Система этапов и интервалов при расчете параметров надежности технических систем и их элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-192

СИСТЕМА ЭТАПОВ И ИНТЕРВАЛОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПАРАМЕТРОВ

НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ

1 2 © 2017 А. И. Барботько , А. А. Барботько

1 канд. техн. наук, профессор ВАК, профессор кафедры БЖД e-mail Anivanbar@yandex.ru

Курский государственный университет 2 канд. мед. наук, ассистент кафедры гистологии Курский государственный медицинский университет

Данная статья посвящена алгоритмам преобразования этапов и интервалов в системе методического анализа параметров надежности технических систем (ТС) и их элементов. Рассматриваемые задачи прослеживаются на практических примерах исследования экспериментальных данных оценки надежности ТС.

Ключевые слова: параметры надежности: вероятность безотказной работы, частота отказов, интенсивность отказов, длительность работы ТС, этапы и интервалы работы ТС, двойные и повторяющиеся многоступенчатые интервалы при длительном функционировании систем.

Алгоритм оптимального разделения этапов на интервалы рассмотрим на ряде типовых примеров.

1. Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных электронных ламп (т.е. N0 = 1 000). За 3 000 часов отказало 80 ламп (т.е. Дt = 3000 часов и пф = 80). Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп за период 3 000 часов.

Алгоритмы анализа

Определяем вероятность безотказной работы или надежности работы до первого отказа (обычно применяют символы Q(t) или д(1;)) статистическим методом в одном интервале времени: в интервале 3000 часов.

Найдем вероятность отказов (обозначим ее через P(t)) -до первого отказа в

этом же интервале:

n(t) 80

P(t) = Пт< зооо) = -¡gr- = Шо = 008

Найдем соотношение между вероятностями Q(t) и P(t): Р(г<3000) = 1 - <2(г>зооо) = 1 - 0.92 = 0.08.

2. На испытание была поставлена 1 000 однотипных ламп. За первый интервал времени, то есть первые 3 000 часов, отказало 80 ламп, а за второй интервал времени

(3000...4000 ч.) отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту и интенсивность отказов электронных ламп за эти два периода от начала включения.

1) Запишем условие символическими обозначениями:

N0=1000; А1=3000 ч.; А(2=1000 ч.; п^) = 80: щ(()=50.

2) Поставленная задача может включать в себя определение параметров надежности в нескольких вариантах: 1) отдельно для двух интервалов, в сумме и последовательно; 2) отдельно для второго интервала; 3) отдельно для половины каждого из двух интервалов. Для выделения интервалов введем следующие условные обозначения двух видов.

2.1.В виде порядковой нумерации:

2.1.1) (И1) - первый интервал;

2.1.2) (И2) - второй интервал;

2.1.3) (И1 + И2) - два интервала;

2.1.4) (И1 / И2) - второй интервал после первого;

2.1.5) (И1 /0,5 И2) - половина второго интервала после первого;

2.1.6) 0,5И1(0,5И2) - половина отдельного интервала, первого (второго).

2.2. В виде протяжённости интервалов по шкале времени:

2.2.1) 0.100, 0...3 000 часов,

2.2.2) 100...200, 3 000...4 000 часов.

Применим принятые обозначения для параметра частоты отказов в следующей

форме:

1) О'о-юо ~~ обозначение параметра для первого интервала

протяженностью 100 ч.;

2) сСо-го^о ~~ обозначение параметра для суммарного интервала

протяженностью 200 ч., для суммы двух интервалов по 100 ч.;

И1/И2

3) О'100_-,00 - обозначение параметра для интервала протяженностью

100 ч., второго интервала, следующего после первого;

4) другие.

Алгоритмы анализа

Найдем частоту отказов в интервале 0...3 000 часов; (в первом интервале И1 работы). В этом интервале N0 = Л^11 = 1 АГ = 3 000 ч; 111(1) = 80, и форма обозначения искомого параметра будет иметь следующий вид:

С 3000,= — = ~^ = 2.6 • Ю-5 , ч.-1

(О...¿ООО) 3000 1000

Найдем частоту отказов а во втором интервале 3 000.4 000 часов, то есть частоту отказов в промежутке И1/И2 или в соответствии с принятыми символами для

с/И1/И2) Л/И1/И2

обозначения а, 3000 4000|- В этом интервале: N0 =920; ЛГ = 1 000 ч.; п2(1:) =

50.

Тогда ос(3000 4000) — _ -—— _ Ь • 10 , ч.

Найдём частоту отказов для образцов, которые работают до середины второго интервала, начиная от времени вступления их в работу, то есть (И1+0,5И2). Запишем исходные данные: К0=1 000 ламп; Д1=3 500 часов; и3(1:)=80+25=105.

В итоге имеем:

с(И1+0.5И2) = с(И1 + 0,5И2) = 105 = п-5 ч -1

Таким образом определена частота отказов ламп до первого отказа, считая за длительность интервала сумму длительностей первого интервала и половины длительности второго интервалов, то есть (3 000+500) часов.

Исследуем частоту отказов для ламп, проработавших до средины второго интервала, считая за начало работы ламп начало второго интервала. Интервал работы 3 000.. .3500 часов, то есть условно И1 /0,5И2.

Тогда At = 500 ч., N0 = 920 шт., n3 (t) = 25 шт.

„ ("I+O.SMT) с(пл + 0.5П2) 25 „ л [л — 3 -1

В итоге a. _nnn = ату - =-= 0.05 10 л,ч

ír,3000...3500 /500 500-920

Применим принятые обозначения для вычисления параметра надежности-

интенсивности отказов ) для интервала 3 000.4 000, то есть для И1/И2. Используем

формулу

Л' = М . At (t) N

Для выбранного интервала имеем: Ncp=(920+870)0,5; n(t)=50; At=l 000. Тогда

CÍHJHJ = =_50_=5 6- Ю-5 ч

(t) узооо,„4ооо 1000(920 + 870)/2

Выводы

Приведенные примеры показывают, что при анализе и синтезе результатов исследования параметров надежности ТС необходима соответствующая система:

1) классификации выделения интервалов и этапов времени исследования,

2) формализации математических моделей параметров надежности ,

3) технологической последовательности расчета параметров надежности для исследования при различных вариациях этапов.

Проследим её принципы на следующем примере.

3. На испытание поставлено 400 изделий. За время 0.3 000 часов отказало

n(t) = 200

изделий, за второй интервал времени

At = 100 ч. отказало 100 изделий.

Требуется определить параметры надежности: вероятность безотказной работы, частоту и интенсивность отказов для интервалов, указанных в следующих 5 обозначениях:

п с(И1) 7Л с(И1+И2) о с(И1 + 0.5И2) дл с(И1/И2) гл ,с(И1/И2)

> "(Т>3000)' '"(Т>3100)' ' 1(Г>3050) ' "3050 ' Л3050

Запишем исходные данные: N0=400, At1=3 000, At2=100, n1(t)=200, n2(t)=100. Задачу анализа параметров надежности начнем с вероятности безотказной работы (формулы 1) ,2),3)).

Для At — Mj = 3000 ч. на момент начала интервала имеем No = 400. И

соответственно n(t) = ni(t) = 200. Тогда С(И1) = 400 - 200

7 : J J J.

Для At = И1+ И2 = 3 100 ч. на момент окончания суммарного интервала имеем

N0=400, n(t)= 300, n(t)= ni(t) + n2(t), где n2(t) = 100, a ni(t) = 200. Тогда

см ^ 400-300

qrí\\,nl\ =-= 0.25

.

Исходные данные для интервала Дt = Hi+0,5 И2 = 3 050 ч.: No=400 ламп; At=3000+ ^ 100=3 050 ч.; число отказавших к средине второго интервала ламп n(t)=ni(t)+0,5 n2(t)=250 шт.

^сС^+О.бИг) _ 400-250 _ ^

_ с(И1 +0,5И2)

Тогда

400

"т>3050

Значения параметров а и X (формулы 4),5)) задано определять для второго интервала, то есть И1 / И2 Для него исходными данными являются: а)вступило в работу —0 = 200 образцов; б) завершило работу N = 100 образцов; в) отказало п(1) = 100 образцов. Алгоритм анализа

1) Определим частоту отказов а на втором промежутке 3 000... 3 100 по формуле Я^/И,) = с(И1/И2) = 100 5 з -1

"(«:) (3000...3100) 100 >н

2) Определим интенсивность отказов на втором промежутке 3 000...3 100 по формуле Л., { у

• —

Ncp-At

Определим Ncp для интервала Hi / И2 . Ncp = 0,5 (200+100). Тогда - с(И1/И2) _ с(И1/И2) _ ЮР _ г 7 Л п 3 А — -Л ---------- — (200+100) — °> ' 1 U

№

(3000...3100) 100i

, ч.

Выводы. Анализ задач, в которых рассматриваются два интервала, не требуют сложных логических конструкций. При переходе к анализу длительных испытаний необходима соответствующая отладка принципов формообразования взаимосвязи интервалов и этапов для учета условий многоступенчатых аналогий.

Рассмотрим вариант равнозначного по длительности интервалов испытания.

4. На испытании находилось N0=1 450 образцов неремонтируемой аппаратуры. Число отказов п(0 фиксировалось через каждые 100 ч. работы (Д/=100 ч.). Устанавливались также данные о вероятности безотказной работы. Задачей исследования является определение для суммарных и отдельных 100 часовых интервалов параметров надежности и сравнение их с

Обозначение количества Обозначение этапов- Длительность этапов- Вероятность безотказной работы Частота отказов, Интенсивность отказов,

исследуемых образцов на этапе интервалов времени исследования интервалов на этапе кризисные значения кризисные значения

N П П, ч q(t) a(t) т

1 2 3 4 5 6

П1 0...100 0,950

n2 П2 0... 200 0,910

nI Пз 0...300 0,878

n П4 0...400 0,853

n7 П5 0...500 0,833

n7 Пб 0...600 0,816

n7 П7 0...700 0,800

CO ¡25 П8 0... 800 0,784

n9 П9 0... 900 0,769

nio П10 0... 1000 0,755

В таблице отсутствуют значения чисел отказов по интервалам и этапам. Для их определения возможно использование опосредованного преобразования вероятности безотказной работы. Возникает дополнительная задача для первоначального поинтервального исследования.

Такое опосредованное преобразование вероятности безотказной работы в число отказов может заключаться в следующем.

1. Определение числа отказов для первого интервала

A. В первом интервале П 1 длительность исследования составляет 100 часов. П1 =И1.Известно по первой строке, что д^) = 0,95. Тогда д^) = 1 - Р(1). Следовательно, вероятность отказов равна 0,05. Поэтому число отказов можно найти из соотношения

Р(Х) = — Или

"о

п(0 = = 1450 ■ 0,05 = 72,5 Б. Во втором (удвоенном) интервале - этапе П2 длительностью 0...200 часов

П2 =И1. + И2. Известно по таблице, что для этого этапа 0(1) = <7(0 12ст/= ^ ' • Преобразуя, получаем вероятность отказов: Р(1)= 1-Оа)=1-б/(Ио1.+2оо) =0,09.

Число отказов за период двух интервалов по 100 часов найдём из соотношения

„И1+И2

0И1 + И2 _ ЩР) _ (0...200) (О...200) ^ " ^ ,или

.

B. Число отказов отдельно за вторую часть второго этапа - интервал И1/И2

=(100.200) часов, считая за первую первый интервал или И1, найдём как разность

значений отказов суммарного и начального интервалов:

И1/И2

отказов.

0 т 79 , И1/И2 _

В итоге: п,-^ = /Дэ; п^ -Ьи- отказы за первый и только за вторую часть

второго интервала, оба по 100 часов.

Подобным образом может быть рассчитано число отказов для любого интервала из приведенных в таблице. Например, найдём число отказов в интервалах 0.800; 0...700 и 700...800. ЭтапыП8, П7.

Используя данные таблицы, имеем: д00 = 0,784; Р^ д'00 = 0,216.

£ и

Тогда число отказов в интервале 0.800 770 д00 = 1450-0,216 = 313. Соответственно, для интервала 0...700: = 0,8 = 0,2;

у и

п0...700 = 1450-0,2 = 290.

В результате для интервала И7 / И8 = 700.800 часов, число отказавших образцов: 313-290 = 23.

После этого анализа становится возможным определение параметров

надежности: частоты и интенсивности отказов:

С "(О

= -

.

2. Определение частоты отказов

A. Для первого интервала

Преобразование исходных данных для первого интервала Hi = 0...100 часов. N0=1450, Dt = 100, n(t) = njj.1100 = 72,5.

Тогда для первого интервала 0...100 часов имеем: с(И1) = = 5 10-4

W 1450 100

Б. Для суммарного двуинтервального этапа П2 = 0.200 часов

Преобразование исходных данных:

П2 = 0...200 часов, Hi+H2 = 200 ч.; Л^И1 + И2) = 1450 , n(t) = 130,5 .

Тогда = а?^"" ' = 130'3 = 4,5 ■ 10"4,ч-1.

(Г) О...200 1450-200

B. Отдельно для второго интервала, И1/И2 = 100.200 часов

No = 1450-72.5 = 1377.5 ;n(t) = 58; Dt = 100 часов. Тогда

„с _ с(Иг/И2) _ 58 _¿9.1 П"4 и1

a(t) - íoo...200 - 1377.5.ioo " 4'Z 10 ,Ч .

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы: значение а будет снижаться для суммарных интервалов и увеличиваться для отдельных интервалов

5. На длительном испытании находились Nq = 1000 образцов невосстанавливаемых ЭТС. Градация этапов на интервалы приведена в таблице ниже. Число отказов n(t) фиксируют через каждые 100 ч. работы (д/ = 100ч.). Составлены данные о вероятности безотказной работы. Требуется провести анализ количественных характеристик надежности: а) a(t) ,б) К (t); в) среднего времени безотказной работы.

Общая нумерация этапов Последовательная индикация границ этапов на шкале времени Обозначение количества исследуемых образцов на этапе Число интервалов на этапе Вероятность безотказной работы на этапе Частота отказов, кризисные значения Интенсивность отказов, кризисные значения

П с..., и; N¡ i QN a(t) A(t)

П0...1 100 N1 1 0,950

П0_2 200 n2 2 0,910

П0 з 300 n2 3 0,878

П0...4 400 N 4 0,853

П0...5 500 N 5 0,833

П0...б 600 N 6 0,816

П0...7 700 N 7 0,800

П0...8 800 N 8 0,784

П0...9 900 N 9 0,769

По...ю 1000 N 10 0,755

По...29 2900 N 29 0,465

По...зо 3000 N 30 0.425

Из таблицы имеем:

1) каждый этап имеет протяженность от начала испытания и продолжается в течение ряда входящих в него интервалов;

2) все интервалы времени имеют продолжительность по 100 часов;

3) общее количество интервалов равно 30. Алгоритм анализа

Рассмотрим первый этап времени П0...1. Он содержит один интервал времени

Hi=Ati=0... 100 ч. Для него в таблице q(t)= 0,95. Это значит, что число отказов в этом

s \ _ ^O-n(t) lOOO-n(t)

интервале n(t)=50. Это видно из соотношения: PKt) — — , или 0,95 =-—,

N о 1000

откуда n(t)=50.

Так как время работы в примере считается непрерывным, то значение q(t) в каждой строке таблицы соответствует обозначенному этапу - сумме интервалов. Например, q(t)=0,95. Оно отвечает интервалу И1; q(t)=0,91 - интервалу И1 + И2;

q(t)=0,878 - интервалу Hi + И2 + И3 (т.е. 0.. .300) и т.д.

А. Анализ интенсивности отказов проведем для первого этапа времени

По..л- Для краткости этот этап обозначим через П1. Для него n(t)= 50.

rp a;ic(ni) 3c(ni) 50 Л СЛЛ 1П-3 -1

ТогдаЛ(0 - Я(0 100) = Я50 = 100(1Ооо+95о) = 0.Ы4 1Ü , ч.

2

Рассмотрим суммарный интервал И1 + И2 для второго этапа протяженностью

A t= 0.. .200 часов. Для него n(t)=90.

3С(И+И) ,с(П0_2) ,с(П0_2) 90 плл 1П-3

ХогдаЛ.^ — Л0 200 — Л100 —___1000+910 — ил/ ■ IU ,

200-

-1

ч.

2

Рассмотрим второй интервал после первого И1 / И2 или между П0...1 иП0 7, то есть от 100 до 200 часов. Запишем его П0...1 -П0 2 •

Этот интервал имеет характеристики N0 = 950 и п(^ = 40. Тогда

_ П Л О . 1 П-3

100-

-1

, ч.

2

Рассмотрим интервал П0 29"По...зО' A t= 2900...3000 = 100 часов, n(t) = 40.

Тогда

тС(П0_2д—П0_30) _ тС(П0_2д —П0_30) _ тС(П0_29-П0_30) _ 40 _ п п 1 г» 3 -1

— Л2900...3000 2950 — ~~ ' '

2

По результатам расчетов Х(I) строят графики зависимости л(Г) = /(Г).

Выводы: значения А^ для увеличивающихся суммарных интервалов

уменьшаются, для последовательных отдельных интервалов - увеличиваются.

Б. Анализ п0 интервалам. Рассмотрим первый и только второй интервал

после первого И1 / И2 или интервал между П0...1 и П0 2 =100...200 часов .Запишем его

П0. 1 "П0 2

ас _ "(О

.

Отметим исходные данные:

Тогда

50

1001000

и.э ■ Ю ,ч-

с(пг) cdii) cinj

(f _ fy 1 _ /у 1

(t) "о...100 50

ССПо^-По-г) = С(П0_! —П0_2) = С(П0—1—П0_2) U(t) 100...200 150

40

0.4-10

■■ -1. ,ч

100-950

В. Анализ среднего времени безотказной работы.

В соответствии с таблицей 3.2. в [1] проведем исследование среднего времени безотказной работы по этапам и интервалам. Исходные данные: на испытании находились 1000 образцов. Всего интервалов по А^ = 100 — Ш = 30.

Алгоритм анализа

Проведем преобразование исходных данных. Разделим общий период исследования на 6 этапов по 5 интервалов. Тогда число отказавших элементов по этапам будет равно: 167, 78, 70, 65, 64, 131. Общее число отказавших элементов N0 равно 575. При этом число отказавших элементов по интервалам, например, первого этапа равно 167. Или: 50, 40, 32, 25, 20. За среднее время работы отказавшего элемента (наработки элемента до отказа ) будем считать середину интервала, в котором он отказал. Например среднее время наработки отказавших элементов в первом интервале первого этапа 1 ср равно 50*1/2(100)=2 500 часов. Общее время наработки всех отказавших элементов на первом этапе равно 34 250 часам (2 500+6 000+8 000+8 750 +9 000). А среднее время наработки одного отказавшего элемента в первом этапе Тср будет равно 205 часам, или 34 250/167.

Определим среднее время наработки или безотказной работы одного образца из всех отказавших 575 элементов.

n ■ t„

ср

(i)

Т = ср

i=i

Nn

50 ■ 50 + 40 ■ 150 + ... + 30 ■ 2850 + 40 ■ 2950 575

= 1400 ч.

6. В течение некоторого периода времени проводилось наблюдение за работой одного экземпляра радиолокационной станции. За весь период наблюдения было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдения станция проработала 258 ч., к концу наблюдения наработка станции составила 1 233 ч. Требуется определить среднюю наработку на отказ.

Алгоритм анализа

Наработка радиолокационной станции за наблюдаемый период:

1 = 12 - 11 = 1233 - 258 = 975 ч.

п

Принимая ^ = 975, находим среднюю наработку

7=1

на отказ:

t

Т

975

65, ч.,

п 15

где Ь} - время исправной работы изделия между (г - 1)-м и г-м отказами; п -число отказов за некоторое время

m

n

Заключение

1. Длительная работа ТС без отказов является одним из основных параметров надежности ТС .

2. Рассмотренные схемы разделения этапов длительности работы ТС на интервалы позволяют проводить оптимальное управление градацией интервалов с целью выявления зон, в которых расчетные значения параметров надежности превышают кризисные значения.

3. При разделении этапов длительности работы ТС на интервалы становится возможным графическое исследование изменения параметров надежности по интервалам времени.

Библиографический список

Барботько А.И., Кудинов В.А. Надежность технических систем и техногенный риск: учеб. пособие. Ст. Оскол: ТНТ. 2015. 280 с.