CC BY
20
Пусть испытываются на безотказность п однотипных объектов, из которых к объектов отказали в течение времени Обозначим через т^ безотказную наработку 1-го отказавшего объекта, (¿ = 1,2, ...&). Тогда точечной оценкой показателя /({), согласно (1), можно взять следующую величину:
+ («-£){), (4)
а в качестве точечной оценки показателя 7({), согласно (2) и (4), величину:
Ш^Яие-т,). (5)
Заметим, что в оценках (4) и (5) величины к и Т[. (¿ = 1,2, ...&) случайные. Поэтому возникает вопрос: имеется ли смещение этих оценок относительно истинных значений показателей /({) и /({)? В связи с этим нами доказаны следующие формулы:
где /0 - заданное
значение,
(0 < /0 < 1) . Тогда
Е
(Ш) = f(t); Я(Ш) = Д0,
откуда следует, что у оценок (4) и (5) отсутствуют смещения. Кроме того, нами доказано, что оценки (4) и (5) состоятельны.
Определение минимального количества объектов, необходимого для проведения испытаний
При малых объемах выборки п однотипных объектов из генеральной совокупности степень доверия к точечным оценкам (4) и (5) крайне низка. Поэтому нами установлены нижняя доверительная граница (НДГ) для показателя СДВР объекта и верхняя доверительная граница (ВДГ) для показателя СДНР объекта при заданной доверительной вероятности р (0 < р < 1) [4]:
ш = ш -ш=ш+
ln(l-p)
-ln(1-p)
(6)
(7)
Решая уравнение (6) относительно п, найдем: — ln(1 — р)
¡(Ш-ио)2
(8)
откуда, с учетом того, что /„({) < 1, получим:
-1п(1-р) П>--Т2.
2(1-/п(0)
Пусть НДГ показателя СДВР объекта в течение времени удовлетворяет условию:
0>/о, (9)
оценка (8) принимает следующий вид:
п >
-ln(l-p) 2(1-о)2 '
(10)
ми-при
Откуда найдем следующую формулу для п0 -нимального количества однотипных объектов проведении испытаний:
{2(П(1/ у , если правая часть (10) — целое число;
[га*! )Р;)] + 1, если правая часть (10) — нецелое число,
° (11) где [•] - целая часть выражения, заключенного внутри квадратных скобок. Рассуждая аналогичным образом, из формулы (7) найдем: — 1п(1 —р)
2 (/„(t) — £(t)
откуда получим:
п >
-ln(1-p)
(12)
Пусть ВДГ показателя СДНР объекта в течение времени t удовлетворяет следующей оценке:
Ш<А0, (13)
где
/о = 1 — /0'
Тогда оценка (12) примет следующий вид: — ln(1 —р)
(14)
п > -
—2
2/о
Откуда вновь найдем формулу (11) другим способом при условии (13) с учетом (14).
Пример. Пусть оценка ВДГ показателя СДНР объекта при доверительной вероятности р = 0,865 равна . Найти минимальный объем выборки объектов из исходной генеральной совокупности для проведения испытаний.
Решение. Согласно (11), имеем: — 1п(1 — 0,865)
"= 2(1— /о)2 =9,
где
^о = 2/з.
Заметим, что получим то же решение, если условие примера заменим на следующее условие:
«Пусть НДГ показателя СДНР объекта при дове-ероятности р = 0,865 равна 2/д, т.е. /0 =
рительной /3
2/з->
ЛИТЕРАТУРА
1. ГОСТ Р 27.002-2009. Надежность в технике. Термины и определения. М.: Стандартинформ, 2011.
2. Садыхов Г.С., Савченко В.П. Средняя доля остаточного ресурса и ее непараметрические оценки // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: Вычислительный центр РАН, 1999. Вып.1.
3. Sadykhov G.S. Tecnical condition control calculation for hazardous industrial facilities // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, July 2014, Vol.43, Issue 4, pp. 327-332.
4. .Sadykhov G.S.r Babaev I.A. Computations of the Least Number of Objects Necessary for the Cyclical Reliability Testing // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016. V.45. No. 3. P.239-246.
5. Садыхова Л.Г., Назаренко Д.Б., Бабаев И.А. Определение минимального количества объектов, необходимого для проведения выборочного эксперимента // Труды института системного анализа РАН, 2012. Вып.4. с. 23-27.
6. IEEE 762-2006. Standard Definitions for Use in Reporting Electric Generating Unit Reliability, Availability and Productivity, 2007. 66p.
7. IEC 61703:2001. Mathematical Expessions for Reliability, Availability, Maintainability and Mainterance Support Terms. International Electrotechical Comission, 2001.103p.
УДК 658.512.2.011.56
Саушев А.В., Бова Е.В., Гаспарян К.К.
ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова», Санкт-Петербург, Россия
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО КРИТЕРИЮ ЗАПАСА РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Сформулирована постановка задачи параметрического синтеза электротехнических систем (ЭТС) с позиций теории управления. Показано, что многие ЭТС можно представить в виде систем автоматического управления, состоящих из охваченного обратной связью объекта управления, в которую включено управляющее устройство. Показано, что для решения задачи параметрического синтеза по критерию запаса работоспособности требуется информация о границе области работоспособности системы. Предложены способы параметрического синтеза, предполагающие известной информацию о законах изменения параметров комплектующих элементов системы. Для случая, когда закон распределения является нормальным, разработан алгоритм решения, основанный на методе критических сечений. Для произвольного случая предложена процедура разложения плотности распределения параметров в ряд Эджворта. Получены оптимальные, по критерию запаса работоспособности, оценки значений параметров элементов ЭТС. Ключевые слова:
параметрический синтез, управление, электротехническая система, статистические методы
2
п
Введение. Проектирование электротехнических систем (ЭТС) на этапе параметрического синтеза сводится к решению двух основных задач - определению номинальных значений внутренних параметров системы и допустимых пределов их изменения. Внутренние параметры - это параметры элементов ЭТС, которые характеризуют состояние и свойства самой системы. Они определяют вектор X управляемых (варьируемых) параметров, которые часто называют первичными параметрами. Математическая функциональная модель ЭТС представляет собой алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах внутренних параметров X и внешних параметров V. Внешние параметры характеризуют свойства внешней по отношению к ЭТС среды и оказывают влияние на ее функционирование. Выходные параметры характеризуют свойства ЭТС, интересующие потребителя. Они представляют собой параметры-функционалы, т.е. функциональные зависимости фазовых переменных и параметры, являющиеся граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность ЭТС. К выходным параметрам на стадии параметрического синтеза относятся показатели назначения, параметрической надежности и экономичности [1, 2].
Показателем параметрической надежности при ограниченных статистических данных о законах распределения внутренних параметров ЭТС во времени является запас работоспособности [1, 3]. Область работоспособности С = ОуГ|М1- определяется условиями работоспособности ЭТС, которые в общем случае имеют вид:
Y. < Y. = F.(X) < Y. , j = 1,m; X ■ < X. < X.
j mm j J^ ' j max'^ ' ' i mm i i m
,i = 1,n (1)
^ ^ ^ J max '
минимально
- соответственно максимально и
J mm допустимые Y, ; F
значения
параметра yj ; f - оператор, связь между параметрами X и Y;
j-го выходного устанавливающий
, "I - до-
пусковые области, определяемые соответственно первым и вторым неравенствами (1).
Постановка задачи. В общем случае задача параметрического синтеза любой ЭТС может быть рассмотрена с позиций управления или адаптации. Как отмечается в работе [1] многие ЭТС можно представить в виде САУ, состоящей из охваченного обратной связью объекта управления (ОУ), в которую включено управляющее устройство (УУ) . Входными сигналами ОУ являются управляющие воздействия от УУ и воздействия V окружающей среды, а входными сигналами УУ являются: цель управления, состояние ОУ и воздействия окружающей среды. Система параметрического синтеза ЭТС также может быть представлена в виде системы управления некоторым объектом (рисунок). Здесь ОУ является совокупность двух блоков - блок внутренних параметров ЭТС и собственно сама система или ее модель. Такое представление ОУ подчеркивает специфику рассматриваемой задачи, указывая на управляемые в процессе синтеза первичные параметры системы.
Рисунок - Блок-схема системы параметрического синтеза ЭТС
В качестве модели ЭТС при решении задачи синтеза на ЭВМ выступает блок анализа, т.е. программа анализа работы системы или пакет прикладных программ анализа, исходными данными для которого является вектор изменяющихся параметров X. Блок анализа вырабатывает значения (вектор) выходных характеристик Y по схеме П-отображения [4]. Необходимым условием правильной работы системы управления является получение информации о работоспособности ЭТС, т.е. о принадлежности вектора Y области допустимых значений и о
степени достижения цели синтеза при наличии внешних воздействий V. Эта информация должна вырабатываться соответствующими блоками контроля. При этом система параметрического синтеза ЭТС должна стремиться к оптимизации целевой функции при обязательном выполнении ограничений. Необходимые и достаточные условия оптимума сформулированы и приведены в работе [5].
В докладе приводится обзор статистических методов параметрического синтеза ЭТС по критерию запаса работоспособности, основанных на использовании информации о границе области работоспособности.
При известных статистических данных задачу оптимизации на максимум запаса работоспособности можно сформулировать следующим образом: требуется так выбрать в процессе оптимизации значения вектора первичных параметров X, чтобы вероятность невыхода изображающей точки Y(t) или X(t) в интервале времени 16 [0,Г] за границы, соответственно, областей D или G была максимальна, т.е. P(t) = P(Y 6 D| 16[0,Г]) ^ max или
P(t) = P(X 6G|16[0,Г]) ^max [1, 6].
Задача параметрического синтеза ЭТС на максимум запаса работоспособности сводится к формированию оптимальной совместной плотности распределения ее первичных параметров. В работе [1] делается вывод, что для нормального закона распределения J -го выходного параметра смещение математического ожидания относительно середины поля допуска, приводит к снижению вероятности безотказной работы ЭТС. Выбрать первичные параметров с точки зрения максимума вероятности P(t) крайне сложно. Вместе с тем, для целого ряда ЭТС, элементами которых являются активные и пассивные
электронные элементы с известными законами изменения параметров, могут быть предложены специально разработанные алгоритмы параметрического синтеза, рассматриваемые ниже.
Параметрический синтез при нормальной плотности распределения отклонений первичных параметров системы. При расчетах вероятности безотказной работы технических систем широкое распространение получил метод критических сечений, в основе которого лежит следующее предположение. Для нахождения характера случайного процесса и любой его реализации в областях Б или О в течение заданного времени необходимо и достаточно, что бы эта реализация удовлетворяла критерию работоспособности в ограниченном числе временных сечений, которые называются критическими. Анализ законов изменения первичных параметров ЭТС показал, что для их большинства принятое предположение является справедливым и случайный процесс изменения параметров X можно считать монотонным. При этом во многих случаях для ЭТС можно использовать линейную аппроксимацию. Таким образом, для нахождения процесса У(Ь) в течение заданного времени Т в допустимой области, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял критерию безотказности в граничных сечениях в моменты t = 0 и t = Т [7].
Отсюда следует, что вероятность невыхода случайного вектора У за пределы области Б в течение заданного времени определится следующим выражением:
Рб(Т) = Р^ <7(0) <Гтах Л7тп <7(Т) <7тах} .(2)
Как следует из выражения (2) при оценке вероятности безотказной работы ЭТС необходимо определить вероятность совместного выполнения двух событий. Используя теорему умножения вероятностей, получим
Рб(Т) = Рг(0)• ру(Т), (3)
где Р (0) - коэффициент готовности ЭТС в момент времени t=0; Рр(Т) - условный коэффициент готовности в момент времени t=Т .
Плотность распределения /У (3) определяется усечением областью О исходного распределения /0(3) . Это объясняется тем, что распределение коэффициента 3 в результате контроля состояния
ЭТС в момент t = 0 претерпевает изменение и те реализации векторов, при которых система оказывается неработоспособной, исключаются. В результате в эксплуатации оказываются ЭТС, первичные параметры которых принадлежат области работоспособности. Таким образом,
/0у(30) = /а) /Рг(0), о, е С; 0, й й С}.
Таким образом, можно заключить, что уравнение (3) с учетом полученных выражений для математического ожидания и дисперсии однозначно связывает вероятность безотказной работы а, следовательно, и минимальный запас работоспособности ЭТС, с вектором номинальных значений первичных параметров.
Возьмем производную по 1-ой компоненте вектора М в выражении (3):
dP6(M,,) _ дРг(Mо)
8mn
8mn
ру (M о)-
8РУ (M о)
8m
Рг (M ) .
Решение этого уравнения при условии m.
0i
"о
дает следующее „У
условие максимума
ероятности
РДМ0): т< -Щ» + Рг(^0)«)2т-т)/о,2 = 0.
Для вычисления оптимальных значений первичных параметров по критерию запаса работоспособности можно воспользоваться разработанным в работе [1] адаптивным алгоритмом симплексного поиска. Выбирая шаг поиска по формуле
получим следующее рекур-
(4)
h =4/[ Рг (M о) • ру (M )] ,
рентное соотношение:
КL+1 = КL + PM)К)2 (my - m,.
Оценки всех числовых характеристик, входящих в это уравнение, можно получить на базе имитационных моделей методом статистических испытаний.
Параметрический синтез при произвольной плотности распределения отклонений параметров элементов системы. На практике реальный закон распределения отклонений первичных параметров ЭТС достаточно часто отличается от нормального закона. Для решения задачи параметрического синтеза в случае произвольной плотности распределения может быть использована процедура ее разложения в ряд Эджворта [8].
Ограничиваясь членами ряда с центральными моментами распределения не выше четвертого порядка, т.е. учитывая наиболее существенные отличия от нормальной плотности распределения, получим одномерное разложение в виде
\2 "
f ( X,
m, ст
Ъ Y 2 )
1
exp
(X - m )2 -2ст2
x
i+ii h, ( ï-m
6 3l ст
где Y1
.3
и Y2 =
+ ^ H4
24 4
[M ст4 )
X-m
соответственно 2
коэффициенты асимметрии и эксцесса; т и О соответственно математическое ожидание и дисперсия; Н(7) = 73 -37 , Н(7) = 74 -672 + 3 ,
При высокой вероятности Рг (о) можно допу- Z = ((X - m)/ ст) - полиномы Эрмита; ц3 и - цен-
стить, что полученная плотность распределения будет близка нормальному распределению, и в начальный перид эксплуатации ЭТС математическое описание и дисперсия будут иметь вид
М0 = | Й0/0У(ЙМ , = | (10,- - тУ?ЛУ30>Й0 •
Принимая коэффициенты 3 и 3 статистически независимыми, числовые характеристики для совместной плотности их распределения в момент времени t = Т будут иметь вид: М = Му + МТ - для математического ожидания,
Б = Бу + БТ - для дисперсии. Поскольку принимается, что отклонения первичных параметров подчиняются нормальному закону распределения, компоненты вектора математического ожидания будут определять номинальные значения параметров X- = т;0 , а компоненты матрицы среднеквадратических отклонений - независимые допуски на эти параметры 31 = 3ст;0 .
тральные моменты 3-го и 4-го порядка аппроксимируемого распределения.
Разложение в ряд Эджворта удобно для случая независимых отклонений первичных параметров, так как многомерная задача синтеза распадается на ряд одномерных. Взяв производную от плотности
2
/ (х, т, О2, У!, У2 ) по математическому ожиданию т, а
также учитывая связь вероятности безотказной работы ЭТС с минимальным запасом работоспособности и плотностью / (X,t) , получим:
8Р(т, о2, у, у 2) 8т
= Р (ту - т) - Р (тун - 2т • ту + т2 - о2 ) --Ря(тУн -3т• тУн + 3(т2 -о2)тУ + 3о2т-т3).
Здесь введены следующие обозначения
x
1 случае отсутствия такой информации следует ис-
P = \f (X,m,а2,у1,у2)dX; my = -^X ■ f (X,m,а2,у1,у2)dX
^ , , ,,1,,2. , пользовать поисковые методы определения опти-
о Р о мума, которые рассматриваются, например, в ра-
1 ботах [1, 9-11].
Рн = 1 /н IX, т, а I dX; ту = — IX' • /к IX, т, а I dX, г = 1,2,3; Заключение. Предложенный подход к решению за-
о Рн о дачи параметрического синтеза ЭТС по критерию
, 2\ ( I-\_1 Г 2 1 21 запаса работоспособности предполагает известной
/н I , m, а ) = (а>ехР I —^ — т) /2а I' статистическую информацию о законах изменения
значений первичных параметров системы при эксплуатации. Для случая, когда закон распределения является нормальным, предложен способ решения задачи, основанный на методе критических сече-
_ у_ Рн ( "Ьп , У 2 о | ний. При этом для вычисления оптимальных значе-
т = т 0] + ^ 0 , (5) _
Р V2а 1 6а2 2) ний первичных параметров по критерию запаса ра-
ботоспособности целесообразно воспользоваться где 01 = тун — 2т • тун + т — а ; адаптивным алгоритмом симплексного поиска. Для
решения задачи параметрического синтеза в случае 02 = т3ун — 3т • тун + 31т —а )т^ + 3а т — т . произвольной плотности распределения может быть
Оптимальные оценки значений первичных параметров ЭТС по критерию запаса работоспособности определяются по выражению
Таким образом, при априорно известных статистических данных о характере изменения первичных параметров ЭТС, для решения задачи можно воспользоваться расчетными формулами (4) и (5). В
использована процедура ее разложения в ряд Эджворта. При этом многомерная задача синтеза распадается на ряд одномерных задач, что существенно упрощает ее решение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саушев А. В. Параметрический синтез электротехнических устройств и систем / А. В. Саушев. — СПб.: ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова, 2013. — 315 с.
2. Саушев А. В. Методы и алгоритмы параметрического синтеза технических систем на основе областей работоспособности / А. В. Саушев // Международный научно-исследовательский журнал International research journal № 5 (47), часть 3, 2016. - С. 167 - 168.
3. Саушев А. В. Оценка состояния электротехнических систем на основе информации о границе области работоспособности // А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество» : в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2016. - С. 66 - 69.
4. Саушев А. В. Планирование эксперимента в электротехнике / А. В. Саушев. —СПб.: ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова, 2012. — 273 с.
5. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем объектов водного транспорта / А. В. Саушев. — СПб.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С. О. Макарова, 2014. — 215 с.
6. Абрамов, О. В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности / О. В. Абрамов. - М.: Наука, 1992. - 176 с.
7. Styblincki M. A. Statistical Design Optimization/The Circuits and Filters Handbook, W.-K. Chen, Ed., Second Edition. - CDC Press, 2003. - 2961 p.
8. Тихонов, В. И. Статистическая радиотехника. 2-е изд. перер. и доп. / В. И. Тихонов. - М.: Советское радио, 1982. - 624 с.
9. Саушев А. В. К проблеме синтеза целевой функции для параметрической оптимизации сложных технических систем / А. В. Саушев // Надежность и качество сложных систем. - 2015. - № 3 (11). -С. 3 - 9.
10. Саушев А. В. Структура и задачи параметрического управления состоянием электротехнических систем / А. В. Саушев, Е. В. Бова // Труды международного симпозиума «Надежность и качество» : в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2015. - С. 38 - 42.
11. Саушев А. В. Метод синтеза многопараметрических динамических систем на основе информации о границе области работоспособности / А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество» : в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2014. - С. 120 - 123.
УДК 658.512.2.011.56 Северцев Н.А., Прокопьев И.В.
ФИЦ ИУ ВЦ РАН, Москва, Россия
МИНИМИЗАЦИЯ УЩЕРБА ОТ ТЕРАКТА ПРИ ОТСУТСТВИИ ИНФОРМАЦИИ О ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ТЕРАКТАХ
В статье представлены модели минимизации ущерба исследуемой системы (объекта) при совершении теракта на охраняемые объекты. Разработано математическое обоснование времени проникновения террориста к объекту для нанесения ущерба на основе функции распределения времени нанесения теракта (диверсии) объекту-системе при отсутствии информации. Определено математическое ожидание нанесенного ущерба охраняемой системе (объекта). Разработаны модели плана проверок охраняемой системы (объекта).
Ключевые слова:
функция распределения, оптимизация, план, проверка, вероятность, минимакс, террорист, ущерб
Минимаксный подход в наибольшей степени отражает сущность формализации процессов взаимодействия в комплексной системе «террорист -гражданское общество - силовые структуры». Построим две модели с этих позиций. Вначале рассмотрим задачу, типичную для стратегически важных систем, которые могут быть подвержены террористическим воздействиям [1]. Имя в виду, что нет никакой информации о готовящихся терактах, т.е. неизвестна (с точки зрения формализованного подхода) функция распределения f(t)=p{Y< {}, где У - случайное время совершения террористического акта. При планировании мероприятий по минимизации ущерба от возможного террористического акта необходимо на заданном периоде времени t назначить п проверок системы (охраняемой), т.е. необходимо выбрать п чисел (i=1r2,.., п) таких, чтобы 0< Х[ < ••• хп < Г, I = 1,2,... п, где х^ - время от начала обеспечения хранения рассматриваемой системы-
объекта (безопасность хранящейся системы-объекта должна быть очень надежной и в наших исследованиях не учитывается). Предположим, что подвергшаяся теракту или диверсии на систему (объект) (этот факт устанавливается во время проверки с вероятностью P) в момент проверки возвращается в исходное состояние (либо путем восстановления, либо путем замены на новую) и далее статистически ведет себя так же, как ведет себя новая система (объект). Приведем в соответствие фиксированным значениям X=(xo,■■■, X,,) некоторую функцию Ок(У) , которая выражает ущерб, связанный с эксплуатацией рассматриваемой системы (объекта) в течение случайного времениУ. Затраты на проверки и плата за простой системы от момента диверсии до момента ее обнаружения). При известной (виртуально) функции распределения F(t) ма-
