CC BY
21
Известия Института математики и информатики УдГУ
2015. Вып. 2 (46)
УДК 517.977 © Я. Ю. Ларина
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
Рассматриваются управляемые системы, подверженные импульсному воздействию в фиксированные моменты времени. Получены оценки таких статистических характеристик, как верхняя и нижняя относительные частоты попадания решения системы в заранее заданное множество. Также получены условия, при которых множество является статистически инвариантным или статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы с импульсным воздействием.
Ключевые слова: управляемые системы, множество достижимости, дифференциальные включения, статистические характеристики.
Введение
Данная работа является продолжением [1], в которой исследуются условия положительной инвариантности, равномерной устойчивости по Ляпунову и равномерной асимптотической устойчивости заданного множества M = {(t, x) € [to, го) х Rn : x € M(t)} относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Здесь исследуются такие статистические характеристики, как верхняя и нижняя относительные частоты попадания решения данной системы в множество M. Пусть x(t, xo) — решение системы, тогда freq(x) — относительная частота попадания этого решения в множество M, определяется как предел при $ ^ го отношения меры Лебега тех точек отрезка [0, $], для которых решение x(t, xo) содержится в множестве M(t), к длине этого отрезка. Если такого предела не существует, то рассматриваются верхний и нижний пределы и, соответственно, верхняя и нижняя относительные частоты freq*(x), freq*(x). Для дифференциального уравнения с импульсным воздействием исследуются характеристики к * и к*, которые определяются, соответственно, как верхний и ни жний пределы при $ ^ го отношения меры тех точек отрезка [0, $], для которых решение данного уравнения неположительно, к длине этого отрезка. В работе получены условия, при которых выполнены неравенства freq*(x) ^ к* ж freq*(x) ^ к*.
Также рассматриваются понятия статистически инвариантного и статистически слабо инвариантного множеств относительно управляемой системы с импульсным воздействием. Получены условия, при которых заданное множество M является статистически инвариантным или статистически слабо инвариантным.
§ 1. Основные определения
Рассматриваются управляемые системы с импульсным воздействием:
x = f (t,x,u), t = Ti, Ax|i=Ti = g(x,wi), (t,x,u,wi) € [to, +го) х Rn х Rm х Rp.
Здесь Rra — n-мерное евклидово пространство с нормой ||ж|| = л/(ж, ж), управление и содержится в компактном множестве U(t,x) С Rm, векторы Wi, i = 1, 2,... , являются управляющими воздействиями, влияющими на поведение системы в моменты времени t = Ti, и принимают значения в заданном компактном множестве W С Rp. Предполагаем, что функции f (t, x, u) и g(x, w) непрерывны для всех (t, x, u) € [to, +го) х Rn х Rm и всех (x, w) € Rn х Rp соответственно, функция U(t, x) полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа при всех (t, x) € [to, +го) хRn, решения системы (1) непрерывны справа. Относительно последовательности (Ti}°=o полагаем, что to = to < ti < т2 < ... и lim Ti = +го.
i—y^o
Определение 1. Допустимым процессом, управляемой системы (1) назовем функцию
г - (и(г)^(г),ж(г)) € Мт х Мр х Мга,
которая удовлетворяет следующим условиям:
1) управление и(г) определено на I = (0, Т1) и (т1,т"2) и..., ограничено и измеримо по Лебегу;
2) функция -ш(г) = 0 при г € I и -ш(тг) = Wi, Wi € 'Ж для всех г = 1, 2,...,
Джк=т; = ж(т>) - ж(т - 0) = д(ж, Wi);
3) решение ж (г) в смысле Каратеодори системы дифференциальных уравнений
ж = / (г, ж, и(г))
определено для всех г € (т^, т^), г = 0,1, 2,..., и ж(ri) = ж(7^ — 0) + д(ж, wi);
4) имеет место включение и(г) € и (г, ж(г)).
Отвечающие допустимому процессу (и(г), w(г), ж(г)) управления и(г) и w(г) называются допустимыми управлениями системы (1).
Введем в рассмотрение множество м = {(г, ж) € [го, х Мга : ж € М(г)}, заданное функцией г — М(г), непрерывной в метрике Хаусдорфа. Предполагаем, что для каждого г € [го, множест во М (г) непусто и компактно. Пусть М £(г) — замкну тая е-окрестпость множества М(г), то есть множество таких точек ж € Мга, что £>(ж, М(г)) ^ е, N(г) = М£(г)\М(г) — внешняя е-окрестпость границы множества М(г) (здесь ^(ж,М) = т£ ||ж — у|| — расстояние от
у€М
точки ж € Мга до множества М С Мга). Построим множества
М = {(г, ж) € [го, х Мга : ж € М£(г)}, N = {(г, ж) € [го, х Мга : ж € ^£(г)}.
Определение2 (см. [2]). Скалярная функция V (г, ж) переменных (г, ж) € [го, х Мга называется функцией Ляпунова относительно множества М, если она удовлетворяет локаль-
(г, ж)
1) V(г, ж) ^ 0 для всех (г, ж) € М;
2) V(г, ж) > 0 для некоторого г > 0 для всех (г, ж) €
Поставим в соответствие системе ж = /(г, ж, и) дифференциальное включение
ж € Е(г,ж), (2)
где для каждой фиксированной точки (г, ж) € [го, х Мга множество Е(г, ж) состоит из всех предельных значений функции /^^, и^^)) при (гi,Жi) — (г, ж). Будем предполагать, что Е (г, ж) непусто, ограниченно, замкнуто и выпукло. Поскольку функция и (г, ж) полунепрерывна сверху по (г,ж), то функция Е(г,ж) также полунепрерывна сверху, поэтому для каждой начальной точки жо € Кга локальное решение включения (2) существует (см. [3, с. 60]).
Условие 1. Для любого жо € Мг(го) каждое решение <^(г,жо) включения (2), удовлетворяющее начальному условию ^>(го,жо) = жо, определено при всех г ^ го.
Определение 3 (см. [4]). Для локально липшицевой функции V (t, ж) обобщенной производной в точке (t,ж) € [to, х Rn то направлению вектора q = (1,p), p € Rn (производной Ф. Кларка), называется следующий верхний предел:
V°{t,x;q) = limsup П*+ е,У+ ер) ~ f
(e,y)^(0+0,x) е
а выражения V£in(t, ж) = inf Vo(t, ж; q), Vmax(t, ж) = sup Vo(t, ж; q) называются соответ-
peF (i,x) peF(t,x)
V(t, ж)
пия (2).
Рассмотрим дифференциальное уравнение с импульсным воздействием
¿ = í = п, Аг^ = ¿(г), (М) € [¿0, +го) X М, (3)
где функция г) локально липшицева по г, а функция 1(г) непрерывна. Введем в рассмотрение функцию = ¿(г) + г в предположении, что £(-г) неубывающая для всех г € М.
Определение! (см. [5]). Верхней относительной част,от,ой попадания решения ж(£, ж0) системы (1) в множество М = {(¿,ж) € [¿о, го) X Мп: ж € М(¿)| называется следующий предел:
тев{4 € [0,1?] : ж(£,ж0) € М(*)}
freq*(ж) = Ит ,
Э^ж V
где mes — мера Лебега на числовой прямой. Аналогично определяется нижняя относительная частота freq^(x) (с заменой верхнего предела на нижний предел). Если freq*(x) = freq^(x), то существует предел
, , ч . mes {t € [0, V] : x(t,x0) € M(t)} freqm = lim ---,
э^ж V
который называется относительной частотой попадания решения x(t, жо) в множество Ш.
Также введем в рассмотрение характеристику
. mes{t € [0, V] : z(t) < 0} ус = lim ---b---—--,
э^ж V
где функция z(t) является решением уравнения (3). Если данный предел не существует, то рассматриваются соответственно верхний и нижний пределы:
t . .— mesit € [0, ïï] : z(t) ^ 0} . , mesli € [0, tfl : z(t) < 0} x* = lim-Ь-1-^-hm ----—--.
tf-i-oo § ^oo §
§ 2. Об оценках статистических характеристик управляемых систем с импульсным воздействием
Отметим, что определения и оценки статистических характеристик, а также условия статистической инвариантности множеств для систем без импульсного воздействия получены в работах [5-7]. Приведенные ниже результаты распространяют утверждения работ [5-7] на управляемые системы с импульсами.
Теорема 1. Предположим, что существуют функции V(t,ж), q(t,z), l(z) m,а,кие, что V(t, ж) — функция Ляпунова относительно множества Ш, и для всex (t,x) € [t0, го) х Rn выполнены, неравенства
VSax(t, ж) ^ q(t, V(t, ж)), max V(т^,ж + g(x,w)) ^ L (V(т^,ж)), i = 1,2,--------(4)
w€W
Пусть z(t) — решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию z(t0) = V(t0,ж0). Тогда, для, любого решения ж(^ ж0) системы (1) такого, что ж(^,ж0) = ж0, имеют место неравенства
freq*^) ^ к*, freq*(ж) ^ к*.
Доказательство. Пусть ж(t,Жо) — одно из решений системы (1), удовлетворяющее начальному условию ж^0,ж0) = ж0 и продолжаемое на полуинтервал [t0, +го). Рассмотрим функцию v(t) = V(t, ж(^ ж0)), для которой, в силу леммы 5 работы [2], в точках дифференци-руемости имеет место неравенство
v(t) < Vmax (t,ж(t,ж0)),
из которого и (4) следует, что неравенство vV(t) ^ q(t, v(t)) выполнено в промежутках непрерывности функции v(t). Поскольку
v(to) = V (i,x(io,Xo)) = V (to ,Xo) = zo,
то в силу теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах (см. [8, с. 15]) неравенство v(t) ^ z(t) верно при всех t € [io,Ti). Из второго неравенства (4) следует, что
v(ti) = V(ti,x(ti,x)) = V(ri,x(ri - 0,xo) + g(x(ri - 0,xo),wi)) ^ ^ max V(tï, x(ti — 0, xo) + g(x(Ti — 0, xo), w)) ^ L (V(ti, x(ti — 0, xo))) = L (v(ti — 0)).
w€W
Тогда v(t1) ^ L (v(t1 — 0)) ^ L(z(t1 — 0)), так как функция L(z) не убывает. Из равенства z(t1) = L(z(tï — 0)) следует, что v(t1) ^ z(t1). Рассуждая подобным образом, то есть применяя далее теорему Чаплыгина на каждом промежутке [т^,Tj+i), i = 1, 2,..., получаем, что неравенство v(t) ^ z(t) верно для всех t € [to, +œ). Тогда
mes{t € [0, tf] : v(t) ^ 0} ^ mes{t € [0, tf] : z(t) ^ 0}.
Следовательно,
mesit € [0,i?l : x(t,x0) € M(t)} — mesli € [0,0] : v(t) ^ 0} ireq (x) = lim --- = lim --- ^
tf^œ tf tf^œ tf
mes{t € [0, tf] : z(t) ^ 0}
^ lim Л ...
Таким образом, freq*(x) ^ к*, аналогично получаем неравенство freq*(x) ^ к*. □
Теорема 2. Предположим, что существуют функции V (t,x), q(t, z), l(z) тлкие, что V(t, x) — функция Ляпунова относительно множества Ш, и для всex (t, x) € [t0, го) х Rn выполнены, неравенства
VOin(t, x) < q(t, V(t,x)), min V(тг,x + g(x,w)) < L (V(гг,ж)), i = 1, 2,.... (5)
w€W
Пусть z(t) — решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию z(t0) = V(t0,x0). Тогда, существует решение x(t, x0) системы (1) такое, что x(t0,x0) = x0; и имеют место неравенства
freq*(ж) ^ к*, freq*(x) ^ к*. Доказательство. Определим непустые множества
U(t, x) = {u € U(t, x) : VO(t, x; f (t, x, u)) < q(t, V(t, x))},
W = {w € W : V (Ti,x + g(x,w)) < V (r,,x), i = 1, 2,...}.
Множество U(t, x) ограничено для каждого (t,x) € [t0, +го) х Rn, поскольку U(t, x) С U(t,x). Покажем, что множество U(t, x) замкнуто. Действительно, если последовательность {u^}?^ такова, что u € U(t,x) и u — u, то f(t,x,Ui) — f(t,x,u), и в силу липшицевости функции f — VO(t, x; f) [4, с. 32] выполнено неравенство
VO(t, x; f (t, x, u)) = lim VO(t, x; f (t, x, u)) < 0.
i—^^o
Поставим в соответствие множеству U дифференциальное включение
x € F(t, x), F(t, x) = coU(t, x), (6)
где U(t, x) состоит из всех предельных значений функции f (ti, xi, U(ti, xi)) при (ti, xi) — (t, x), функции (t,x) — U(t, x) и (t, x) — jF(t, x) полунепрерывны сверху. Обозначим через (p(t, xi) решения включения (6), удовлетворяющие начальным условиям ((Ti, xi) = xi, i = 0,1, 2,... .
Поскольку для всех (¿, ж) € [¿о, го) X Мп имеет место включение и(Ь,ж) С и(Ь,ж), то ж) С ^(¿, ж) Следовательно, (г(Ь ж*) — решения дифференциального включения (6), также являются и решениями исходного дифференциального включения (2), и каждое из них, в силу условия 1 о нелокальной продолжаемости всех решений вправо, определено при всех Ь ^ ¿о-Определим решение ж(Ь, ж0) системы (1), удовлетворяющее начальному условию ж(Ь0,ж0) = ж0, которое на промежутке [¿0, Т1) совпадает с решением (0(Ь, ж0) и на каждом промежутке [тг, тг+1) совпадает с решением ((Ь, жг), где
ж* = (?г—1 (Тг,ж^-1)+ #((¿-1^^¿-1),^) , € г = 1, 2,....
Для этого решения построим функцию -и(Ь) = V(¿,ж(Ь,ж0)), для которой, учитывая (5), неравенство -¿(¿) ^ -и(Ь)) выполнено в промежутках ее непрерывности (см. лемму 9 работы [7]). Далее рассмотрим функцию -и(Ь) в точке ть Из второго неравенства (5) следует, что
■и(т1) = V(тьж(тьж0)) = V(т1,ж(т1 - 0,ж0) + д(ж(т1 - 0,ж0),ш)) ^ < Ь (V(т1,ж(т1 - 0,ж0))) = Ь (и(т1 - 0)).
Тогда ^(т1) ^ Ь (^(т1 - 0)) ^ Ь(г(^1 - 0)), так как функция Ь(г) не убывает. Из равенства г(т1) = Ь(г(т1 - 0)) следует, что ^(т1) ^ г(т1). Рассуждая аналогичным образом для всех точек т и применяя теорему о дифференциальных неравенствах, получаем, что неравенство ■и(Ь) ^ г(Ь) верно для всех Ь € [Ь0, +го). Тогда
шев{Ь € [0, $] : и(Ь) < 0} ^ шев{Ь € [0, $] : г(Ь) < 0}.
Следовательно, freq*(ж) ^ к* и freq*(ж) ^ к*. □
Обозначим через ) множество достижимости системы (1) в момент времени Ь из на-
чального множества X. Предполагаем, что для каждого X множество достижимости ^(Ь, X) существует для всех Ь ^ Это означает, что для каждой точки ж € X существует решение ж(Ь, ж0) системы (1), удовлетворяющее начальному условию ж(Ь0,ж0) = ж0 и продолжаемое на полуось М+ = [0, го). Введем в рассмотрение множество
а($, X) = {Ь € [0,$] : ) С М(Ь)}.
Определение 5 (см. [6,7]). Относительной частотой поглощения множества достижимости ) системы (1) множеством М называется следующий предел:
1геЧ(Х) ^ Ит Е^^О = Ит : РЦ,Х) С МЩ
я^ж $ я^ж $
где шев — мера Лебега на числовой прямой. Если предел (7) не существует, то характеристики
(X) = Ит -^—-, = Ит -^—-
Я^ж V д-юо V
называются соответственно верхней и нижней относительной частотой поглощения множества достижимости множеством М.
Определение 6 (см. [6,7]). Множество М называется ст,ат,ист,ически инвариантным относительно управляемой системы (1), если предел
4 ' Я^ж $
существует и имеет место равенство freq(М (0)) = 1.
Следствие 1. Если существует функция Ляпунова V(Ь,ж) относительно множества М такая, что для всех (Ь, ж) € [Ь0, го) X Мп выполнены неравенств а (4) и к* = 1; то множество М ст,ат,ист,ически инвариантно относительно системы (1).
Определение 7 (см. [6,7]). Множество М называется ст,ат,ист,ически слабо инвариантным относительно управляемой системы (1), если для любой точки х € М(0) найдется хотя бы одно решение х(£,Хо) системы (1), определенное при всех Ь ^ 0, удовлетворяющее начальному условию х(Ь0,х0) = х0 и равенству
те8{£ € [0,1?] : ж(£,ж0) € М(*)}
freq*(®) = lim ---:---= 1.
Следствие 2. Если существует функция Ляпунова V(t,x) относительно множества Ш такая, что для всех (t, ж) € [to, го) х Rn выполнены неравенства (5), и к* = 1, то множество Ш ст,ат,ист,ически слабо инвариантно относительно системы (1).
Список литературы
1. Ларина Я.Ю. Функции Ляпунова и теоремы сравнения для управляемых систем с импульсным воздействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Вып. 1. С. 51-59.
2. Панасенко Е. А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202-221.
3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 223 с.
4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 300 с.
5. Родина Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 2 (40). С. 3-164.
6. Родина Л.И. Оценка статистических характеристик множества достижимости управляемых систем // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. № 11. С. 20-32.
7. Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. № 2. С. 265-288.
8. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.— Л.: Гостехиздат, 1950. 102 с.
Поступила в редакцию 28.09.2015
Ларина Яна Юрьевна, аспирант, кафедра математического анализа, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: yana_larina89@mail.ru
Ya. Yu. Larina
Statistical characteristics of control systems with impulsive action
Keywords: control systems, attainability set, differential inclusions, statistical characteristics. MSC: 34A60, 37N35
We consider the control systems with impulsive action at fixed time moments. We get estimations of statistical characteristics such as upper and lower relative frequency of entering solutions to a predetermined set. We also obtain the conditions under which the set is statistically invariant or statistically weakly invariant with respect to the control system with impulsive effect.
REFERENCES
1. Larina Ya.Yu. Lyapunov functions and comparison theorems for control systems with impulsive actions, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2015, vol. 25, no. 1, pp. 51-59 (in Russian).
2. Panasenko E.A., Tonkov E.L. Invariant and stably invariant sets for differential inclusions, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2008, vol. 262, pp. 194-212.
3. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast'yu (Differential equations with discontinuous right-hand side), Moscow: Nauka, 1985, 223 p.
4. Clarke F. Optimization and nonsmooth analysis, Wiley, 1983. Translated under the title Optimizatsiya i negladkii analiz, Moscow: Nauka, 1988, 300 p.
5. Rodina L.I. Invariant and statistically weakly invariant sets of control systems, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Cos. Umv., 2012, no. 2 (40), pp. 3-164 (in Russian).
6. Rodina L.I. Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems, Russian Mathematics, 2013, vol. 57, no. 11, pp. 17-27.
7. Rodina L.I., Tonkov E.L. Statistical characteristics of attainable set of controllable system, nonwandering, and minimal attraction center, Nelin. Dinam., 2009, vol. 5, no. 2, pp. 265-288 (in Russian).
8. Chaplygin S.A. Novyi metod priblizhennogo integrirovaniya differentsial'nykh uravnenii (A new method of approximate integration of differential equations), Moscow-Leningrad: Gostekhizdat, 1950, 102 p.
Received 28.09.2015
Larina Yana Yur'evna, Post-graduate student, Department of Mathematical Analysis, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: yana_larina89@mail.ru
