Основные характеристики электромагнитной системы двухкоординатного датчика Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 53.084.2

В. Я. Горячев, М. В. Комаров, Ю. К. Чапчиков, Ю. А. Шатова

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХКООРДИНАТНОГО ДАТЧИКА

Аннотация. Описан принцип построения электромагнитной системы двухкоординатного датчика для измерения величины и направления смещения вала. Получены математические зависимости индуктивностей обмоток двухкоординатного датчика.

Ключевые слова: двухкоординатный датчик, пространственный угол, индуктивности обмоток, компьютерное моделирование.

Abstract. The article describes a construction principle of the electromagnetic system of the two-coordinate detector for shaft misalignment magnitude and direction measurements. The authors have obtained mathematical dependences of two-coordinate detector winding inductances.

Key words: two-coordinate detector, solid angle, winding inductances, computer simulation.

Введение

Как правило, проблема измерения биений валов решается путем использования двух датчиков, измеряющих перемещение вала в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Такая же задача решается достаточно просто путем использования одного датчика биений вала с бегущим магнитным полем.

Статические и динамические характеристики датчика биений валов в основном определяют статические и динамические характеристики информационно-измерительной системы (ИИС), элементом которой он и является. Передаточная функция ИИС, кроме элементов блоков обработки сигналов, содержит электрические параметры электромагнитной системы (ЭМС) датчика биений, поэтому задача получения аналитических выражений для индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток является первым шагом на пути определения функции преобразования, или передаточной функции ИИС. Поэтому целью настоящей работы является получение аналитических выражений для определения электрических параметров электромагнитной системы двухкоординатного датчика.

1. Принцип построения электромагнитной системы датчика

Датчик биений вала состоит из статора датчика угловых перемещений с синусной, косинусной и равномерной обмотками. Электрическая схема замещения датчика представлена на рис. 1.

Rs

Рис. І. Схема замещения датчика

Источник питания равномерной обмотки представлен источником ЭДС E. Равномерная обмотка представлена на схеме активным сопротивлением Rr и индуктивностью Lr . Синусная и косинусная обмотки представлены

сопротивлениями и индуктивностями Rs , Ls , Rc и Lc соответственно. Все обмотки связаны взаимными индуктивностями Mrs , Mrc и Msc . Конкретные значения индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток зависят от неравномерности воздушного зазора.

Роль магнитного шунта выполняет вал, положение которого относительно статора и определяет датчик. Между поверхностями статора и вала имеется воздушный зазор, величина которого определяется радиальным смещением вала (рис. 2).

Рис. 2. Магнитная система двухкоординатного датчика в поперечном сечении

При отсутствии внутреннего магнитопровода выходное напряжение такого датчика будет равно нулю. Если вал расположить так, что величина зазора 5 не будет зависеть от пространственного угла а, то однородность магнитопровода не нарушится и выходное напряжение останется равным нулю. Предположим, что ось цилиндра сместилась относительно оси датчика на величину Д5 в направлении, составляющем с вертикальной осью угол в. Смещение ротора приведет к перераспределению удельного магнитного потока

в зазоре магнитной системы датчика. Под удельным магнитным потоком подразумевается величина магнитного потока единицы длины средней линии воздушного зазора. Удельный магнитный поток будет иметь максимальное значение при минимальном зазоре. С противоположной стороны магнито-провода магнитный поток уменьшится. Это приведет к появлению выходного напряжения датчика. При малых смещениях подвижной части датчика амплитуда выходного напряжения будет пропорциональна смещению Д8, а начальная фаза, или фазовый сдвиг выходного напряжения относительно опорного, покажет направление смещения вала в [1]. Фазовый сдвиг может иметь значение от 0 до 2п рад. Величина перемещений, при которых сохраняется пропорциональная зависимость между смещением и напряжением, зависит от среднего значения зазора 5о .

Магнитное поле датчика образовано обмотками с токами, расположенными на поверхности внешнего цилиндра перпендикулярно образующей внутренней поверхности статора, и магнитные силовые линии магнитного поля проходят так, как показано на рис. 3.

5

Рис. 3. Электромагнитная система двухкоординатного датчика в продольном сечении

Для вычисления магнитного потока, образованного обмоткой, необходимо знать закон изменения воздушного зазора в зависимости от пространственного угла а при смещении вала (см. рис. 2).

Зависимость длины зазора от пространственного угла а и направления смещения вала выражается следующей формулой [1]:

д?2

5(а) = (R1 - R2) 1-------2 sin2 (а-р)-Д6<^ (а-Р), (1)

\ (l + «2 )2

где 5 - длина зазора; а - текущее значение пространственного угла; Ri и

«2 - радиусы внутренней поверхности статора и вала соответственно; Д5 -

смещение вала; в - направление смещения вала.

При смещениях вала, составляющих в реальных условиях десятые доли

22

миллиметра и радиусах, равных десяткам миллиметров, Д5 <<(1 + «2) , вторым слагаемым под корнем (1) можно пренебречь, тогда 5(а) = (R1 -R2)-Д5cos(а-Р). Обозначив R1 -R2 =50, получим уравнение зависимости величины зазора от пространственного угла а :

5(a) = 50 -А5cos(a-P),

в этом выражении всегда А5 < 5о .

Основное сопротивление магнитному потоку, созданному намагничивающей силой, представляет воздушный зазор. Для определения закона распределения магнитного потока по зазору вводится понятие удельного магнитного сопротивления, равного магнитному сопротивлению системы на единицу длины средней линии воздушного зазора. Далее анализ работы датчика производится по методике анализа датчика линейных перемещений [1, 2].

2. Определение параметров схемы замещения датчика

Входной величиной датчика является смещение вала А5 и направление смещения в, а выходной величиной - амплитуда и фаза выходного сигнала. Для анализа работы датчика и его передаточной функции необходимо вычисление индуктивностей его обмоток.

В общем виде индуктивность равномерной обмотки определяется из следующего выражения [3]:

2п 2п

Lr = W2 j 1 M da = WR R j - 4°h

-d a,

0 — 1М + 8(а) о — 1М + [50 - А5со8(а - в)]

(X (X

где 1м - длина средней магнитной линии по магнитному материалу; Н - шик Щ + ^2 й

рина магнитопровода; к =------ - радиус средней линии магнитопровода;

Ищ - количество витков равномерной обмотки; —о - магнитная проницаемость вакуума; — - относительная магнитная проницаемость магнитного материала.

В последующих формулах Жт - максимальное количество витков синусной и косинусной обмотки.

Индуктивность синусной обмотки:

Ь = жт к ^-------—а*™2»----------„ а.

о — М + [0 -А5 С08(а-Р)]

—

Индуктивность косинусной обмотки:

ьс = жт к { ----—---------------а а.

о — М + [0 -А6С08(а-Р)]

—

Взаимная индуктивность синусной и равномерной обмотки:

2п , .

мж = ида/^^--------------------------а».

0 — 1М +[0 -А5 С08(а-Р)]

Взаимная индуктивность косинусной и равномерной обмотки:

2п ,

,, п г —0hcosа 7

Мс^ = WmWRR J 1-----------0--------------da •

о — lM + [0 - AScos(a-P)]

Hi

Взаимная индуктивность косинусной и синусной обмотки:

2п ,

us —0h cos a sin a

Mas = W2 R I -I-----------------------d a •

о — lM +[0 - AScos(a-P)]

—

Все перечисленные выражения могут быть записаны в более простой форме после интегрирования по одинаковому алгоритму. Упростим подынтегральные выражения в каждой из формул:

cos(a - в) = cos a • cos в + sin a • sin в, после чего знаменатели подынтегральных выражений преобразуются к виду

—М +§0 -AScosacosв-ASsinasinв .

—

Введем следующие замены переменных:

1) величину m =+ S0 ;

—

2) расстояние k = AS ;

3) n = k cos в ;

4) l = k sin в •

Для интегрирования выражений воспользуемся универсальной триго-

2

u a . 2t 1 -1

нометрической заменой. Пусть tg— = t, тогда sin a =--------—, cos a =

2 l +12 ’ l +12 ’

2

da =------------2 dt. На начальном этапе будем считать эти интегралы неопреде-

l +12 ленными.

После ряда упрощений выражение для индуктивности равномерной

обмотки Lr = wR R—ов f------------ -------- преобразуется к виду

J m - n cos a-1 cos a

2a dt

Lr = wR R—о -0- f

m 4-w J

т + ^ 2 _ 211 + т - п т + п т + п

Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат разности:

2 .. Л _ 2 .. Л

т +п ?2 2^ + т _п т +п Г I Л2 т _ п ( I Л1'

т+п т+п ^_т+пJ + т+п~[т+п

Так как dt = d I t -

в виде

m + n

, то полученное выражение можно записать

t --

m + n

m + n ■

(2)

t-

m + n

m + n

m - n m + n

Данное выражение можно проинтегрировать, используя табличный интеграл следующего типа:

dx

2 2 а + x

1 x

—arctg— + c,

а а

1x —arcctg— + c,

а а

если принять в данной формуле x = I t

m + n

а = „

m + n

m - n

m + n

a

Отсюда с учетом сделанной ранее подстановки — = t выражение (2) преобразуется к виду

LR =

г • arctg

m + n

m - n m + n

tg

l

a

2 m + n

l

m + n

m - n m + n

+ c .

Таким образом, учитывая введенные ранее замены (m = Iм + Sq,

Ё

k = Д5, n = k cos в и l = k sin в), можем вычислить индуктивность равномерной обмотки датчика. Построив графическую зависимость индуктивности равномерной обмотки от величины и направления смещения оси вала, получим поверхность, изображенную на рис. 4.

График построен путем моделирования датчика в среде MatLAB. Проведем аналогичные вычисления и найдем выражение для индуктивности синусной обмотки датчика, используя ранее принятые обозначения:

L,

= 2!

(2 + lj (m + n)t2 - 2lt + m - n)

Разложим правильную рациональную дробь, представляющую собой подынтегральное выражение, на сумму простейших рациональных дробей:

2

4Г

2

(2 +1) (т + п )2 - И + т - п)

4У + 5 СУ + В

“2------------------------------+-“ +

У2 +

1 (2 +1) ( + п) - НУ + т -п

где 4,5, С, В, Е, ^ - некоторые коэффициенты, действительные числа.

(3)

Рис. 4. Индуктивность равномерно распределенной обмотки

В выражении (3) представление последней дроби в сумме правомерно, так как дискриминант равен

В = 4/2 - 4(т + п)(т - п) = 4/2 - 4т2 + 4п2 =

= 4*(А6)2 • бш2в-4

М_

Ц

+ 6,

+ 4 (А6) • соб2 в =

4 • (А6)2 • (п2 в + соб2 в) - 4

1М

Ц

+6

= 4 (А6)2-4

М

Ц

+6

Так как А6 < 60, то В < 0.

Для их определения можно составить систему уравнений с условием равенства коэффициентов перед У и решить ее методом Гаусса, но вычисления в этом случае являются очень громоздкими, поэтому не будут здесь рассмотрены. Используем другой способ и проинтегрируем каждое из слагаемых (3)отдельно.

Выделив производную от знаменателя в числителе подынтегрального Лг + В

г лг + в выражения I ---------

•' г2 +1

Шг, получим:

г +1 Лг + В , Л г 2г

г + Ьс Л гШ (г2 +1) Шг =— — Шг + В 1 л • агйе г\ = —

и2 +1 2 г2 +1 2

1+(. 2 )2 + В агс^ ^ -2 ^ = -Л 1п ■* (• ! )2

1 + г2

+

+В агс£| -2 '1 = Л 1п

Аналогичные вычисления проведем со вторым слагаемым: Сг + И , С

+ В “ + С.

2

I

г2 +1)2 2 (1 + ( (а/2 ))2

+ И

г2 +1

2 '

г2 +1

Для нахождения интеграла И| Ш

формулу: если 1п = | Ш

используем рекуррентную

г, а = соп81;, то

1п =-

2п — 3 т

+ — ---------------1 п—1.

2а2 (п — 1)(а2 + г2 )П—1 2а2 (п — ^

То есть:

И

= И

г2 +1

г1

2 (г2 +]

1 г Ш

1) 21 г2 +1

1 1 г 1

= И ~г2—г+т агс§г 2 (г2 +1) 2

+ С,

поэтому

С

Сг + И

г2 +1)2 2 (1 + ((а/2 ))2

+ И

( 1 (а/2) а

КГ) + 4

Рассмотрим третье слагаемое в выражении (3):

Ег + Е

I

(т + п )г2 — 21г + т — п

-Шг.

В числителе подынтегрального выражения выделим производную от знаменателя и после ряда преобразований получим

I

1Е т + п

21 т — п

---------г +-------------

1Е т + п

т + п т + п

(

/

- • агс*8

т — п

т + п

(т + п)

г

т + п

т — п

т + п

(т + п)

а

Учитывая сделанную ранее подстановку <8— = г, получим выражение для определения индуктивности синусной обмотки:

Л 1п

2

1+1 <8 7

+В а—

2 (

С

+

+И

а

<82

(

2

V V

+

т + п

-х

Е 1п

2

а 1 2/ а т — п

<8— |------—18- + ——

2 I т + п 2 т + п

+

+-

/Е т + п

• агс<8-

а /

<8т —+“

2 т + п

т — п

т + п

(т + п)

т — п

/2

т + п

(т + п)

+ С .

Построив графическую зависимость индуктивности синусной обмотки от величины и направления смещения оси вала, получим поверхность, изображенную на рис. 5.

Проведем аналогичные вычисления и найдем выражение для индуктивности косинусной обмотки датчика. Так как ход вычислений аналогичен предыдущему случаю, опустим промежуточные результаты и запишем окончательное выражение для определения индуктивности косинусной обмотки датчика:

Л 1п

2

1 I . а 1 + 1* -

С

+

+Б

\

2

V V

1 I . а 1 + 1'81

т + п

х

Е ш 2

а 1 21 а т - п

*6^ I----------—^

2 ) т + п 2 т + п

1Е

т + п

т - п

агад

а I

—7“ 2 т + п

т + п

(т + п )

т - п

т + п

+ С

Смещение, х10 2, мм Направление смешения вала, х 10, град

Рис. 5. Индуктивность синусной обмотки

Выражение аналогично представленному выше, однако при подстановке числовых значений оно приобретет другой вид.

На рис. 6 изображена поверхность, отражающая зависимость индуктивности косинусной обмотки от величины и направления смещения вала относительно статора датчика.

Графики зависимости индуктивности синусной и косинусной обмоток (рис. 5, 6) при изменении смещения вала показывают, что при малых смещениях изменения индуктивности практически пропорциональны смещению вала. Это объясняется тем, что величина воздушного зазора относительно велика и полное магнитное сопротивление практически определяется только его сопротивлением.

При больших смещениях индуктивность резко возрастает, если направление смещения соответствует углам максимальной плотности витков синусной или косинусной обмотки.

60 зо

40

20 10 0 О

Смещение вала, х10 2, мм Направление смещения вала,

Рис. 6. Индуктивность косинусной обмотки

Определим взаимную индуктивность косинусной и синусной обмоток. Применив описанный ранее алгоритм вычислений, получим

Мет =

1 1п

2

с

л і а 1 + 1 18 -2

+Б

(

2

V V

а

182

а

1+| '8 і

т + п

Е іп 2

2 1 21

2 ] т + п

2 т - п

2 т + п

1Е

т + п

т - п

т + п

аг^*

2 I

1еТ-------7“

2 т + п

т - п

т + п

+ С.

Построив графическую зависимость взаимной индуктивности косинусной и синусной обмоток от величины и направления смещения оси вала, получим поверхность, изображенную на рис. 7. Как и в предыдущем случае, при малых смещениях вала взаимная индуктивность синусной и косинусной обмоток изменяется незначительно.

Смещение вала, х10"2, мм Направление смещения вала, х!0, град.

Рис. 7. Взаимная индуктивность косинусной и синусной обмоток

При значительных смещениях вала, практически равных длине воздушного зазора, наблюдается резкое изменение взаимной индуктивности, так как именно длина воздушного зазора определяет значение магнитного сопротивления магнитопровода. Следует отметить, что абсолютное значение взаимной индуктивности изменяется в функции пространственного угла по закону синуса двойного угла. Это объясняется тем, что взаимная индуктивность пропорциональна произведению количества витков синусной и косинусной обмоток, а косинусная обмотка повторяет синусную обмотку со сдвигом в пространстве на 90 град.

Взаимная индуктивность косинусной и равномерной обмоток (рис. 8) двухкоординатного датчика определяется по формуле

2ЖтЖкЯИ^о

п2 +12

' 1п tg2 а+1 і ( 1п

2 2 2 V

/ \ 2 а а

[т + п )• tg — - 21 • tg— + т — )

2па

+

2тп I (т + п)

а

I

• аг^ -

2 т + п

т - п

т - п

I

+ С.

Взаимная индуктивность синусной и равномерной обмоток (рис. 9) двухкоординатного датчика определяется по формуле

1п

+

+-

21т

т - п ( I

т + п V т + п

■ ■ агС^ -

п2 +12

а I 2 т + п

т - п ( I

( / 2 1 \

1п ( а +1 а

1 + - &

V 2 П 2

V

+ С.

Направление смещения вала, х10, град.

Рис. 8. Взаимная индуктивность косинусной и равномерной обмоток

Заключение

Анализируя зависимости индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток ЭМС от величины и направления смещения вала, можно сделать вывод о том, что индуктивности и взаимные индуктивности ЭМС датчика биений вала изменяются незначительно при смещениях, равных примерно половине длины воздушного зазора. Для датчиков биений это соотношение и определяет рабочую область ИИС.

В данной статье получены формулы для нахождения собственных и взаимных индуктивностей обмоток двухкоординатного датчика, которые в дальнейшем используются для записи его передаточной функции. Необходимо отметить, что выражения для нахождения электрических параметров датчика биений вала достаточно сложные. Это указывает на то, что при усложнении выражений, определяющих зависимость электрических парамет-

ров от геометрических размеров элементов датчика, возникает необходимость математического компьютерного моделирования электромагнитных систем. Однако использование математических моделей упрощает анализ статических характеристик ИИС. Разработка математических моделей, которые бы позволили анализировать динамические свойства ИИС, является более сложной, но разрешимой проблемой.

о о

Смещение вала, х10 2, мм Направление смещения вала, х10, град.

Рис. 9. Взаимная индуктивность синусной и равномерной обмоток Список литературы

1. Горячев, В. Я. Фазовые датчики механических величин с бегущим магнитным полем / В. Я. Горячев. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - 304 с.

2. Горячев, В. Я. Математические основы моделирования фазовых датчиков / В. Я. Горячев, М. В. Комаров, Ю. А. Шатова // Информационно-измерительная техника : межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 36. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. - С. 43-52.

3. Горячев, В. Я. Двухкоординатный датчик ускорений / В. Я. Горячев, А. В. Савин, Ю. А. Шатова, А. А. Кривощапов // Надежность и качество - 2010 : материалы Междунар. симпозиума. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - С. 446-448.

4. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А. А. Дадаян. - М. : ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003. - 552 с.

5. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. - М. : Наука, 1967. - 736 с.

Горячев Владимир Яковлевич

доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой автоматизированных электроэнергетических систем, Пензенский государственный университет

Goryachev Vladimir Yakovlevich Doctor of engineering sciences, associate professor, head of sub-department of automated electrical power systems, Penza State University

E-maiL aees.psu@yandex.ru

Комаров Михаил Владимирович аспирант, Пензенский государственный университет

Komarov Mikhail Vladimirovich Postgraduate student,

Penza State University

E-maiL aees.psu@yandex.ru

Чапчиков Юрий Константинович

кандидат технических наук, доцент,

Chapchikov Yury Konstantinovich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department

кафедра автоматизированных электроэнергетических систем, Пензенский государственный университет

of automated electrical power systems, Penza State University

E-maiL aees.psu@yandex.ru

Шатова Юлия Анатольевна

кандидат технических наук, доцент,

Shatova Yuliya Anatolyevna Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automated electrical power systems, Penza State University

кафедра автоматизированных электроэнергетических систем, Пензенский государственный

университет

E-maiL aees.psu@yandex.ru

УДК 53.084.2 Горячев, В. Я.

Основные характеристики электромагнитной системы двухкоординатного датчика / В. Я. Горячев, М. В. Комаров, Ю. К. Чапчиков, Ю. А. Шатова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 82-96.