Методика расчета доверительного интервала оценки случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доклады БГУИР

Doklady BGUIR

2017, № 7 (109) 2017, No. 7 (109)

УДК 519.213:006.91

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ОЦЕНКИ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ПОДЧИНЕННОЙ КОМПОЗИЦИИ НОРМАЛЬНОГО И РАВНОМЕРНОГО ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Е Л. КРЕЙДИК

ОАО «АГАТ-СИСТЕМ», Республика Беларусь

Поступила в редакцию 23 августа 2017

Аннотация. Рассмотрен общий случай определения вероятности попадания на заданный участок случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих произвольные центры распределения. Предложена методика расчета доверительного интервала для оценки случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения.

Ключевые слова: теория измерений, закон распределения, доверительный интервал, доверительная вероятность.

Abstract. The general case of determining of probability of hit by a given section of a random variable subordinated to the composition of normal and uniform distribution laws having arbitrary distribution centers is considered. A technique for confidence interval calculating for estimating of the random value subordinated to the composition of normal and uniform distributions is proposed.

Keywords: theory of measurements, distribution law, confidence interval, confidence probability.

Doklady BGUIR. 2017, Vol. 109, ]Чо. 7, pp. 25-31 Technique for confidence interval calculating for estimating

of the random value subordinated to the composition of normal and uniform distributions E.L. Kreidik

Введение

Для предварительной оценки ряда параметров создаваемых радиоэлектронных средств необходимо выполнить теоретико-вероятностные расчеты, связанные с суммой независимых случайных величин, которые распределены по известным законам. Закон распределения суммы независимых случайных величин называют композицией законов распределения. Композиция разнотипных законов распределения может иметь достаточно сложный вид распределения, не всегда удобный для практических расчетов. При суммировании случайных величин их законы распределения существенно деформируются, т. е. форма закона суммы может резко отличаться от формы закона распределения составляющих [1, с. 38; 2, с. 106], как, например, при композиции нормального и равномерного (иначе, равной вероятности) законов распределения. В ходе выполнения теоретико-вероятностных расчетов необходимо определять интервальную оценку для случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, при изменении основных параметров распределений.

Теоретический анализ

Функция распределения (иначе, интегральный закон распределения) G(z) полностью характеризует случайную величину Z с вероятностной точки зрения, где Z = X + Y сумма двух независимых случайных величин (X,Y), подчиненных законам распределения f (х)

и f2 (у), где (х, у) некоторые текущие переменные этих случайных величин. Функция g(р) = G'(2) называется плотностью распределения (иначе, дифференциальным законом распределения) непрерывной случайной величины 2 .

Вопросы композиции нормально и равновероятно распределенных независимых случайных величин изложены [3-9] посредством дифференциального закона распределения. В типовых примерах [7, с. 143; 10, с. 188; 11, с. 349] приведены решения посредством интегрального закона распределения. В этих примерах рассмотрена вероятность попадания случайной величины 2, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих общий центр распределения (рис. 1) в начале координат.

По мнению авторов [6, с. 136; 7, с. 142], частным является случай сложения закона нормального распределения с законом равной вероятности, имеющих общий центр распределения в начале координат. Рассмотрим общий случай для определения вероятности попадания на заданный участок случайной величины 2, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих произвольные центры распределения (рис. 2).

,/lW 0.199

лМ

0.399 0.359 0.319 0.279 ч 0.239

Ж

/(х) 0.199

лМ

-10 -8 -6 -4 -2

0 2

Рис. 1. Частный случай для определения вероятности попадания случайной величины 2 ,

подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих общий центр в начале координат

- 4 | -2 г — «0 0 0 -

№ G(z) /0 - л('

« / \ Г - G(-

f 1\/ А*) У

0.5

1

1

1

/ /

(

0.6

G(z)

0.4

-2 0 2 x,y,z

Рис. 2. Общий случай для определения вероятности попадания на заданный участок случайной величины 2 , подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих произвольные центры распределения

Композиция нормально распределенного закона с параметрами а - среднее квадратическое отклонение (СКО), т - математическое ожидание

(х-m)2

fi (х ) =

ол/2П

e

2а2

и закона равной вероятности f2 (У ) =

р - а

где а < у < Р, определена через плотность распределения g(2) случайной величины 2 [3]:

g (^)=

( г Ф V V

Р-(z - m)

-Ф

а-( z - m )

(1)

р-а

Плотность распределения g (г) выражена через Ф * (х) - нормальную функцию распределения [12]:

) = Ie 2dt = -

V2n -1 2

- X

>(х)^Т72Г Je 2

4П,

1 + erf

с \ х

vV2 у

2 2

где erf(х) = ^= Ie~t dt - интеграл вероятностей. В дальнейшем используется обозначение

.. /тг J

интеграла вероятностей [13, с. 30]

1

2 2 ф(х) = -= Iе~t2 dt.

л/л

Тогда ^ ( - ) =

1

2(р-а)

( ( ф

V V

Р-(- - т) л/2с

-ф

а-(г -т)

с

(3)

//

Вероятность попадания случайной величины 2 на интервале от у до в определяется выражением [3, с. 81]:

Р(у < 2 < в) = | g (-У- = G (-)

= G(в)- G(y),

Р(у <2 <е) =

2 (р-а)

ф

Р-(- - т)

>/2«

с

-ф

а - (- - т)

л/2<

с

ё- .

(4)

(5)

Графики законов ^ (х),f2 (у), g(-) иG(-) приведены:

- при а = —У3,Р = л/3, т = 0, о = 1, у = -1, в = 1 - на рис. 1;

- при а = -6 - л/3,Р = -6 + т = 2, о = 1, у = -4, в = -2 - на рис. 2.

Геометрически вероятность попадания (4) величины 2 на участок (у, в) равна площади

кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 1, 2).

Так как определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций, формула (5) преобразована в виде

Р ( у < 2 < в ) =

1

2(Р - а)

IФ

У

Р -( - - т )

л/2.

о

-I ф|

у

а-(--т)

л/2<

о

1 2 При решении 1-го и 2-го интеграла (6) по формуле (7) [14, с. 138]:

(аг+ь)2 Ь

1 ф(а- + Ь)сЪ = -ф(а- + Ь) + -1- еЛа-+Ъ) + -ф(а- + Ь) 3 л/ка а

введены обозначения величин а, Ь :

1 Р + т 1 а + т

а(1) = -72"; Ь(1 = и а(2) = Ь(2) = —¡2-.

л/2о -\/2о -\/2о л/2о

По формуле (7) получено решение 1-го интеграла (6): Р-(- -т

(6)

(7)

н

(--т) л/2с

= (в + т - у)ф|

в + т - у л/2о

- (в + т - в)ф|

Р^-8 ^^о

л/2о

/ , \2 ( р+т-у |

е ^ ' - е

р+т-в

72о

2

(8)

ф|

Также по формуле (7) получено решение 2-го интеграла (6):

-(--т)

= (а + т - у)ф

а + т - у

л/2<

о

/ ч,( а + т - в | 2

-(а+т - в и-о

( г ^2

' а+т-у|

■До

- е

л/2о

2

(9)

Подстановкой решений (8) и (9) в формулу (6) получено выражение для определения вероятности попадания на участок от у до в случайной величины 2, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих произвольные центры распределения (рис. 2):

в

У

1

а + т-в

Р(у < 2 < 8) =

2(Р - а)

(в+т - у)ф| ^Г ^-(в+т - 8)°( ^ТрН+т - 1+

(10)

+ (а + т - 8 )ф|

а + т - 8

л/2с

+ Л2а п

в+т - у

■На

- е

в+т-8

42а

- е

а+т - у

■Ла

+ е

72о

2 V

V

В результате замены переменных у = -<х>, 8 = г получено выражение (10) для интегральной функции распределения G(г) = Р(2 < г) = Р(-<х> < X < г) случайной величины 2 :

0( г) =

1

2(в - а)

в - а -(в + т - г )ф| в + т—- | + ( а + т

Т2с

(а + т - г)ф

а + т - г

72с

-А - а п

в + т- г

■Ла

- е

•*/2а

- Л'

• (11)

Выполнив замену переменных в выражении (10) в = I, а = -I, т = 0 , и 8 = к, у = -к, подобно решению в типовых примерах [10, 11], получена формула вероятности попадания на участок от - к до к случайной величины 2, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих общий центр в начале координат:

Р (-к < 2 < к) = —

21

(1+к)-(к -' К £ )+&

( (I+к )2

е ) - е

I-к Ла

(12)

Формула (10) применена в методике расчета доверительного интервала для заданной доверительной вероятности.

Методика расчета

Так как интеграл вероятностей (2) не может быть выражен комбинацией элементарных функций, то дальнейший анализ (10) проведен только численным и приближенным методами [15, с. 93].

Одним из параметров [16, с. 159], определяющим форму распределения (1), является Сип/ - показатель относительного содержания в композиции нормального и равномерного

законов распределения равномерной составляющей, выраженной через аип/ - СКО:

С г =

ип/

ип/

в - а

273а .

(13)

Плотность вероятности g (г) композиции нормального и равномерного законов распределения при различном значении показателя Сип/ и а = 1 приведена на рис. 3. По аналогии с нормальным законом [3] введем множитель tp (Сип/ ) (иначе, квантильный множитель [16, с. 206]), зависящий от величины Сип/ , определяющий число СКО суммы независимых случайных величин

(X, У), которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания случайной величины 2, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна доверительной вероятности р .

Выразим СКО суммы независимых случайных величин (X,У), подчиненных законам нормального / (х) и равномерного /2 (у) распределения:

+</ =^а2 +(Р-а)2/12. (14)

Выразим доверительный интервал I композиции нормального и равномерного законов распределения:

X

X

2

а + т-8

е

X

а+ т-г

X

е

а

1р = (т - tp [сиш/ ,;т, + tp (сиШ1 )а,),

(15)

где тТ - математическое ожидание композиции нормально и равновероятно распределенных независимых случайных величин (X, Y) ; tp (Сип/ ) - множитель, зависящий от доверительной вероятности р и величины Сип/ ; т2 + tp (Сип/)о2 - доверительные границы, для которых вероятность попадания случайной величины 2 = X + У в заданный интервал 1р :

Р (т2- tp (Сип/ )о 2

< 2 < тъ + tp(Сип/)а2) = р.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий случайных слагаемых [3], тогда а + в

т

где

т +

а + в

2

2

математическое ожидание равномерного распределения.

(16)

Таким образом, с учетом выражений (14) и (16) выражение (15) примет следующий вид:

1Р =

а + В т + — - ^

( Сип/ ))]

2 (В-а)2 а + В

с 2 + ^->_; т +-^ + t p

12

2

( Сит/ )]!

а2 +

(Р-а)2 12

V

(17)

Решение трансцендентного уравнения (10) получено численным методом для различных значений Сип/, в виде табличных значений множителя t (Сип /) при расчете

доверительных границ у = т2 - tp (Сип/ )о2, 8 = т2 + tp (Сип/ )о2, соответствующих типовым значениям доверительной вероятности p = 0,9; 0,95; 0,99; 0,9973; 0,999. По табличным значениям множителя tp(Сип/) дляp = 0,9; 0,95; 0,99; 0,999 построены графики (рис. 4).

Результат аппроксимации полученных зависимостей множителя tp (Сип/) приведен в таблице в виде приближенных формул, соответствующих типовым значениям доверительной вероятности. Квантильный множитель в приближенной формуле обозначен как tp (Сип/).

В таблице для множителя t p (Сип /), приведены предельные отклонения величин, характеризующие точность аппроксимации функции tp (Сип/ ) .

^ит/ = 1

= 1,75

= 2,5

с ит/ = 5

~~ Сит/ = 10

Рис. 3. Плотность вероятности g (2) композиции нормального и равномерного законов распределения при различном значении показателя относительного содержания равномерной составляющей Сип/, о = 1

Рис. 4. Зависимость множителя tp (Сип /)

от показателя относительного содержания в композиции нормального ( о = 1) и равномерного законов распределения равномерной составляющей

Доверительная вероятность Множитель t p (Cmif) при изменении „ О unif ß-a 2 , „3 Cunif =-от 10 2 до 103 о 2V3a Предельные отклонения величин

s^p (^), % Ap

P = 0,9 ~0,9 (Cunf) = 1,6 - 0,045Ф(1,15e lg Cumf -1) ±0,3 ±0,0023

P = 0,95 ~0,95 (Cumf) = 1,8 - 0,16ф(0,8(е lg Cunf -1)) ±1,0 ±0,0032

p = 0,99 ~0,99 (Cunf ) = 2,148 - 0,43ф(0,62(е lg Cunf -1)) ±1,5 ±0,0020

p = 0,9973 ~0,9973 (Cunf ) = 2,38 - 0,65ф(0,53(е lg Cunf -1)) ±2,5 ±0,0015

p = 0,999 ~0,999 (Cunf )= 2,511-0,78ф(0,46(е lg Cunf -1)) ±5,0 ±0,00085

Заключение

Таким образом, рассмотрен общий случай определения вероятности попадания на заданный участок случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения, имеющих произвольные центры распределения. Для рассмотренной композиции в результате аппроксимации табличных данных tp {Сит/)

получены приближенные формулы множителя 1 (Сип^) для типовых значений доверительной

вероятности, зависящего от показателя относительного содержания в композиции нормального и равномерного законов распределения равномерной составляющей. При помощи полученных приближенных формул множителя 1 (Сип^) и выражения (17) можно с достаточной

для практики точностью, не прибегая к расчету табличных значений множителя tp (Сип^)

численным методом, определить доверительный интервал оценки случайной величины, подчиненной композиции нормального и равномерного законов распределения.

Список литературы

1. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 247 с.

2. Сергеев А.Г., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация, сертификация. М.: Юрайт, 2011. 820 с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 1999. 576 с.

4. Справочник по вероятностным расчетам / Г.Г. Абезгауз [и др.]. 2-е изд. М.: Воениздат, 1970. 536 с.

5. Длин А.М. Математическая статистика в технике. М.: Сов. наука, 1958. 466 с.

6. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Дашков и К., 2011. 473 с.

7. Унковский В.А. Теория вероятностей. М.: Воен.-мор. изд-во, 1953. 320 с.

8. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1969. 512 с.

9. Свешников А.А. Основы теории ошибок. Л.: Изд-во Ленингр. университета, 1972. 124 с.

10. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Б.Г. Володин [и др.]; под общ. ред. А.А. Свешникова. М.: Наука, 1970. 656 с.

11. Ганин М.П., Свешников А.А. Теория вероятностей и её применение для решения задач ВМФ. Л.: Воен.-мор. ордена Ленина и Ушакова акад., 1968. 649 с.

12. Математическая энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. И.М. Виноградов. Т. 2. М.: СЭ, 1979. 1104 с.

13. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. 2-е изд. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 358 с.

14. Хаджи П.И. Функция вероятности (интегралы, ряды и некоторые обобщения) / под ред. С.А. Москаленко. Кишинев: АН МССР, 1971. 397 с.

15. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.: Энергия, 1968. 248 с.

16. Сергеев А.Г. Крохин В.В. Метрология. М.: Логос, 2002. 408 с.

References

1. Novickij P.V., Zograf I.A. Ocenka pogreshnostej rezul'tatov izmerenij. L.: Jenergoatomizdat, 1985. 247 s. (in Russ.)

2. Sergeev A.G., Teregerja V.V. Metrologija, standartizacija, sertifikacija. M.: Jurajt, 2011. 820 s. (in Russ.)

3. Ventcel' E.S. Teorija verojatnostej. M.: Vyssh. shk., 1999. 576 s. (in Russ.)

4. Spravochnik po verojatnostnym raschetam / G.G. Abezgauz [i dr.]. 2-e izd. M. : Voenizdat, 1970. 536 s. (in Russ.)

5. Dlin A.M. Matematicheskaja statistika v tehnike. M.: Sov. nauka, 1958. 466 s. (in Russ.)

6. Baldin K.V., Bashlykov V.N., Rukosuev A.V. Teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika. M.: Dashkov i K., 2011. 473 s. (in Russ.)

7. Unkovskij V.A. Teorija verojatnostej. M.: Voen.-mor. izd-vo, 1953. 320 s. (in Russ.)

8. Smirnov N.V., Dunin-Barkovskij I.V. Kurs teorii verojatnostej i matematicheskoj statistiki dlja tehnicheskih prilozhenij. M.: Nauka, 1969. 512 s. (in Russ.)

9. Sveshnikov A.A. Osnovy teorii oshibok. L.: Izd-vo Leningr. universiteta, 1972. 124 s. (in Russ.)

10. Sbornik zadach po teorii verojatnostej, matematicheskoj statistike i teorii sluchajnyh funkcij / B.G. Volodin [i dr.]; pod obshh. red. A.A. Sveshnikova. M.: Nauka, 1970. 656 s. (in Russ.)

11. Ganin M.P., Sveshnikov A.A. Teorija verojatnostej i ejo primenenie dlja reshenija zadach VMF. L.: Voen.-mor. ordena Lenina i Ushakova akad., 1968. 649 s. (in Russ.)

12. Matematicheskaja jenciklopedija: v 5 t. / gl. red. I.M. Vinogradov. T. 2. M.: SJe, 1979. 1104 s. (in Russ.)

13. Lebedev N.N. Special'nye funkcii i ih prilozhenija. 2-e izd. M.; L.: Fizmatgiz, 1963. 358 s. (in Russ.)

14. Hadzhi P.I. Funkcija verojatnosti (integraly, rjady i nekotorye obobshhenija) / pod red. S.A. Moskalenko. Kishinev: AN MSSR, 1971. 397 s. (in Russ.)

15. Novickij P.V. Osnovy informacionnoj teorii izmeritel'nyh ustrojstv. L.: Jenergija, 1968. 248 s. (in Russ.)

16. Sergeev A.G. Krohin V.V. Metrologija. M.: Logos, 2002. 408 s. (in Russ.)

Сведения об авторе Information about the author

Крейдик Е.Л., заместитель начальника отдела Kreidik E.L., deputy head of department of OJSC ОАО «АГАТ-СИСТЕМ». «AGAT-SYSTEM».

Адрес для корреспонденции

220141, Республика Беларусь, г. Минск, ул. Ф. Скорины, 51Б, ОАО «АГАТ-СИСТЕМ» тел. +375 17-265-94-46; e-mail: kreidik@rambler.ru Крейдик Евгений Леонидович

Address for correspondence

220141, Republic of Belarus, Minsk, F. Skoriny str., 51B, OJSC «AGAT-SYSTEM» tel. +375 17-265-94-46; e-mail: kreidik@rambler.ru Kreidik Evgueni Leonidovich