно малое значение, то поле рассеивания действительных размеров изделий определяется случайными погрешностями, суммарная величина которых равна 6о.
3.1. Определение о и X
Важнейшим этапом исследования является определение величины о . Для поиска этого параметра в общем массиве размеров и их отклонений выделяют минимальное и максимальное значения размеров. Потом разделяют числовой ряд х; на равнозначные интервалы протяженностью С каждый, отражают их последовательно на оси абсцисс, начиная с минимального значения массива размеров.
Находят параметр X и отражают как отдельное числовое значение на оси х;. Если значение X принимается за начало отсчета, за нулевую точку, то на оси абсцисс можно
построить две шкалы, используя интервалы о или 1. При этом если интервалы о или 1 расположены до X, то такие значения интервалов о или 1 являются отрицательными; если после X, то такие значения интервалов о или 1 являются положительными.
3.2. Уточнение принимаемых решений по опорным соотношениям
1. Для коррекции правильности выбора протяженности интервальных отрезков используют выведенное нами соотношение
6(а « 5) > к С. (5)
Подобные данные имеются, например, в работе «Математическая статистика в технологии машиностроения» [Солонин 1972: 146]:
£ £ = N = 50; с = 0.01 ; начало ряда хг = 19.815; с = 0.01 ; к=9;
окончание ряда х2 = 19.895; а = 19.855 ; 5 = 0.017. 6 • 0,017 > 9 • 0.01 , 0,102 > 0,09.
2. Проверка равенства площадей под статистическим графиком и кривой нормального распределения. Проверяют равенство произведений: N0 и №о, где № -сумма частот по шести интервалам о.
3. Расчет границ по каждому разряду проводят, записывая границы как значения от Хть до Хть+С (первый разряд); от Хтт+С до Хть+2С (второй разряд) и т.д.
При этом в каждый разряд включают размеры, меняющиеся в пределах от наименьшего значения разряда включительно до наибольшего значения разряда, оставляя его для включения в следующий разряд.
!
4. Увеличение значений а сопровождается снижением значений 15 = — (см. табл. 1).
Как показано выше, увеличение о с 0,01 до 0,028 приводит к уменьшению частоты тах с 39,8 до 14,2, ее суммарной частоты со 100 до 35,2.
4. Таблица статистики общего преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения отклонений размеров
Пример определения частот распределения и вероятности попадания исследуемой величины в заданный интервал размеров при нормальном распределении приведен в обобщенной таблице 3.
Таблица 3
Таблица общего преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения
(для условий _ X = 19,855 и а = s = 0,017. С=0,01, N=50)
Системология статистических измерений Системология нормального распределения для интервалов xt(a = 0.017)
Интервалы xt хСр/а fi и Z - Z-! Zs S /' = пс • Zs /' Окр. II а 1 pz %
от до
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3а 3.0 0.004 0.25 0,125 0,15* 0,005* 0.5
19.81 19.82 19.815 1 2.35 0.025 2.48 1.24 1 0.02 2
2а 2.0 0.054 3.18 1,59 2* 0,06* 6,5
19.82 19.83 19.825 3 1.96 0.058 3.44 1.72 2 0.04 6
19.83 19.84 19.835 5 1.17 0.201 11.8 5.9 6 0.12 18
а 1.0 0.24 14.2 7,1 7,5* 0,25* 31,5
19.84 19.85 19.845 11 0.58 0.337 19.8 9.91 10 0.2 38
19.85 19.86 19.855 12 0.0 0.4 23.5 11.73 12/12* 0.24/0,4* 71,5
19.86 19.87 19.865 10 0.58 0.337 19.8 9.91 10 0.2 82
а 6 1.0 0.242 14.2 7,1 7,5* 0,25* 94
19.87 19.88 09.875 5 .1.17 0.201 11.8 5,9 6 0,12 94
19.88 19.89 19.885 2 1.96 0.058 3.44 1.72 2 0,04 98
2о 2.0 0.054 3.18 1,59 2* 0,06* 100
19.59 19.90 19.895 1 2.35 0.025 2.48 1.24 1 0.02 100
3о 3.0 0,004 0,25 0,12 0,15* 0,005* 100,5
По результатам, приведенным в таблице, отметим, что в графе 10 таблицы 3 даны частости (т.е. вероятности) для середины девяти интервалов статистики отклонения размеров и шести интервалов нормального распределения. Вероятности определялись
по формуле Р = —где N=50 для статистики эксперимента и К= 30,3 для шести
интервалов функции нормального распределения).
При преобразовании таблицы, при необходимости уменьшения количества интервалов статистики отклонений размеров, прежде чем увеличивать цену одного интервала С, необходимо провести проверку гипотезы случайности выборки по методу последовательных разностей [Солонин 1972; Барботько 2014]. Подобную проверку можно проводить и на начальной стадии исследования.
После проверки гипотезы нормальности распределения, а также сходимости экспериментального распределения с математической моделью нормального распределения, например, по методу Колмогорова можно приступить к оценке вероятности попадания отдельных результатов в заданный интервал.
5. Выводы. Технологические рекомендации
В заключение отметим, что приведенный в данном исследовании метод опосредованного математического моделирования распределений экспериментальных данных является наиболее удобным. В нем для целей математического описания привлекают степенную зависимость нормального распределения (графически отображаемую колоколообразной кривой) с последующим доказательством ее вероятного совпадения в определенных условиях с данными эксперимента .
Представленная структура выделения зон вероятности с помощью модели нормального распределения (1) и (4) позволяет успешно использовать эту методику для решения вероятностных задач надежности технических и техногенных систем .
Опыт исследования статистики отклонений размеров опирается на четыре вида графических функций, графических построений:
1 - экспериментальной кривой (ломанной линии) с параметрами частот по интервалам;
2 - монотонной кривой нормального распределения (1) с параметрами частот по интервалам, кратным среднеквадратическому отклонению;
3 - монотонной кривой нормального распределения, строящейся по формуле (4) по серединам выбранных интервалов С экспериментальной кривой при изменении значений частот по интервалам при сохранении общей их суммы N
4 - монотонной кривой нормального распределения, строящейся по формуле (4) по границам интервалов, кратных о, с учетом площади экспериментального распределения при изменении значения частот по интервалам и общей их суммы .
Опыт построений позволяет рекомендовать для технологического управления следующие технологические принципы.
• Знакомство с массивом экспериментальных данных выборки отклонений размеров начинают с разделения массива данных на определенное количество последовательных интервалов - К, установления протяженности каждого из них -С, параметров нормального распределения Х и о « 5. При этом исходят из трех видов интервалов: С, X и о « 5 и соотношения КС <6 (о « 5) .
• Общая площадь под кривыми распределения зависит от количества интервалов ,их протяженности и общего количества экспериментов.
• Общая площадь под кривой распределения по зависимости (1) равна 1.
• Построение кривых по зависимости (4) по интервалам протяженностью С проводят по точкам, принимаемым на середине интервалов.
• Построение кривых по зависимости (4) по интервалам протяженностью о проводят по точкам, принимаемым на границе интервалов.
• Принимаемые при построении значения Х и Б необходимо проверять по полученным итогам частот распределений.
Представленный метод анализа позволяет технологу, аналитику, проводящему исследование, для выполнения графических построений ограничиться лишь четырьмя точками на кривой распределения, характерными для 1=0, 1, 2, 3, с четырьмя значениями функции: 0,4; 0,24; 0,05; 0. Эти значения легко запомнить, и проведение построений не потребует выбора каких-либо дополнительных табличных данных, компьютерных преобразований или расчетов.
Библиографический список
Барботько А.И. Статистические алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований в машиностроении. Старый Оскол: ТНТ, 2014. 404 с.
Солонин И.С. Математическая статистика в технологии машиностроения. М.: Машиностроение, 1972. 216 с.
