Основы динамической корректировки коэффициентов чувствительности группы однотипных датчиков (на примере косинусного закона распределения) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2016, том 26, № 3, c. 83-94

- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ -

И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ

удк 519.2 © А. С. Ильин

ОСНОВЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОРРЕКТИРОВКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ГРУППЫ ОДНОТИПНЫХ ДАТЧИКОВ (НА ПРИМЕРЕ КОСИНУСНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)

Предполагается, что на этапе эксплуатации существует возможность производить измерение изотропного фона. Выполняя сортировку измеренных значений в группе однотипных датчиков, в случае одинаковости их чувствительности получаем для каждого датчика равномерную картину распределения по позициям сортированного списка. В случае дрейфа чувствительности одного датчика возникает дисбаланс: измеренные значения от этого датчика оказываются в одной половине чаще, чем в другой. Представлены формулы и результаты вычислений, устанавливающие зависимость дисбаланса от величины дрейфа одного датчика в качестве основы для динамической корректировки коэффициентов чувствительности однотипных датчиков. В качестве примера рассмотрено косинусное распределение измеряемой случайной величины. Сделан выбор параметров этого распределения по некоторым критериям сходства с нормальным распределением.

Кл. сл.: интеллектуальные датчики, чувствительность, дрейф, корректировка, точность, живучесть, самовосстановление

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей частью современных робототехни-ческих и человеко-машинных систем являются датчики (сенсоры) различных типов. При этом высокие требования к живучести и точности измерений в сочетании с невозможностью или затруднительностью участия человека в выполнении ре-монтно-восстановительных работ в экстремальных условиях эксплуатации порождают актуальную необходимость интеллектуализации датчиков. В [1] указано, что в отличие от адаптивного датчика, обладающего свойствами автоматической настройки своих параметров в зависимости от текущих условий, интеллектуальный датчик дополнительно должен осуществлять:

- автоматическую коррекцию погрешности, появившейся в результате воздействия влияющих величин и/или старения компонентов;

- самовосстановление при возникновении единичного дефекта в датчике;

- самообучение.

Как известно, живая природа предоставляет нам примеры множественности рецепторов в составе глаза и уха. Сенсоры технических систем во многом похожи на органы зрения и слуха. Это сходство может проявляться по-разному, но в рамках темы данной статьи обратим внимание на следующие примеры применения набора одно-

типных датчиков:

- акустическая система, содержащая ряд микрофонов вокруг башни, в составе боевого робота "Скорпион" [2] обеспечивает возможность моментально и весьма точно определять направление на источник звука (выстрела), чтобы соответственно направлять ствол пушки;

- измеритель мощности дозы (ИМД) [3-5], содержащий ряд сенсоров (счетчиков Гейгера) вокруг цилиндра из вольфрамового сплава, также предоставляет пользователю угол направления на источник радиационного излучения.

Характерной особенностью систем такого вида является необходимость одинаковости чувствительности датчиков. Между тем, параметры различных производимых счетчиков регистрации излучения представлены в [6]. При этом в графе "Чувствительность" указано, например: 6075 имп/мкР для счетчика "Гамма-7"; 285385 имп/мкР для счетчика "Гамма-8"; 3139 имп/мкР для счетчика "Гамма-10". Как видно, каждая модель допускает изначальный разброс около 25 %. В связи с этим выполняется настройка параметров программного обеспечения (коэффициентов чувствительности) в устройствах радиационного контроля прежде всего на этапе изготовления, а также и периодически на этапе эксплуатации при регламентных работах с использованием эталонного источника.

Но если мы говорим об актуальности интеллектуализации сенсорных систем, то поставим задачу динамической корректировки коэффициентов чувствительности, т. е. непосредственно в ходе рабочего функционирования, на этапе эксплуатации без эталонного источника.

Такая возможность существует и является благоприятной в той мере, в какой допускается считать, что фон, накопленный за длительное время в промежутках между ситуациями наличия источников, обладает свойством изотропности.

Актуальность совершенствования систем радиационного контроля указана, например, в [7]. При этом предполагается использование мобильных наземных, воздушных и подводных робото-технических средств. Приборы радиационного контроля могут быть установлены и стационарно в удаленных, опасных и труднодоступных местах. Во всех вариантах более предпочтительными являются интеллектуальные измерительные средства, обладающие свойством самовосстановления.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Считаем, что нам задана зависимость математического ожидания измеренного значения от параметров настройки датчика. Соответственно имеем возможность манипулировать смещениями. В частности, в составе программного обеспечения ИМД для каждого датчика предусмотрен коэффициент чувствительности, номинальное значение которого равно единице.

Целью статьи является получение формул, на основе которых будет обеспечена возможность вычислить величину дрейфа датчика, чтобы затем произвести пересчет его параметров настройки (коэффициента чувствительности). Для этого в программном обеспечении изделия должно быть предусмотрено формирование исходных данных следующим образом.

Проверяя отсутствие источника излучения (отсутствие чрезмерной неравномерности результатов измерений, поступающих от датчиков), выполняем накопление фона в течение очередного интервала времени (такта). Точнее говоря, правильнее учитывать, что уровень фона может меняться, поэтому каждый такт накопления фона должен завершаться, когда среднее (или медианное) значение результата накопления достигнет заданного значения. На каждом такте выполняем сортировку значений, полученных от всех датчиков. Формируем массив счетчиков В7. — количество случаев попадания 7-го датчика в /-ю позицию сортированного списка значений. Отсчет индексов производим от нуля.

Пусть М — количество тактов; N — количество счетчиков.

Очевидно, что для каждого значения 7 действует равенство

N-1

м = ув ..

/=о

Для каждого датчика вычисляем нормированные суммы на половине счетчиков:

N -1

1

о=—ув .

(

при четном количестве N,

О' = 17 М

личестве N.

\

1 2

- +1 в.

2 ', 2 /=0

при нечетном ко-

Каждую такую сумму О7 будем называть дисбалансом. При отсутствии дрейфа (в исходном состоянии) дисбаланс равен 1/2, а при увеличении дрейфа до полной ширины статистического разброса дисбаланс становится равным 1.

Понятно, что дрейфующий датчик приобретает наибольший дисбаланс, а остальные датчики приобретают меньший (равномерно распределенный между ними) дисбаланс противоположной направленности.

БАЗОВЫЕ ФОРМУЛЫ

Дрейфу подвержены все датчики, но в интервале времени между сеансами пересчета коэффициентов чувствительности чрезмерный дрейф наиболее вероятен только у одного датчика. Поэтому в рамках данной статьи в используемой математической модели предполагается, что дрейфу подвержен только один датчик.

Обозначим р(а, х) — плотность вероятности распределения измеряемой величины х в области значений, ширина которой характеризуется параметром а. При этом без ограничения общности для удобства вычислений можно считать, что среднее значение равно нулю.

Обозначим L — величина дрейфа в сторону занижения. Это значит, что плотность вероятности приобретает вид р(а, х + L).

Обозначим также интегральную функцию вероятности распределения:

У1

Р (а, X )= | р (а, х) дх

(1)

Запишем вероятность попадания дрейфующего датчика в /-ю позицию сортированного списка, при этом отсчет индексов ведем от нуля:

N -1

q(а,L,N,1)= /N . х П ' 1!(N -1 - У)!

да

х | Р (а, х)1 (1 - Р (а, х))^1 р (а, х + L) дх.

(2)

N л

при четном N: п = — -1.

N -1

при нечетном N

п = -

2

Обозначим серединный множитель

при четном N 5 (1) = 1, при нечетном N 5 (1) = 1 при 1Ф п , 5( п ) = 12.

(3)

(4)

(5)

(6)

Поставленная цель статьи формализуется как вычисление суммы вероятностей попадания на половину позиций сортированного списка:

-(N-1)!

+

1!( N -1)!

(N -1)! (1 -1)!( N -1)!

Р (а, х)1 (1 - Р( а, х))

N-1

+ ...+

— | Р (а, х)1-1 (1 - Р (а, х))^' р (а, х) дх.

Здесь в подынтегральном выражении первый множитель соответствует 1 датчикам, у которых измеренное значение оказалось меньше, чем х; второй множитель соответствует N - 1 -1) датчикам, у которых измеренное значение оказалось больше, чем х; третий множитель определяет вероятность того, что дрейфующий датчик дает значение в интервале от х до х + дх. Комбинаторный коэффициент учитывает варианты перестановок всех датчиков, кроме дрейфующего.

Уместно заметить, что формула (2) определяет вероятность того, что значение от дрейфующего датчика оказалось 1-й порядковой статистикой. В отличие от формул, имеющихся, например, в [8] или [9], записанных для одинаковых датчиков, для варианта с дрейфующим датчиком каждый момент 1-й порядковой статистики может быть записан в виде суммы трех величин (как в статье [10]). При этом (2) является одной из этих трех величин для момента порядка 0.

Обозначим серединный индекс

Получился интеграл, являющийся выражением q(a, 0, N, 1 -1). Поэтому суммирование по формуле (7) удобно выполнять в порядке убывания индекса 1. Вычисляемая сумма приобретает вид

Q ( а,0, N ) = £]( п -1 + 5( п ))

1=0

-(N -1)! 1!(N -1)!

Р ( а, х )1 (1 - Р ( а, х ))

N - ]

Появившийся множитель (п -1 + 5(п)) является следствием объединения подобных членов. Учитывая, что Р (а, -да) = 0 и Р (а, да) = 1, нетрудно видеть, что в этой сумме имеется только один ненулевой член, имеющий индекс 1 = 0 и нижнюю границу интервала интегрирования. С учетом (3)-(6), как и следовало ожидать, получаем тождество

6 ( а,0, N ) = 2.

(8)

Для рассмотренного случая L = 0 было несущественно, является ли область интегрирования бесконечной или ограничена отрезком.

Далее будем считать, что диапазон случайного разброса измеряемой величины ограничен интервалом [-а,а]. При этом формулы (2) и (7) надо

переписать несколько иначе.

Заметим, что если дрейфующий датчик дает значение меньше, чем -а, то оно заведомо попадает в нулевую позицию. Такое событие возникает с вероятностью Р (а, L - а) .

Оставшаяся часть интервала возможных значе-

а, а

6(а,L,N) = ^5( 1)q(а,L,N, 1). (7) ний дрейфующего датчика [-а, а -L] есть интер-

1=0

Рассмотрим частный случай L = 0. Появилась возможность проинтегрировать формулу (2) по частям следующим образом:

q(а,0,N, 1 )= /N 1)! ч ^ ' 1!(N -1 -1)!

вал интегрирования для формулы (2). Поэтому

(N -1)! q(a, L, N, 1) = \ ' х 1!(N -1 - ])!

ах | Р (а, х)) (1 - Р (а, х)У~1- р (а, х + L ) дх,

(9)

х | Р(ахУ (1 -Р(а,х))N 1 1 р(ах)6х = 6(а,L,N) = Р(а,L - а) + £5( 1)q(а,L,N, 1).

1=0

да

—да

X

да

х

—да

х

Для формулы (9) выполним интегрирование по частям:

(N-1)!

д(а, L, N, /) = Д / х /!(N-1-/)!

Р(а,х) (1 -Р(а,х))^ Р(а,х+L) (N -1)! а-L

(/ -1)!( N-1-/)!

| Р(а,х)1-1 (1-Р(а,х)^-1-1 х х р (а, х) Р(а, х+L) дх +

+

(N-1)! /!(N - 2 - /)!

| Р (а, х)1 (1-Р (а, х))"-2-/' х

-а

х р (а, х) Р (а, х+L) дх.

значениях индекса /. Поэтому при суммировании по формуле (10) происходит взаимное сокращение всех интегралов, кроме одного или двух интегралов (в зависимости от четности N с серединными индексами.

При четном N сумма интегралов превращается в один интеграл:

I (а, Ц, N) = (N-1)!

N-1( N -1'

(11)

При / = 0 в этой формуле первый интеграл от-

сутствует, а при / = 1 полностью (кроме знака) сов-

падает со вторым интегралом, если его рассматривать при / = 0. Аналогично и при следующих

х | Р (а, х) 24 (1 - Р (а, х))2 4 р (а, х)Р(а, х+Ц) дх. (12)

-а

При нечетном N сумма интегралов превращается в два интеграла. При этом, учитывая (4) и (6), обнаруживаем возможность выполнить суммирование и превратить их в один интеграл:

I (а, Ц, N ) =

---- Г Р (а, хГ1 (1 - Р (а, х)Г1-Ир (а, х)Р (а, х + Ц) дх +

2(п -1)!(N -1 - п)! _{ V ' V V '' У ' V '

+

(N -1)!

2п!(N - 2 - п)! (N -1)!

2' N-W -1"

—Ц

Г Р (а, х)" (1 - Р (а, х)У-2-п р (а, х) Р (а, х + Ц) дх

N-1 N-1 1

Г Р (а, х) 2 - (1 - Р (а, х)) 2 - р (а, х)Р (а, х + Ц)дх.

В формуле (11) выполняем подстановку пределов интегрирования:

(N -1)!

§ |5< 1)'] •( N -1 -. / )!

Р (а, х)1 (1 - Р (а, х)) -1Р (а, х + Ц) = Б ( а, Ц, N )-Р ( а, Ц - а ).

(13)

Здесь обозначена сумма

Б ( а, Ц, N ) = §

1=0

«(1Ь

(N -1)!

1!(N -1 -1)!

Р (а,а - Ц)1 (1 - Р (а, а - Ц))N 1

Формула (10) приобретает вид

О (а, Ц, N) = Б (а, Ц, N) +1 (а, Ц, N) . (14) Нетрудно убедиться, что, в частности: Б ( а,0, N ) = 0; Б ( а, а, N ) = 1; Б (а,2а, N) = 1; I (а,2а, N) = 0; Учитывая (8) и (14), можно записать еще одно тождество: I ( а,0, N ) = 1.

Эти тождества могут быть полезными при проверке правильности программирования.

КОСИНУСНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

На практике обычно мы имеем дело с нормальным распределением случайных значений, полу-

а-Ц

а

а-Ц

а-Ц

а-Ц

а-Ц

а

чаемых от датчиков. Как известно, к нормальному распределению близко и распределение Пуассона, которому подчиняются данные от счетчиков регистрации радиоактивного излучения. Однако здесь мы рассмотрим косинусное распределение случайных значений и найдем его параметры, при котором оно имеет максимальное сходство с нормальным распределением. В отличие от экспоненциальной функции Лапласа косинусная функция допускает аналитическое вычисление интеграла (12). Точнее говоря, далее мы увидим, что получающийся результат имеет вид суммы, вычисление которой является не самой сложной задачей с точки зрения программирования.

Определим функцию плотности вероятности косинусного распределения в следующем виде:

1+ Я cos I ж

р (а, Я, х) = -

2а

(15)

Амплитудный параметр, предназначенный для регулирования остроты функции распределения, имеет диапазон

0 <Я< 1. (16)

Интегральная функция плотности вероятности:

Р ( а, Я, х ) =

х л Я . ( х —+1 +— sm | ж а ж

2

(17)

Применяя формулы интегрирования, известные, например, из [11, с. 89] или [12], нетрудно получить момент второго порядка (дисперсию) косинусного распределения

, 1 + Я cos | ж

0

2а

а ) 2, ( 1 2Я , 2 -х ах = |---- Iа

3 ж'

и момент четвертого порядка

и

, 1 + Я cos | ж

2а

а ) 4 л 4 — х ах = а

1 .4ж2-24^

5

В соответствии с определением, указанным, например, в [13, с. 18], получаем коэффициент эксцесса

ж

Е (Я)=-

4Я(ж2 - 6)

^ж2

--3.

(18)

- 2Я

Для сравнения с нормальным распределением далее нам потребуются известные формулы, которые здесь мы запишем в следующих обозначениях:

Я (с х ) = -

1

42%

ехр

( х2 >

с

V 2с )

G (с, х )=1

(

1 + ей"

л/2

с

(19)

(20)

erf (х) = —= [ехр(-2)а у/ж 0 ' '

СХОДСТВО КОСИНУСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО КРИТЕРИЯМ ДИСПЕРСИИ И ЭКСЦЕССА

Полученная функция коэффициента эксцесса (18) имеет точку максимума.

Чтобы найти ее координаты, надо вычислить производную по параметру Я и приравнять нулю. Нетрудно получить решение:

ЯЕтах =

Е__ =

ж2 (15 - ж2) 15(ж2 - 6)

15 (ж2 - 6)2 ж2(7ж2 - 60)

= 0.872354,

(21)

- 3 = -0.495661. (22)

Как видно, полученное значение амплитудного коэффициента (21) оказалось в границах диапазона (16), предназначенного для регулирования остроты функции плотности вероятности распределения. Соответствующее максимальное значение коэффициента эксцесса (22) наиболее близко подходит к уровню "ноль". Это значит, что острота косинусного распределения в этом случае наиболее близка к остроте нормального распределения.

В дополнение к требованию сходства коэффициентов эксцесса предлагается приравнять дисперсии. При этом нетрудно получить следующее соотношение:

а = с

15(ж2 - 6)

7ж - 60

= 2.527337с .

(23)

На рис. 1 представлены график функции (19) с параметром с = 1 и график функции (15) с параметрами (21) и (23). Как видно, этот критерий сходства, основанный на близости интегральных статистических характеристик, пытается увеличить урезанный "хвост" за счет уменьшения вершины.

х

х

а

х

х

5

2

3

p> g

Рис. 1. Сравнение косинусного распределения р с нормальным распределением g по критерию близости дисперсии и эксцесса

КРИТЕРИЙ РАВНОМЕРНОГО СХОДСТВА

КОСИНУСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

Формулирование критерия равномерного сходства

Рассмотрим также критерий равномерного сходства функций, а именно выполним минимизацию интеграла от квадрата их разности:

+

Г (а, А, а) = |(р (а, А, х)-g (а, х)) дх

0

ад

+ К g (а, х ))2 дх.

а

Эти интегралы допускают перегруппировку, в которой только один из двух интегралов играет роль для задачи минимизации:

а

Г (а, А, а) = Г р (а, А, х)( р (а, А, х )- 2g (а, х )) дх +

0

ад

+ К g (а, х ))2 дх.

0

Составим систему двух уравнений относительно параметров а, А :

dF (a, A, a)

dA

= 0,

dF ( a, A, a)

da

= 0.

(24)

(25)

Преобразование уравнения (24) По известным правилам вычисления производ-

ной от интеграла получаем

1+ A cos I ж

\

2a

aV2n

exp

' х2 ^

v 2ay

СОБ Ж

a

2a

dx = 0.

(26)

Преобразуем к виду двух отдельных интегралов:

а

AJ

СОБ

a

ж— I dx =

a

V2

л/ж

exp

Г х

a

2a2

СОБ

жХ I dx.

a I

Интеграл в левой части можно взять по известной формуле [11, с. 90], получается а/2.

Интеграл в правой части рассматриваем как функцию, вычисляемую численным интегрированием.

Обозначим:

u =

a

V2'

H ( z) = J exp (-zt2) cos (nt) dt.

0

Уравнение (24) приобретает вид:

A = ^Lh (u2). Ыж

Преобразование уравнения (25)

(27)

(28)

dF (a, A, a) , ч/ , ч , лЧ -^-- = p (a, A, a )( p (a, A, a )-2g (a, a )) +

+ 2 J dp ( a, A x ) (p (a, a, x) - g (a, x)) dx = 0;

'-J

1+ A cos I ж

a

2a

42ж

exp

' x2 >

a

v 2ay

A^^sin I ж^ I 1+ A cos (ж x a V a I V a

2a

2a

2

dx +

x

1

a

x

x

x

a

x

1

x

x

(

+

1 + Я cos I ж

2а

ехр

( а2 >

V 2С)

(

1 + Я cos | ж

2а

сл/2ж

ехр

( х2 ^

2с2

ехр

с

,2 ^

V 2с ))

= 0.

Во втором уравнении содержится левая часть первого уравнения (26), которая равна нулю, поэтому имеется возможность упрощения:

(

1 + Я cos | ж

\

2а

с42ж

ехр

' х2^

2с2

Яж

-эт| ж

дх +

(1 -Я)2 (1 -Я)

+-----1—т== ехр

а2

4а2

ас

42ж

2с2

=0

Преобразуем к виду трех отдельных интегралов:

х Яж—эт | ж х Iдх =

1 + Я соэ | ж

2а

\2

а 1

дх - [—1 {суП

42ж

ехр

х2

2с2

дх -

(1 -Я)2 (1 - Я) а х ' - + -—¡=^=- ехр

а2

4

с

42ж

2с2

Здесь просматривается "хвост" нормального распределения, который выходит за границу косинусного распределения, поэтому выполняем дальнейшее упрощение:

г

1 + Я соэ | ж

\

2а

42ж

ехр

х2

с

V 2^)

хЯжхэт | ж х Iдх =

, ч (1 -Я)2 (1 - Я) а = 1 - G (с, а-,— +кп2- ехр

а2

с

42ж

V 2^)

2

х

а

1

1

а

а

х

2

1

а

а

х

а

х

1

а

х

х

х

1

х

а

а

X

1

2

а

а

а

X

а

а

Оставшийся интеграл возьмем по частям:

-Я

У

1 + Я соэ | ж

2а

с42ж

ехр

( х2 >

V 2с)

х соэ | ж — а

+

(

и

+Я!

1 + Я соэ | ж

+Я!

2а

Яжэт | ж

с42ж

ехр

х2

V 2с')

соэ| ж— Iдх + а

2а2

а ) х

+—, ,— ехр

2

с

V 2*)

хсоэ| ж— Iдх: а

, ч (1 -Я)2 (1 - Я) а =1 -G а ехр

2

V 2^)

а

х

1

х

а

0

х

1

а

х

Первый из двух оставшихся интегралов кратен левой части первого уравнения (26), поэтому он равен нулю. Член с квадратной скобкой конкретизируем, освободим от скобки и перенесем в правую часть уравнения:

и

4

ажбш i ж

2а2

+

ехр

х2

V 2*,

хСОБ| Ж— |дх = а

, ч (1 -А)2 (1 - А) а = 1 -G(а,а-'-+у ^ ехр

а2

а

уЦж

V

- Аа

1 -А 2а

аУтЖж

ехр

( а2 V*

V 2а))

х

х

а

1

В правой части приводим подобные члены:

А/

Ажsin I ж

2а2

а) х

-+ „ ,—- ехр

( ^ \

а

'Ля

V

1 А2 1

= - +---егГ I

4 8 2 V а

+

л/2 ) Лж

ехр

2

2а2

Воспользуемся обозначением (27), а также обозначим функцию, вычисляемую численным интегрированием:

х хСОБI Ж— Iдх = а

1 G ( ) (1 -А)2 + а = 1 - G (а, а )--—-—-—I---г= ехр

4

а

Лж

( а^У

"2а2

А(1 -А)

2

В левой части интеграл разбиваем на два интеграла и применяем формулу синуса двойного угла, в правой части приводим подобные члены:

А

Ч/2Ж

а

ехр

( х х >

V

СОБ| ж— Iх2дх -

а )

А ж

4а2

/ sin I 2ж— I хдх =

3 А2 , ч а

= 4 + т- G (а а }+~ГГ

4 4 аы2ж

ехр

а2

V 2^)

По формуле, известной из [11, с. 84], получаем

А2ж а

4а2

/ sin I 2ж— I хдх

8

Вычисленный интеграл переносим в правую часть и приводим подобные члены:

Аа

3 1 ( „2 \

а3 Лж

/ ехр

2а2

СОБ

Ж)t2dt=

Т ( г ) = / ехр (-zt2) соб ж ) 12dt.

Уравнение (25) приобретает вид квадратного уравнения

А 2-А ^ Т (и2) +

■УЖ

+ 2 - 4егГ (и) + ехр (-и2 ) = 0.

\ Ж

(29)

Решение системы двух уравнений

Путем программирования получено следующее решение системы двух уравнений (28) и (29):

А = 0.857, и = 1.671;

а = 2.363а .

(30)

(31)

На рис. 2 представлены график функции нормального распределения (19) с параметром а = 1 и график функции косинусного распределения (15) с параметрами (30) и (31). Как видно, рассмотренный критерий обеспечивает весьма близкое сходство.

ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ДИСБАЛАНСА ДЛЯ КОСИНУСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Интеграл (12) для (14) после подстановки (15) и (17) приобретает вид:

а

х

х

2

t

0.4 0.38 0.36 0.34 0.32 0,3 0.28 0.26 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 Р g

0.08 0.06 0.040.02

x

Рис. 2. Сравнение косинусного распределения р с нормальным распределением я по критерию равномерного сходства

I ( a, L, N ) =

(N -1)!

f -Oí N -1'!

1 +1 + z + — Sin (n (t + z)) I =

V n

= 1 + z +1 (1 -

-1 + z +1 (1 - cos(nz))

+ i t + — sin (nt) I cos (nz) + — cos(nt) sin (nz). V n ) n

Это позволяет нам записать требуемый интеграл в следующем виде:

(N -1)! f

1 (z'N) = n!22N 1(1+ z)U + (1 - cos(nz)) V +

+ cos (nz) R + — sin (nz) S |.

n )

Здесь обозначены:

2 Л n

U = -f t + — sin (nt)J (1 + A cos (nt)) dt,

1- z f f — j 2 Jn

V = J | 1 -I t + — sin (nt )I (1 + A cos (nt)) tdt,

f f Wn f

. a . f nx^

a + x + A—sin n

2a

.a . I nx a - x -A—sin n

2a

1 + A cosI nx | a + x + L + A—sinI n(x

n V a

(x + L))

2a

2a

dx.

Обозначим г = Ь/а; / = х/а и перепишем предшествующее выражение в этих обозначениях (заметим, что, как и коэффициент эксцесса, функция дисбаланса зависит только от формы функции плотности вероятности, но не от ее ширины):

I ( z, N ) =

(N -1)!1-

n!2 2N J

1-

+1 + z + — s n

A

t H— sin (nt) n

A .

x(1 + A cos (nt ))| 1 +1 + z + — sin (n( t + z))

dt.

Выполним разложение синуса суммы и сформируем член, совпадающий с членом, имеющимся в основании степени подынтегрального выражения:

1-z I I A R = J | 1 -| t + — sin (nt)

2 лn

x(1 + A cos (nt ))| t + A sin (nt) | dt,

S = J 1 - t + —sin (nt)

-1V V n

(1 + A cos (nt)) cos (nt) dt.

х(1 +

Из этих четырех интегралов два интеграла можно взять легко:

U = У í-2-cn k=02k +1 n

t + A sin (nt)

n

r=¿ LiLc.*

k=0

2k + 2

t + A sin (nt)

n

2k+1

2 k +2

-1

1- z

Для двух других интегралов применяем способ 'по частям":

V = ¿

2k +1

A |2k+1

t H— sin (nt) | t V n

X

n

L

a

x

X

x

a

x

X

1

z

z

X

1- z

у (_0_с* Vi i + — sin (ni )| di;

h2k+1 -U n v ')

k=0 2k +1

(_l)k

k=0 2k +

i + — sin (ni) | cos (ni)

V n

1_ z

k 'n

+

+n£ ^Г+Т C- fl i + П sin (ni )l sin (ni) di.

Далее существует возможность в подынтегральных выражениях тоже выполнить биномиальное разложение, а затем для каждого получившегося произведения степеней от i и sin применить следующие формулы, известные из [14, с. 197, 198]:

f xn cos((2 m _ 2k) ax) dx; q _ Q]

г 2 (2m)! xn+1

f xn sin2max dx = ^——4-- +

J m!m!22m (n +1)

Í_1T T Mf (2m)! f x-

22m_1 f-0 ' k!(2m_k)!J

f xn sin2m+1 ax dx =

(_1)m- (_1)k(2m + 1)!f u ч ,

^T-Y^^-Иxn sin ((2m _ 2k +1)ax) dx;

22m hk!(2m +1 _k)!J VV ' '

n! xn

f xn sin (ax) dx = _T --——

j V 7 ti (n _k)!

fxn cos(ax)dx = T , n\ x J V 7 t0 (n _ k)!

cos

kn |

ax +--I;

V 2 J

r

sin

ax + -

v

kn 2

При нулевой степени переменной t требуется вычислять интеграл от степени синуса. В этом случае применяем известную формулу из [12], обеспечивающую понижение степени синуса в подынтегральном выражении:

f sinn (cx) dx =

srn-_4cx)cos(cx) + «_i fsm„ (cx)dx. nc n J

Формула справедлива при n > 0.

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ДИСБАЛАНСА ДЛЯ КОСИНУСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

На рис. 3 представлены графики функции дисбаланса для косинусного распределения при N = 8:

Q

Рис. 3. Линии дисбаланса для косинусного распределения.

N = 8; линии 1 для X = 1, 2 — X = 0.857, 3 — X = 0.872, 4 — X = 0

контр

Рис. 4. Линии дисбаланса относительно контрольной линии (нормальное распределение с а = 2.44а).

N = 8; L1 — соотношение (23); L2 — соотношение (31)

- верхняя линия 1 для А = 1;

- средняя линия является слиянием двух близких линий 2 и 3 для А = 0.857 и А = 0.872;

- нижняя линия 4 для А = 0.

Точность приближения дисбаланса для косинусного распределения к дисбалансу для нормального распределения целесообразно проанализировать на основе численного интегрирования формулы (2) с подстановкой формул (19) и (20). Сначала функция дисбаланса для нормального распределения была построена в двух вариантах горизонтального масштабирования:

z

1_ z

z

z

- линия L1 по соотношению (23),

- линия L2 по соотношению (31). Оказалось, что L1 проходит выше обеих линий

дисбаланса для косинусного распределения; L2 проходит ниже обеих линий дисбаланса для косинусного распределения.

Поэтому уместно взять усредненное соотношение a = 2.44с, при котором в качестве контрольной построена линия дисбаланса для нормального распределения. На рис. 4 представлены построенные линии дисбаланса относительно контрольной при N = 8.

ВЫВОДЫ

На практике, выполняя корректировку коэффициента чувствительности, целесообразно соблюдать некоторую постепенность, а не полностью брать величину, вычисленную с использованием математической модели, для которой имеется ряд допущений (достоверность контроля изотропности фона; единственность датчика, подверженного дрейфу; соответствие нормальному распределению). Поэтому правомерно сделать следующие выводы.

1. Представленные формулы и результаты вычислений дают зависимость дисбаланса от величины дрейфа одного измерителя в качестве основы для динамической корректировки коэффициентов чувствительности однотипных датчиков.

2. Полученные две линии дисбаланса для косинусного распределения вполне приемлемы в качестве приближений к линии дисбаланса для нормального распределения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тайманов Р.Е., Сапожникова К.В. Метрологический самоконтроль датчиков // Сборник трудов Второй российской конференции с международным участием "Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения (теория, методы, алгоритмы, исследования и разработки)" (УКИ-10). Секция 5: Датчики в системах управления, контроля и измерения. Москва, ИПУ РАН, 18-20 октября 2010. CD-ROM. ISBN 978-5-91450-061-7.

2. Dahir Insaat: Combat Robot (in Russian). URL: http://fullreels.com/en/video/UZbqsYYapW4/Dahir-Insaat-Combat-Robot-in-Russian (дата обращения 22.06.2016).

3. Власенко А.Н., Демченков В.П., Лапин О.Е., Лопо-та В.А., Никуленков К.П., Шелепков Е.А., Юдин В.И. Устройство для измерения потоков фотонного излучения. Патент РФ на изобретение № 2299450. При-

оритет 20.05.2007.

4. Измеритель мощности дозы и дифференциальных потоков гамма-излучения ИМД-24. URL: http:// www.rtc.ru/index.php/ru/sredstva-radiatsionnogo-kontrolya/imd-24 (дата обращения 22.06.2016).

5. Аркадьев В.Б., Голубева О.А., Ильин А.С., Лапин О.Е. Особенности программного обеспечения измерителя мощности дозы и дифференциальных потоков гамма-излучения // Сайт "Российское атомное сообщество". Презентации: 28 февраля 2011. URL: http://www.atomic-energy.ru/presentations/19074 (дата обращения 22.06.2016).

6. НПФ "Консенсус". Каталог счетчиков регистрации излучений. URL: http://consensus-group.ru/katalog (дата обращения 22.06.2016).

7. Бойко А.Ю., Васильев А.В. Мобильный многоцелевой робототехнический комплекс // Труды Международной научно-технической конференции "Экстремальная робототехника", 1-2 октября 2014 г., Санкт-Петербург, ЦНИИ РТК. С. 46-49.

8. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 336 с.

9. Гильбо Е.П., Челпанов И.Б. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора (мажоритарное и близкие к нему преобразования). М.: Советское радио, 1976. 344 с.

10. Ильин А.С. Свойства медианы с учетом дрейфа одного из группы измерителей (на примере равномерного распределения) // Научное приборостроение. 2016. Т. 26, № 2. С. 93-100. URL: http://213.170.69.26/ mag/2016/fuU2/Art12.pdf.

11. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Пер. с англ. Издание четвертое. М.: Наука, 1973. 228 с.

12. Список интегралов от тригонометрических функций // Сайт "Википедия". URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Спиок_интегралов_от_тригонометрических_функций (дата обращения 22.06.2016).

13. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. Санкт-Петербург: Наука, 2001. 296 с.

14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (5-е издание). М.: Наука, 1971. 1108 с.

Центральный научно-исследовательский и опытно-конструкторский институт робототехники и технической кибернетики, г. Санкт-Петербург

Контакты: Ильин Анатолий Степанович, TOLY@RTC.RU

Материал поступил в редакцию: 21.06.2016

ISSN 0868-5886

NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2016, Vol. 26, No. 3, pp. 83-94

BASES OF DYNAMIC CORRECTION OF SENSITIVITY COEFFICIENTS OF GROUP OF THE SAME SENSORS (ON THE EXAMPLE OF COSINE DISTRIBUTION LAW)

A. S. Ilyin

State Scientific Center for Robotics and Technical Cybernetics, Saint-Petersburg, Russia

It is supposed that at an operational phase there is an opportunity to perform measurement of an isotropic background. Carrying out sorting of the measured values in group of the same sensors, in case of similarity of their sensitivity we receive for each sensor a uniform picture of distribution on positions of the sorted list. In case of sensitivity drift of one sensor there is an imbalance: the measured values from this sensor appear in one half more often than in another. Formulas and results of calculations establishing dependence of an imbalance on the size of drift of one sensor as a basis for dynamic correction of coefficients of sensitivity of the same sensors are presented. Similarity of result for the even number of sensors and bigger odd is proved. As an example cosine distribution of the measured random variable is considered. A choice of parameters of this distribution by some criteria of likeness to normal distribution is made.

Keywords: intelligent sensors, sensitivity drift, adjustment, accuracy, survivability, self-restoration

REFERENСES

1. Tajmanov R.E., Sapozhnikova K.V. [Metrological self-checking of sensors]. Sbornik trudov Vtoroj rossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem "Tehnicheskie i programmnye sredstva sistem upravlenija, kontrolja i iz-merenija (teorija, metody, algoritmy, issledovanija i ra-zrabotki) ", Sekcija 5: Datchiki v sistemah upravlenija, kontrolja i izmerenija [Proceedings of the Second Russian conference with the international participation "Technical and software of control systems, control and measurement (the theory, methods, algorithms, researches and development", Section 5: Sensors in control and measurement systems]. Moscow, IPU RAN, October 18-20, 2010. CD-ROM. ISBN 978-5-91450-061-7 (In Russ.).

2. Dahir Insaat: Combat Robot. URL: http://fullreels.com/ en/video/UZbqsYYapW4/Dahir-Insaat-Combat-Robot-in-Russian (Accessed 22.06.2016) (In Russ.).

3. Vlasenko A.N., Demchenkov V.P., Lapin O.E., Lopo-ta V.A., Nikulenkov K.P., Shelepkov E.A., Judin V.I. Ustrojstvo dlja izmerenija potokov fotonnogo izluchenija [The device for measurement of streams of photon radiation]. Patent RF no. 2299450, prioritet 20.05.2007 (In Russ).

4. Izmeritel' moschnosti dozy i differenzial'nych potokov gamma-izlucheniya IMD-24 [Measuring instrument of power of a dose and differential streams of gamma radiation IMD-24. URL: http://www.rtc.ru/index.php/ru/ sredstva-radiatsionnogo-kontrolya/imd-24 (Accessed 22.06.2016) (In Russ.).

5. Arkad'ev V.B., Golubeva O.A., Ilyin A.S., Lapin O.E. [Features of the software of the measuring instrument of power of a dose and differential streams of gamma radiation]. Rossiyskoe atomnoe soobschestvo. Prezentazii [The Russian nuclear community. Presentations], 2011, Feb. 28. URL: http://www.atomic-energy.ru/presentations/

19074 (Accessed 22.06.2016) (In Russ.).

6. NPF "Konsensus". Katalog schetchikov registracii izlu-chenij [Catalog of counters of registration of radiations]. URL: http://consensus-group.ru/katalog. (Accessed 22.06.2016) (In Russ.).

7. Boyko A.Yu., Vasiliev A.V. [Multi-purpose mobile robotic complex]. Trudy Mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii "Ekstremal'naya robototekhni-ka" [Proceedings of the International Scientific and Technological Conference "Exteme robotics"], State Scientific Center for Robotics and Technical Cybernetics, October 1-2, 2014, Saint-Petersburg, Russia, pp. 46-49 (In Russ.).

8. David H., Nagaraja H. Order statistics. 3rd ed., Wiley, 2003. (Russ. ed.: Dehjvid G. Porjadkovye statistiki. Moscow: Glavnaja redakcija fiziko-matematicheskoj literatury Publ., 1979. 336 p.). Doi: 10.1002/0471722162.

9. Gil'bo E.P., Chelpanov I.B. Obrabotka signalov na os-nove uporjadochennogo vybora (mazhoritarnoe i blizkie k nemu preobrazovanija) [Processing of signals on the basis of the ordered choice (majority and other transformations)]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1976. 344 p. (In Russ).

10. Ilyin A.S. [Properties of median under drift of one of group of measuring instruments (on the example of uniform distribution)]. Nauchnoe priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2016, vol. 26, no. 2, pp. 93-100. Doi: 10.18358/np-26-2-i93100.

11. Dwight H.B. Tables of integrals and other mathematical data. New York, The Macmillan company Publ., 1961. (Russ. ed.: Dvajt G.B. Tablicy integralov i drugie mate-maticheskie formuly. Moscow, Nauka Publ., 1973. 228 p.).

12. List of integrals of trigonometric functions. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_ trigonometric_functions (Accessed 22.06.2016).

13. Vadzinsky R.N. Spravochnikpo verojatnostnym rasprede-

lenijam [Reference book on probabilistic distributions]. St. Petersburg, Nauka Publ., 2001. 296 p. (In Russ.). 14. Gradshtejn I.S., Ryzhik I.M. Tablicy integralov, summ, rjadov i proizvedenij [Tables of integrals, sums and se-

rieses] (5th edition). Moscow, Nauka Publ., 1971. 1108 p. (In Russ.).

Contacts: Ilyin Anatoliy Stepanovich, TOLY@RTC.RU

Article received in edition: 21.06.2016