CC BY
5УДК 517.911/517.93
Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения*
Л. И. Родина, Е. Л. Тонкое
Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4), МФ rdl@uni.udm.ru, eltonkov@udm.ru
Получено 7 ноября 2008 г.
В терминах функций Ляпунова получены условия, позволяющие оценивать относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в заранее заданном множестве M. Если относительная частота пребывания в M равна единице, то множество M названо статистически инвариантным. Получены также условия, при которых M статистически слабо инвариантно относительно управляемой системы, т. е. для каждой начальной точки из M по крайней мере одно решение управляемой системы статистически инвариантно. Найдены условия неблуждаемости множества достижимости и условия существования минимального центра притяжения.
Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, достижимость, инвариантность, неблуждаемость, рекуррентность
L. I. Rodina and E. L. Tonkov
Statistical characteristics of attainable set of controllable system, non-wandering, and minimal attraction center
In the terms of Lyapunov functions we obtain the conditions that allow to estimate the relative frequency of occurrence of the attainable set of a controllable system in a given set M. The set M is called statistically invariant if the relative frequency of occurrence in M is equal to one. We also derive the conditions of the statistically weak invariance of M with respect to controllable system, that is, for every initial point from M, at least one solution of the controllable system is statistically invariant. We obtain the conditions for the attainable set to be non-wandering as well as the conditions of existence of the minimal attraction center.
Keywords: controllable systems, dynamical systems, differential inclusions, attainability, invariance, non-wandering, recurrence
Mathematical Subject Classifications: 37N30, 37N35, 49J15, 93B03
‘Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00258). _________________НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, 2009, Т. 5, №2, с. 265-288
1. Введение
Эта работа возникла под влиянием бесед с Владимиром Николаевичем Ушаковым об инвариантных и «почти инвариантных» множествах управляемых динамических систем. Мы обсуждали вопрос о возможности корректной математической постановки свойства (представляющего интерес в приложениях), которое на неформальном языке означает примерно следующее: если заданное по условиям задачи множество М не является положительно инвариантным относительно заданного потока дь, определяемого управляемой системой, то в каком случае траектории этого потока, начинающиеся в М «в основном» находятся в М, а если некоторые из траекторий всё же покидают М, то «ненадолго» и «не слишком далеко» уклоняются от него?
Одна из возможных математических постановок этой задачи состоит в подсчете относительной частоты пребывания траекторий потока д* в множестве М. В таком случае уже недалеко от введения вероятностных характеристик свойства «почти постоянного пребывания» в М (даже тогда, когда исходная управляемая система вполне детерминирована). Во всяком случае, если множество М компактно и инвариантно относительно потока д*, то в силу известной теоремы Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [1], [2, гл. 6, §9] на фазовом пространстве соответствующей динамической системы существуют инвариантные относительно потока вероятностные меры. Поэтому, если, кроме того, множество М ещё и минимально (относительно потока д*), то, с учётом эргодической теоремы Д. Биркгофа [3] и А. Я. Хинчина [2, гл. 6, §5], [4], вопрос о вычислении относительной частоты пребывания потока д в множестве М сводится к доказательству пребывания траекторий в М с вероятностью единица.
Исследованию инвариантных множеств управляемых систем и отвечающих им дифференциальных включений посвящено большое количество работ (см. монографию Ж.-П. Обе-на [5] и библиографию к ней). Условия инвариантности в этой монографии выражены в ин-финитезимальных терминах (в терминах непустоты пересечения конуса Булигана к заданному множеству с множеством, задающим правую часть дифференциального включения).
Вопросам инвариантности (в различных смыслах) топологических динамических систем, отвечающих детерминированным управляемым системам, посвящена работа [6]. В работе [6] условия инвариантности заданного множества М относительно по тока д*, определяемого управляемой системой, формулируются в терминах функций Ляпунова, задача которых не разрешать фазовым точкам множества М, двигающимся под действием потока д*, покидать М.
В этой статье технику работы [6] мы распространяем на метрические динамические системы (П,д*), порожденные исходной динамической системой (£,Л*) и заданной управляемой системой
а инвариантность множества М С П понимаем в статистическом смысле, то есть как присутствие движений і ^ дгш в Мс относительной частотой, равной единице (аналогичная методика использовалась в [7], [8] при изучении условий глобальной управляемости линейных систем). Если оказывается при этом, что фазовое пространство £ не только компактно, но и минимально относительно потока Ь, то на £ существует по крайней мере одна эргоди-ческая мера, т. е. инвариантная относительно потока Ь вероятностная борелевская мера V, такая, что мера всякого инвариантного подмножества £о в £ равна либо нулю, либо единице (поэтому если £о замкнуто, то £о = £ и V(£о) = 1). Эта мера распространяется (с сохра-
нением инвариантности) на расширенное фазовое пространство П динамической системы (n,g*), отвечающей исходной управляемой системе.
Таким образом, появляется метрическая динамическая система (П, B,^,g*), где ^ — вероятностная борелевская мера на B, инвариантная относительно потока gt, и в случае, когда динамическая система (П, B,^, g*) строго эргодическая, роль вероятностной меры ^ выполняет относительная частота пребывания траекторий потока g* в заданном компактном множестве M С П (и тогда статистическая инвар иантность M относительно по тока g* означает инвариантность M с вероятностью единица).
2. Управляемые системы
Введём ряд обозначений. Пусть Rm — стандартное евклидово пространство размерности m. Для заданного множества U С Rm обозначим frm(U) — пространство мер Радона с носителем в U. Если U компактно, то rpm(U) — подмножество в frm(U), состоящее из ве-роятностньгх мер Радона. Если n £ frm(U), то для всякой непрерывной функции a : U ^ R
обозначим (n,a) = / a(u)n(du). На frm(U) определим вариацию |n|(U) = sup |(n, a)|
JU ||a||o^1
и (слабую) норму
^ 2-k
где функции afc образуют счетное всюду плотное множество в пространстве C(U, R) непрерывных функций из U в R с равномерной нормой || ■ ||о. Для дальнейшего важно, что rpm(U) rpm(U)
frm(Rm), то rpm(U) компактно.
Пусть задана топологическая динамическая система (£,h*). Это означает, что £ — полное метрическое пространство и при каждом t, h* — однопараметрическая группа преобразований пространства £ в себя, удовлетворяющая начальному условию h*о|*=о = о и непрерывная по (t, о) на R х £, см. [2, гл. 5], [9, с. 204-227]. Пространство £ называется фазовым пространством, системы (£, h*), функция t ^ h*о — движением точки о, функция h*: £ ^ £ — потоком на £,
orb(o) = {h*о: t £ R} и orb + (о) = {h*о: t ^ 0}
о.
полагать, что выполнено следующее условие.
Условие 1. Фазовое пространство £ динамической системы (£, h*) компактно.
Пусть, далее, задана непрерывная функция f (о, ж, u) переменных (о, ж, u) £ £ xRn xRm, удовлетворяющая локальному условию Липшица по переменной ж равномерно относительно (о, u) на множестве £ х U, где U — заданное компактное множество в Rm. Мы будем исследовать различные свойства инвариантных множеств управляемой системы
Ж = / f(h*о,ж,u)n*(du), (2.1)
U
где n* _ допустимое управление. Напомним, что функция t ^ n* называется допустимым управлением, если n £ rpm(U) при каждом t и для любой a £ C(U, R) функция t ^ (n*,a) измерима по Лебегу (см. [10], [11] и библиографию в [11]).
Будем предполагать далее, что выполнено следующее условие.
Условие 2. Непрерывная функция f : £ х Rn х Rm ^ Rn, задающая систему (2.1), лож (о, u) £ х U, U
в Rm.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть £ = Tr = S х ... х S — тор размерности r (прямое произведение r экземпляров окружности S радиуса единица), h* — всюду плотная обмотка тора, её можно задать системой дифференциальных уравнений на торе
0* = W*, ^i(0) = о*, i = 1. . .r,
где w = (wi .. . wr) — вектор частот с рационально независимыми координатами (то есть ki wi + ■ ■ ■ + krwr = 0 для любого нетривиального набора целых чисел k1 . . . kr). Тогдa h*о = = (wit+о1 .. . wrt+ог) (mod 2п) и при каждом о £ Tr управляемая система (2.1) становится
t
Пример 2. £ = M, где M — гладкое компактное многообразие размерности r (см. [12, гл. 5, §33]), h* — поток на M, заданный системой дифференциальных уравнений
z = v(z), z £ M, v(z) £ TzM, (2.2)
где Tz M — пространство, касательное к M в точке z £ M, v: M ^ TM — дифференциру-TM M.
Тогда для любого начального условия zo £ M решение z(t, zo) системы (2.2) с условием z(0) = zo определено на всей числовой прямой R, единственно и непрерывно зависит от точки (t, z0). В этом случае управляемая система (2.1) задаётся треугольной системой дифференциальных уравнений
{z = v(z),
ж = J f(z,x,u)n*(du).
Пример 3. Если £ — минимальное (относительно потока h*) компактное пространство, то, в силу теоремы Д. Биркгофа [2, гл. 5. § 7], [3], всякое движение t ^ hV в £ рекуррентно
£
отрезком этой траектории достаточно большой длины).
о £ £ t
мерно относительно (ж, u) на компак тах Q = K х U С Rn х Rm : для любо го е > 0 и любого компакта Q множество
^(е) = {т £ R: maximum |f (Л,*+Го, ж, u) — f (hV, ж, u)| ^ e}
е-почти, периодов функции t ^ f (h*о, ж, u) те зависит от Q и относительно плотно на R (то есть найдётся такое $ = $(е) > 0, что множество ^(е) имеет непустое пересечение с любым отрезком [t0,t0 + $] длины $).
£
£
периодична по времени.
Пример 4. Пусть фазовое пространство £ динамической системы (£, Л*) компактно. Тогда, в силу уже упомянутой теоремы Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, на борелевской сигма-алгебре А пространства £ существует по крайней мере одна вероятностная мера V, инвариантная относительно потока Л*, и мы имеем метрическую динамическую систему (£, А, V, Л*). В этом случае функция £ ^ /(Л*ст, ж, и) задаёт стационарный (в узком смысле) случайный процесс и тем самым управляемая система (2.1) становится системой со случайными параметрами.
Пример 5. Рассмотрим управляемую систему
в предположении, что множество и компактно, а функция ф: Ж х Ж” х Ж™ ^ Ж” непрерывна по совокупности переменных, ограничена по £ на числовой прямой Ж при любых фиксированных (ж, и) п удовлетворяет следующим двум условиям.
Условие равномерной непрерывности по Для любого е > 0 и любого компакта К С Ж” найдётся такое 5 > 0, что при всех £ £ Ж и всех (ж, и) £ К х и из неравенства |т | ^ 5 следует неравенство
Условие локальной липшицевости по ж. Для любого компакта К С Ж”, всех £ £ Ж и всех и £ и найдётся такая константа I, что для любой пары точек Ж1, Ж2 £ К выполнено неравенство
По функции ф, задающей систему (2.3), построим замыкание ^(ф) множества сдвигов {фт}, фт(£, ж, и) = ф(£ + т, ж, и), функции ф в топологии равномерной сходим,ости, на компактах. Это означает, что ф £ ^(ф) в том и только в том случае, если существует такая последовательность {£*} моментов времени, что для любого е > 0 и всякого компакта К С Ж” начиная с некот орого *о ПРИ вс ех ^удовлетворяющих неравенству |£| ^ е-1, и всех (ж, и) £ К х и
Можно показать, что при высказанных выше предположениях пространство R(0) мет-ризуемо и в метрике Бебутова
р(ф1, ф2) = sup min^ maximum |^1(t, ж, u) — ф2 (t, ж, u)| , $-1 k ф1, ф2 £ R(0), tf>o ^ М,М,н^ J
компактно [2, с. 533], [13]. Для этого достаточно показать, что сходимость в метрике Бебутова эквивалентна сходимости, равномерной на компактах. Покажем это.
Лемма 1. Неравенство р(ф1, ф2) ^ е выполнено в том и только в том случае, если |ф1 (^ж, u) — ф2(^ ж, u)| ^ е для вс ex |t|, |ж|, |u| ^ е-1.
Доказательство. Отметим, что функция
(2.3)
|ф(t + т,ж, u) — ф(t,ж, u)| ^ є.
|ф(t, ж1, u) — ф(^ ж2, u)| ^ ^|ж1 — ж21.
|<^>(t, ж, u) — ф^ (t, ж, u)| ^ є, i ^ i0.
f1(^) = maximum Іф1 (t, ж, u) — ф2(t, ж, u)|
|t|,|x|,|u|^$
не убывает, а функция $2($) = $-1 монотонно убывает на (0, +го) и стремится к нулю при $ ^ +го. Поэтому если Д($) ф 0, то существует ровно одна точка $о > 0, такая, что выполнено равенство /1 ($о) = /2($о) и, следовательно, р(ф1,ф2) = $- . Пусть выполнено неравенство р(ф1,ф2) ^ е, тогда $-1 ^ е, и поэтому /1($) ^ е при всех $ ^ е-1, в том числе и при $ = е-1. Таким образом, для любых |£|, |ж|, |и| ^ е-1 выполнено неравенство |ф1 (£,ж, и) — ф2(£,ж,и)| ^ е.
Верно п обратное: если |ф1 (£,ж, и) — ф2(£,ж,и)| ^ е для любых |£|, |ж|, |и| ^ е-1, то Л(^) ^ е ПРИ всех $ ^ е-1, а /2("!?) ^ е при всех $ ^ е-1, и поэтому р(ф1, ф2) ^ е. ■
Таким образом, по заданной системе (2.3) мы построили семейство управляемых систем
х= ф(£, ж, и)п(^и), ф £ ^(ф). (2.4)
Зи
Переходя теперь к привычным обозначениям
£ = ^(ф), ст = ф, Лта = фт, /(а, ж, и)= ф(0, ж, и)
и замечая, что / (Л* ст, ж, и) совпадает с ф(£, ж, и), а пар а (£,Л*) порождает топологическую динамическую систему (динамическую систему сдвигов А. А. Маркова [2, гл. 6, §9]), перепишем семейство (2.4) в виде (2.1). Это семейство возникает естественным образом при исследовании асимптотических свойств множества достижимости и допустимых процессов системы (2.3). В частности, можно убедиться, что если некоторое свойство системы (2.3) выполнено равномерно относительно начального момента £о, то соответствующее свойство для семейства (2.4) выполнено при всех ст £ £.
3. Управляемые системы и дифференциальные включения
Системе (2.1) поставим в соответствие дифференциальное включение
ж £ ^(Л*ст,ж), ^(ст,ж) = со{у £ Ж”: у = /(ст,ж, и), и £ и}, (3.1)
где со О — замыкание выпуклой оболочки множества О, и по динамической системе (£, Л*) и включению (3.1) построим метрическое пространство П = £ х сотр(Ж”). Здесь сотр(Ж”) — пространство непустых компактных подмножеств пространства Ж” с метрикой Хаусдорфа
^^А, В) = тах{^(А, В), ^(В, А)}, где ^(А, В) — полу отклонение множества А от множества В : ^(А, В) = тах ^(а, В).
абА
Пусть и = (ст, X) £ П; обозначим далее А(£, ш) — сечение в момент времени £ ^ 0 интегральной воронки включения (3.1), когда начальное состояние ж(0) пробегает всё X.
Определение 1. Множество А(£, ш) называется множеством достижимости управляемой системы (2.1) в момент времени £ го начального множества X.
В силу высказанных ранее условий 1, 2, которые мы предполагаем выполненными в этой статье, и результатов работ [14], [15], имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Найдётся такое е > 0, что при всех t £ [0, е) множество достижимости, A(t, ш) управляемой системы (2.1) существует. Оно компактно при каждом t и непрерывно по (t, ш). Кроме того, при, всех доп,устимых t и, s множество достижимости, A(t, ш) удовлетворяет следующим, условиям:
А(^ш)|*_° = X и, A(t + s^) = A(t, hsa, A(s, ш)).
С учётом этой леммы и при дополнительном предположении, что каждое решение включения (3.1) определено при всех t £ R+ = [0, то), функция g* : П ^ П, заданная равенством g*ш = (hV, A(t, ш)), как несложно проверить, порождает полупоток на П и, следовательно, пара (n,g*) образует топологическую динамическую систему. Эта динамическая система служит расширением (см. [9]) исходной динамической системы (£, h*) в том смысле, что существует непрерывная проекция p простран с тва П на £, сопрягающая потоки (то есть р(П) = Еи диаграмма
П —£
h*
П —-— £
коммутативна: pg* = h*p).
Пример 6. Вернёмся к примеру 5. Для семейства управляемых систем (2.4), отвечающего исходной управляемой системе (2.3), соответствующее семейство дифференциальных включений можно построить следующим образом: если последовательность |т*| обеспечивает сходимость фт ^ ф в том смысле, как это указано в примере 5, то несложно доказывается, что найдется такая подпоследовательность (обозначим её снова |т*}), что последовательность сдвигов }, где #(t, ж) = СОф(^Ж,и), Фт(t, ж) = #(t + т, ж), имеет предел, понимаемый в смысле метрики Бебутова
р(Ф,Ф°) = sup min{ max dist(#(t,ж),$°(t,ж)), #-1}.
$>o
Обозначим этот предел #(t, ж). Тогда системе (2.4) отвечают дифференциальное включение ж £ #(t, ж) и множество достижимости A(t, ф, X) в момент времени t системы (2.4) из множества X в момент времени t = 0. Можно проверить, что множество достижимости удовлетворяет условиям леммы 2: оно компактно при, каждом t, непрерывно по (t, ф, X), удовлетворяет начальному условию A(t, ф, X)|t_°= X и равенству
A(t + s, ф, X) = A(t, ф5, A(s, ф, X))
t s.
4. Функции А. М. Ляпунова
Пусть задана непрерывная функция A : R х П ^ comp(Rn) переменных (t, ш), где ш = (а, X), удовлетворяющая следующим условиям:
A(t, ш)|*_° = X, A(t + s^) = A(t, hsa, А^,ш)) = A(t,g^), t,s £ R. (4.1)
В частности, в качестве А может выступать интегральная воронка вспомогательного дифференциального включения ж £ С(Л*а, ж), играющего роль включения сравнения.
Введём следующие обозначения:
А(а) = {(£, ж) £ Ж+ х Ж”: ж £ А(4, ш0)}, ш0 = (а, Х0), (4.2)
Аг(а) = {(*,ж) £ Ж+ х Ж”: рк„ (ж, А(4,ш0)) ^ г(4,а)}, Вг(а) = Аг(а) \ А(а),
где г(4, а) — неотрицательная непрерывная функция переменных (4, а) £ Ж+ х £.
Определение 2. Скалярную функцию V(4, а, ж) переменных (4, а, ж) будем называть функцией Ляпунова (в области Аг(а)), если она локально липшицева по (4,ж) равномерно относительно а £ £ и для каждого а £ £ выполнены следующие условия:
1) V(4, а, ж) ^ 0 при всех (4, ж) £ А(а);
2) V(4, а, ж) = 0 для каждой точки (4, ж) па границе множества А(а);
3) V(4, а, ж) > 0 для всех (4, ж) £ Вг (а).
Например, функция V(4, а, ж) = р(ж, А(4,ш)), где р(ж, А) = тт |ж — а| — расстояние от
абА
точки ж до множества А, может служить функцией Ляпунова.
Определение 3. Для локально липшицевой функции V(4, а, ж) обобщенной производной в точке (4, ж) по направлению вектора (1, д) £ Ж х Ж” (производной Ф. Кларка, см. [16]) будем называть следующий верхний предел
П(. *,*;<,)= Итшр Пт + е,°,У + щ)-У(т,о,у)' ^
(т,у,е)^(*,ж,+0) ^
а выражения
^п(£,а,ж)= т1? ^°(*,а,ж; д), ^ах(4,а,ж) = таХ ^°(*,а,ж; д)
(Ь*ст,ж) (Ь*ст,ж)
— нижней и верхней производной функции V в силу включения (3.1).
Лемма 3. Имеют, место следующие равенства:
^т(^,а, ж) = тт V°(4, а, ж; /(Л*а, ж, и)), ^а^, а, ж) = тах V°(4, а, ж; /(Л*а, ж, и)). (4.4)
Доказательство. Отметим, что функция д ^ V0(4,а, ж; д) локально липшицева, суб-аддитивна и положительно однородна (см. [16], с. 32), т. е. если А ^ 0, то
V0 (4, а, ж; Ад) = АV0(4, а, ж; д) и V0(4, а, ж; д + р) ^ V0(4, а, ж; д) + V0(4, а, ж; р).
Кроме того, в силу известной теоремы Каратеодори, всякая точка д множества
^(Л*а, ж) = со /(Л*а, ж, и)
представима в виде выпуклой комбинации не более чем п + 1 точек множества /(Л*а, ж, и):
д = А/(Л*а,ж,и)+ ... + А”+/(Л*а,ж,П”+1), А* ^ 0, А1 + ... + А”+1 = 1.
Поэтому, если п выбрано из условия максимума
тах V0(4, а, ж; /(Л*а, ж, и)) = V0(4, а, ж; /(Л*а, ж,п)),
для всех д Є ^(Л*а, ж) имеем:
V0(і, а, ж; д) = і, а, ж; А/(Л*а,ж,иі) + ... + А„+і/(Л*а,ж,ип+і)) ^
^ А^0(^а,ж;/(Л*а,ж,иі)) + .. . + А„+іУ°(і, а, ж;ДЛ*а, ж, и„+і)) ^
^ АіУ°(£,а,ж; /(Л*а,ж,п)) + ... + А^+^^і, а, ж; /(Л*а,ж,п)) = V0(і,а,ж; /(Л*а,ж,п)),
что и доказывает второе равенство в (4.4).
Докажем первое равенство в (4.4). Пусть
д = А/(Л* а, ж, пі) +---+ А„+і/(Л* а, ж, п„+і)
— точка множества ^(Л*а, ж), в которой V0(і, а, ж; д) достигает своего минимума; п — точка множества и, в которой минимума достигает V0(і, а, ж; /(Л*а, ж, и)). Тогда из включения /(Л*а, ж,п) Є ^(Л*а, ж) следует неравенство
V0(і, а,ж) ^ V0(і,а,ж; /(Л*а,ж,п)0. (4.5)
Далее, записав /(Л*а, ж,п) в виде
/ (Л*а, ж, п) = Аі/(Л*а, ж, п) +-+ А„+і/(Л*а, ж, п),
получим очевидную цепочку равенств и неравенств
тіп V0 (і, а, ж; /(Л*а, ж, и)) = V0 (і, а, ж; /(Л*а, ж, и)) =
= V0(і, а, ж; пі/(Л*а, ж, п) +---+ пп+і/(Л*а, ж, п)) =
= пі V0(t, а, ж; /(Л*а, ж, п)) + ■ ■ ■ + .Хп+^^і, а, ж; /(Л*а, ж, п)) ^
^ А1V0 (і,а,ж; / (Л* а, ж, пі)) + ••• + ,\га+і V0(і, а, ж; / (Л* а,ж,пп+і)) = тіп V0(і,а,ж; д).
Следовательно, V0(і, а, ж; /(Л*а, ж,п)) ^ ^0іп(і, а, ж), что, в сочетании с неравенством (4.5), приводит к равенству 1^іп(і, а, ж) = тіп Vа(і, а, ж; /(/і*сг, ж, и)). ■
5. Теорема об относительной частоте поглощения
Определение 4. Фиксируем Хо £ сотр(Ж”) и для каждого X £ сотр(Ж”) и всех а введём в рассмотрение характеристику
ГгедМ = Цт Ш”{* £ М 1 ~ А(*-Ц°)}, цр = (ст,А-о), (5.1)
которую, в предположении, что указанный в (5.1) предел существует, будем называть относительной частотой, поглощения множества достижимости А(4, ш) системы (2.1) заданным множеством А(£,шо). Если предел (5.1) не существует, то характеристики
&еч-М = Я теФбР.фЛ^СА^с,)}
Ггеч.М = Шп ■°^б[0,ФЛвц)СА(;,цо» (6.3)
будем называть, соответственно, верхней и нижней относительной частотой, поглощения множества достижимости А(£, ш) системы (2.1) заданным множеством А(£,^о).
Для формулировки следующей леммы обозначим
а($0, $, ш) = {£ е [$0, $]: А(£, ш) С А(£, ш0)}. (5.4)
Лемма 4. Если ш = (а,X), X компактно, $0 ^ 0 и А($0,ш) С А($0,ш0), то имеют
место следующие утверждения.
1. Множество (5.4) непусто и измеримо по Лебегу при, каждом $ ^ $0.
2. Для любых фиксированных $0 ^ 0 м т ^ 0 имеют место равенства
£ \ 7^- те8а(1?о,1?,ш) — те8а(т,т + 1?,ш)
ггеа (си) = пт ------------- = пт ----------------, (5.5
$ - $0 $
тея а($0,$,ш) тея а(т,т + $,ш)
1Г6С[ * (сем — Иш п п — Ит п . (5.6)
0_юо # - 0-юс $
3. Каждая из характеристик йгед *(ш), йгед *(ш) постоя,пн,а на положительных по-лутраекториях динамической системы (П,д*) : для, всех т ^ 0
йгед * (дт ш) = йгед * (ш), йгед * (дт ш) = йгед * (ш).
4. Если функции £ ^ А(£,ш) м 4 ^ А(£,ш0) периодичны с общим, периодом, Т > 0, то
т /г г / ч тея а(0, Т, ш)
предел, (5.1) существует и, 1гед(ш) = —
Т
Доказательство. Для доказательства первого утверждения леммы достаточно показать, что множество а($0, $, ш), определённое равенством (5.4), замкнуто. Докажем замкнутость.
Пусть последовательность {£г}|==1 такова, что е [$0,$], ^ £* и вложения А(£*,ш) С
А(£*,ш0) имеют место при всех г = 1, 2, .... Тогда, в силу непрерывности (в метрике Хау-сдорфа) функции £ ^ А(£, ш0), найдётся такая иоследовательность {е*}, что е* > 0, е* ^ 0 и А(£*, ш0) С А(£*, ш0)+, где Ое — замкну тая е-окрестность нуля в Ж”. Поэтому вложения А(£*, ш) С А(£*,ш0) + Ое; выполнены при всех г. Далее, из непрерывности А(£, ш) по £ и замкнутости А(£*,ш0), имеем вложение А(£*,ш) С А(£*,ш0). Следовательно, £* е а($0,$,ш).
Для доказательства второго утверждения отметим, что имеют место следующие простые равенства:
/г, п ч п ч /п п ч теяа(0,$0,ш)
тея а(0, V, си) = тея а(0, щ, си) + тея а(щ, V, си), пт -------- -----= 0.
$
Поэтому, в силу свойств верхнего предела
г */ \ 1— тезо;(0, $, си) . тея а(0, #0, си) 1— тея а:($о> си)
1геа (си) = пт ---------------= пт -------------------Ь пт ----------------=
$
„ — #о -п— тея аШо, си) -г.— тея а($о, •&, си)
= 0 + пт ------— пт --------—--------- = пт -----—-----------,
$ — $0 $ — $0
что доказывает первое равенство в (5.2). Доказательство второго равенства в (5.2) следует из равенства
а(т, т + $, ш) = {в £ [0, $] : А(в + т, ш) С А(в + т, ш0)} =
= {4 £ [0, $] : А(4, 5Тш) С А(4, #тшо)} = а(0, $, #тш).
Аналогично доказываются равенства (5.3).
Доказательства утверждений о стационарности верхней и нижней относительной частоты поглощения на полутраекториях динамической системы (П, ) непосредственно следуют
из второго утверждения леммы. Действительно, например для верхней частоты имеем:
г */ т х -п— тебо;(0,аТш) —— тея а(т, т + ш) —— тея а(0,ш) , .
&еа*(дТш) = Ит ---------у 1 —- = 1пп --------------------------— = 1пп - ’ = &еа*(сЛ
Докажем последнее утверждение леммы. Пусть сначала $ = кТ, тогда
к
шея а(0, кТ, ш) = ^ шея а((г — 1)Т, гТ, ш) = к шея а(0, Т, ш),
г=1
поэтому
шея а(0, кТ, ш) , к шея а(0, Т, ш) шея а(0, Т, ш)
Пт ----------------------= Пт ----^-------------------------•
к—>оо кТ к—>оо кТ Т
Далее, для произвольного $ > 0 найдётся такое целое к = к($), что (к — 1)Т < $ ^ кТ. Следовательно,
шея а(0, Т, ш) .. (к — 1)тея а(0, Т, ш) .. тея а(0, (к — 1)Т, ш)
------ ------ = пт ------- — ----- ----- = пт ---------- —^----- ---- ^
Т к^те кТ к^те кТ
шея а(0, $, ш) шея а(0, кТ, ш) , к шея а(0, Т, ш) шея а(0, Т, ш)
< Ит ---------’ < ------Ч------— < Ит -------- —у 7 ^ ,
>оо $ к—юо (к — 1 )Т Т
что и доказывает последнее утверждение леммы. ■
Формулируемая ниже теорема содержит достаточно общие условия (в терминах функций Ляпунова и дифференциальных неравенств), позволяющие оценивать снизу верхнюю и нижнюю частоту пребывания множества достижимости управляемой системы (2.1) в заданном множестве. В частности, из этой теоремы следуют достаточные условия положительной инвариантности множества А(4, ш), дополняющие результаты работы [6]. Предварительно напомним, что верхним решением скалярной задачи Коши
2 = эд(4, 2), 2(0) = 20,
называется такое решение 2*(4), что для любого другого решения 2(4) этой задачи на общем интервале существования выполнено неравенство 2*(4) ^ 2(4). Если правая часть ад(4, 2) непрерывна, то верхнее решение существует [17], [18, с. 38]. Аналогично определяется нижнее решение, которое тоже существует.
Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 и 2, функция А удовлетворяет условиям (4.1), фиксированы множество Х0 £ сошр(Мп), компактное множество X С Х0 и множество достижимости, А(4,ш) системы (2.1), где ш = (а,X). Пусть, далее, существуют непрерывные скалярные функции V(4, а, ж) и ад (а, 2) переменных (4, а, ж) £ Ж+ х £ х Ж” и (а, 2) £ £ х Ж, такие, что:
1. Для каждого а верхнее решение 2* (4, а) задачи
2 = ад(Л*а, 2), 2(0) = 0, 4 ^ 0, (5.7)
определено при, всех 4 ^ 0.
2. Для, каждого а в области, А1+г(а), где г(4, а) = шах{2*(4, а), 0}, функция V(4, а, ж)
является функцией Ляпунова, и при всех (4, ж) £ А1+г (а) выполнено неравенство
У°ях(4, а, ж) ^ ад (Ла, V(4, а, ж)). (5.8)
Тогда множество достижимости, А(4, ш) существует для, всех 4 ^ 0 и для каждого а £ £ верхняя, и нижняя относительная частота поглощения множества А(4, ш) лшо-жеством, А(4, ш0) удовлетворяют неравенствам
&ед*(ш) ^ к*(а), &ед*(ш) ^ к*(а), (5.9)
где ш0 = (а, Х0),
*/ ч • -п— тез{4 е [0,1?] : г* (Ь, а) ^ 0} ... тез{4 £ [0,1?] : г* (4, а) ^ 0}
^*(<т) = Ит --------Ь---у 7 н*((т) = Ит ---Ь---у 7 V (5.10)
^ >0° ^? '&—>оо ^?
Замечание 1. Характеристики к* (а) и к* (а) обладают свойствами, аналогичными свойствам верхней и нижней относительной частоты поглощения (см. лемму 4):
1) множество в(в0,‘&г,а) = (4 € [^0,^1] : г* (4, а) ^ 0} измеримо по Лебегу;
2) если первый предел в (5.10) существует, то для любых фиксированных в0 ^ 0 и т ^ 0 существуют пределы
шея в(в0,в,а) шея в(т,т + ‘в, а)
иш ------------, 11П1 --------------
$—в — во $—в
и имеют место равенства
.. . ^ шея в(во ,в,а) шея в(т,т + в,^)
я (а) = пт ------------= пт ------------------,
$—в — во $—в
аналогичные свойства выполнены и для к*(а);
3) для каждого т ^ 0 имеют место равенства к*(Нта) = к*(а), к*(Нта) = к*(а);
*/ ч т */ х / х шеяв(0,Т,а)
4) если решение г {Ь, а) периодично по 4 с периодом 1, то >с (а) = х*(ст) = -—-.
Доказательства этих утверждений повторяют доказательство леммы 4.
Следующее утверджение аналогично теореме 1 работы [6], в которой роль А(4, ш0) выполняет множество М(Л*а), заданное непрерывной функцией М: £ ^ сошр^”-).
12
дественно равно нулю, то для, всякого компактного X С Х0 и любо го а £ £ множество
достижимости, А(4, ш) определено при, всех 4 ^ 0 м А(4, ш) поглощается множеством
А(4, ш0) при каждом 4 ^ 0.
В другой терминологии это свойство называется положительной инвариантностью (при каждом а) множества А(а) относительно решений включения (3.1).
Пример 7. Пусть и — компактное множество в Ж™, такое, что 0 £ и. Пусть, далее, задана функция ф(4, ж, и) переменных (4, ж, и) £ Ж х Ж” х Ж™ со значениями в Ж”, удовлетворяющая условиям примера 5. Множество достижимости системы
ж = ф(4, ж, и)п (^и) (5.11)
Зи
из начальной точки ж0 = 0 в момент времени 40 £ Ж обозначим А(4,40), 4 ^ 40.
Пусть, кроме того, для каждого 4 задано множество
А(4) = {ж £ Ж”: ж*ф(4)ж ^ г2(4)}, (5.12)
где ф(4) и г (4) — квадратная матрица и скалярная функция, причём ф(4) симметрична и определенно положительная, а г(4) ^ 0. Будем предполагать, кроме того, что фиг ограничены на числовой прямой Ж, непрерывно дифференцируемы и производные ф, г тоже ограничены на Ж. Рассмотрим функцию V(4, ж) = ж*ф(4)ж — г2(4). Как легко убедиться, V является функцией Ляпунова относительно множества (5.12) и при каждом д £ Ж” производная V по направлешло (1, д) £ Ж х Ж” имеет вид
Vo(4, ж; д) = ж*ф(4)ж — 2г(4)г(4) + 2ж*ф(4)д.
Поэтому, с учётом леммы 3, верхняя производная в силу включения
ж £ Ф(4, ж), Ф(4, ж) = со{ф(4, ж, и): и £ и},
определяется равенством
V"ях(4,ж) = ж*ф(4)ж — 2г(4)г(4) + 2ж*ф(4)ф(4, ж, и+(4, ж)), (5.13)
где и+(4, ж) удовлетворяет условию максимума
шахж*ф(4)ф(4, ж, и) = ж*ф(4)ф(4, ж, и+(4, ж)).
«еи
Пусть фиг постоянны, тогда из равенства (5.13) следует равенство
V0 ях (4, ж) = 2ж*фф(4,ж,и+(4,ж)),
п поэтому если найдутся число 7 > г, функция а (4) и константа в такие, что при всех ж из окрестности А7 = {ж £ Ж” : ж*фж ^ 72} множества А = {ж £ Ж”: ж*фж ^ г2} и всех 4
()
шахж*фф(4, ж, и) ^ а(4)(ж*фж — в), (5.14)
«еи
то, как несложно убедиться, неравенство (5.8) теоремы 1 выполнено для функции
ад(4,2) = 2а(4)(2 + г2 — в).
Поэтому единственное решение задачи 2 = ш(4, 2), 2(0) = 0 имеет вид
я(4) = (в — г2)^1 — ехр (2 а(«)й«))
Следовательно, в силу теоремы 1 и леммы 4, множество достижимости A(t, t0) системы (5.11) существует для всех t ^ t0, относительная частота поглощения
freq-(,4, A) i lim Е М» + : A(t.tо) С А}
tf^0 $
множества A(t, t0) множеств ом A не зависит от t0 и есл и г2 > в, то выполнено неравенство freq *(A, A) ^ к—, где
х- = lim ^mesjt £ [О,1!?] : f a(s)ds ^ о}. (5.15)
в I j0 J
1 ' ^
$—>оо i} <. j о
Далее, если г2 < в, выполнено неравенство freq *(A, A) ^ где
ft
= Jim -^mesjt £ [О,1!?] : J a(s)ds ^ о|. (5.16)
1
в ^ J0
Наконец, если г2 = в, то A(t, t0) поглощается, множеством, A при всех t ^ t0.
6. Доказательство теоремы 1
Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся следующие две леммы.
Лемма 5 (эта лемма аналогична лемме 3 работы [6]). Пусть а) — одно из
решений включения (3.1), такое, что ^>(0, а) £ X и функция V(^а, ж) локально липшицева по (^ ж) равномерно относительно а £ £. Тогда функция t ^ г>(^ = V(^ а, ^(^ а)) локально липшицева для всех таких t ^ 0, при которых ^>(^а)) £ Аг(а).
Доказательство. Пусть $ > 0 и (^^(^ а)) £ Аг (а) при ^| ^ $. Тогда при всех ^ + + т £ [-$,$] имеем:
|^ + т) - ^)| = IV^ + т, а, ^ + т, а)) - Vа, а)) | ^ ^|т| + |^ + т, а) - а)|) ^
0(5, а) ^ ^ £^|т|+ |^(Д5а, ^(з, а)) | ^ ^ ^(|т|+к|т|) = ^(1+к)|т|,
где £ — константа Липшица, а константа к мажорирует -Р(сг, ж) |; £ и к не зависят от а. и
Лемма 6 (дополнение леммы 5 работы [6]). Пусть функция V(^ а, ж) локально липшицева по (^ ж) равномерно относительно а и ^(^ а) — решение включения (3.1). Тогда в точках дифференцируемости, функции г>(^ = V(t, а, ^(t, а)) выполнены неравенства
^ш(^а,^,а)) < < ^ах(^а,^,а)).
Доказательство теоремы 1. Пусть ^(^ а)— произвольное решение включения (3.1), такое, что ^(0,а) £ X. Допустим, что это решение не может быть продолжено на полуось М+. Тогда точка ^(^ а)) должна покинуть множество Аг(а) за конечное время. Следовательно, существует момент времени такой, что (^^>(^ а)) £ Аг (а) при t £ [0, to], (^,<д?^о, а)) £ д Аг(а), и для всякого § > 0 найдется такой момент времени ^ £ (4о, ^0 + §), что (^,^(^,а)) £ Аг(а). Здесь д А- граница множества А.
Рассмотрим функцию ^) = V(t, а, ^(^ а)). Из условия локальной липшицевости функции Ляпунова и леммы 5 следует (в силу теоремы Радемахера), что ^) дифференцируема
при почти всех ^поскольку ^>(0, а) £ Хо, то и(0) ^ 0. Подтому, с учетом леммы 6 и неравенства (5.8), имеем при всех t £ [0,^) неравенство й^) ^ а, и(^). В силу теоремы Чаплы-
гина о дифференциальных неравенствах, из этого неравенства при всех t £ [0, ^) следует неравенство и^) ^ 2*(^ а) и и^0) = 2*^0, а), где 2*(^ а)— верхнее решение задачи (5.7). Так как неравенство (5.8) сохраняется при всех (^ж) £ А1|г(а), то и неравенство и^) ^ 2*(t,а) сохранится на одрезке [to, to+е] при некотором е > 0. Но последнее неравенство эквивалентно включению ^>(^а)) £ Аг(а) при всех t £ [^,^ + е], что противоречит определению точки ^. Продолжая этот процесс, получаем, что неравенство и^) ^ 2*(^ а) выполнено при всех t ^ 0 и, следовательно, решение ^(^ а) определено при всех t ^ 0. Таким образом, доказано, что множество достижимости А(^ ш) системы (2.1) определено при всех t ^ 0. Отметим теперь, что каждое из множеств
О £ [0, $]: иф < 0}, # £ [0, $]: 2*(t) < 0},
измеримо по Лебегу; это доказывается так же, как лемма 4. Далее, в силу (5.10), из неравенства и^) ^ 2*(^ а) следует неравенство
-— тея^ £ [0,$] : и^) ^ 0} *, .
Ит^оо------Ь-----^^----------*- ^ л*{а),
которое эквивалентно неравенству freq*(ш) ^ к*(а).
Неравенство &ед*(о;) ^ х*(а) доказывается аналогично. ■
7. Теорема о статистически слабой инвариантности
Напомним, что мы пользуемся следующими обозначениями
А(а) = {(^ ж) £ Ж+ х Ж”: ж £ А(^ ш0)}, ш0 = (а, X0),
Аг(а) = {(t, ж) £ Ж+ х Ж”: рЛп (ж, А(^ш0)) ^ r(t,а)}, Вг(а) = Аг(а) \ А(а).
Определение 5. Множество А(а) будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы
ж = / /(Л*а, ж, п)п(^п), (7.1)
если для любой точки ж0 £ Х0 найдется такое решение ^(^ а) включения
ж £ ^(Л*а, ж), ^(а,ж) = со{у £ Ж”: у = /(а,ж, п), п £ и}, (7.2)
что ^(^ а) определено при всех t ^ 0, ^>(0, а) = ж0 и
, *, ч • -г^те8{4 £ [0,1?] : </?(£, <г) € А(4,ш0)}
{(р) = 1ип------------------------------= 1, ш0 = {и,Х0). (7.3)
$
Далее, А(а) будем называть слабо инвариантным, если для некоторого решения ^(^ а) включение ^(^ а) £ А(^Ш0) выполнено при всех t ^ 0.
Замечание 2. Напомним, что допустимым процессом управляемой системы (7.1) при фиксированном а называется такая пара (<^(£), П(), чт0 управление 4 ^ п € грт(и) измеримо, функция
Ь ^ <^(£) абсолютно непрерывна и у>(£) = /(Л а, <^(Ь),м)п(^м) при почти всех Ь € К.+ . Далее, ес-
ли
ли существует по крайней мере один допустимый процесс (<^(£),П) системы (7.1), то <^(Ь) является решением дифференциального включения (7.2). Верно и обратное: если множество решений включения (7.2), определённых на К.+ , непусто, то всякому такому решению <^(Ь) отвечает допустимый процесс (<^(Ь),п) системы (7.1).
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1 и 2, функция А удовлетворяет условиям (4.1), фиксировано множество Х0 £ сотр(Ж”) и для каждой точки ж0 £ Х0 всякое решение включения (7.2), удовлетворяющее начальному условию ж(0) = ж0, продолжаемо на полуось Ж+ = [0, то).
Пусть, далее, существуют непрерывные скалярные функции V(^ а, ж) и ад(а, 2) переменных (^ а, ж) £ Ж+ х £ х Ж” и (а, 2) £ £ х Ж, такие, что:
1. Для каждого а верхнее решение 2* (^ а) задачи
2 = ад(Л*а, 2), 2(0) = 0, t ^ 0, (7.4)
определено при, всех t ^ 0 м
ште8#€ [0,0] :г*(Ь,а) < 0} = х
2. Дм каждого а в области, А1+г(а), где r(t, а) = тах{,г*(t, а), 0}, функция V(^ а, ж)
является функцией Ляпунова, и при всех (^ж) £ А1+г (а) выполнено неравенство
тт Vo(t, а,ж; /(Ла,ж, п)) ^ ад(Л*а, V(^ а,ж)). (7.6)
Тогда при, каждом а £ £ множество А(а) статистически слабо инвариантно.
Замечание 3. Повторяя доказательство леммы 4 и учитывая непрерывность решения <^(Ь, а) по Ь, можно доказать, что множество {Ь € [0,$] : ф(Ь,а) € Л(Ь,^0)}, определяющее предел (7.3), измеримо по Лебегу при каждом $ > 0. От метим, кроме того, что в силу леммы 3 неравенство (7.6) эквивалентно неравенству а,ж)) ^ ад(Л4а, V(Ь, а, ж)).
Доказательство теоремы 2 разобьём, на несколько пунктов.
А. При каждом а £ £ и всех (^ ж) £ А1+г (а) построим множество
и0 = и0 (t, а, ж) = { п £ и: Vo(t, а, ж; / (Л* а, ж, и)) ^ ад(Л* а, V (^ а, ж))}. (7.7)
Покажем, что при фиксированных ^ а, ж множество Цэ(^ а, ж) непусто, замкнуто и, следовательно, компактно. Действительно, непустота Цэ(^ а, ж) следует из второго условия теоремы. Далее, если последовательность {п*} такова, что п* £ и0 и п* ^ п, то /(Л*а, ж,п*) ^ /(Л*а, ж, п) и в силу лиишицевости функции д ^ V0(t, а, ж; д),
V0(t, а, ж; /(Л*а, ж, п)) = Ит V0(t, а, ж; /(Л*а, ж, п*)) ^ ад(Л*а, V(^ а, ж)).
*СЮ
Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма.
Лемма 7. Фиксируем а £ £, точку (^,ж0) множества А1+г(а) и п0 £ U0(t0, а, ж0). Тогда для любого е > 0 найдётся т акое 5 > 0, что для в сех (^ж) £ А1+г (а), удовлетворяющих неравенству ^ — ^| + |ж — ж0| ^ 5, выполнено неравенство
V0(t, а, ж; /(Л*а, ж,п0)) ^ ад (Л*а, V(^ а, ж))+ е. (7.8)
Действительно, перепишем неравенство Vo(t0,а,ж0; /(Л*0а,ж0, п0)) ^ ад(Л*0а, V(t0,а,ж0)), которое выполнено в силу условия п0 £ и(to,а, ж0), в виде
V0 а, ж; /(Л*а, ж, п0)) ^ ад(Л*а, V(^ а, ж)) + (ад (Л*0 а, V(^, а, ж0)) — ад(Л*а, V(^ а, ж))) +
+ (У0(^а,ж; / (Л а,ж,п0)) — V0(to,а,жo; / (Л*0 а,ж0,п0))). (7.9)
В силу непрерывности функций V и ад по (^ж), первая разность в правой части неравенства (7.9) стремится к нулю при (^ж) ^ (to,Жo), а вторая разность, в силу непрерывности функции (^ ж) ^ /(Л*а, ж, п0) и полунепрерывности сверху функции (^ж,д) ^ V0(t,а, ж; д) [16, с. 32], допускает оценку
V0(t, а, ж; /(Л*а, ж, п0)) — V0(t0, а, ж0; /(Л*0а, ж0, п0)) ^ е/2
при (4,ж), близких к (4о,Жо), что и доказывает лемму. ■
В. Множеству Цэ(^ а, ж) (см. (7.7)), отвечают управляемая система
ж = /(Л*а, ж, п), п £ и0(^а, ж), где а £ £ , (^ж) £ А1+г(а), (7-10)
и дифференциальное включение
ж £ ^0(^ а, ж), ^0(^ а, ж) = со/(Л*а, ж, и0(^ а, ж)), (7-11)
всякое решение которого одновременно является и решением исходного дифференциального включения (7.2). Напомним, что допустимый процесс задачи (7.10) — это такая пара (^(^,п), что ^(^ — решение системы
ж = / /(Л*а, ж, п) п(^п), (7.12)
где U0(t) = и0(t, а, ^)), п* £ грт(и0^)). Если (^),п) — допустмый процесс, то ^) — решение включения (7.11). Верно и обратное утверждение: если ^(^ — решение включения (7.11), то найдётся такое управление п*, что пара (^(^, п) образует допустимый процесс задачи (7.10).
Лемма 8. Для каждого а £ £ функции (^ж) ^ и0(^ а, ж), (t, ж) ^ ^0(t, а, ж) полунепрерывны сверху при всех (^ ж) £ А1+г(а).
Доказательство. Пусть (^,ж*) ^ (^ ж) п п* ^ п, где п* £ и0(^,а,ж*). С учётом теоремы Куратовского, достаточно показать, что п £ и0(^ а, ж) (см. [14, с. 204]). В силу неравенства (7.8), найдётся такая последовательность {е*}, что е* > 0, е* ^ 0 и
V0 (^, а, ж*; /(Л^а, ж*, п)) ^ ад(Л^а, V(^, а, ж*)) + е*.
Переходя к пределу, получим неравенство V0(t,a, ж; /(Л*а, ж, п)) ^ ад(Л*а, V(t, а, ж)), из которого следует включение п £ и0(^ а, ж).
Пусть теперь (^, ж*) ^ (t, ж) и р* ^ р, где р* £ ^0(^, а, ж*). Покажем, что р £ ^0(^ а, ж). Из включения р* £ ^0(^,а, ж*) и теоремы Каратеодори следует, что
Р* = А/(^ а, ж* , п1) +---+ А”+1/(Л^ а, ж* ,п”+1) (7.13)
при некоторых Ак ^ 0, А1 + ••• + А”+1 = 1, пк £ и0(^,а, ж*). Пусть Ак ^ А к, пк ^ пк (в противном случае перейдём к подпоследовательностям), тогда пк £ и0^, а, ж), и из (7.13) имеем р = А 1f(ht<J, ж, п1) + • • • + А"'+1/(/г*сг, ж, п”+1). Следовательно, р £ ^о(4> о-, ж)- ■
С. Из доказанного и теоремы А. Ф. Филиппова [14, с. 213] следует, что дифференциальное включение (7.11) имеет по крайней мере одно решение ^(4), удовлетворяющее заданному начальному условию ж(0) = Жо, ив силу условия теоремы о нелокальной продолжаемости всех решений вправо, каждое решение определено при всех 4 ^ 0. Всякому решению ^(4) отвечает такое управление п £ гРт(Цо^)), что пар а (^>(4),п*) образует допустимый процесс управляемой системы (7.12).
Лемма 9. При каждом а £ О и любом допустимом процессе (^>(4),п) управляемой системы (7.10), где щ £ грт(и0(4)), и0(4) = и0(4, а, имеет место неравенство
V°( t,a,^(t); / f (hV, ^(t),u)nt (du)) ^ w(hV,V (t,a,^(t))). (7.14)
V J Uo (t) '
'и0 (*)
Поэтому если ^(4) = V(4, а, ^(4)), то У^л (4, а, у(4)) ^ г>(4) ^ а, ^(4)) при почти всех
4 £ М+.
Докажем неравенство (7.14). Так как вектор
q(t) = / f (h*a,<p(t),u)nt (du)
-'Uo(t)
' Uo(t)
является измеримым сечением многозначной функции t ^ Fo(h*a, ^(t)), то, в силу теоремы Каратеодори, при каждом t сечение q(t) представимо в виде выпуклой комбинации
Ai (t)f (hV, ^(t), ui (t)) + ... + Ara+i (t)f (hV, ^(t), u„+i (t))
точек f (h*a, ^(t),Uj(t)) множества F0(h*a, ^(t)). Поэтому u*(t) G U0(t), и с учётом положительной однородности и субаддитивности функции q ^ V°(t, a, ж; q) получаем неравенства
V°(t,a,<p(t); / f(hV,^(t),u)nt(du)) ^
•/Uo(t)
^ Ai(t)V°(t,a,^(t); f (h* a,^(t),ui (t))) + ... + An+i(t)V°(t,a,<^(t); f (h* a,^(t),un+i (t))) ^
^ max V° (t,a,^(t); f (hV, ^>(t), u)) ^ w(hV,V (t,a,^(t))),
u6Uo(t)
из которых и следует неравенство (7.14). ■
D. Мы построили такой допустимый процесс (^(t), nt) управляемой системы (7.1), что функция v(t) = V(t, a, ^(t)) удовлетворяет неравенству v(t) ^ w(hV, ^(t)), а го условия ж0 G Х0 следует, что выполнено неравенство v(0) ^ 0. Поэтому v(t) ^ z*(t,a), где z*(t, a) — верхнее решение задачи (7.4). Далее, в силу условия (7.5), из неравенства v(t) ^ z* (t,a) следует равенство
-р— mes{t е [0, 0] : v(t) ^ 0}
$—>оо 1? ’
которое эквивалентно равенству freq*(w) = 1. ■
Пример 8. Вернёмся к примеру 7, в котором мы рассматривали систему
Ж = / ф(^ж,u)nt(du), (7.15)
Ju
где U — компактное множество в Rm, такое, что 0 G U, а функция ф(t, ж, u) удовлетворяет
ж0 = 0
в момент времени £о € М обозначим А(Ь, Ьо), Ь ^ £о. Пусть, кроме того, задано множество А = {ж € М”: ж*фж ^ г2}, где ф симметрична и определённо положительна, г > 0.
Для того чтобы воспользоваться теоремой 2, рассмотрим определённо положительную относительно множества А функцию Ляпунова V(ж) = ж*фж — г2. Тогда (см. пример 7)
У0ш(Ь,ж) = 2ж*ж,п_(Ь,ж)),
где п_ (Ь, ж) удовлетворяет условию минимума
тшж*фф(Ь, ж, и = ж*фф(Ь, ж, п_(Ь, ж)),
и поэтому если найдутся число 7 > г, функция а(Ь) и константа в такие, что при всех ж
из окрестности А7 = {ж € М” : ж*фж ^ 72} множества А = {ж € М”: ж*фж ^ г2} и всех Ь
выполнено неравенство
ттж*фф(Ь,ж,п) ^ а(Ь)(ж*фж — в), (7.16)
то, как несложно убедиться, неравенство (7.6) теоремы 2 выполнено для функции
ад(Ь, г) = 2а(Ь)(г + г2 — в).
Поэтому единственное решение задачи г = ад(Ь,г), г(0) = 0, имеет вид
г(і) = (в — г2)^1 — ехр (2 J а(«)й«))
Следовательно, в силу теоремы 2, если выполнено условие (7.16), то для каждого Ь0 ^ 0 множество А(Ь0) = [Ь0, то) х А статистически слабо инвариантно относительно управляемой системы (7.15) в одном из двух случаев:
1) если г2 > /3 и Ит -^-тез/і Є [0,#] : [ сф)^ ^ 0І = 1;
2) если г2 < /3 и Ит -^-тез/і Є [0,#] : [ сф)^ ^ 0І = 1.
V ^ 3о і
2
Если же г2 = в, то множество А(£0) слабо инвариантно при всех ^ ^ 0.
8. Неблуждающее множество достижимости
По заданой топологической динамической системе (£, Л*) и управляемой системе
ж = / /(Л*а, ж, п)п(йп), п € и € сотр(Мт), (8.1)
построим топологическую динамическую систему («о ,5*), служащую расширением системы (£, Л*). С этой целью будем предполагать, что выполнено следующее условие.
Условие 3. Найдется непрерывная функция М : £ ^ сотр(М”), такая, что множество «о = {ш = (а, X) € £ х сотр(М”) : X С М(а)} положительно инвариантно относительно потока 5* = (Л*а, А(Ь, ш)), где А(Ь, ш) — множество достижимости системы (8.1).
Напомним, что множество По называется положительно инвариантным, если для всех ш € По и всех t ^ 0 имеет место вклю чение д* ш € По -В этом случае будем говорить также, что множество По положительно инвариантно относительно системы (8.1).
Условия положительной инвариантности см. [6, 19]. В дополнение к этим условиям приведем простое следствие теоремы 1 о положительной инвариантности множества По относительно системы (8.1).
Следствие 2 (теоремы 1). Пусть выполнены условия 1 и 2, M : £ ^ comp(Rn) непрерывная функция, множество X € comp(M(а)) и существуют положительное число е и непрерывные скалярные функции V(а, ж) и w(a,z) переменных (а, ж) € £ х Mе(а) и (а, z) € £ х R, где
Mе(а) = {ж € R”: pRn (ж, M(а)) ^ е}
такие, что выполнены следующие два условия.
1. Для каждого а € £ верхнее релиение z*(t, а) задачи Z = w(h*а, z), z(0) = 0, t ^ 0, определено при, всех t ^ 0 и z* (t, а) ^ 0.
2. V((7, ж) ^ 0 при х Е М(<т), V(o, ж) > 0 nptj, ж £ N£(a) = М£(<т) \ М(<т) и для, всех (о, ж) £ £ х iVe и всех и £ [/ имеет место неравенство
где V°(а, ж; q) = limsup
Vo(а, ж; f (а, ж, u)) ^ w^, V(а, ж)), V(ht+eа, y + eq) — V(hV, у)
(*,у,е)^(о,ж,о) е
Тогда для, каждого а € £ множество достижимости A(t, а, X) существует на полуоси R+ и множество По положительно инвариантно относительно системы (8.1).
Поскольку мы предполагаем, что пространство £ компактно, а функция а ^ M(а) непрерывна, то сужение потока д* на По образует топологическую динамическую систему (По,g*) с компактным фазовым пространством ПоДалее, точка а фазового пространства £ называется неблуждающей (nonwandering point) относительно потока h* (см. [2, гл. 5, § 5]), если для любого е > 0 и любо го $ > 0 найдутся такой момент времени t ^ $ и такая точка ао, что ps (ао, а) < evi ps (h*ао, а) < е. Так как £ компактно, то множество £nw неблуждающих точек непусто, компактно и инвариантно относительно потока h*.
Определение 6. Пусть ш = (а, X) € £nw х comp(M(а)). Множество достижимости A(t, ш) системы (2.1) будем называть неблуждающим, еели для любых е > 0 и $ > 0
найдутся точка шо = (ао,Хо ^удовлетворяющая условиям ps (ао,а) < е, dist(X0, X) < е и момент времени t ^ $, такие, что dist(A(t, шо), X) < е. Будем говорить также, что точка ш является неблуждающей, и совокупность всех неблуждающих точек обозначим nnw.
Теорема 3. Если выполнены условия 1-3, то множество nnw неблуждающих точек, содержащихся в По, непусто. Оно компактно и инвариантно относительно потока д*. Следовательно, для, наждого а € £nw найдется компактное подмножество (а) пространства comp( M (а)), такое, что вся кому X € (а) отвечает неблуждающее
множество достижимости, A(t, ш) системы (2.1).
Доказательство. Из определения 6 следует, что при фиксированном ш € По множество достижимости A(t, ш) будет неблуждающим в том и только в том случае, если точка ш являенея неблуждающей относительно потока д*, определенного равенством д*ш = = (hV, A(t, ш)) .Поскольку По компактно, то, как доказано в [2, гл. 5, § 5], множество nnw
неблуждающих точек динамической системы (По, д*) непусто, компактно и инвариантно относительно потока д*. Поскольку всякое подмножество П1 множества По представимо в виде П1 = {(о, X) £ По: о £ £1, X £ X (а)}, то множество Пгаад имеет ту же структуру
П«/ш = {(°) Х) £ П0 : о £ £»ш , Х £ Хп/ш (о) }
где £гаад— подмножество неблуждающих то чек потока Л* (о но компактно). Далее, в силу компактности Пгаад, подмножество (о) пространства еотр(М(о)) тоже компактно при
каждом а. и
Пример 9. Пусть £ — окружность радиуса единица, о — угловая координата, поток Л* о = Ь + о (шоё2п). Рассмотрим управляемую систему
Х = —х + (еоя(Ь + о) + 1)и, (Ь, ж) £ Ж+ х Ж, и £ и = [— 1,1]. (8.2)
По динамической системе (£, Л*) и системе (8.2) построим топологическую динамическую систему (По,д*), служащую расширением системы (£,Л*). Несложно проверить, что для
1 п
функции М(а) = т(а)17, где т(<т) = 8ш(сг+—)+1, выполнено условие 3. Следовательно,
у2 4
множество
П0 = {ш = (о, X): о £ £, X £ еотр(М Оо))}
положительно инвариантно относительно движений Ь ^ д*ш = (Л*о, А(Ь, ш)), где множество достижимости А(Ь, ш) системы (8.2) имеет вид
= е~гХ + + <г + + л/2^п — е-*(8т(<т + ^) + и £ С/|.
Поскольку Л2п о = о для любого о £ £, то все точки множества £ являются неблуждающими относительно потока Л*. Анализируя поведение множества А(Ь,ш) при Ь ^ то, получаем, что множество неблуждающих точек Пгаад содержит все множества вида £ х [—а, а], где а —
[1-1 1 + -и
^2 \/2 -I
любое число, принадлежащее отрезку
Пусть Пад = По \ Пгаад— множество блуждающих точек динамической системы (По, д*). Точка ш является блуждающей, если существуют такие е > 0 и $ > 0, что для любой точки шо = (о0^0 ^удовлетворяющей условиям рЕ (оо, о) < е, dist(X0, X) < е и для любого Ь ^ $ выполнено по крайней мере одно из неравенств рЕ(Л*оо,о) ^ е, dist(A(^, шо), X) ^ е.
Пусть — объединение компактных под множеств (о) £ еотр( М (о)) по всем о £ £. Введем расстояния д (X, ) = тт dist(X, X0), д(о, £гаад) = min рЕ (о, оо),
д(ш, Пгаад) = тах{д(о, £гаад), д(X, )} и обозтачим через П^ад открытую е-окрестность
множества Пгаад : П^ = {ш £ По: д(ш, Пгаад) < е}.
е > 0
точки ш £ По каждое блуждающее движение Ь ^ д*ш протекает только конечное время вне множества П^. Следовательно, относительная частота пребывания движения Ь ^ д*ш в множестве ППад равна единице:
1 [ ^
&ед(ш, П* ш) = Иш - хп£ (д*и) (Й = 1, гДе Хе— характеристическая функция множества Е.
е > 0
ш £ По найдется такое $ > 0, что для всех Ь ^ $ выполнено неравенство д(А(Ь, ш), ) < е.
Доказательство. Для любого е > 0 и всяко го ш £ По найдется такое $ > 0, что каждое блуждающее движение Ь ^ д*ш протекает только конечное время, не превышающее $, вне множества П^; следовательно, при Ь ^ $ траектория движения д*ш содержится в множестве ППад. Тогда для д*ш выполнено неравенство д(д*ш, Пгаад) < е; следовательно, д(А(1,ш),Хпш) < £ при £ ^ ■
9. Минимальный центр притяжения
Положительно инвариантное замкнутое множество Пс(ш) называется центром притяжения движения д*ш при Ь ^ +то, если для любого е > 0 относительная частота пребывания движения Ь ^ д*ш в открытой е-окрестности П^(ш) этого множества равна единице. Пс(ш)
Пс(ш)
Ь ^ д*ш и обозначавтся Птос(ш); тогда
г / Ч . 1- 1 [& , г \ ы 1 • тез{Ь £ [0, $] : д*ш £ П^с(ш)}
Ьеф.е) =}Шё1 Х^{3 Ш)М = «‘™ ----------------------Ъ------------- =
Следующая теорема является дополнением теоремы 22 работы [2, гл. 5, §6].
Теорема 5. Если выполнены условия 1-3, то для, каждого ш = (о, X) £ По существует минимальный центр притяжения Птс(ш) движения Ь ^ д*ш при Ь ^ + то. Следовательно, для любого е > 0 и всякой точки ш £ По существует множество Хтс(ш) £ еотр(М(о)), такое, что
тея{Ь £ [0,$] : dist(A(^,ш), £тс(ш)) < е}
ггеа (ш,£)= пт ---------------------------------------= 1.
$
Доказательство. Пусть 0е(ш) = {ш0 £ По : рп(ш0,ш) < 1} — открытая окрестность радиуса е точки ш £ По. Поскольку для каждого ш £ По относительная частота freq(ш, По) пребывания движения д*ш в множестве По равна единице, то существуют окрестности единичного радиуса, для которых относительная частота пребывания движения д*ш положи-
По,
окрестностей О1 (ш 1), . . ., (Э1(и)к). Для фиксированного ш € По обозначим через Б\{и)) объединение этих окрестностей и построим замыкание ^(о;) множества 8\(ш), тогда для относительной частоты пребывания движения д*ш в множестве ^(ш) выполнено равенство
&ед(^Й) = 1. ______
Компактное множество ^(ш) можно покрыть конечным числом открытых окрестностей радиуса 1/2 и среди них отобрать те, для которых относительная частота пребывания движения дгш не равна нулю. Пусть — объединение этих окрестностей, тогда
freq(52 (ш)) = 1. Аналогично определяем множества йк (ш) как объединение конечного числа окрестностей радиуса 1/2^-1, для которых относительная частота пребывания движения д*ш положительная, следовательно, freq(йк(ш)) = 1.
Таким образом, мы построили последовательность вложенных компактных множеств:
51И С П0, Я-иМ С Я И, к = 1,2....
Докажем, что пересечение данных множеств (которое непусто и компактно) является ми-
нимимальным центром притяжения, то есть Птс(ш) = П Sk (ш). Отметим, что для задан______________________________________________ к=і
ного є > 0 найдется номер такой к, что S’fc(w) С поэтому выполнено неравенство
freq(w,e) ^ freq(S’fc(o;)) = 1.
Покажем, что если множество Птс(ш) является минимальным центром притяжения для некоторой точки ш Є По, то оно также минимальный центр притяжения для gtfo ш при любом $о > О, то есть это множество положительно инвариантно. Действительно, если для ш Є По выполнено равенство freq(ш,є) = 1, то частота попадания движения gtfoш в множество Птс(ш) равна пределу
freq(/^,£) = lim °>eS{t g [tfo.tf] : ^ g =
^ ' tf^ V - VQ
V т mes{t Є [О, V] : g*ш Є Птс(ш)} г , ч
= lim ----— • lim ---- --- п------- = freq(w, є) = 1.
tf^<^ v — vQ tf^<^ v
Аналогично [2, гл. 5, § 6] можно показать, что множество Птс(ш) можно определить как множество точек шо Є По, в которых для любого є > О частота попадания движения t ^ g^ в є-окрестность точки шо положительна:
freq(0e(шо)) > О; (9.1)
следовательно, множество Птс(ш) не зависит от выбора построенной системы окрестностей.
Покажем, что Птс(ш) является минимальным центром притяжения движения. Допустим, что существует компактное собственное подмножество Птс(ш) множества Птс(ш), являющееся центром притяжения движения. Тогда множество Птс(ш) \ Пщс(ш) непусто и если точка и>о принадлежит Qmc(ui)\Qmc(ui), то q(ujо, Qmc(ui)) = а > 0. Выберем є < а/2, тогда множества Птс(ш) и 0е (шо) имеют пустое пересечение, а это противоречит неравенству (9.1) и определению минимального центра притяжения.
Пусть £mc(a) — минимальный центр притяжения движения t ^ h*а, тогда множество Птс(ш) имеет структуру Птс(ш) = {шо Є По : ао Є £mc(a), Xq = Xmc(ш)}, где
Xmc(ш) — некоторое подмножество пространства comp(M(а)). Поскольку из неравенства g(g*ш, Пшс(ш)) < є следует неравенство dist(A(t,ш),Xmc(ш)) < є ж Птс(ш) — минимальный центр притяжения движения t ^ g*ш, то freq *(ш,є) ^ freq(ш,є) = 1, откуда получаем последнее утверждение теоремы. ■
Пример 10. Рассмотрим динамическую систему (£,h*), где £— окружность радиуса единица, a— угловая координата, h*a = t + a (mod 2п), и управляемую систему
ж1 — cos(t + а) ж1 — cos(t + a)
%i = ~%2----------^--------1-------^-----u,
22
ж2 — sin(t + a) ж2 — sin(t + a)
x2 = xi------------------1---------------n,
где u Є [—1,1]. По системе (£, h*) и системе (9.2) построим топологическую динамическую систему (По, g*), служащую расширением системы (£, h*). Пусть M С R2 — замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, По = £ х comp(M), gfuj = (hfcr, A(t,ui)).
Рассмотрим множество X, содержащееся в сотр(М). Обозначим q = q(x) = \Jх\ + х%, d (X) = min$(ж), d2(X) = max$(ж). При u = 1 все интегральные кривые системы (9.2)
являются окружностями; при и = —1 множество интегральных кривых состоит из окружности д = 1 и спиралей, которые при Ь ^ наматываются та предельный цикл д = 1. Опишем множества Птс(ш) для различных ш = (а,X) £ По. Если ^ 1, то
Птс(ш) = £ х М1, где М1 = {ж £ М : ^(Х) ^ д ^ 1};
если й1(Х) ^ 1, ^2(X) > 1, то Птс(ш) = £ х М2, где М2 = {ж £ М : ^1 (X) ^ д ^ ^2(Х)}; если й1(Х) > 1, то Птс(ш) = £ х М3, где М3 = {ж £ М : 1 ^ д ^ ^2(X)}.
Выражаем благодарность А. Г. Ченцову за содержательное обсуждение результатов этой работы, Халику Гусейнову и Л. И. Данилову, обратившим наше внимание на ряд пробелов в доказательстве теорем 1 и 2.
Список литературы
[і [2
[9
[Ю
[П
[12
[13
[14
[15
[16
[17
[18
[19
Krylov N. М. and Bogolyubov N. N. La theorie generale de la mesure et son application a Г etude des systemes dynamiques de la mechanique non lineaire // Ann. Math., Ser. 2, 1937, vol. 38, pp. 65-113. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.
Birkhoff G. D. Proof of Recurrence Theorem for Strongly Transitive Systems: Proof of the Ergodic Theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1931, vol. 17, pp. 650-655.
Колмогоров A. H. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина // У MU. 1938, №5, с. 52-56.
Aubin J.-P. Viability Theory. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 1991. 543 p.
Панасенко E. А., Тонков E. Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 2008, т. 262, с. 202-221.
Тонков Е. Л. Канонический представитель линейной управляемой системы // Вести. УдГУ. Сер. Матем., 2003, с. 113-128.
Тонков Е. Л. Глобально управляемые линейные системы // Современная математика и её приложения, 2005, т. 23, с. 145-165.
Аносов Д. В., Арансон С.Х., Бронштейн И. У., Гринес В.З. Динамические системы: 1 // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»: Т. 1. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. 244 с.
Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.
Иванов А. Г., Тонков Е. Л. Почти периодические управляемые процессы // Вестник Тамбовского ун-та, 2007, т. 12, вып. 4, с. 456-459.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 239 с.
Бебутов М. В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций // Бюлл. Мех.-матем. фак-та МГУ, 1941, №5, с. 1-52.
Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1985, т. 169, с. 194-252.
Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 223 с.
Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 300 с.
Peano G. Sull’ integrabilita delle equazione differenziali di primo ordine // Atti. R. Accad. Torino, 1885/1886, №21. pp. 667-685.
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Функции Ляпунова и положительно инвариантные множества дифференциальных включений // Дифференц. уравнения, 2007, т. 43, №6, с. 859-860.
